2023-2024學(xué)年湖南省長沙雅禮中學(xué)高二年級上冊數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年湖南省長沙雅禮中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測模擬試題

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知拋物線。：丁2=2。*(。＞0)過點(diǎn)4(2,2),點(diǎn)3為平面直角坐標(biāo)系平面內(nèi)一點(diǎn)，若線段A5的垂直平分線過拋

物線C的焦點(diǎn)則點(diǎn)3與原點(diǎn)。間的距離的最小值為()

A.72B.2

C.—D.3

2

2.已知函數(shù)/(x)=x(2020+lnx),若/'(%)=2022,則升等于()

A./B.1

C.ln2D.e

2uuiruum

3.已知點(diǎn)P是雙曲線匕=1上的動(dòng)點(diǎn)，過原點(diǎn)。的直線/與雙曲線分別相交于V、N兩點(diǎn)，則PM+PN的最

4

小值為()

A.4B.3

C.2D.1

4.已知/(x)=tanx,則廣(%)=()

A.B.z-

sinxcosx

11

C.-------D.-------3

sinxcosx

5.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之栗五斗?羊主曰：“我羊食

半馬.”馬主曰：“我馬食半牛?”今欲哀償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾

苗的主人要求賠償5斗栗?羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半?”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半

?”打算按此比率償還，他們各應(yīng)償還多少？已知牛、馬、羊的主人各應(yīng)償還栗a升，6升，c升，1斗為10升，則下

列判斷正確的是()

A.a,b,c依次成公比為2的等比數(shù)列，且。=笆

7

B.a,b,c依次成公比為2的等比數(shù)列，且。=

c依次成公比為工的等比數(shù)列，

C.a.b,且。=

2

C依次成公比為3的等比數(shù)列，

D.a,b,且。=

2

6.如圖，過拋物線丁=2"(0>0)的焦點(diǎn)P的直線/交拋物線于點(diǎn)A、B,交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C,若忸。|=2忸同，

且卜刊=6,則。的值為()

A.2B.3

C.4D.5

7.2021年5月H日我國公布了第七次全國人口普查結(jié)果.自新中國成立以來，我國共進(jìn)行了七次全國人口普查，如圖

為我國歷次全國人口普查人口性別構(gòu)成及總?cè)丝谛詣e比(以女性為100,男性對女性的比例)統(tǒng)計(jì)圖，則下列說法錯(cuò)

誤的是()

萬人

-120

-116

□

男

-112□女

-10S-性別比

-104

-100

1953年1964^19游199(te200te

A.第五次全國人口普查時(shí)，我國總?cè)丝跀?shù)已經(jīng)突破12億

B.第一次全國人口普查時(shí)，我國總?cè)丝谛詣e比最高

C.我國歷次全國人口普查總?cè)丝跀?shù)呈遞增趨勢

D.我國歷次全國人口普查總?cè)丝谛詣e比呈遞減趨勢

8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過x軸上的點(diǎn)尸分別向圓G：(%-+(V+4產(chǎn)=7和圓：(%-2)2+(y-5『=9引

切線，記切線長分別為4,a.則4+d2的最小值為o

A.272B.3a

C.40D.56

9.從全體三位正整數(shù)中任取一數(shù)，則此數(shù)以2為底的對數(shù)也是正整數(shù)的概率為（）

11

A.——B.-----

225300

1

C.---D.以上全不對

450

（萬）右焦點(diǎn)尸作軸的垂線，與在第一象限的交點(diǎn)為且直線的斜

10.過雙曲線O：4-^=1?>0,>0x0M,AM

ab~

率大于2,其中A為◎的左頂點(diǎn)，則。的離心率的取值范圍為（）

A.（l,3）B.（3,+oo）

C.（l,2百）D.（2A/31+s）

11.2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕，3月24日，中宣部發(fā)布中國共產(chǎn)黨成立100周年慶?；顒?dòng)標(biāo)識（如圖1）.其中“100”

的兩個(gè)“0”設(shè)計(jì)為兩個(gè)半徑為尺的相交大圓，分別內(nèi)含一個(gè)半徑為r的同心小圓，且同心小圓均與另一個(gè)大圓外切（如

圖2）.已知R=3r,則由其中一個(gè)圓心向另一個(gè)小圓引的切線長與兩大圓的公共弦長之比為（）

12.函數(shù),=6口+%05(-%2+%)的導(dǎo)數(shù)為()

A.y'=e~lx+x[^2sin-%)+(2%-1)cos(%2-%)J

B.y'=-/x+i[2cos(%2-x)+(2x-l)sin(x2

Cy'=-e-2x+i12sin(x?—x)+(2x—1)cos—x)]

D.;/=[2cos(x?-x)+(2x-1)sin(r-x)]

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，在正四棱錐P—A6CD中，耳為棱尸3的中點(diǎn)，。為棱尸。的中點(diǎn)，則棱錐P—A6CD與棱錐A-30，

的體積之比為

14.某校組織了一場演講比賽，五位評委對某位參賽選手的評分分別為9,x,8,y,9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8.6,

方差為0.24,則|x-y|=

15.已知等差數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和為S”公差為d,且滿足％〉°，%+。4<0,則多的取值范圍是，-

d

的取值范圍是_____________

16.若復(fù)數(shù)z滿足3z+5=l+i,貝|同=

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

2

17.（12分）A,3兩人下棋，每局均無和棋且A獲勝的概率為耳，某一天這兩個(gè)人要進(jìn)行一場五局三勝的比賽，勝者

贏得2700元獎(jiǎng)金，

（1）分別求A以3:0獲勝、以3：1獲勝的概率；

（2）若前兩局雙方戰(zhàn)成1:1,后因?yàn)槠渌露K止比賽，間，怎么分獎(jiǎng)金才公平？

18.（12分）已知拋物線/=4x的焦點(diǎn)為八直線/過點(diǎn)知（4,0）

（1）若點(diǎn)歹到直線/的距離為出，求直線/的斜率；

（2）設(shè)A,8為拋物線上兩點(diǎn)，且A3不與x軸垂直，若線段A3的垂直平分線恰過點(diǎn)求證：線段中點(diǎn)的橫

坐標(biāo)為定值

19.（12分）在等差數(shù)列｛。“｝中.a｝+a3=10,a4—a2=4

（1）求｛4｝的通項(xiàng)公式：

（2）記｛4｝的前〃項(xiàng)和為工，求滿足S”<120的”的最大值

20.（12分）某企業(yè)為響應(yīng)“安全生產(chǎn)”號召，將全部生產(chǎn)設(shè)備按設(shè)備安全系數(shù)分為A,3兩個(gè)等級，其中3等設(shè)備安

全系數(shù)低于A等設(shè)備.企業(yè)定時(shí)對生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行檢修，并將部分B等設(shè)備更新成A等設(shè)備.據(jù)統(tǒng)計(jì)，2020年底該企業(yè)A

等設(shè)備量已占全體設(shè)備總量的30%.從2021年開始，企業(yè)決定加大更新力度，預(yù)計(jì)今后每年將16%的5等設(shè)備更新成

A等設(shè)備，與此同時(shí)，4%的A等設(shè)備由于設(shè)備老化將降級成3等設(shè)備.

（1）在這種更新制度下，在將來的某一年該企業(yè)的A等設(shè)備占全體設(shè)備的比例能否超過80%?請說明理由；

（2）至少在哪一年底，該企業(yè)的A等設(shè)備占全體設(shè)備的比例超過60%.（參考數(shù)據(jù)：[g]=0,512,[g]=0,4096,

0.32768)

21.（12分）已知N*）的展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為46,

（1）求〃；

（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)

y1

22.（10分）已知橢圓G:二+1(〃>b>0）的焦距為4,點(diǎn)（2,四）在G上.

aF

（1）求橢圓G的方程；

（2）過橢圓G右焦點(diǎn)的直線/與橢圓G交于M,N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若Sa。.=3：1,求直線/的方程.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線。的方程，求出。的值，可求得拋物線。的方程，求出E的坐標(biāo)，分析可知點(diǎn)3的

軌跡是以點(diǎn)/為圓心，半徑為之的圓，利用圓的幾何性質(zhì)可求得點(diǎn)5與原點(diǎn)。間的距離的最小值.

2

【詳解】將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線。的方程得2Px2=22,可得p=l,

故拋物線C的方程為y2=2x,易知點(diǎn)/I；,。],

由中垂線的性質(zhì)可得忸刊=14司=2+-|=|,

則點(diǎn)B的軌跡是以點(diǎn)R為圓心，半徑為3的圓，

2

故點(diǎn)3的軌跡方程為[x-g]+/=^,如下圖所示:

由圖可知，當(dāng)點(diǎn)B、。、R三點(diǎn)共線且。在線段5尸上時(shí)，|?；厝∽钚≈?，

且3L=?H。川=?「2.

故選：B.

2、D

【解析】求導(dǎo)，由/'(%)=2022得出/.

f

【詳解】/(x)=2020+lnx+l=2021+lnx,f(x0)=2021+In=2022,x0=e

故選：D

3、C

【解析】根據(jù)雙曲線的對稱性可得。為MN的中點(diǎn)，即可得到尸M+PN=2尸O,再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)計(jì)算可得；

2uum

【詳解】解：根據(jù)雙曲線的對稱性可知。為MV的中點(diǎn)，所以PM+PN=2PO,又尸在f-匕=1上，所以PO>1,

4

uuiruumuim

當(dāng)且僅當(dāng)尸在雙曲線的頂點(diǎn)時(shí)取等號，所以PM+PN=2PON2

故選：C

4、B

【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法則求導(dǎo)函數(shù)即可.

?2?21

,、斗小Y"，/、/、，/Sin%、,cosx+sinxI

【詳解】/'(x)=(tanx)'=(------)'=-------------------=——.

cosxcosXcosX

故選：B.

5、D

【解析】由條件知〃，b,c依次成公比為工的等比數(shù)列，三者之和為50升，根據(jù)等比數(shù)列的前"項(xiàng)和，即

2

c+2c+4c=50=＞。=笆.故答案為D.

7

6、B

【解析】分別過點(diǎn)A、3作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)E、D,設(shè)忸同=a,根據(jù)拋物線的定義以及直角三角形的性

質(zhì)可求得N3CD=30，結(jié)合已知條件求得。=2,分析出歹為AC的中點(diǎn)，進(jìn)而可得出p==g|AE|,即可得

解.

【詳解】如圖，分別過點(diǎn)A、3作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)E、D,

設(shè)忸同=否則由己知得忸。=2?,由拋物線的定義得忸。|=匹故N3CD=30，

在直角三角形ACE中，|A司=6,|AC|=6+3a,

因?yàn)?|AE|=|AC[,貝！]6+3a=12,從而得a=2,

所以,|。司=忸。|+忸同=3a=6=|AE|,則R為AC的中點(diǎn),從而〃=歸3=g|AE|=3.

故選：B.

7、D

【解析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖判斷各選項(xiàng)的對錯(cuò).

【詳解】由統(tǒng)計(jì)圖第五次全國人口普查時(shí)，男性和女性人口數(shù)都超過6億，故總?cè)丝跀?shù)超過12億，A對，

由統(tǒng)計(jì)圖，第一次全國人口普查時(shí)，我國總?cè)丝谛詣e比為107.56,超過余下幾次普查的人口的性別比，B對,

由統(tǒng)計(jì)圖可知，我國歷次全國人口普查總?cè)丝跀?shù)呈遞增趨勢，C對，

由統(tǒng)計(jì)圖可知，第二次，第三次，第四次，第五次時(shí)總?cè)丝谛詣e比呈遞增趨勢，D錯(cuò)，

D錯(cuò)，

故選：D.

8,D

【解析】利用兩點(diǎn)間的距離公式，將切線長的和轉(zhuǎn)化為到兩圓心的距離和，利用三點(diǎn)共線距離最小即可求解.

22

詳解】C1：(x-l)+(y+4)=7,圓心(1,T),半徑彳=J7

22

C2:(x-2)+(y-5)=9,圓心(2,5),半徑1=3

設(shè)點(diǎn)P(xo,O),

2222

則4+4=^(%0-1)+(0+4)-7+^(XO-2)+(O-5)-9

=J(x°—丁+9+加?！?『+16=J(x0—丁+(0+3)2+J(x0—2)2+(0—4」’

即(七,0)到(L—3)與(2,4)兩點(diǎn)距離之和的最小值，

當(dāng)伉,0)、(1,-3),(2,4)三點(diǎn)共線時(shí),4+4的和最小，

即&+d2的和最小值為J(l—2)2+(—3-4)2=回=5&.

故選:D

【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

9、B

【解析】利用古典概型的概率求法求解.

【詳解】從全體三位正整數(shù)中任取一數(shù)共有900種取法，

以2為底的對數(shù)也是正整數(shù)的三位數(shù)有27,28,29,共3個(gè),

31

所以以此數(shù)以2為底的對數(shù)也是正整數(shù)的概率為p=前=麗,

故選：B

10、B

匕0

【解析】求點(diǎn)A和M的坐標(biāo)，進(jìn)而表示斜率，可得；一、2,整理得『＞2四+2,，從而可解得離心率的范圍.

c+a

V2b2

【詳解】F(c,0)，設(shè)〃(。，加，(%>0)代入與=1可解得%=幺A(—a,0)，

aa

由于嬴>2,即〃°〉2，整理得〃>2ac+2，,

c+a

又4="—a9c—a'>2ac-\-2a,

BPc2_2ac_3a2>0,e2_2e_3>0,e<—1（舍）或e>3.

答案：B

【點(diǎn)睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a,4c的方程或不等式，再根據(jù)a/,c

的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式，而建立關(guān)于a,仇c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐

標(biāo)的范圍等.

11,C

【解析】作出圖形，進(jìn)而根據(jù)勾股定理并結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系即可求得答案.

【詳解】如示意圖，

由題意，|。。2|=氏+r=4乙則|0陷|=小002『T02MF=，

又|O0|=生產(chǎn)=2r,|O]E|=3r,所以|所|=2、01E2—|]=2后,

所以也1=陋=".

\EF\2y/5r2

故選：C.

12、B

【解析】由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則可求出.

2x+12

【詳解】y=e-cos(-x+x)f

：.yf=2x+l)cos(-％2+無)+H2x+l[cos(-％2+x)]

2x+i

二一26小+1cos(-d+%)-e~sin(一Y+%).(一2%+1)

2x+1

=-e~^2cos(一一+x)+sin(一/+X)]

=-e~2x+l^2cos(x?—%)+(2x-1)sin—%)].

故選：B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、4:1

【解析】根據(jù)圖形可求出匕「4比，匕「48,匕一期4，%一咫5與棱錐P-A6CD的體積之比，即可求出結(jié)果

【詳解】如圖所示：

棱錐A-片可看成正四棱錐P-ABCD減去四個(gè)小棱錐的體積得到，

設(shè)正四棱錐尸-ABCD的體積為V,⑸為尸5的中點(diǎn)，。為尸。的中點(diǎn)，

所以%ABC=；V，%iC。=7V'而Vc-Pg=~NC-PBD~~yP-BCD~dV，

4444o

同理匕一州

o

故棱錐A—BC的體積的為—=

即棱錐P—ABCD與棱錐A-耳C，的體積之比為4:1

故答案為：4:1.

14、1

【解析】根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式，求得乂丁，則問題得解.

【詳解】由題可知：8.6=g(9+8+9+x+y),整理得：x+y=17；

0.24」J(9-8.6『+(x-8.6『+(8-8.6)2+(y-8.6『+(9-8.6月=0.24,

5—-

整理得：(x-8.6)2+(y-8.6)2=0.52,聯(lián)立方程組得爐—i7x+72=0，

解得x=8或x=9,對應(yīng)y=9或y=8,故|x-y|=l.

故答案為：1.

15、①2]

【解析】通過名〉0,%+%<0判斷出%<0/<0,進(jìn)而將4,。4化為基本量求得答案；然后用基本量將今化簡,

32

進(jìn)而通過色的范圍求得答案.

【詳解】色>°，〃3+〃4<°，*,*%<°，^<。

4+2d>0

q+2d+。］+3d<0

4(4-1)/

4<2.幺+1<-3,

S22a,+d

——<

5

故答案為

2

16、叵

4

【解析】設(shè)2=。+初，則彳=。-初，利用復(fù)數(shù)相等，求出。，b的值，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式進(jìn)行計(jì)算即可

【詳解】設(shè)2=。+初，貝”二。一)，，

則由3z+彳=1+%得3(〃+bi)+ci—bi=1+i,

即4a+2bi=l+i,

則⑶=叱不卮關(guān)7s

故答案為包

【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)模長的計(jì)算，利用待定系數(shù)法，結(jié)合復(fù)數(shù)相等求出復(fù)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

QQ

17、(1)A以3:0獲勝、以3:1獲勝的概率分別是丁，??；

2727

(2)分給A,3分別2000元，700元.

【解析】(1)A以3:0獲勝、以3:1獲勝，則分別要連勝三局，前三局勝兩局輸一局，第四局勝利；(2)求出若兩局

1:1之后正常結(jié)束比賽時(shí)，A3的勝率，按照勝率分獎(jiǎng)金.

【小問1詳解】

設(shè)A以3:0獲勝、以3:1獲勝的事件分別為C。，依題意要想3:0獲勝，必須從第一局開始連勝3局，

p(C)=^吟;要想3:1獲勝，則前3局只能勝2局，且第4局勝利，故概率P(￡>)=C；x1|]x|x|=^;

【小問2詳解】

設(shè)前兩局雙方戰(zhàn)成1:1后A勝，8勝的事件分別為瓦尸.若A勝，則可能連勝3,4局，或者3,4局只勝1場，第5局勝，

222122f)91

故概率倉與-?-??；由于兩人比賽沒有和局，A獲勝的概率為彳，則8獲勝的概率為一，若B

333332733

勝，則可能連勝3,4局，或者3,4局只勝1場，第5局勝，故概率。(歹)=1？,C；倉P-?-工.故獎(jiǎng)金應(yīng)分給

3333327

207

A:2700?—2000%,分給B:2700X——=700元.

2727

18、(1)土注(2)證明見詳解.

2

【解析】(1)設(shè)出直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得直線；

(2)設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理，利用直線垂直，從而得到的斜率關(guān)系，即可證明.

【詳解】(1)由條件知直線/的斜率存在，設(shè)為樂，

則直線/的方程為：y=%(x—4),

gpk0x-y-4k0=0

從而焦點(diǎn)F(l,0)到直線I的距離為d=0,

平方化簡得：k；=L：.k小土叵

202

故直線斜率為：土注.

2

(2)證明：設(shè)直線A3的方程為y=Ax+b(左/0),

聯(lián)立拋物線方程y2=4x,消元得：k2x2+(2kb-4)x+b2^0

設(shè)A（%，K），85，%），

線段A3的中點(diǎn)為

2-kb2

故無0=］（玉+X2）=

k2

因?yàn)椋?kPM-kAB=-\

將M點(diǎn)坐標(biāo)代入后整理得:

2

3—I—xk=-l

2-?_4

k2一

即可得：2—kb=2k2

-kh7k2

故為定值.即證.

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線中的定值問題，涉及直線方程的求解，韋達(dá)定理，屬綜合基礎(chǔ)題.

19、(1)an=2n+1

(2)10

【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式可得基本量，進(jìn)而可得解.

（2）利用等差數(shù)列求和公式計(jì)算S〃，解不等式即可.

【小問1詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

2al+2d=10%=3

所以《J/，解得

2d=4d=2

所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為為=3+2（"-1）=2"+1；

【小問2詳解】

,/、/口n(n-l)d

由(1)得S〃=q〃+」-------="+2〃，neN*

d

所以〃2+2〃K120,zzGN*

解得0v〃<10,

所以〃的最大值為10?

20、（1）A等設(shè)備量不可能超過生產(chǎn)設(shè)備總量的80%,理由見解析;

（2）在2025年底實(shí)現(xiàn)A等設(shè)備量超過生產(chǎn)設(shè)備總量的60%.

【解析】⑴根據(jù)題意表示出2020年開始，經(jīng)過〃年后A等設(shè)備量占總設(shè)備量的百分比為4,求出乙，根據(jù)乙的范

圍進(jìn)行判斷；

3

⑵令4>二即可求解.

【小問1詳解】

記該企業(yè)全部生產(chǎn)設(shè)備總量為“1”，

2020年開始，經(jīng)過〃年后A等設(shè)備量占總設(shè)備量的百分比為4,

則經(jīng)過1年即2021年底該企業(yè)A等設(shè)備量—X—+—X—

110100101005

44

4+1=（1_4%）%+石，

,44/42c

可得?！?1_彳=彳|一彳J,--=--^0

JJ\J1JJ

f4124

所以數(shù)列J4-j1是以一§為首項(xiàng)，公比為二的等比數(shù)列，

可得可-（4

4

顯然有an<-,所以A等設(shè)備量不可能超過生產(chǎn)設(shè)備總量的80%.

5

【小問2詳解】

n

4_j_4￡得已4r<2,

由4I5

5-2555