2023-2024學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市揚中第二高級中學(xué)高三（上）診斷數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市揚中第二高級中學(xué)高三（上）診斷

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知集合M={x∣咎≤0},N={x∣(∣)x≤3),則MnN=()

A.[-4,-l]B.[-4z3)C.[-1,3)D.[-1,3]

2,已知集合4=[x?x2—%—6>0},B=(x∣0<%+α<4},若"x∈4"是"XE8”的必

要不充分條件，則實數(shù)Q的取值范圍是()

A.(-3,6)B.[―3,6]

C.(一8,-3)U(6,+∞)D.(-8,-3]U[6,+∞)

3.已知隨機變量S服從正態(tài)分布N(I,d),若P(SV4)=0.9,則P(-2Vf<1)=()

A.0.2B,0.3C.0.4D,0.6

千多年歷史，蘊含著中華文化的豐富內(nèi)涵.在某次國際比賽中，中國派出包含甲、乙在內(nèi)的5位

棋手參加比賽，他們分成兩個小組，其中一個小組有3位，另外一個小組有2位，則甲和乙不

在同一個小組的概率為（）

6.定義：“各位數(shù)字之和為7的四位數(shù)叫好運數(shù)”,比如IOO6,2203,則所有好運數(shù)的個

數(shù)為()

A.82B.83C.84D.85

7.若函數(shù)/(x)=αbιx+一-白(α力0)既有極大值也有極小值，則α6()

A.(0,1)B.(0,3)C.(0,1)U(9,+8)D.(0,3)∪(9,+∞)

8.已知a=(1+，/=(1+Jr,c=32，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則a,b,C的大小關(guān)系

是()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.下列說法正確的是()

A.若函數(shù)人%)的定義域為[0,2],則函數(shù)f(2x)的定義域為[0,1]

B.y=G)-X'+I的最大值為:

C.y=震的圖象關(guān)于(一2,1)成中心對稱

2

D.函數(shù)/^(x)=log2｛x-4X-5)的減區(qū)間是(-8,2)

10.已知等比數(shù)列｛an｝的前n項和為S71,公比q>1,n∈∕V+,貝∣J()

A?｛an｝一定是遞增數(shù)列B.｛arι｝可能是遞增數(shù)列也可能是遞減數(shù)列

C.a3,a7,由1仍成等比D.Vn∈N+,Sn≠O

11.已知2乂=3,y=2log32,則()

A.%<IB.xy-2C.X>yD.^÷??√-2

12.水車在古代是進行灌溉引水的工具，亦稱“水轉(zhuǎn)筒車”，是一種以水流作動力，取水灌

田的工具.據(jù)史料記載，水車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有IOOO多年的歷史，是人類的一項古

老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征，如圖是一個半徑為R的水車，一個水斗從

點4(3,-343)出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時120秒.經(jīng)過t秒后，水

斗旋轉(zhuǎn)到P點，設(shè)點P的坐標為(x,y),其縱坐標滿足y=f(t)=RSin(cot+0)(t≥0,3>

O,∣W∣<φ,則下列敘述正確的是()

π

Aa"=-

B.當(dāng)t∈(0,60］時，函數(shù)y=/(t)單調(diào)遞增

C.當(dāng)t€(0,60］時，∣∕(t)∣的最大值為3門

D.當(dāng)t=100?,?PA?=6

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)0.618

就是黃金分割，這是一個偉大的發(fā)現(xiàn)，這一數(shù)值也表示為α=2s譏18。，若α2+b=4,則

1-2COS227O_

--=---------'

14.在AABC中，。是線段BC上的動點(不包括端點)，滿足而=m四+τι而，則'+：的最

小值是.

15.在圓/+y2-2χ-6y=0內(nèi)，過點E(0,l)的最長弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形

ABCD的面積為.

16.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域為R,滿足f(x)=g∕(x+1),且當(dāng)Xe(0,1］時，=x2-x,則

求=J心算)的值為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

在AABC中，角4,B,C的對邊分別是α,b,c,△ABC的面積為S.

現(xiàn)有以下三個條件：

(Γ)(2c+b)cosA+acosB=0；(2)sin2B+sin2C—sin27l+SinBsinC=0；@a2—b2—c2=

~5?

請從以上三個條件中選擇一個填到下面問題中的橫線上，并求解.

已知向量沆=(4SinX,4√^^),元=(COSX,SiMx),函數(shù)/^(x)=布?元一2，^，在AABC中，a=

∕φ,且一，求2b+c的取值范圍.

18.(本小題12.0分)

已知等差數(shù)列｛an｝的前n項和為無,即=2,S4=26.正項等比數(shù)列｛bn｝中,瓦=2,b2+b3=12.

(1)求｛a7t｝與｛%｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛即%｝的前Tl項和Tn.

19.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐S-ABCD中，四邊形ABCO是矩形，ASAD是等邊三角形，平面S4D1平面

ABCD,AB=1,P為棱力。的中點，四棱錐S-ABCD的體積為容.

(1)若E為棱￡4的中點，F(xiàn)為棱SB的中點，求證：平面PEF〃平面SCD.

(2)在棱S4上是否存在點M,使得平面PMB與平面SAD所成銳二面角的余弦值為誓？若存在,

指出點M的位置；若不存在，請說明理由.

20.(本小題12.0分)

某籃球隊為提高隊員訓(xùn)練的積極性，進行小組投籃游戲；每個小組由兩名隊員組成，隊員甲

與隊員乙組成一個小組.游戲規(guī)則如下：每個小組的兩名隊員在每輪游戲中分別投籃兩次，每

小組投進的次數(shù)之和不少于3次的稱為“神投小組”已知甲乙兩名隊員投進籃球的概率分別

為Pl，P2-

(1)若Pl=；,P2=|,求他們在第一輪游戲獲得“神投小組”稱號的概率；

(2)已知Pi+P2='，則：

①Pl，P2取何值時能使得甲、乙兩名隊員在一輪游戲中獲得“神投小組”稱號的概率最大？

并求出此時的最大概率；

②在第①問的前提下，若甲、乙兩名隊員想要獲得297次“神投小組”的稱號，則他們平均

要進行多少輪游戲？

21.(本小題12.0分)

已知雙曲線C：W-I=I(α>0,b>0)的左、右頂點分別為4(—L0)，8(1,0),離心率為2.

(1)過右焦點F的直線［與雙曲線C交于P,Q兩點，月.ABPQ的面積是亨，求直線，的方程;

(2)設(shè)點M,N在雙曲線C的右支上，直線AM、BN在y軸上的截距之比為1：3,證明：直線MN

過定點.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)∕^(x)=gαχ2—Inx.

(1)若。=1,求/(%)的極值；

(H)若方程/(%)=1在區(qū)間口,2］上有解，求實數(shù)α的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：丫M=[-4,3),N=[-l,+∞),

MCN=[-1,3).

故選：C.

先化簡，再運算即可得解.

本題考查集合的基本運算，屬基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：集合4={x∣χ2一%—6>0}={x∣x>3或久<—2},B-(x∣0<x+α<4}={x∣-

a<X<4—a],

由于“X64”是“*∈B"的必要不充分條件，

即B星4

所以有4一α≤-2或-α≥3,解得α≥6或α≤-3,

.??實數(shù)α的取值范圍是(一8,—3]U[6,+∞).

故選：D.

直接利用不等式的解法及應(yīng)用，充分條件和必要條件的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查的知識要點：不等式的解法及應(yīng)用，充分條件和必要條件，主要考查學(xué)生的運算能力和

數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個量〃和的應(yīng)用，考查曲

(T

線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.

由已知求得PG>4)=P(f<-2)=0.1,再由P(-2<<<1)=∣P(-2<ξ<4)得答案.

【解答】

解：???隨機變量f服從正態(tài)分布N(IH2),

???正態(tài)分布曲線的對稱軸方程為％=1,

由P&<4)=0.9,得P(f>4)=P(ξ<-2)=0.1,

則P(-2<<<1)=gp(-2<f<4)=?×0.8=0.4.

故選：C.

4.【答案】D

【解析】解：因為函數(shù)〃%）的定義域為R，且/■（—χ）=q*=蕓;=一］苔=一/（辦

所以函數(shù)/（x）是奇函數(shù)，故可排除4、C；

又/（1）=宰2=-4<0,故可排除B；

14+13

故選：D.

先確定函數(shù)的奇偶性，排除AC選項，再特殊函數(shù)值，比較排除選項可得答案.

本題主要考查了函數(shù)圖象的變換，考查了函數(shù)奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：這5名棋手分別記為：甲，乙，4B,C,分組情況有：

（甲乙4,BC）,（甲乙B,AC）,（甲乙C,AB）,（甲力8,乙C）,（甲4C,乙B）

（甲BC,乙4）,（乙4B,甲C）,（乙AC,甲B）,（乙BC,甲4）,（ABC,甲乙）共10種，

其中甲和乙在同一人組的有4種，分別為：（甲乙4BC）,（甲乙B,AQ,（甲乙C,AB）,{ABC,

甲乙），共4種，

所以甲和乙不在同一個小組的概率為I-A=|.

故選：C.

這5名棋手分別記為：甲，乙，A,B,C,利用列舉法寫出基本事件，最后利用古典概型的概率公

式即可求解.

本題主要考查古典概型的問題，熟記概率的計算公式即可，屬于?？碱}型.

6.【答案】C

【解析】解：因為各位數(shù)字之和為7的四位數(shù)叫幸運數(shù)，所以按首位數(shù)字分別計算,

當(dāng)首位數(shù)字為1,則剩余三位數(shù)分別是5,1,0；6,0,0：1,1,4；4,2,0；3,2,1；3,3,

0；2,2,2,共有4g+3+3+力g+Ag+3+1=28個幸運數(shù)；

當(dāng)首位數(shù)字為2,則剩余三位數(shù)分別是4,1,0；5,0,0；1,1,3；3,2,0；2,2,1,共有

用+3+3+禺+3=21個幸運數(shù);

當(dāng)首位數(shù)字為3,則剩余三位數(shù)分別是3,1,0；4,0,0；1,1,2：2,2,0,共有心+3+3+3=15

個幸運數(shù);

當(dāng)首位數(shù)字為4,則剩余三位數(shù)分別是2,1,0；3,0,0；1,1,1,共有+3+1=10個幸運

數(shù);

當(dāng)首位數(shù)字為5,則剩余三位數(shù)分別是1,1,0；2,0,0,共有3+3=6個幸運數(shù);

當(dāng)首位數(shù)字為6,則剩余三位數(shù)分別是1,0,0,共有3個幸運數(shù);

當(dāng)首位數(shù)字為7,則剩余三位數(shù)分別是0,0,0,共有1個幸運數(shù);

則共有1+3+6+10+15+21+28=84個幸運數(shù).

故選：C.

根據(jù)定義分類討論首位數(shù)字，再應(yīng)用計數(shù)原理計算即可.

本題主要考查分類計數(shù)原理的運用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

7.【答案】A

【解析】解：函數(shù)的定義域為(0,+8),/⑸=1_.+點=竺宏±1,

依題意，ɑ/-2%+1=0有兩個不相等的正根，設(shè)為%1，%2，

Δ=4—4a>0

%1+x2=^>0j

{X”2=→θ

解得0<α<L

故選:A.

對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，根據(jù)題意可得α/一2%+1=0有兩個不相等的正根，由此可得α的范圍.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解：對α,b,C兩邊取對數(shù)得:

Ina—eln(l+1),Inb=τr∕n(l+?),Inc=TIn(I+2),

令/(X)=皿［+X)(%>0),則「(X)=帚_：20+乃，

設(shè)g(x)=；JT-In(I+X),則g'(x)=-7?<°在(0,+8)上恒成立，

???g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

???g(χ)<g(o)=0，?,?f'(χ)<。，

???/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

又仇Q=/(?),Inb=/(?),Inc=f(2),且,<?<2,

???〃2)<磴<片)，

：.c<a<b,

故選：D.

先根據(jù)α,b,C的特點構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出大小.

本題考查利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬

中檔題.

9.【答案】AC

【解析】解：選項A,函數(shù)/(x)的定義域為［0,2］,由0≤2x≤2,解得0≤x≤l,

所以函數(shù)/(2x)的定義域為［0,1］,故選項A正確.

選項8,y=(∣)-^2+ι,因為-/+1≤1,所以由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得G)T.≥(

所以當(dāng)x=0時函數(shù)取得的最小值為：，故選項B不正確.

選項C,因為y=的對稱中心為(0,0),將函數(shù)y=-；的圖象向左平移2個單位，

再向上平移1個單位得到y(tǒng)=1-擊=露，對稱中心為(一2,1),故選項C正確.

選項。，y=/-4x-5為開口向上的二次函數(shù)，且/一4乂一5>0時,，解得或久>5,

所以當(dāng)x<—1時，y=/—4%—5單調(diào)遞減，當(dāng)X>5時，y=/一4%-5單調(diào)遞增，

結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)/(x)=/。92。2-鈦一5)的減區(qū)間是(-8,-1),故選項。錯誤.

故選：AC.

根據(jù)抽象函數(shù)定義域可判斷4根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷B,根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換判斷

C,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷出。即可?

本題考查了求抽象函數(shù)的定義域、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、值域，屬于中檔題.

10.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本題考查等比數(shù)列前n項和、等比數(shù)列的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及等比數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)依次分析選項是否正確，即可得答案.

【解答】

解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于4,當(dāng)由<0時，若q>l,｛a”｝為遞減數(shù)列，A錯誤，

對于B,已知q>l,當(dāng)％<0時，｛%l｝為遞減數(shù)列，當(dāng)%>0時，｛%l｝為遞增數(shù)列，8正確，

對于C,數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列，貝∣Jg,a7,a1】仍成等比，C正確，

對于D,等比數(shù)列｛%l｝中，q>1，則Sn=華沙，必有SnH0,。正確，

故選:BCD.

11.【答案】BCD

【解析】解：因為2'=3,

所以X=IOg23>log2√~δ=：，。出8=A錯誤；

又y=2log32,

則Xy=2/0032,logz3=2,8正確；

32

由％y=2及％>5可知y<于故x>y,C正確；

因為:+Al?+5?=bg32+幺og23≥2j]=q,

由于log32#；log23,等號無法取得，力正確.

故選：BCD.

由已知結(jié)合指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)化即對數(shù)運算性質(zhì)，基本不等式檢驗各選項即可判斷.

本題主要考查了指數(shù)與對數(shù)式的轉(zhuǎn)化，對數(shù)的運算性質(zhì)及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

12.【答案】AD

【解析】解：由題意可知，y=∕(x)的最小正周期為7=120,則3=奇=表,

如圖，

由題意，原問題轉(zhuǎn)化為P從4出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速運動，

4(3,—3仁)，^AOx∈(0,≡),.?.tan?A0x=√3,則4人。X=

且連接則一號

R=6,OP,NxOP=α>t-S?=/OUt?

根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，/=SinN久。P=Sin偌t-卞，

即y=Rsin喻t*)=6sm源"9

???φ=-故A正確：

當(dāng)0≤t≤60時，—絲色t-g≤<

???函數(shù)y=/(t)=6s譏篇”今在t∈(0,60］上不單調(diào)，故B錯誤;

當(dāng)0≤t≤60時,??.?t-≡=≡,即t=50時,

函數(shù)y=∕(t)=6s譏源t—9取得最大值6,.??∣f(t)∣的最大值為6,故C錯誤；

當(dāng)t=100時，y=esin(?^∣)=6si∏y=—3?√-3,此時x=6COS學(xué)=-3,

即P(-3,-3C),二∣P4∣=6,故。正確.

故選:AD.

由題意求出函數(shù)解析式，再由正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐一分析四個選項得答案.

本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，主要考查三角函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)，考查運算求解能力,

是中檔題.

13.【答案】-T

【解析】解：1*,a=2sinl8o,若α?+b=4,

.?.b=4—α2=4-4sin2180=4(1—sin2180)=4cos218°>

.1—2COS227O_1-2COS2270_—cos54o_—sin360_1

ay∕~b~2sinl8o√4cos218°-4s譏18°cosl8°-2sin36°-2*

故答案為：—?.

由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求b=4cos218。，然后利用降基公式，誘導(dǎo)公式，二倍角

的正弦函數(shù)公式化簡得答案.

本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，降某公式，誘導(dǎo)公式，二倍角的正弦函數(shù)公式在三角

函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】9

【解析】

【分析】

本題主要考查了向量共線定理及利用基本不等式求解最值，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)m+∏=1且利用1

的代換配湊符合要求的形式.由已知結(jié)合向量共線定理可知，τn+n=l且τn,n∈(0,1),從而有

1+-=(m+n)(?+-),展開后利用基本不等式即可求解.

τnnκyκτnτv

【解答】

解：由C是線段BC上的動點且滿足而=mAB+nAC

由向量共線定理可知，771+71=1且771,n∈(0,1),

則工+2=(τn+n)(1+S=5+-2-+-≥5+2I-.—=9,

mn'yvτnnymn^mn

當(dāng)且僅當(dāng)二=%且Tn+n=1即n=∣,Tn=9時取得最小值9.

mn33

故答案為：9

15.【答案】10√-2

【解析】

解：圓/+y2-2x—6y=O即(X-I)2+(y—3)2=10表示以MQ3)為圓心，以√10為半徑的

圓.

由圓的弦的性質(zhì)可得，最長的弦即圓的直徑，ZC的長為2「萬.

???點E((U),.?.ME=√1+4=√-5?

弦長BD最短時，弦BD和ME垂直,且經(jīng)過點E,此時，8。=2√MB2-ME2=2√10-5=2√^^5?

故四邊形ABCD的面積為"C×BD=IOS；

故答案為10，克.

16.【答案】一日

4

【解析】解：?.?函數(shù)/(X)的定義域為R,滿足/(χ)=:fQ+1)，

且當(dāng)％∈(0,1］時，/(x)=%2—%,

??√φ=φ2-^=-^

∕?=∕??+l)=2∕?=-i,

∕φ=∕(∣+D=2∕?=-l.

n?=∕(∣+i)=2"∣)=-2,

n?=%+i)=2/G)=-%

???∑Lι∕(?i)=(-?+(-|)+(-1)+(-2)+(-4)=-?.

故答案為：~~τ?

4

根據(jù)已知條件分別求出后)，/(I),f(|),用)，相加可得答案.

本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)與方程的綜合運用，考查運算求解能力，屬中檔題.

17.【答案】解：/(%)=m?n-2y∕~~3=4sinxcosx÷4√r-3sin2x-2√-3=2sin2x—2V~3cos2x=

4sin(2x-()，..?2分

所以Q=∕φ=4sin^=2√^^,…4分

①若(2c+b)cosA+acosB=0,則由正弦定理可得：2sinCcosA÷SinBcosA+SinAcosB=0,

即2sinCcos/+Sin(B+4)=2sinCcosA+SinC=0,

因為C為三角形內(nèi)角，SinC>0,可得C0S4=-：,因為4e(0,兀)，可得4=手

②若SiMB+siMc—siMa+s譏Bs譏C=0,由正弦定理可得:62+C2—α2+he=0,由余弦定

理可得CoS4="+c2-a2=—L因為力e(0,71),可得A=等.

2bc2?

(?)^a2—b2—C2=~y^5,則垓+?—=S=-^-^XgbCSirh4=—^4，所以

CosA=——7――=---sinA,可得Ca"4=—因為4€(0,ττ),可得力=亭…7分

2bc3?

工一,bca2√-3.

由正弦定理可得痂=嬴=訴=巨=4,

~2~

所以b=4sinBfc=4sinC,

因為B+C*,所以C=/一8,…8分

所以2b+c=8sinB+4sin(^—B)=8sinB+4(—cosB--sinB}=6sinB+2√^3cosB=

"3Sin(B+,...9分

因為O<B<g,所以*<B+*<al<sin(β÷2)<l,

所以2∕3<4qsin(B+?)<4「，即2b+c的取值范圍為(2√^,4√^)...12分

【解析】利用平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求函數(shù)解析式/(x)=4sin(2x-

》由己知可求a的值，若選①由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求CosA=-；，結(jié)合范圍

A∈(0,π),可得A=尊若選②由正弦定理，余弦定理可得COSa=-5結(jié)合范圍Ae(O,兀)，可得

A=與.若選③利用余弦定理，三角形的面積公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tanA=-q,

結(jié)合范圍Ae(O,兀)，可得A=亨，進而根據(jù)正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求2b+c=

4Csin(B+%),由0<B<g,可求范圍2<B+%<M進而根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可求其取值范

O?OOZ

圍.

本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，余弦定理，三角

形的面積公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中

檔題.

18.【答案】解：(1)因為己知等差數(shù)列｛%l｝的前般項和為多，α1=2,S4=26,設(shè)公差為d,

由已知得，4X2+寫d=26,解得d=3,

所以αrt=a1+(n—l)d=2+3(n-1)=3n—1,

即｛ajl｝通項公式為<?=3n-1；

因為正項等比數(shù)列｛bn｝中,b1=2,b2+b3=12,

設(shè)公比為q,所以2(q+q2)=12,所以q2+q—6=0,

解得q=2或q=-3(負值舍去)，

所以H=2%

n

(2)anbn=(3n-l)2,

所以7“=2×21+5×22+8×23+-+(3n-4)2"T+(3n-l)2n,

所以27；=2×22+5×23+8×24+…+(3n-4)2n+(3n-l)2n+1,

相減得，=2X21+3X22+3X23+3X24+.??+3?2n-(3n-l)2n+1=2x2】+

3x2?yT)一(3n_1)2n+ι,

n+1

所以TZl=(3n-4)2+8.

【解析】(1)由等差數(shù)列的通項公式與求和公式，等比數(shù)列的通項公式求解即可；

(2)由錯位相減法求解即可.

本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合計算以及錯位相減求和，屬于中檔題.

19.【答案】證明：(1)因為E、F分別是S4、SB的中點,

所以EF〃AB,在矩形4BCD中，AB//CD,

所以EF〃CD,COU平面SCD,EFC平面SC0,

:?EF〃平面SCD,

又因為E、P分別是SA、4。的中點，

所以EP〃SD,SnU平面SCD,EPU平面SCD,

???EP〃平面SC。，

又EFCEP=E,EF,EPU平面PEF,

所以平面PEF〃平面SCD；

解：(2)假設(shè)在棱SA上存在點M滿足題意，

在等邊三角形$4。中，P為40的中點，所以SPI4。，

又平面SAD_L平面力BCD,平面SADn平面ABCD=AD,SPU平面SAD,

所以SPI平面ABC。，所以SP是四棱錐S-ABCD的高，

設(shè)AD=m(τn>0),則SP=?m，S矩形ABCD=rn,

所以“極錐SfBeD=3矩形4BCD-SP=lm×^-m=號,所以m=2,

以點P為原點，PA,丙的方向分別為X,Z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則P(0,0,0),4(1,0,0),β(l,l,0),S(0,0,C),

所以超=(1,0,0),麗=(1,1,0)，AS=(-1,0,0)-

設(shè)祠=λAS=(-Λ,O,ΛΛ^Λ)(O≤Λ≤1).所以麗=PA+AM=(1-λ,O,√3Λ).

設(shè)平面PMB的-個法向量為/=(x,y,z),則但-PM=O-Mx+QZ=°,

(.n1?PB=X+y=O

所以取E=(√^Λ,-y∏λ,λ-1),

易知平面SAC的一個法向量為芯=(0,1,0),

所以ICOS(3,電)|=i???j=77總"1=?,3M+24_1=0,4=g或_1,

因為0≤Λ≤1,所以/1=4所以存在點M,位于AS的靠近點Z的三等分點處滿足題意.

【解析】⑴由題可得EP〃S。,EF//CD,即證；

⑵由題可得SPI平面4BCD,結(jié)合條件可得4D的長，建立空間直角坐標系，設(shè)施=4而，利用

條件列方程，即可解得.

本題考查了面面平行的證明和二面角的計算，屬于中檔題.

20.【答案】解：⑴每小組投進的次數(shù)之和不少于3次的稱為“神投小組”，

則可能的情況有①甲投中一次，乙投中兩次；②甲投中兩次，乙投中一次；③甲投中兩次，乙投

中兩次；

12

???Pl=2'P2=3,

??.他們在第一輪游戲獲得“神投小組”稱號的概率為C.0)2X(|)2+φ2XCXlX+φ2X

(V

(2)①由題意得他們在一輪游戲獲得“神投小組”稱號的概率P=C?PiX(1-p1)p2+p2χ

Cl×p2(i-P2)+P1×P2

=2P1P2(P1+Pz)-3pf×P2>

P1+P2=I'-P=?P1P2-3P1XP2'

又0≤Pi≤1，0≤p2≤1,則看≤pi≤1,

2

令Tn=p1p2=-pl+∣pf=-(Pi-1)+?.則m∈[?,?]<

12212

?P=y(m)=-?-m-3m2=-3((m-?)2+芯,

???P=?m-3加在修意上單調(diào)遞增,^pmaχ=y(±)=絳

此時Pl=P2=5；

②他們小組在H輪游戲中獲得“神投小組”稱號的次數(shù)f滿足6?),

297

.?.∏P=297,則n=∕=625,

625

平均要進行625輪游戲.

【解析】(1)可能的情況有①甲投中一次，乙投中兩次；②甲投中兩次，乙投中一次；③甲投中

兩次，乙投中兩次，利用已知計算可求概率；

(2)①由題意得他們在一輪游戲獲得“神投小組”稱號的概率P=2pιPzQι+p2)-3pf×p2,可

求最大概率;

②他們小組在n輪游戲中獲得“神投小組”稱號的次數(shù)f滿足f?Bd,畿），可求Ti的值.

本題考查離散型隨機變量的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想和分類討論思想，考查邏輯推理能力

和運算能力，屬中檔題.

(Q=I

21.【答案】解：(1)依題意，噲=2,

Ic2=α2+h2

a=1

解得b=?Γ~^,

c=2

所以雙曲線的方程為/一［=1，

設(shè)P(%I,ML),Q(%2,y2b直線&X=rny+2,

X=my+2

由2y2消去工得(3∕∏2-l)y2+i2my+9=0,顯然/>0,

%=］

?

則%+y2=??,%y2=5?τ

2,

則SABPQ=IIBFl?∣yι-y2∣=(yi+y2)-4y1y2=∣J晨E2-(??=?Xt∣

YXBPQ—

/與空=率，整理得9τ∏4-8τn2-l=0,

∣3mz-1|2

解得病=1或裙__：(舍去)，

，直線［的方程為％±y—2=0；

(2)證明：設(shè)AM,BN與y軸分別交于S,T,/(-L0)，B(L0),

設(shè)S(Ojo),則T(0,3M))，

:?k{M=^AS=牛=y°'^BN=^BT=-3y0,

???^BN~一3心的

設(shè)M(X3，丫3)，

則∕?A?kMB=???=懸=3=3,

人3丁?人3????“?

設(shè)直線MN的方程為％=my+t(m≠±yΓ~3),N(x4,y4y

{x=my+t

2

2y，化簡可得(3T∏2一l)y2+6znty+3產(chǎn)一3=O,

x-彳=1

6mt3t2—3

...%+%=一藐=，為％=漏=，

..??,?==_o

kKkK

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