中考數(shù)學復習指導：構造二次函數(shù)巧解題

構造二次函數(shù)巧解題對于很多復雜問題，若能轉化為對數(shù)量關系的探索，借助函數(shù)分析，往往能優(yōu)化解題過程、化繁為簡、化難為易．今以構造二次函數(shù)解題為例予以說明，以供讀者參考．例1若x1，x2（x1<x2）是方程（x－a）（x－b）＝1（a<b）的兩個根，則實數(shù)x1，x2，a，b的大小關系為()(A)x1<x2<a<b(B)x1<a<x2<b(C)x1<a<b<x2(D))a<x1<b<x2解析易知拋物線y＝（x－a）（x－b）開口向上，且a，b（a<b）分別是拋物線與橫軸的左、右兩個交點的橫坐標；又由x1.x2（x1<x2）是方程（x－a）（x－b）＝1的兩個根，可知x1.x2分別是拋物線與直線y＝1的左、右兩個交點的橫坐標，結合圖1，則有x1<a<b<x2．故選C．例2設一元二次方程（x－1）（x－2）＝m(m>0)的兩實根分別為α、β，則α、β滿足()(A)1<a<β<2(B)1<a<2<β(C)a<1<β<2(D)a<1且β>2解析與上例類似，易知拋物線y＝(x－1)（x－2）開口向上，與橫軸分別交于點(1，0)和點(2，0)；又由方程（x－1）（x－2）＝m(m>0)的兩實根分別為α、β，可知α、β分別是拋物線與直線y＝m(m>0)的兩個交點的橫坐標，由于α、β大小未定，參照圖2(1)，則有α<1且β>2，參照圖2(2)，則有β<1且α>2．故D是正確的．例3若關于x的一元二次方程ax2＋2x－5＝0的兩根中有且僅有一根在0和1之間（不含0和1），則a的取值范圍是()(A)a<3 (B)a>3(C)a<－3 (D)a>－3解析當x＝0時，函數(shù)y＝ax2＋2x－5＝－5；當x＝1時，函數(shù)y＝a＋2－5＝a－3．又關于x的一元二次方程ax2＋2x－5＝0的兩根中，有且僅有一根在0和1之間(不含0和1)，所以當x＝1時，所對應的點必在x軸的上方，則y＝a－3>0，即a>3．故選B．例4下列命題：①若a＋b＋c＝0，則b2－4ac<0；②若b＝2a＋3c，則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不相等的實數(shù)根；③若b2－4ac>0，則二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與坐標軸的交點的個數(shù)是2或3；④若b>a＋c，則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不相等的實數(shù)根．其中正確的是()(A)②④ (B)①③(C)②③ (D)③④解析式子a＋b＋c可以看作函數(shù)y＝ax2＋bx＋c當x＝1時所對應的y值，由a＋b＋c＝0，可知拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸至少交于一點(1，0)，則b2－4ac≥0，故①錯誤；由b＝2a＋3c，可求得b2－4a，c＝4(a＋c)2＋5c2>0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不相等的實數(shù)根，故②正確；∵b2－4ac>0，∴拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸有兩個不同的交點，∴二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與坐標軸的公共點的個數(shù)是3（此時，拋物線不過原點）或2（此時，拋物線過原點），故③正確；式子a－b＋c可以看作函數(shù)y＝ax2＋bx＋c當x＝－1時所對應的y值．由b>a＋c．可得a－b＋c<0，則當x＝－1時，y<0．此時拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸可能沒有交點，也可能有—個或兩個交點，是不確定的，即b2－4ac可能是小于0、等于0或大于0，故一元二次方程ax2＋bx＋c＝0可能沒有實數(shù)根，也可能有兩個相等或不相等的實數(shù)根，④是錯誤的．故選C．例5現(xiàn)定義某種運算ab＝a(a>b)，若（x＋2）x2＝x＋2，那么x的取值范圍是()(A)－1<x<2 (B)x>2或x<－1(C)x>2 (D)x<－1解析由題意，應有x＋2>x2，即x2－x－2<0．設y＝x2－x－2，由于拋物線開口向上，并且與x軸交點是（－1，0），(2，0)，結合圖象可知，當－1<x<2時，y<0，即x的取值范圍是：－1<x<2．故選A．例6一元二次方程x2＋（a2－1）x＋(a－2）＝0的一個根比1大，另一個根比1小，則實數(shù)a的取值范圍是______．解析顯然拋物線y＝x2＋(a2－1)x＋（a－2）開口向上，又方程x2＋（a2－1）x＋(a－2)＝0的一個根比1大，另一個根比1小，則應有x＝1時，y＝a2＋a－2<0．而關于a的拋物線y＝a2＋a－2也是開口向上，且與橫軸分別交于點（－2，0）、(1，0)，結合圖象可知：y＝a2＋a－2<0的解集為－2<a<1．故實數(shù)a的取值范圍是：－2<a<1．點評函數(shù)思想是基本的數(shù)學思想，方程（組）、不等式（組）問題可以在函數(shù)的觀點下統(tǒng)一起來，應用函數(shù)的思想解題，是將靜止的問題放到一個動態(tài)過程中去考察，將局部的問題置于全局上去解決．例7若m，n均為正整數(shù)，關于x的方程4x2－2mx＋n＝0的兩個實數(shù)根都大于1，且都小于2，試求m，n的值，解析∵關于x的方程4x2－2mx＋n＝0有兩個實數(shù)根，∴△A＝(2m)2－16n>0，∴m2>4n．又拋物線y＝4x2－2mx＋n開口向上，且關于x的方程4x2－2mx＋n＝0的兩個實數(shù)根都大于1，且小于2，則必有x＝1時，y＝4－2m＋n>0，且x＝2時，y＝16－4m＋n>0．設方程4x2－2mx＋n＝0兩根為x1，x2，由根與系數(shù)的關系，可知x1＋x2＝，x1x2＝．∵x1，x2都大于1，且小于2，∴2<<4，1<<4，∴4<m<8，4<n<16．結合m，n均為正整數(shù)，可分為以下三種情形討論：(1)當m＝5時，由m2>4n，得n＝5或6，但均不滿足4－2m＋n>0，m≠5；(2)當m＝6時，由m2>4n，，得n＝5，6，7，8．∵n＝8時，不滿足4－2m＋n>0，16－4m＋n>0．∴n＝5，6，7；(3)當m＝7，由m2－4n>0，得n＝5，6，7，8，9，10，11，12．∵n＝10，11，12時，不滿足4－2m＋n>0，16－4m＋n>0，∴n＝5，6，7，8，9．綜上，m、n的值共有以下幾組：m＝6，n＝5；m＝6，n＝6；m＝6，n＝7；m＝7，n＝5；m＝7，n＝6；m＝7，n＝7；m＝7，n＝8；m＝7，n＝9．例8設A.B.c為實數(shù)，且滿足a－b＋c<0，a＋b＋c>0，則下述結論中正確的是()(A)b2>4ac(B)b2≤4ac，且a≠0(C)b2>4ac，且a>0(D)b2>4ac，且a<0解析當a＝0時，可推知b≠0，則b2>4ac：當a≠0時，由a－b＋c<0，a＋b＋c>0，可知，對于拋物線y＝ax2＋bx＋c，當x＝－1時，y<0，當x＝1時，y>0，則拋物線y＝ax2＋bx＋c必與與x軸有兩個交點，即b2-4ac>0．但并不能因此確定拋物線的開口方向，故a可能大于0，也可