2023-2024學(xué)年吉林省長春市第十一高中數(shù)學(xué)高二年級上冊期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2023-2024學(xué)年吉林省長春市第十一高中數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.某學(xué)校高二級選擇“史政地”“史政生”和“史地生”組合的同學(xué)人數(shù)分別為240,120和60.現(xiàn)采用分層抽樣的方法選

出14位同學(xué)進行一項調(diào)查研究，貝！史政生”組合中選出的人數(shù)為（）

A.8B.6

C.4D.3

2.如圖，正四棱柱是由四個棱長為1的小正方體組成的，A3是它的一條側(cè)棱，匕鳥,…鳥是它的上底面上其余的八

個點，則集合卜,=4"44,，=1,2,..,8｝的元素個數(shù)（）

A.lB.2

C.4D.8

3.某公司有1000名員工，其中：高層管理人員為50名，屬于高收入者；中層管理人員為150名，屬于中等收入者;

一般員工為800名，屬于低收入者.要對這個公司員工的收入情況進行調(diào)查，欲抽取100名員工，應(yīng)當(dāng)抽取的一般員

工人數(shù)為（）

A.100B.15

C.80D.50

4.已知光6R,則條件l|vl”是條件“x<2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件.

5.在等差數(shù)列｛4｝中，%=4,且％,。3，49,構(gòu)成等比數(shù)列，則公差（）

A.0或2B.2

C.0D.0或一2

6.在區(qū)間［1,5］內(nèi)隨機取一個數(shù)加，則方程機2爐+4y=1表示焦點在y軸上的橢圓的概率是

7.若直線y=Ax+l與圓x2+y2=i相交于p、。兩點，且NPOQ=90（其中。為原點），則左的值為（）

A.72B.1

C.+V2D.±l

8.函數(shù)/（x）=Ax-Inx在［1,e］上單調(diào)遞增，則上的取值范圍是（）

A［1,+co）B.1一,+℃j

C.D.（l,+co）

9.已知命題p:X/%￡R,Q%2+2X+3〉。是真命題，那么。的取值范圍是（）

1八1

A.a<—B.O<a<—

33

1,1

C.a>—D.a工一

33

10.如圖，在長方體ABCB—A4GR中，AB=BC=2,CQ=1,則直線和四。夾角余弦值為（）

73RA/3

33

一些D.好

55

x

11.已知函數(shù)/(x)=x+3,g(x)=2+a,若^,1,3x2e[2,3],使得/(須)之g(%2)，則實數(shù)。的取值

X_乙_

范圍是()

A.(-co,l]B.[L+OO)

C.(-<?,2]D.[2,+CO)

12.已知函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(-8,0)B.((),；)

C.(0,1)D.(0,+8)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.經(jīng)過兩直線h：x-2y+4=0和Z2：x+y—2=0的交點P,且與直線Z3：3比-4y+5=0垂直的直線/的方程為

14.已知在△ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若△ABC的面積為2,A3邊上中線的長為a.且

b—acosC+csinA,則^ABC外接圓的面積為

15.已知正項等比數(shù)列｛a,｝的前"項和為S“，％=1且S3=13,則為=

16.已知點在直線3x-4y-10=0上，則后方的最小值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知橢圓C：W+J=l(a〉6〉0)的離心率為孚，且點P[1,等1在C上.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)耳，居為橢圓C的左，右焦點，過右焦點工的直線/交橢圓C于A,B兩點，若.A3片內(nèi)切圓的半徑為Y3,

4

求直線/的方程.

18.(12分)已知直線/：2/nx-y-8%一3=0和圓C：x2+/-6x+12j+20=0.

(1)機6R時，證明/與C總相交；

(2)切取何值時，/被C截得的弦長最短？求此弦長

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=e*-ax-l.

(1)當(dāng)a=l時，求/(%)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(2)若在光目0,茁)上有解，求實數(shù)a的取值范圍.

20.(12分)已知等差數(shù)列｛4｝的公差d/0,前3項和S3=9,且。1，%,火成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)若a=an,求數(shù)列｛bn｝的前n項和Tn.

22

21.(12分)雙曲線Cj-斗=l(a>0,6>0)的離心率為百，虛軸的長為4.

ab

(1)求a力的值及雙曲線C的漸近線方程；

(2)直線y=2與雙曲線C相交于互異兩點，求左的取值范圍.

22.(10分)如圖，在四棱錐S-ABCD中,SA_L底面ABCD,底面A3C。是梯形,其中AD//BC,AD=-BC,AD1AB,

2

且AD=1,SA=AB=2.

(1)求四棱錐S-A3c。的側(cè)面積；

(2)求平面SCZ)與平面SAB的夾角的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】根據(jù)題意求得抽樣比，再求“史政生”組合中抽取的人數(shù)即可.

141

【詳解】根據(jù)題意，分層抽樣的抽樣比為--------...-,

240+120+6030

故從“史政生”組合120中，抽取的人數(shù)時120x2=4人.

故選：C.

2、A

【解析】用空間直角坐標(biāo)系看正四棱柱，根據(jù)向量數(shù)量積進行計算即可.

【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系，A為原點，正四棱柱A的三個邊的方向分別為X軸、y軸和看z軸,

如右圖示

)(0,0,0),B(o,o,l),設(shè)以色，力,zj

則

AB?AR=(0X)4),鵬二入)=琳=，

所以集合[x\x=AB-APi,i=l,2,...,8]={1},元素個數(shù)為1.

故選：A.

3、C

【解析】按照比例關(guān)系，分層抽取.

【詳解】由題意可知100X媽_=80,

1000

所以應(yīng)當(dāng)抽取的一般員工人數(shù)為80.

故選:C

4、A

【解析】若命題,則〃是g的充分不必要條件，g是P的必要不充分條件

【詳解】因為卜―1|<1,所以0〈尤<2,所以0<x<2nx<2.

故選：A

5、A

【解析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項公式建立方程，可解得公差d得選項.

【詳解】解：因為在等差數(shù)列{4}中，%=4,且％,。3，。9,構(gòu)成等比數(shù)列，所以為2=。囚9,即

(w+d)2=3-d)(a2+7d)，

所以(4+dy=(4—d)(4+7d),解得d=O或2,

故選：A.

6、D

【解析】若方程加2%2+4y2=i表示焦點在y軸上的橢圓，則加2>4,解得機>2,2<m<5，故方程

5-23

〃“+4y2=i表示焦點在y軸上的橢圓的概率是3r“故選口

7、D

【解析】分析出△POQ為等腰直角三角形，可得出原點。到直線R2的距離，利用點到直線的距離公式可得出關(guān)于左

的等式，由此可解得左的值.

【詳解】圓爐+丁2=1的圓心為原點。，由于NPOQ=90且|。尸|=|。。|=1,

所以，△POQ為等腰直角三角形，且圓心。到直線尸。的距離為4=|0耳sin45=日，

由點到直線的距離公式可得d=^—=立，解得左=土1.

故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用圓周角求參數(shù)，解題的關(guān)鍵在于求出弦心距，再利用點到直線的距離公式列方程

求解參數(shù).

8、A

【解析】對函數(shù)/(無)求導(dǎo)，由于函數(shù)/(%)在給定區(qū)間上單調(diào)遞增，故/?x)>0恒成立.

【詳解】由題意可得，-e-Jf'(x)^k-->Q,k>-,k31.

xeXX

故選:A

9、C

【解析】依據(jù)題意列出關(guān)于。的不等式，即可求得。的取值范圍.

3一

【詳解】當(dāng)〃=0時，依2+2%+3=2%+3>0僅當(dāng)%>一不時成立，不符合題意;

2

當(dāng)時，若WRM/+2%+3>0成立，

〃〉0

則!22—4x3a<0解之得^>—

3

綜上，a取值范圍是a>!

3

故選：C

10、D

【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出AR的坐標(biāo)，由空間向量夾角公式即可求解.

【詳解】如圖：以。為原點，分別以DA,DC,所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則。(0,0,0),

4(2,0,0),R(0,0,1),4(2,2』),

所以叫=(一2,0,1),B,D=(-2,-2,-l),

/fnNAD.B.D4-1A/5

所以監(jiān)”阿麗、5xj4+4+廣彳'

所以直線AD1和耳。夾角的余弦值為*,

故選：D.

【解析】由定義證明函數(shù)/(x)的單調(diào)性，再由函數(shù)不等式恒能成立的性質(zhì)得出/(x)*＞,從而得出實數(shù)。的

取值范圍.

【詳解】任取，,，玉＜々＜1，〃石—百夕

2番％2X1X2

X]<%,：<X,x2<1

.-./(x,)-/(x2)>0,/(^)>/(x2)

41

即函數(shù)/(x)=x+—在-,1上單調(diào)遞減，/(x)min=/(l)=5

X_乙_

gMin=g(2)=4+a

若Vx”,3x2e[2,3],使得/(石”8同)，則/⑴皿2g(EU

即5..4+。,〃VI

故選：A

【點睛】結(jié)論點睛：本題考查不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化時要注意全稱量詞與存在量

詞對題意的影響.等價轉(zhuǎn)化如下：

(1)VX]€M,eN,使得/X)2g(W)成立等價于/(X)min2g(X)min

⑵VX]eM,V%eN,不等式/(占)，g(%)恒成立等價于2g(x)max

⑶*1

eA/,eN,使得f(^)》g(x2)成立等價于/(x)max>g(x)max

(4)3^eAf,玉eN,使得/(%,)》g(x2)成立等價于/(%)max>gO).

12、B

【解析】函數(shù)f(x)=x(Inx-ax),貝！|f(x)=lnx-ax+x(--a)=lnx-2ax+l,

x

令f'(x)=lnx-2ax+l=0得lnx=2ax-1,

函數(shù)f(x)=x(Inx-ax)有兩個極值點，等價于F(x)=lnx-2ax+l有兩個零點，

等價于函數(shù)y=lnx與y=2ax-1的圖象有兩個交點，

在同一個坐標(biāo)系中作出它們的圖象(如圖)

當(dāng)時,直線y=2ax-1與y=lnx的圖象相切，

由圖可知，當(dāng)OVaV、時，y=lnx與y=2ax-1的圖象有兩個交點

則實數(shù)a的取值范圍是(0,

故選B

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、4x+3j—6=0

【解析】直接求出兩直線川%-2y+4=0和勿x+y-2=0的交點P的坐標(biāo)，求出直線的斜率，然后求出所求直線方程

x-2y+4=0

【詳解】由方程組。八可得尸（0，2）

x+y-2=Q

?4

???山3,:?k尸——

3

4

???直線，的方程為y-2=-

即4x+3y—6=0

故答案為：4x+3j—6=0

14>2?或5]

【解析】由已知，結(jié)合正弦定理邊角關(guān)系及三角形內(nèi)角的性質(zhì)可得A=45。，再根據(jù)三角形面積公式、余弦定理列方程

求邊長從c,應(yīng)用余弦定理求邊長用根據(jù)正弦定理求外接圓半徑，再用圓的面積公式求面積.

【詳解】由題設(shè)及正弦定理邊角關(guān)系有sin5=sinAcosC+sinCsinA,又A+JB+C=?,

:.sin5=sin(A+C)=sinAcosC+sinCsinA,

/.sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinCsinA,

:.cosAsinC=sinCsinA.又0°<CA<180°,

AtanA=l,即A=45。

又據(jù)題意，得SABC=gxbxcxsin45°=2,且(0了=0?—2xbxgcxcos45°,

b=2[b=y/2i--------------------------------------

虛或jc—4，故4=2或〃=夜y+42—2x&x4xcos45°=屈，

.?.△ABC外接圓的半徑氏=」^義工=應(yīng)或R=x!=石，

sm45°2sin4502

△ABC外接圓的面積為2兀或5萬

故答案為：2?或5萬

15、3”T

【解析】根據(jù)給定條件求出正項等比數(shù)列｛凡｝的公比即可計算作答.

【詳解】設(shè)正項等比數(shù)列｛?！埃墓葹閝①>0),依題意，S3=l+q+/=i3,即/+q-12=0,而q>0,解

得4=3,

所以%=3"一.

故答案為：3〃T

16、2

【解析】由已知可用〃表示匕，代入所求式子后，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求

【詳解】解：由題意得3a-助=10,即〃=4絲52+"10,

匚G、[272(4"+10)27225k+800+100

所以Q+b=--------—+Z?2=--------------------,

99

Q

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)6=-二時，上式取得最小值4,

故1片+方的最小值2

故答案為：2

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

r2

17、(1)——+)2=1

2

(2)x+-Jly-1=0x-A/2y-1=0.

【解析】(1)根據(jù)離心率可得仇。的關(guān)系，再將尸的坐標(biāo)代入方程后可求從而可得橢圓的方程.

⑵設(shè)直線/的方程為尤=h+1，4(%,%)，5(%2，%)，結(jié)合一人跳；內(nèi)切圓的半徑為手可得卜―%|=弓，聯(lián)立

直線方程和橢圓方程，消元后結(jié)合韋達定理可得關(guān)于，的方程，求出其解后可得直線方程.

【小問1詳解】

因為橢圓的離心率為與,故可設(shè)a=2k,c=42k,b=叵(左＞0),

故橢圓方程為工+二=1,代入尸1，嚴(yán)得」T+=故左2=3，

4k②2k2[2)4匕4K2

故橢圓方程為：—+/=1.

2

【小問2詳解】

A3G的周長為4a=4力，故SAABF=1x4應(yīng)x3=?5.

1242

設(shè)A(%,%),5(%2，%)，

由題設(shè)可得直線/與左軸不重合，故可設(shè)直線％=h+1,

則=；義2義卜一％|=21一%|=手，

x=ty+l/、。

由2「2°可得9+1+2曠=2,

x+Zy=2

整理得至U(r+2)/+2?—1=0,此時A=8〃+8>0,

故瓜_%|=2/：^^=手，解得/=±/，

18、(1)證明見解析；(2)當(dāng)〃2=-!時，/被C截得的弦長最短，最短弦長為2折?.

6

【解析】(1)求出直線/的定點，進而判斷定點和圓C的位置關(guān)系，最后得到答案；

(2)當(dāng)圓心C到直線，的距離最大時，弦長最短，進而求出機，然后根據(jù)勾股定理求出弦長.

【詳解】(1)直線/的方程可化為y+3=2m(x—4),貝過定點P(4,-3),

由于42+(-3)2-6X4+12X(-3)+20=-15<0,

所以點尸在圓內(nèi)，故直線/與圓C總相交

(2)圓的C方程可化為:(x-3)2+(j+6)2=25,

如圖所示，當(dāng)圓心C(3,-6)到直線/的距離最大時，弦A8的長度最短，

則2根=—2=%=—工

36

在直角△APC中，\PC\=y/lQ,|AC|=5,所以|A8|=2j|—|PC［=2/.

故當(dāng)機=一，時，/被C截得的弦長最短，最短弦長為

19、（1）在（-8,0）上單調(diào)遞減，在（0,+。）上單調(diào)遞增，函數(shù)/（九）有極小值0,無極大值

（2）a>e—2

【解析】（D利用導(dǎo)數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后由極值的定義求解即可；

（2）分％=0和1>0兩種情況分析求解，當(dāng)％>0時，不等式變形為。…土-（％+與在％可。，+8）上有解，構(gòu)造函

XX

數(shù)g（X）=C—（X+3,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性，求解g（x）的最小值，即可得到答案

XX

【小問1詳解】

當(dāng)a=l時，f(x)=ex-x-1,所以r(尤)=，—1

當(dāng)x<0時/''（力<0；當(dāng)%>0時/''（力>0,

所以了（%）在（-。,€））上單調(diào)遞減，在（0,+。）上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)％=0時函數(shù)/（九）有極小值/（0）=0,無極大值.

【小問2詳解】

因為/（九）〈尤2在［0,+。）上有解,

所以狽_1<0在［0,+”）上有解,

當(dāng)％=0時，不等式成立，此時

當(dāng)%>0時J—卜+工)在(0,+8)上有解,

nl”\ex（x-l）02]]_（1）[-（川）]

令g（x）=—貝llg（X）=12l

XJC

由（1）知x>0時/（x）>/（o）=o,即/—（%+1）>0,

當(dāng)0<x<l時g'(x)<0；當(dāng)%>1時g'(x)>0,

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)x=l時，g(_xL=e-2,所以a?e-2,

綜上可知，實數(shù)”的取值范圍是a?e-2.

點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題或有解問題的策略為：通常構(gòu)造新函數(shù)或參變量分離，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的

單調(diào)性，求出最值從而求得參數(shù)的取值范圍

n

20>（1）an=2n-l（2）Tn=（2n-3）?2+3

【解析】(D由$3=9,且%,。2，生成等比數(shù)列列式求解出4和2,然后寫出耳；(2)由2=2"T%=(2〃—1)2"T,

用錯位相減法求和即可.

【詳解】(1):S3=q+(q+d)+(4+2d)=9,q+d=3①

又生成等比數(shù)列，+d『=q(q+4d),②

,：d^Q,由①②解得：％=1,d=2,

4=%-2n-l

（2）?.”“=2ia”=（2”-1）2”T,7?4+4+..+%+2，

.*.7；=1X2°+3X21+5X22++（2?-3）2,,-2+（2W-1）2,,_1

123n1n

2Tn=lx2+3x2+5x2++（2n-3）2-+（2n-l）2

兩式相減，得—<=1+22+23++2"-（2n-l）2n

：.Tn=（2n-3yiT+3

【點睛】本題考查了等差數(shù)列基本量的計算，錯位相減法求和，屬于中檔題.

21、(1)a=l,b=2,雙曲線。的漸近線方程為x—y=0和x+y=0；

(2)(-2A/2,-2)o(-2,2)o(2,2A/2).

【解析】(1)根據(jù)雙曲線的離心率公式，結(jié)合虛軸長的定義進行求解即可；

(2)將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用方程解的個數(shù)進行求解即可.

【小問1詳解】

22

因為雙曲線C:=-3=1(。>>0)的離心率為75，

ab

所以有