湖北省武漢市洪山區(qū)南片區(qū)教聯(lián)體2023-2024學(xué)年八年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）湖北省武漢市洪山區(qū)南片區(qū)教聯(lián)體2023-2024學(xué)年八年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）一、選擇題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分）下列各題均有四個(gè)備選答案，其中有且只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將正確答案的代號(hào)在答題卡上，將對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑.1．（3分）在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對(duì)稱圖形．下面4個(gè)漢字中，可以看作是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．（3a2）3＝9a6 B．a(chǎn)3÷a3＝a C．（a2）3＝a5 D．a(chǎn)2?a3＝a53．（3分）一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于72°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）A．5 B．6 C．7 D．84．（3分）等式a﹣b+c＝a﹣（），括號(hào)內(nèi)應(yīng)填上的項(xiàng)為（）A．b+c B．b﹣c C．﹣b+c D．﹣b﹣c5．（3分）下列因式分解結(jié)果正確的是（）A．﹣x3+4x＝﹣x（x2﹣4） B．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y） C．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣x（x+2）﹣1 D．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）6．（3分）已知n正整數(shù)，若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是2、8、3n，則滿足條件的n的值有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)7．（3分）如圖，將一副三角板的斜邊AB重合，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接CE，DE，已知CE＝2，則AD的長(zhǎng)是（）A．3 B．2.5 C．2 D．1.58．（3分）如圖，在△ABC中，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，BG、CG分別平分三角形的兩個(gè)外角∠EBC、∠FCB，則∠D和∠G的數(shù)量關(guān)系為（）A． B．∠D+∠G＝180° C． D．9．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C為原點(diǎn)，AC所在直線為y軸，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，在坐標(biāo)軸上取一點(diǎn)M使△MAB為等腰三角形，符合條件的M點(diǎn)有（）A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)10．（3分）如圖，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，連接AC，BD交于點(diǎn)M，連接OM．下列結(jié)論：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MB平分∠ABO．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分）下列各題不需要寫出解答過(guò)程，請(qǐng)將結(jié)論直接填寫在答題卷的指定位置.11．（3分）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，﹣2），則點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)是．12．（3分）計(jì)算：＝．13．（3分）若多項(xiàng)式x2+mx+16是一個(gè)完全平方式，則m＝．14．（3分）一個(gè)等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為12，6，a+2，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為．15．（3分）一個(gè)等邊三角形，一個(gè)直角三角形，一個(gè)等腰三角形按如圖方式擺放，其中∠3＝75°，則∠1+∠2＝．16．（3分）如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC，點(diǎn)C在x軸上，AB∥x軸．P為x軸上一點(diǎn)，Q為直線BC上一點(diǎn)，滿足∠APQ＝60°，則AP+OQ的最小值是．三、解下列各題（本大題共8小題，共72分）下列各題需要在答題卷的指定位置寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程、演算步驟或畫出圖形.17．（8分）計(jì)算：（1）（6x2﹣2x）÷2x；（2）．18．（8分）因式分解：（1）a2﹣9b2；（2）2a2﹣4ab+2b2．19．（8分）如圖，已知E、C是線段BF上兩點(diǎn)，滿足BE＝CF，A，D為線段上方兩點(diǎn)，連接AB，AC，DE，DF，滿足AB＝DE，AC＝DF．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）若五邊形ABFDG的面積為10，△GEC的面積為4，請(qǐng)直接寫出四邊形DGCF的面積：．20．（8分）如圖，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．（1）若∠A＝90°，求∠BEC的度數(shù)；（2）過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線與AB、AC分別相交于點(diǎn)D、F，若△ABC與△ADF的周長(zhǎng)分別為24和15，求BC的長(zhǎng)．21．（8分）如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)處，請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺在給定網(wǎng)格中畫出下列圖形，并保留作圖痕跡．（1）過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線BD；（2）先畫△ABC的高AE，再將AE平移到CF，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合；（3）作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'．22．（10分）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧數(shù)”，兩個(gè)正整數(shù)為它的“智慧分解”．例如，因?yàn)?6＝52﹣32，所以16就是一個(gè)智慧數(shù)，而5和3則是16的智慧分解．那么究竟哪些數(shù)為智慧數(shù)？第2023個(gè)智慧數(shù)是否存在，若存在，又是哪個(gè)數(shù)？為此，小明和小穎展開了如下探究．小穎的方法是通過(guò)計(jì)算，一個(gè)個(gè)羅列出來(lái)：3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，9＝52﹣42，…小明認(rèn)為小穎的方法太麻煩，他想到：設(shè)兩個(gè)數(shù)分別為k+1，k，其中k≥1，且k為整數(shù)．則（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1．（1）根據(jù)上述探究，可以得出：除1外，所有都是智慧數(shù)，并請(qǐng)直接寫出11的智慧分解：；（2）繼續(xù)探究，他們發(fā)現(xiàn)8＝32﹣12，12＝42﹣22，所以8和12均是智慧數(shù)，由此，他們猜想：4k（k≥2，且k為整數(shù)）均為智慧數(shù)，請(qǐng)證明他們的猜想；（3）根據(jù)以上所有探究，請(qǐng)直接寫出第2023個(gè)智慧數(shù)，以及它的智慧分解．23．（10分）如圖1，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝PB＝PC，∠BPC＝150°，則∠BAC＝°（直接寫出結(jié)果）；如圖2，P是△ABC外一點(diǎn)，滿足PA＝PB＝PC，∠ACB＝45°，求∠APB的度數(shù)；如圖3，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PB＝PC，∠BPC＝60°，∠BAC＝30°，求證：PA＝PB．24．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，a），點(diǎn)B（b，0），∠BAC＝90°，AB＝AC，a2﹣6a+9+|a+nb|＝0．（1）當(dāng)n＝﹣2時(shí)，若直接寫出A、B的坐標(biāo)；（2）如圖2，M是x軸上一點(diǎn)，連接AM（AM與線段BC相交），分別過(guò)點(diǎn)B、C作AM的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E，請(qǐng)證明：AD＝CE；（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)n＜0時(shí)，取點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接EG，判斷EG與CD的關(guān)系并證明．參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分）下列各題均有四個(gè)備選答案，其中有且只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將正確答案的代號(hào)在答題卡上，將對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑.1．（3分）在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對(duì)稱圖形．下面4個(gè)漢字中，可以看作是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：B，C，D選項(xiàng)中的美術(shù)字都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；A選項(xiàng)中的美術(shù)字能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形．故選：A．2．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．（3a2）3＝9a6 B．a(chǎn)3÷a3＝a C．（a2）3＝a5 D．a(chǎn)2?a3＝a5【解答】解：∵（3a2）3＝27a6，∴選項(xiàng)A不符合題意；∵a3÷a3＝1，∴選項(xiàng)B不符合題意；∵（a2）3＝a6，∴選項(xiàng)C不符合題意；∵a2?a3＝a5，∴選項(xiàng)D符合題意，故選：D．3．（3分）一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于72°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：多邊形的邊數(shù)是：360÷72＝5．故選：A．4．（3分）等式a﹣b+c＝a﹣（），括號(hào)內(nèi)應(yīng)填上的項(xiàng)為（）A．b+c B．b﹣c C．﹣b+c D．﹣b﹣c【解答】解：根據(jù)填括號(hào)的法則可知，原式＝a﹣（b﹣c）故選：B．5．（3分）下列因式分解結(jié)果正確的是（）A．﹣x3+4x＝﹣x（x2﹣4） B．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y） C．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣x（x+2）﹣1 D．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）【解答】解：A．﹣x3+4x＝﹣x（x2﹣4）＝﹣x（x+2）（x﹣2），故A不符合題意；B．x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），故B不符合題意；C．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2，故C不符合題意；D．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），故D符合題意；故選：D．6．（3分）已知n正整數(shù)，若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是2、8、3n，則滿足條件的n的值有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)【解答】解：∵三角形的三邊長(zhǎng)分別是2、8、3n，∴8﹣2＜3n＜8+2，∴6＜3n＜10，∴2＜n＜，∴滿足條件的n的值是3，有1個(gè)．故選：A．7．（3分）如圖，將一副三角板的斜邊AB重合，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接CE，DE，已知CE＝2，則AD的長(zhǎng)是（）A．3 B．2.5 C．2 D．1.5【解答】解：∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∠ACB＝90°，CE＝2，∴CE是直角△ABC斜邊AB上的中線，∴AE＝CE＝2．∵△ADB＝90°，DE是直角△ABD斜邊AB上的中線，∴AE＝ED＝2．又∵∠EAD＝60°，∴△AED是等邊三角形．∴AD＝AE＝2．故選：C．8．（3分）如圖，在△ABC中，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，BG、CG分別平分三角形的兩個(gè)外角∠EBC、∠FCB，則∠D和∠G的數(shù)量關(guān)系為（）A． B．∠D+∠G＝180° C． D．【解答】解：方法一：∵BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，∴，，∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝＝＝，∵BG、CG分別平分三角形的兩個(gè)外角∠EBC、∠FCB，∴，，∴∠G＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝＝＝＝＝，∴．方法二：∵BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，∴，，∵BG、CG分別平分三角形的兩個(gè)外角∠EBC、∠FCB，∴，，∴，同理可得：∠DCG＝90°，在四邊形DBGC中，根據(jù)內(nèi)角和為360°，∴∠D+∠G＝180°．故選：B．9．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C為原點(diǎn)，AC所在直線為y軸，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，在坐標(biāo)軸上取一點(diǎn)M使△MAB為等腰三角形，符合條件的M點(diǎn)有（）A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)【解答】解：（1）當(dāng)AB是底邊時(shí)，作AB的垂直平分線分別與AC，x軸負(fù)半軸相交，共兩個(gè)交點(diǎn)，都符合條件；（2）當(dāng)AB是腰時(shí)，①以點(diǎn)A為圓心AB長(zhǎng)為半徑畫圓分別與y軸正半軸，負(fù)半軸，x軸負(fù)半軸相交，共三個(gè)交點(diǎn)，都符合條件；②以點(diǎn)B為圓心AB長(zhǎng)為半徑畫圓分別與x軸正半軸，負(fù)半軸，y軸負(fù)半軸相交，共三個(gè)交點(diǎn)，都符合條件，因此共有8個(gè)符合條件的點(diǎn)．故選：D．10．（3分）如圖，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，連接AC，BD交于點(diǎn)M，連接OM．下列結(jié)論：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MB平分∠ABO．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝40°，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，∠OAC＝∠OBD，故①正確，符合題意；由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，∴∠AMB＝∠AOB＝40°，故②正確，符合題意；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如圖所示，則∠OGC＝∠OHD＝90°，在△OCG和△ODH中，，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG＝OH，∴MO平分∠BMC，∵∠AOB＝∠COD，∴當(dāng)∠DOM＝∠AOM時(shí)，OM才平分∠BOC，假設(shè)∠DOM＝∠AOM，∵∠AOB＝∠COD，∴∠COM＝∠BOM，∵M(jìn)O平分∠BMC，∴∠CMO＝∠BMO，在△COM和△BOM中，，∴△COM≌△BOM（ASA），∴OB＝OC，∵OA＝OB，∴OA＝OC，與OA＞OC矛盾，∴③錯(cuò)誤；∵沒(méi)有條件可以證明MB平分∠ABO，∴④錯(cuò)誤；正確的個(gè)數(shù)有2個(gè)；故選：C．二、填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分）下列各題不需要寫出解答過(guò)程，請(qǐng)將結(jié)論直接填寫在答題卷的指定位置.11．（3分）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，﹣2），則點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（1，2）．【解答】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，﹣2），∴點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2），故答案為：（1，2）．12．（3分）計(jì)算：＝．【解答】解：原式＝22022×（）2022×＝（2×）2022×＝1×＝．故答案為：．13．（3分）若多項(xiàng)式x2+mx+16是一個(gè)完全平方式，則m＝±8．【解答】解：∵x2+mx+16＝x2+mx+42，∴mx＝±2×4×x，解得m＝±8．故答案為：±8．14．（3分）一個(gè)等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為12，6，a+2，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為30．【解答】解：①當(dāng)a+2＝12時(shí)，∵a+2＝12，∴a＝10，∴等腰三角形的周長(zhǎng)＝12+12+6＝30，②當(dāng)a+2＝6時(shí)，∵兩邊之和需大于第三邊，6+6＝12，∴此種情況不能構(gòu)成三角形，故答案為：30．15．（3分）一個(gè)等邊三角形，一個(gè)直角三角形，一個(gè)等腰三角形按如圖方式擺放，其中∠3＝75°，則∠1+∠2＝135°．【解答】解：∵∠1+∠4+∠2+5+∠3＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠3﹣∠4﹣∠5＝360°﹣75°﹣60°﹣90°＝135°．故答案為：135°．16．（3分）如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC，點(diǎn)C在x軸上，AB∥x軸．P為x軸上一點(diǎn)，Q為直線BC上一點(diǎn)，滿足∠APQ＝60°，則AP+OQ的最小值是3．【解答】解：過(guò)P作PM⊥AC，PN⊥BC，過(guò)O作OK⊥BC，交AC延長(zhǎng)線于R，過(guò)R作RH⊥x軸．∵等邊△ABC，∴∠B＝∠ACB＝∠BCH＝60°，∵AB∥x軸，∴∠ACO＝60°，∵∠OCQ＝∠BCH＝60°，∴∠ACO＝∠OCQ，利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得：PM＝PN，∵∠APQ+∠ACQ＝60°+60°+60°＝180°，利用四邊形內(nèi)角和為360°得：∠PAM+∠PQC＝180°，∵∠PQC+∠PQN＝180°，∴∠PAM＝∠PQN，在△PAM和△PQN中，，∴△PAM≌△PQN（AAS），∴PA＝PQ，∴△APQ為等邊△，∴AP＝AQ，在△OCK和△RCK中，，∴△OCK≌△RCK（ASA），∴OK＝KR，∴OC＝CR，OQ＝QR，∵∠OAC＝30°，利用直角三角形中，30度的角所對(duì)的邊等于斜邊的一半，得：OC＝AC＝1，∴CR＝1，∵AQ+QR≥AR，∴AQ+QR≥AC+CR，即AP+OQ≥3，∴AP+OQ的最小值為3．故答案為：3．三、解下列各題（本大題共8小題，共72分）下列各題需要在答題卷的指定位置寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程、演算步驟或畫出圖形.17．（8分）計(jì)算：（1）（6x2﹣2x）÷2x；（2）．【解答】解：（1）（6x2﹣2x）÷2x＝（6x2÷2x）﹣（2x÷2x）＝3x﹣1．（2）＝a2﹣2a+a2+2a+1＝2a2+1．18．（8分）因式分解：（1）a2﹣9b2；（2）2a2﹣4ab+2b2．【解答】解：（1）a2﹣9b2＝（a+3b）（a﹣3b）；（2）2a2﹣4ab+2b2＝2（a2﹣2ab+b2）＝2（a﹣b）2．19．（8分）如圖，已知E、C是線段BF上兩點(diǎn)，滿足BE＝CF，A，D為線段上方兩點(diǎn)，連接AB，AC，DE，DF，滿足AB＝DE，AC＝DF．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）若五邊形ABFDG的面積為10，△GEC的面積為4，請(qǐng)直接寫出四邊形DGCF的面積：3．【解答】（1）證明：∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）；（2）解：∵△ABC≌△DEF，∴S△ABC＝S△DEF，∵五邊形ABFDG的面積＝S△ABC+S△DEF﹣S△GEC＝10，S△GEC＝4，∴S△DEF＝7，∴四邊形DGCF的面積＝S△DEF﹣S△GEC＝3，故答案為：3．20．（8分）如圖，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．（1）若∠A＝90°，求∠BEC的度數(shù)；（2）過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線與AB、AC分別相交于點(diǎn)D、F，若△ABC與△ADF的周長(zhǎng)分別為24和15，求BC的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵∠A＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠EBC＝ABC，∠ACB＝ACB，∴∠EBC+∠ECB＝（∠ABC+∠ACB）＝45°，∴∠BEC＝180°﹣45°＝135°；（2）∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠DEB，∵DF∥BC，∴∠DBE＝∠CBE，∴∠DBE＝∠DEB，∴BD＝ED，同理EF＝FC，∵△ABC與△ADF的周長(zhǎng)分別為24和15，∴△ABC的周長(zhǎng)＝AB+AC+BC＝AD+BD+AF+CF+BC，△ADF的周長(zhǎng)＝AD+AF+DE＝AD+DE+AF+CF，∴BC＝△ABC的周長(zhǎng)﹣△ADF的周長(zhǎng)＝24﹣15＝9．21．（8分）如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)處，請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺在給定網(wǎng)格中畫出下列圖形，并保留作圖痕跡．（1）過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線BD；（2）先畫△ABC的高AE，再將AE平移到CF，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合；（3）作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'．【解答】解：（1）如圖所示，直線BD即為所求；（2）取格點(diǎn)K連接AK交BC于點(diǎn)E，則線段AE即為所求；過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線與過(guò)點(diǎn)C作AE的平行線相交于點(diǎn)F，則線段CF即為所求；（3）延長(zhǎng)BC到G使CG＝BG，取格點(diǎn)H連接GH并延長(zhǎng)交三角形ABC邊AC上的高線于點(diǎn)B'，則點(diǎn)B'即為所求．22．（10分）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧數(shù)”，兩個(gè)正整數(shù)為它的“智慧分解”．例如，因?yàn)?6＝52﹣32，所以16就是一個(gè)智慧數(shù)，而5和3則是16的智慧分解．那么究竟哪些數(shù)為智慧數(shù)？第2023個(gè)智慧數(shù)是否存在，若存在，又是哪個(gè)數(shù)？為此，小明和小穎展開了如下探究．小穎的方法是通過(guò)計(jì)算，一個(gè)個(gè)羅列出來(lái)：3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，9＝52﹣42，…小明認(rèn)為小穎的方法太麻煩，他想到：設(shè)兩個(gè)數(shù)分別為k+1，k，其中k≥1，且k為整數(shù)．則（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1．（1）根據(jù)上述探究，可以得出：除1外，所有都奇數(shù)是智慧數(shù)，并請(qǐng)直接寫出11的智慧分解：5，6；（2）繼續(xù)探究，他們發(fā)現(xiàn)8＝32﹣12，12＝42﹣22，所以8和12均是智慧數(shù)，由此，他們猜想：4k（k≥2，且k為整數(shù)）均為智慧數(shù)，請(qǐng)證明他們的猜想；（3）根據(jù)以上所有探究，請(qǐng)直接寫出第2023個(gè)智慧數(shù)，以及它的智慧分解．【解答】（1）解：∵（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1（k≥1，且k為整數(shù)），∴智慧數(shù)是除1外所有的奇數(shù)，（5+1）2﹣52＝62﹣52＝（6+5）（6﹣5）＝11，故答案為：奇數(shù)，11的智慧分解：5、6；（2）證明：設(shè)k≥2，且k為整數(shù)，∵8＝32﹣12＝（2+1）2﹣（2﹣1）2＝（2+1+2﹣1）（2+1﹣2+1），12＝42﹣22＝（3+1）2﹣（3﹣1）2＝（3+1+3﹣1）（3+1﹣3+1），∴（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k，∴除4外，所有能被4整除的偶數(shù)都是智慧數(shù)．∴4k（k≥2且k為整數(shù)）均為智慧數(shù)；（3）解：據(jù)探究得，智慧數(shù)是奇數(shù)時(shí)k≥1，且k為整數(shù)，智慧數(shù)是4的倍數(shù)時(shí)，k≥2且k為整數(shù)，∴正整數(shù)中前四個(gè)正整數(shù)只有3為智慧數(shù)，此后每連續(xù)四個(gè)數(shù)中有三個(gè)智慧數(shù)，（2023﹣1）÷3＝674，4×（674+1）＝2700，∴第2023個(gè)智慧數(shù)是2700，∵2700能被4整除，∴2700＝6762﹣6742＝（676+674）（676﹣674）．23．（10分）如圖1，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝PB＝PC，∠BPC＝150°，則∠BAC＝75°（直接寫出結(jié)果）；如圖2，P是△ABC外一點(diǎn)，滿足PA＝PB＝PC，∠ACB＝45°，求∠APB的度數(shù)；如圖3，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PB＝PC，∠BPC＝60°，∠BAC＝30°，求證：PA＝PB．【解答】（1）解：∵∠BPC＝150°，∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC＝30°，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA+30°＝180°，∵PA＝PB＝PC，∴∠PAB＝∠PBA，∠PAC＝∠PCA，∴2∠PAB+2∠PAC+30°＝180°，∴∠PAB+∠PAC＝75°，∴∠BAC＝∠PAB+∠PAC＝75°，故答案為：75．（2）解：∵PA＝PB＝PC，∴∠PAB＝∠PBA，∠PAC＝∠P