河南省青桐鳴2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期6月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2025屆普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試高一聯(lián)考數(shù)學(xué)（人教版）全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】，對(duì)應(yīng)的復(fù)平面的坐標(biāo)為，在第四象限；故選：D.2.已知集合，，，若，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，可確定集合中的元素，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，，所以，所?故選：A3.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，其中a，，則（）A.， B.， C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)表達(dá)的唯一性求解.【詳解】，，故選：B.4.已知向量與的夾角為60°，其中，，則（）A.6 B.5 C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積公式，即可求解.【詳解】.故選：C5.某中學(xué)有高一學(xué)生1400人，高二學(xué)生1100人，高三學(xué)生1000人，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從該校學(xué)生中抽取若干人參加荒山綠化活動(dòng)，若抽取的高三學(xué)生人數(shù)比抽取的高二學(xué)生人數(shù)少5，則抽取的高一學(xué)生人數(shù)為（）A.60 B.65 C.70 D.75【答案】C【解析】【分析】設(shè)抽取的總?cè)藬?shù)為，借助比例分配及已知列式求解作答.【詳解】設(shè)從該校學(xué)生中抽取了人，以分層隨機(jī)抽樣的方式按照的比例抽取，則高二抽取的學(xué)生數(shù)為，高三抽取的學(xué)生數(shù)為，依題意，，解得，所以高一抽取的學(xué)生數(shù)為.故選：C6.已知甲同學(xué)在學(xué)校組織的荒山綠化活動(dòng)中，種植了A，B，C不同種類的樹(shù)各一棵，若A，B，C三種樹(shù)成活的概率分別為，，，三種樹(shù)成活與否互不影響，則該同學(xué)種植的3棵樹(shù)都成活的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，該同學(xué)種植的3棵樹(shù)都成活的概率為.故選：C7.已知，，，則實(shí)數(shù)a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)并判斷單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理推理判斷作答.【詳解】令函數(shù)，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，又，因此，令函數(shù)，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，，又，因此，所以.故選：D8.某車(chē)間生產(chǎn)一種六角螺母，每一個(gè)六角螺母是由棱長(zhǎng)和高均為的正六棱柱形的工件加工而成，需要在工件底面的中心處打一個(gè)圓柱形通孔（如圖），若通孔內(nèi)凹槽忽略不計(jì)，則六角螺母表面積的最大值為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)通孔的半徑為，利用棱柱、圓柱的表面積公式把六角螺母表面積表示為的函數(shù)，再求出函數(shù)最大值作答.【詳解】設(shè)通孔的半徑為，則六角螺母表面積，因此當(dāng)時(shí)，，所以六角螺母表面積的最大值為.故選：A二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.某校開(kāi)展豐富多彩的體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，并統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩位同學(xué)8次立定跳遠(yuǎn)比賽的成績(jī)（單位：米），得到如下折線圖：則下列說(shuō)法正確的是（）A.甲同學(xué)成績(jī)的極差大于乙同學(xué)成績(jī)的極差B.甲同學(xué)成績(jī)75%分位數(shù)大于乙同學(xué)成績(jī)的75%分位數(shù)C.甲同學(xué)成績(jī)的均值小于乙同學(xué)成績(jī)的均值D.甲同學(xué)成績(jī)的方差小于乙同學(xué)成績(jī)的方差【答案】AC【解析】【分析】觀察折線圖，求出極差、75%分位數(shù)、均值判斷ABC；由數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小判斷D作答.【詳解】甲同學(xué)成績(jī)的極差為0.35，乙同學(xué)成績(jī)的極差為，所以甲同學(xué)成績(jī)的極差大于乙同學(xué)成績(jī)的極差，A正確；甲同學(xué)成績(jī)按從小到大排序?yàn)椋?.30,2.35,2.40,2.50,2.50,2.50,2.60,2.65，由于，則甲同學(xué)成績(jī)的分位數(shù)為，乙同學(xué)成績(jī)按從小到大排序?yàn)椋?.40,2.40,2.50,2.50,2.50,2.55,2.55,2.60，由于，則乙同學(xué)成績(jī)的分位數(shù)為，所以甲同學(xué)成績(jī)的分位數(shù)等于乙同學(xué)成績(jī)的分位數(shù)，B錯(cuò)誤；甲同學(xué)成績(jī)的均值為，乙同學(xué)成績(jī)的均值為，所以，C正確；由折線圖可知，甲的成績(jī)波動(dòng)大，而乙的成績(jī)波動(dòng)小，所以甲同學(xué)成績(jī)的方差大于乙同學(xué)成績(jī)的方差，D錯(cuò)誤.故選：AC10.已知是上的增函數(shù)，是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則（）A.在上單調(diào)遞增 B.在上單調(diào)遞減C.在上單調(diào)遞增 D.在上單調(diào)遞減【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，即可判斷選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的判斷方法，可知，在上單調(diào)遞增，故A正確，B錯(cuò)誤；在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD11.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B. C. D.曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)給定的圖象，可得是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，再逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】觀察圖象知，，因此，即是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，與相鄰的另一條對(duì)稱軸為，于是函數(shù)的周期，A正確；，B錯(cuò)誤；由，得，而，則，C正確；觀察圖象知曲線不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，D錯(cuò)誤.故選：AC12.已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，，將沿AC翻折，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，如圖所示．記點(diǎn)P為翻折過(guò)程中點(diǎn)D的位置（不包含在點(diǎn)B處的位置），則下列結(jié)論正確的是（）A.無(wú)論點(diǎn)P在何位置，總有B.存在點(diǎn)P，使得C.當(dāng)時(shí)，M為PB上一點(diǎn)，則的最小值為D.當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，直線AB與平面PBC所成角的正弦值為【答案】ABD【解析】【分析】取的中點(diǎn)，證明平面判斷A；確定的軌跡，借助圓錐的特性判斷B；把展開(kāi)在同一平面內(nèi)，借助兩點(diǎn)間線段長(zhǎng)最短判斷C；確定體積最大時(shí)，點(diǎn)的位置，再借助等體積法求解判斷D作答.【詳解】依題意，都是正三角形，取的中點(diǎn)，則，又平面，于是平面，又平面，因此，正確；的軌跡是以為軸的兩個(gè)同底的圓錐底面半圓弧，顯然圓錐軸截面的頂角為，大于，則存在兩條母線互相垂直，即存在點(diǎn)P，使得，而翻折前，因此存在點(diǎn)，使得，B正確；當(dāng)時(shí)，三棱錐為正四面體，將展開(kāi)在同一平面內(nèi)，如圖，顯然四邊形菱形，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，C錯(cuò)誤；由選項(xiàng)A知，平面，，是二面角的平面角，三棱錐的體積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)平面，，等腰的面積為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，解得，設(shè)直線與平面所成角為，則，D正確.故選：ABD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.若復(fù)數(shù)，，為虛數(shù)單位，則______．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等得結(jié)論即可.【詳解】因?yàn)?，由?fù)數(shù)相等可得.故答案為：.14.設(shè)平面向量，，，若，則______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示及數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算作答.【詳解】向量，，，則，，由，得，解得，所以.故答案為：15.已知袋中有形狀、大小均相同的若干小球，其顏色有三種，分別為紅色、黑色、藍(lán)色．從袋中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，其中抽到紅色小球或黑色小球的概率為0.7，抽到黑色小球或藍(lán)色小球的概率為0.5，則抽到黑色小球的概率為_(kāi)_____．【答案】0.2##【解析】【分析】根據(jù)互斥事件加法公式求解.【詳解】設(shè)取到紅色小球?yàn)槭录嗀，取到黑色小球?yàn)槭录﨎，取到藍(lán)色小球?yàn)槭录﨏，則A，B，C為兩兩互斥事件，，；故答案為：0.2.16.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對(duì)許多幾何體的體積計(jì)算問(wèn)題有深入的研究，如方亭、圓亭、鱉臑、陽(yáng)馬等，其中圓亭是指圓臺(tái)．如圖，在圓亭的軸截面ABCD中，，點(diǎn)M為弧上一點(diǎn)，且，若，則______．【答案】2【解析】【分析】由圓臺(tái)軸截面特征可得，再結(jié)合圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征得，再利用余弦定理求解作答.【詳解】在等腰梯形中，，則，又，因此四邊形為平行四邊形，于是，連接，由，得，而，則，由平面，得，，在△中，由余弦定理得，即，解得，所以.故答案為：2四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知復(fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位）．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）設(shè)為復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，若不是純虛數(shù)，求m的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）把代入，利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算及復(fù)數(shù)模的意義求解作答.（2）利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)及，再利用純虛數(shù)的意義求解作答.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以.【小問(wèn)2詳解】依題意，，則，于是，當(dāng)是純虛數(shù)時(shí)，則，解得，則當(dāng)不是純虛數(shù)時(shí)，，所以的取值范圍為.18.已知平面向量，，且．（1）求的值；（2）若，求實(shí)數(shù)m的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及向量夾角公式求解作答.（2）利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，共線向量的坐標(biāo)表示求解作答.【小問(wèn)1詳解】由，得，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，，因?yàn)?，因此，解得，所以?shí)數(shù)m的值為.19.如圖，直四棱柱的底面為平行四邊形，E為與的交點(diǎn)．（1）證明：平面ACE；（2）設(shè)底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，若三棱錐的體積為2，求棱的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）3.【解析】【分析】（1）連接，證明，再利用線面平行的判定推理作答.（2）利用柱體、錐體的體積公式，結(jié)合割補(bǔ)法列式計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】在直四棱柱中，連接，與交于點(diǎn)，如圖，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，則為的中點(diǎn)，又四邊形為矩形，，則為的中點(diǎn)，連接，則為中位線，即，又平面平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】直四棱柱的底面是正方形，連接，而為的中點(diǎn)，則，解得，所以棱的長(zhǎng)為3.20.今年“雙碳”再次成為全國(guó)兩會(huì)的熱點(diǎn)詞匯．“雙碳”即我國(guó)提出力爭(zhēng)2030年前實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰，2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和．低碳生活引領(lǐng)生活時(shí)尚，新能源汽車(chē)成為當(dāng)前購(gòu)車(chē)的首選．某新能源汽車(chē)銷售部為了滿足廣大客戶對(duì)新能源汽車(chē)性能的需求，隨機(jī)抽取了500名用戶進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，根據(jù)統(tǒng)計(jì)情況，將他們的年齡按，，，，分組，并繪制出了部分頻率分布直方圖如圖所示．（1）請(qǐng)將頻率分布直方圖補(bǔ)充完整；（2）估計(jì)樣本中所有用戶的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值作代表）；（3）銷售部從年齡在，兩組的樣本中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取4人，再?gòu)倪@4人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行回訪，求這2人取自不同年齡區(qū)間的概率．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）45歲（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算缺少的部分的頻率，再補(bǔ)充頻率分布直方圖即可；（2）利用頻率分布直方圖中平均數(shù)估計(jì)的計(jì)算公式計(jì)算即可；（3）根據(jù)分層抽樣，計(jì)算年齡在內(nèi)的有1人,記為；年齡在內(nèi)的有3人，分別記為，由列舉法以及古典概型的計(jì)算公式計(jì)算可得答案.【小問(wèn)1詳解】年齡在的頻率為，補(bǔ)充完整的頻率分布直方圖如下圖：小問(wèn)2詳解】所有用戶的平均年齡的估計(jì)值為,故估計(jì)樣本中所有用戶的平均年齡為45歲.【小問(wèn)3詳解】由分層隨機(jī)抽樣的方法可知,抽取的4人中,年齡在內(nèi)的有1人,記為；年齡在內(nèi)的有3人，分別記為則從這4人中隨機(jī)抽取2人的所有基本事件有共6種；記這2人取自不同年齡區(qū)間為事件,其基本事件有,共3種，故這2人取自不同年齡區(qū)間的概率為.21.如圖，在平面四邊形ABCD中，，，AC與BD交于點(diǎn)E，且，．（1）設(shè)，，請(qǐng)用向量，分別表示向量，；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件求出，再根據(jù)圖形運(yùn)用向量的線性運(yùn)算規(guī)則求解；（2）建立直角坐標(biāo)系，運(yùn)用坐標(biāo)計(jì)算.【小問(wèn)1詳解】依題意：，則，，；，；【小問(wèn)2詳解】，以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BD為y軸建立