中考數(shù)學復習指導：解等腰三角形問題時常用的輔助線

解等腰三角形問題時常用的輔助線等腰三角形是平面幾何中的一種重要圖形，等腰三角形問題大多需要添加適當?shù)妮o助線．下面談?wù)劦妊切螁栴}中的幾種常用的輔助線.一、作底邊上的中線或高或頂角的平分線例1如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，點D是BC的中點，點E,F分別在AB.AC上，且AE＝CF．求證：△DEF是等腰直角三角形．分析由點D是等腰三角形底邊BC的中點，容易聯(lián)想作底邊上的中線，利用等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)證明．證明如圖1，連接AD．∵AB＝AC，∠A＝900，∴∠B＝∠C＝45°．∵AB＝AC，點D是BC的中點，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠A＝45°．∴∠EAD＝∠C，∠CAD＝∠C．∴AD＝CD．又AE＝CF，∴△AED≌△CFD，∴DE＝DF，∠1＝∠2．∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠2＋∠3＝90°．∴∠1＋∠3＝90°，即∠EDF＝90°．∴△DEF是等腰直角三角形．二、作腰或底的平行線例2如圖2，在等邊△ABC的邊BC上任取一點D，作∠ADE＝60°，DE交∠C的外角平分線于點E，判斷△ADE的形狀，并證明你的結(jié)論．分析猜想△ADE是等邊三角形．由∠CDE＋∠ADE＝∠ADC＝∠BAD＋∠B可得∠CDE＝∠BAD．要證DE＝AD，可先證DE所在的△DEC與AD所在的△ABD全等，而由已知可知，∠DCE＝120°，∠ADB<120°，顯然兩個三角形不全等，而且△ABD比△DEC大，所以可以嘗試在大△ABD中截出一個三角形和△DEC全等．過點D作DG∥AC，則可達到目的．解△ADE是等邊三角形．如圖2，過點D作DG∥AC交AB于點G，則∠BGD＝∠BAC．∠BDG＝∠BCA．∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC．∠BAC＝∠BCA＝∠B＝60°．∴∠BCD＝∠BDG＝60°，∴BG＝BD．∴△ADE是等邊三角形．三、作以底或腰為邊的等邊三角形例3如圖3，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝40°，點P為三角形內(nèi)一點，且∠PCA＝∠PAB＝20°．求∠PBC的度數(shù)．分析由圖中的40°＋20°＝60°，聯(lián)想到等邊三角形．于是以某一邊為邊作等邊三角形．如圖3，以等腰△CAP的底AP為邊在點C一側(cè)作等邊△APD，連接CD，則AP＝AD＝PD．∠DAP＝∠DPA＝60°∴∠DAC=∠DPC＝180°－60°＝20°＝∠PAB．注：例3還有以下作等邊三角形的方法．①以底BC為邊在點A一側(cè)作等邊△BCD，連接AD；②以腰AC為邊在點B－側(cè)作等邊△ACD，連接BD．以等腰三角形的底或腰為邊作等邊三角形是常用的輔助線，練習中的第3題也可以用這兩種方法求解．四、將以腰為邊的一個三角形繞頂角的頂點旋轉(zhuǎn)例4如圖4，在△ABC中，點P是△ABC內(nèi)一點，且∠APB>∠APC．求證：PC>PB．分析要證PC>PB，自然想到證∠PBC>∠PCB．但是“∠APB>∠APC”這個條件用不上，所以將∠APB