數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與典型例題復(fù)習(xí)-向量

數(shù)學(xué)根底知識與典型例題第5章平面向量平面向量相關(guān)知識關(guān)系表向量的概念及運算一、向量的有關(guān)概念1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用來表示向量的有向線段的長度).2.向量的表示方法:⑴字母表示法:如等.⑵幾何表示法:用一條有向線段表示向量.如,等. ⑶坐標(biāo)表示法:在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)向量的起點O為在坐標(biāo)原點,終點A坐標(biāo)為,那么稱為的坐標(biāo),記為=.注:向量既有代數(shù)特征,又有幾何特征,它是數(shù)形兼?zhèn)涞暮霉ぞ?3.相等向量:長度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.兩向量與相等,記為.注:向量不能比擬大小,因為方向沒有大小.4.零向量:長度為零的向量叫零向量.零向量只有一個,其方向是任意的.5.單位向量:長度等于1個單位的向量.單位向量有無數(shù)個,每一個方向都有一個單位向量.6.共線向量:方向相同或相反的非零向量,叫共線向量.任一組共線向量都可以移到同一直線上.規(guī)定:與任一向量共線.注:共線向量又稱為平行向量.7.相反向量:長度相等且方向相反的向量.二、向量的運算(一)運算定義①向量的加減法，②實數(shù)與向量的乘積，③兩個向量的數(shù)量積,這些運算的定義都是“自然的”，它們都有明顯的物理學(xué)的意義及幾何意義.向量的概念及運算其中向量的加減法運算結(jié)果仍是向量，兩個向量數(shù)量積運算結(jié)果是數(shù)量。研究這些運算,發(fā)現(xiàn)它們有很好地運算性質(zhì),這些運算性質(zhì)為我們用向量研究問題奠定了根底,向量確實是一個好工具.特別是向量可以用坐標(biāo)表示,且可以用坐標(biāo)來運算,向量運算問題可以完全坐標(biāo)化.刻劃每一種運算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號、坐標(biāo)語言。主要內(nèi)容列表如下：運算圖形語言符號語言坐標(biāo)語言加法與減法+==記=(x1,y1),=(x1,y2)那么=(x1+x2,y1+y2)=〔x2-x1,y2-y1〕+=實數(shù)與向量的乘積=λλ∈R記=(x,y)那么λ=(λx,λy)兩個向量的數(shù)量積記那么·=x1x2+y1y2(二)運算律加法：①(交換律);②(結(jié)合律)實數(shù)與向量的乘積：①;②;③兩個向量的數(shù)量積:①·=·;②(λ)·=·(λ)=λ(·);③(+)·=·+·注：根據(jù)向量運算律可知，兩個向量之間的線性運算滿足實數(shù)多項式乘積的運算法那么，正確遷移實數(shù)的運算性質(zhì)可以簡化向量的運算，例如(±)2=(三)運算性質(zhì)及重要結(jié)論⑴平面向量根本定理:如果是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量,那么對于這個平面內(nèi)任一向量,有且只有一對實數(shù),使，稱為的線性組合。①其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底;②平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線向量的方向分解為兩個向量的和,并且這種分解是唯一的.這說明如果且,那么.③當(dāng)基底是兩個互相垂直的單位向量時,就建立了平面直角坐標(biāo)系,因此平面向量根本定理實際上是平面向量坐標(biāo)表示的根底.向量的概念及運算向量坐標(biāo)與點坐標(biāo)的關(guān)系：當(dāng)向量起點在原點時，定義向量坐標(biāo)為終點坐標(biāo)，即假設(shè)A(x，y)，那么=〔x,y〕；當(dāng)向量起點不在原點時，向量坐標(biāo)為終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)，即假設(shè)A〔x1,y1〕，B〔x2,y2〕，那么=(x2-x1,y2-y1)⑵兩個向量平行的充要條件符號語言：坐標(biāo)語言為：設(shè)非零向量,那么∥(x1,y1)=λ(x2,y2)，即,或x1y2-x2y1=0,在這里,實數(shù)λ是唯一存在的,當(dāng)與同向時,λ>0；當(dāng)與異向時,λ<0。|λ|=,λ的大小由及的大小確定。因此,當(dāng),確定時，λ的符號與大小就確定了.這就是實數(shù)乘向量中λ的幾何意義。⑶兩個向量垂直的充要條件符號語言：坐標(biāo)語言：設(shè)非零向量，那么⑷兩個向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：①即(求線段的長度);②(垂直的判斷);③(求角度)。以上結(jié)論可以(從向量角度)有效地分析有關(guān)垂直、長度、角度等問題,由此可以看到向量知識的重要價值.注:①兩向量,的數(shù)量積運算結(jié)果是一個數(shù)(其中),這個數(shù)的大小與兩個向量的長度及其夾角的余弦有關(guān).②MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r2\h叫做向量在方向上的投影〔如圖〕.數(shù)量積的幾何意義是數(shù)量積等于的模與在方向上的投影的積.③如果,,那么=,∴,這就是平面內(nèi)兩點間的距離公式.向量的概念及運算例1．在中，〔〕例2.平面內(nèi)三點,假設(shè)∥，那么x的值為()(A)-5(B)-1(C)1(D)5向量的概念及運算例3.設(shè)，，是任意的非零平面向量，且相互不共線，那么：①(·)(·)=0 ②||-||<||③(·)(·)不與垂直 ④(3+2)·(32)=9||2-4|2中，真命題是()(A)①②(B)②③(C)③④(D)②④例4.△OAB中,=,=,=,假設(shè)=，t∈R，那么點P在()(A)∠AOB平分線所在直線上(B)線段AB中垂線上(C)AB邊所在直線上(D)AB邊的中線上例5.正方形對角線交點為M，坐標(biāo)原點O不在正方形內(nèi)部，且=〔0，3〕，=〔4，0〕，那么=()(A)〔〕(B)〔〕(C)〔7，4〕(D)〔〕例6.,那么實數(shù)x=_______.例7.那么_____,______,與的夾角的余弦值是_____.例8.的三個頂點分別為求的大小.例9.△ABC中，A〔2，-1〕，B〔3，2〕，C〔-3，-1〕，BC邊上的高為AD，求點D和向量坐標(biāo)。例10.在△OAB的邊OA、OB上分別取點M、N，使||∶||=1∶3，||∶||=1∶4，設(shè)線段AN與BM交于點P，記=，=，用，表示向量.定比分點線段的定比分點1.定義:設(shè)是直線上的兩點,點P是上不同于的任意一點,那么存在一個實數(shù)使,叫做點P分有向線段所成的比.(如圖)①P在線段上,P為內(nèi)分點時,;②P在線段或的延長線上,P為外分點時,.③內(nèi)分取“+”,外分取“一”.2.定比分點坐標(biāo)公式:設(shè)、、，那么：,特殊地，得中點坐標(biāo)公式：另外，注意一下定比分點的向量公式：O為平面內(nèi)任意一點，那么.有時直接運用它來考慮更簡便!3.三角形重心公式及推導(dǎo)〔見課本例2〕：三角形重心公式：例11.點A(m,n)關(guān)于點B(a,b)對稱點的坐標(biāo)是()(A)〔－m，－n〕(B)〔a－m，b－n〕(C)〔a－2m，b－2n〕(D)〔2a－m，2b－n〕例12．設(shè)，直線AB交軸于C點，那么點C分所成的比為〔〕平移1.圖形平移：設(shè)F是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個圖形，將F上所有的點按照同一方向移動同樣長度(即按向量平移)，得到圖形F`，我們把這一過程叫做圖形的平移。2.平移公式：點按向量平移到那么〔新=舊+移〕其中叫做平移向量.3.⑴設(shè)曲線C：y=f(x)按=〔h，k〕平移，那么平移后曲線對應(yīng)的解析式為,當(dāng)h，k中有一個為零時，就是前面已經(jīng)研究過的左右及上下平移.注:函數(shù)圖象平移口訣:左加右減,上加下減.注意這里是指函數(shù)解析式的變化,另外注意順序性.例13.設(shè)向量,那么將按平移得到的坐標(biāo)表示為()(A)(0,1)(B)(4,-11)(C)(7,-5)(D)(3,6)例14.假設(shè)將曲線C1:平移到C2,使得曲線C1上一點P的坐標(biāo)由(1,0)變?yōu)?2,2),那么C2的方程是()(A)(B)(C)(D)例15.把函數(shù)的圖象按平移后得到的函數(shù)解析式為____.解三角形解斜三角形：常用的主要結(jié)論有：(1)A+B+C=1800⑵任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.⑶等邊對等角:;大邊對大角:.⑷底×高=(其中是內(nèi)切圓半徑)⑸(正弦定理)⑹(余弦定理)解三角形例16.在中,,那么a等于()(A)(B)(C)(D)例17.在200米高的山頂上,測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為300,600,那么塔高為()(A)米(B)米(C)米(D)米例18．在中，，,假設(shè)這個三角形有兩解，那么的取值范圍是〔〕數(shù)學(xué)根底知識與典型例題(第5章平面向量)答案例1A、例2.C、例3.D、例4.A、例5.A、例6.6、例7.,,、例8.例9.解:(用解方程組思想)設(shè)D〔x，y〕，那么=〔x-2，y+1〕∵=〔-6，-3〕，·=0,∴-6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0①∵=(x-3，y-2)，∥,∴-6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0②由①②得：,∴D〔1，1〕,=〔-1，2〕例10.解:∵B、P、M共線∴記=s∴①同理，記∴=②∵,不共線∴由①②得解之得：∴注：從點共線轉(zhuǎn)化為向量共線，進而引入?yún)?shù)〔如s，t〕是常用技巧之一。平面向量根本定理是向量重要定理之一，利用該定理唯一性的性質(zhì)得到關(guān)于s，t的方程。例11.D、例12.B、例13.C、例14.A、例15.、例16.C、例17.A、例18.C、5、當(dāng)有人說你根底差時，你就“瘋狂征服它”吧！

“瘋狂就是百分之百的投入！忘我、忘物、忘時！排除一切雜念，克服害怕，樹立信心！打破傳統(tǒng)，突破極限，淋漓盡致地挑戰(zhàn)自己的潛能！

“瘋狂就是以苦為樂、以苦為甜、苦盡甘來！”

我堅信征服英語的核心秘訣是：聽一百遍錄音的熱心，抄寫一百遍的恒心，自言自語一百遍的癡心。我發(fā)現(xiàn)這樣的熱心、恒心和癡心，可以征服英語，也可以做成任何事情。

我在研究奧運冠軍的時候也發(fā)現(xiàn)，運發(fā)動奪冠的精神，也可以幫運發(fā)動突破新的領(lǐng)域。如果別人認(rèn)為你英語根底很差，你還不夠聰明，沒有英語天賦，那你就看一看、想一想國球世界冠軍鄧亞萍，是怎樣用笨的方法，征服了英語，征服了世界！

鄧亞萍退役后，開始到奧委會工作時,連寫26個英文字母都難,初到英國劍橋大學(xué)上課時，聽老師講課像聽天書，但她一字不漏地聽、一字不漏地記，回到宿舍，再一字不漏地翻字典，一字不漏地硬啃硬記，每天5點準(zhǔn)時起床，讀音標(biāo)、背單詞、練聽力，晚上整理筆記，直到深夜12點休息。鄧亞萍用打乒乓球的心態(tài)，來享受練英語的苦,享受疲累,享受困乏，享受孤獨，取消朋友聚會，取消社會活動，每天瘋狂跟著復(fù)讀機大聲喊英語。

鄧亞萍說：“如果學(xué)英語后，卻沒有方法跟別人交流，一切都是零。所以，我特別舍得下功夫。而我學(xué)英語的經(jīng)驗是——膽子要大，敢講，不怕出丑，也不怕說錯。因為英語不是我們的母語，說錯和不標(biāo)準(zhǔn)是非常正常的。”

由于她每天堅持14個小時的學(xué)習(xí)，百分之百瘋狂投入的學(xué)習(xí)，完全到達了忘我、忘物、忘時,排除一切雜念地瘋狂苦讀，以苦為樂、以苦為甜，結(jié)果苦盡甘來！一位當(dāng)初只有小學(xué)學(xué)歷的鄧亞萍，在中國向國際奧委會爭辦2008奧運會時，代表中國的運發(fā)動，用流利的英語發(fā)言，爭得了成功的一票！

鄧亞萍說：“一個運發(fā)動成功的條件是——付出＋天賦＋好的環(huán)境?！彼洋w育精神用到讀書學(xué)英語上，也形成了一個讀書成功的公式：付出+看不懂就多看幾遍的意志力。

我多年的體會是：當(dāng)你集