中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：利用坐標(biāo)法解決某些確定圖形頂點(diǎn)位置的問(wèn)題

利用坐標(biāo)法解決某些確定圖形頂點(diǎn)位置的問(wèn)題我們知道幾何圖形中的等腰三角形、直角三角形、平行四邊形、梯形等，都有其獨(dú)特的幾何性質(zhì)，在直角坐標(biāo)系中，這些性質(zhì)都可以用代數(shù)形式表示出來(lái)，從而可利用坐標(biāo)法解決某些確定圖形頂點(diǎn)位置的問(wèn)題．一、計(jì)算距離，找等腰三角形頂點(diǎn)例1如圖1，拋物線y＝－x2＋2x＋m與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，頂點(diǎn)為D，拋物線對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)E．問(wèn)：直線DE右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PCD為等腰三角形？分析易求得拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3．由配方，得拋物線頂點(diǎn)為D(1，4)．當(dāng)點(diǎn)P在直線DE右側(cè)的拋物線上時(shí)，PC≠CD．若PD＝CD．則點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直線DE對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P1坐標(biāo)為(2，3)；若PC＝PD，設(shè)點(diǎn)P為(x，－x2＋2x＋3)．由PC2＝PD2，得x2＋3x＋1＝0．代入拋物線解析式求得點(diǎn)P2坐標(biāo)為(，)．二、逆用勾股定理，找直角三角形的頂點(diǎn)例2如圖2，直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(－1，0)，P(1，4)，如果點(diǎn)Q為x軸上一點(diǎn)，△APQ是直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．分析∠PAQ≠90°，而∠APQ、∠AQP都可能是直角．若∠APQ1＝90°，則PQ12＋AP2＝AQ12．設(shè)點(diǎn)Q2為(x，0)，則AQ1＝．PQ12＝(x－1)2＋16．又∴AP2＝22＋42＝20，∴(x－1)2＋16＋20＝(x＋1)2．∴x＝9，則點(diǎn)Q1坐標(biāo)為(9，0)；若∠AQ2P＝90°，則點(diǎn)Q2坐標(biāo)為(1，0)．三、利用對(duì)稱(chēng)性，求平行四邊形的頂點(diǎn)例3如圖3，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫(huà)圓，點(diǎn)P在⊙O上，且在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線，與x,y軸分別交于點(diǎn)A,B，P為AB中點(diǎn)．問(wèn)：在⊙O上是否存在點(diǎn)Q，使得以Q,O,A,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，試求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．分析作PC⊥OA，垂足為C，連結(jié)OP．則OP＝AP＝BP＝2．且∠AOP＝∠OAP＝45°．∴OC＝PC＝，點(diǎn)P坐標(biāo)為(，)．如果OP是對(duì)角線，則作OQ1∥AP，交⊙O于點(diǎn)Q1，連結(jié)PQ1(圖3(1))．由OQ1＝2，可知OQ1AP．∴四邊形Q1OAP是平行四邊形．這時(shí)PQ1⊥OB，則點(diǎn)Q1與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，坐標(biāo)為Q1(－，)；如果OA是對(duì)角線，則作OQ2PA，交⊙O于點(diǎn)Q2，連結(jié)AQ2(圖3(2))．由OQ2＝2，可知OQ2PA．∴四邊OQ2AP是平行四邊形．這時(shí)∠AOP＝∠OAP＝∠AOQ2，因此點(diǎn)Q2與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，坐標(biāo)為Q2(，－)．四、借助平移，分析圖形特征求頂點(diǎn)例4如圖4，直角坐標(biāo)系中，已知矩形OABC的頂點(diǎn)A(4，0)、C(0，－2)，直線y＝－x交邊BC于點(diǎn)D．(1)二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,D,O，求它的解析式；(2)在這個(gè)二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)M，使以O(shè),D,A,M為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？分析(1)點(diǎn)D坐標(biāo)為(3，－2)．所求的二次函數(shù)為；(2)如果DO為底邊，則平移直線DO，使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，得直線AM1的解析式為：y＝代入二次函數(shù)，解出x1＝4(舍去)，x2＝－1．∴點(diǎn)M1坐標(biāo)為(－1，)．這時(shí)，AD與M1O不平行，四邊形ODAM1為梯形；如果AO為底邊，則平移直線AO，使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，得直線DM2為：y＝－2(即直線BC)．同理