導數(shù)之 一元三次函數(shù)

目標計劃行動反思搏我現(xiàn)在所做的事能使我更快更好的接近我的目標嗎？PAGE第1-頁共23頁專注輕重緩急勞逸結(jié)合導數(shù)之一元三次函數(shù)1.2.設(shè)函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx（x∈R）,已知g（x）=f（x）-f′（x）是奇函數(shù).（1）求b、c的值. （2）求g（x）的單調(diào)區(qū)間與極值.3.4.函數(shù),a、b∈R，且ab≠0）的圖象如圖所示，且x1+x2＜0，則有5.已知函數(shù)f(x)=+ax2-bx+1(a、b∈R)在區(qū)間［-1，3］上是減函數(shù)，則a+b的最小值是.6.已知函數(shù)在處取得極值為（1）求a、b的值；（2）若有極大值28，求在上的最大值．7.已知某生產(chǎn)廠家的年利潤（單位：萬元）與年產(chǎn)量（單位：萬件）的函數(shù)關(guān)系式為，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為（）（A）13萬件(B)11萬件(C)9萬件(D)7萬件8.9.已知函數(shù)f（x）=，其中a>0.（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；（Ⅱ）若在區(qū)間上，f（x）>0恒成立，求a的取值范圍.10.已知a，b是實數(shù)，1和是函數(shù)的兩個極值點．（1）求a和b的值；（2）設(shè)函數(shù)的導函數(shù)，求的極值點；11.13.（Ⅰ）當SKIPIF1<0時，求曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程；（Ⅱ）當SKIPIF1<0時，求函數(shù)SKIPIF1<0的極大值和極小值；（Ⅲ）當SKIPIF1<0時，證明存在SKIPIF1<0，使得不等式SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0恒成立．14.=15、已知函數(shù).設(shè)，求函數(shù)的極值；(2)若，且當時，12a恒成立，試確定的取值范圍.16.17.函數(shù)在處有極值，則曲線在原點處的切線方程是18.已知函數(shù)在R上為單調(diào)減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是.19.20.設(shè)函數(shù)(x∈R),其中m>0.(1)當m=1時，求曲線y=f(x)在點（1，f(1))處的切線的斜率；（2）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；（3）已知函數(shù)f(x)有三個互不相同的零點，且.若對任意的x∈,f(x)>f(1)恒成立，求m的取值范圍.21．求函數(shù)y=2x3+3x2－12x+1的極值．22.已知a＞0，bSKIPIF1<0R，函數(shù)SKIPIF1<0．(Ⅰ)證明：當0≤x≤1時，(ⅰ)函數(shù)SKIPIF1<0的最大值為|2a－b|﹢a；(ⅱ)SKIPIF1<0＋|2a－b|﹢a≥0；(Ⅱ)若﹣1≤SKIPIF1<0≤1對xSKIPIF1<0[0，1]恒成立，求a＋b的取值范圍．23．已知（Ⅰ)若在區(qū)間（-1，1）上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若的極大值點與極小值點之差為2a-3，求實數(shù)a的值．24.已知函數(shù),其中（1）當滿足什么條件時,取得極值?（2）已知,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,試用表示出的取值范圍.25.已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的最小值是A. B. C.2 D.326.若函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d滿足f(0)=f(x1)=f(x2)=0(0<x1<x2),且在［x2,+∞上單調(diào)遞增，則b的取值范圍是____.27.函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3時取得極值，則a＝()A．2B．3C．4D．528.函數(shù)在處有極值10，則=。29.設(shè)a為非零常數(shù)，若函數(shù)在處取得極值，則a的值為（）A. B.C.－3 D.330.函數(shù)若函數(shù)上有3個零點，則m的取值范圍為（） A．（-24,8） B．（-24,1] C．[1,8] D．[1,8）31.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個不相同的交點，則實數(shù)的取值范圍是(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)32．函數(shù)有（）A．極大值，極小值B．極大值，極小值C．極大值，無極小值D．極小值，無極大值33.已知a為實數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線，則a的取值范圍是（A） （B）（C） （D）34.已知函數(shù),其中（1）.當滿足什么條件時,取得極值?（2）.已知,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,試用表示出的取值范圍.35.已知定義在R上的函數(shù)，其中a為常數(shù)．（I）若x=1是函數(shù)的一個極值點，求a的值；（II）若函數(shù)在區(qū)間（－1，0）上是增函數(shù)，求a的取值范圍；（III）若函數(shù)，在x=0處取得最大值，求正數(shù)a的取值范圍．36.已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若x＝－eq\f(1,3)是f(x)的極值點，求f(x)在[1，a]上的最大值；(3)在(2)的條件下，是否存在實數(shù)b，使得函數(shù)g(x)＝bx的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有3個交點？若存在，請求出實數(shù)b的取值范圍；若不存在，試說明理由．37.已知函數(shù)在上沒有極值，則實數(shù)的取值范圍（A）（B）（C）或（D）或38.在、處取得極值（1）求、的值.（2）若恒成立，求的取值范圍.39.設(shè)函數(shù).（Ⅰ）若曲線在點處與直線相切，求的值；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點.40.已知函數(shù)有極值.（Ⅰ）求c的取值范圍；（Ⅱ）若在x=2處取得極值，且當時，恒成立，求d的取值范圍.41.已知函數(shù)(1)若在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；(2)若是的極值點，求在上的最大值；（3）在（2）的條件下，是否存在實數(shù)，使得函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖象恰有3個交點？若存在，請求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，試說明理由42.若是函數(shù)的兩個極值點．Ⅰ.若，求函數(shù)的解析式；Ⅱ.若，求的最大值.本類題的特征是：___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________本類題的做法是：___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________答案1.2.3.4.5.6.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）7.【答案】C【解析】令導數(shù)，解得；令導數(shù)，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，所以在處取極大值，也是最大值，故選C。8.9.若a>2，則.當x變化時，f’(x),f（x）的變化情況如下表：X0f’(x)+0-0+f(x)極大值極小值當?shù)葍r于解不等式組得-5<a<5.因此.10.11.12.13.（Ⅰ）解：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以，曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程是SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．（Ⅱ）解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，以下分兩種情況討論．（1）若SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0變化時，SKIPIF1<0的正負如下表：因此，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極小值SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極大值SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（2）若SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0變化時，SKIPIF1<0的正負如下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因此，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極小值SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極大值SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（Ⅲ）證明：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由（Ⅱ）知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是減函數(shù)，要使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0只要SKIPIF1<0即SKIPIF1<0①設(shè)SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值為SKIPIF1<0．要使①式恒成立，必須SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．所以，在區(qū)間SKIPIF1<0上存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0恒成立．14.15、【解析】（Ⅰ）當a=1時，對函數(shù)求導數(shù)，得令列表討論的變化情況：（-1，3）3+0—0+極大值6極小值-26所以，的極大值是，極小值是（Ⅱ）的圖像是一條開口向上的拋物線，關(guān)于x=a對稱.若上是增函數(shù)，從而上的最小值是最大值是由于是有由所以若a>1,則不恒成立.所以使恒成立的a的取值范圍是16.17.18.19.20.21.22.當b≤0時，SKIPIF1<0＞0在0≤x≤1上恒成立，此時SKIPIF1<0的最大值為：SKIPIF1<0＝|2a－b|﹢a；當b＞0時，SKIPIF1<0在0≤x≤1上的正負性不能判斷，此時SKIPIF1<0的最大值為：SKIPIF1<0＝|2a－b|﹢a；綜上所述：函數(shù)SKIPIF1<0在0≤x≤1上的最大值為|2a－b|﹢a；(ⅱ)要證SKIPIF1<0＋|2a－b|﹢a≥0，即證SKIPIF1<0＝﹣SKIPIF1<0≤|2a－b|﹢a．亦即證SKIPIF1<0在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a，∵SKIPIF1<0，∴令SKIPIF1<0．當b≤0時，SKIPIF1<0＜0在0≤x≤1上恒成立，此時SKIPIF1<0的最大值為：SKIPIF1<0＝|2a－b|﹢a；當b＜0時，SKIPIF1<0在0≤x≤1上的正負性不能判斷，SKIPIF1<0SKIPIF1<0≤|2a－b|﹢a取b為縱軸，a為橫軸．則可行域為：SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，目標函數(shù)為z＝a＋b．作圖如下：由圖易得：當目標函數(shù)為z＝a＋b過P(1，2)時，有SKIPIF1<0．∴所求a＋b的取值范圍為：SKIPIF1<0．23.24.當時,x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f’(x)＋0－0＋f(x)增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)所以在x1,x2處分別取得極大值和極小值.當時,x(-∞,x2)x2(x2,x1)x1(x1,+∞)f’(x)－0＋0－f(x)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)所以在x1,x2處分別取得極大值和極小值.綜上,當滿足時,取得極值.(2)要使在區(qū)間上單調(diào)遞增,需使在上恒成立.即恒成立,所以設(shè),,令得或(舍去),當時,,當時,單調(diào)增函數(shù);當時,單調(diào)減函數(shù),所以當時,取得最大,最大值為.所以當時,,此時在區(qū)間恒成立,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,當時最大,最大值為,所以綜上,當時,;當時,25.C26.解析：∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x，∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞單調(diào)遞增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x1+x2>0,∴b=－a(x1+x2)＜0.答案：(－∞,0）27.D【解析】因為，且f(x)在x＝－3時取得極值，所以=0,解得=5,故選D.28.【答案】29.C30.D31.B32．C，當時，；當時，當時，；取不到，無極小值33.D 34.解:(1)由已知得,令,得,要取得極值,方程必須有解,所以△,即,此時方程的根為,,所以當時,x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)＋0－0＋增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)所以在x1,x2處分別取得極大值和極小值.當時,x(-∞,x2)x2(x2,x1)x1(x1,+∞)－0＋0－減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)所以在x1,x2處分別取得極大值和極小值.綜上,當滿足時,取得極值(2)要使在區(qū)間上單調(diào)遞增,需使在上恒成立.即恒成立,所以設(shè),,令得或(舍去),當時,,當時,單調(diào)增函數(shù);當時,單調(diào)減函數(shù),所以當時,取得最大,最大值為.所以當時,,此時在區(qū)間恒成立,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,當時最大,最大值為,所以綜上,當時,;當時,【命題立意】:本題為三次函數(shù),利用求導的方法研究函數(shù)的極值、單調(diào)性和函數(shù)的最值,函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù),則導函數(shù)在該區(qū)間上的符號確定,從而轉(zhuǎn)為不等式恒成立,再轉(zhuǎn)為函數(shù)研究最值.運用函數(shù)與方程的思想,化歸思想和分類討論的思想解答問題.35.（1）a=2 （2）a36.【解】(1)f′(x)＝3x2－2ax－3.∵f(x)在[1，＋∞)是增函數(shù)，∴f′(x)在[1，＋∞)上恒有f′(x)≥0，即3x2－2ax－3≥0在[1，＋∞)上恒成立，則必有eq\f(a,3)≤1且f′(1)＝－2a≥0.∴a≤0.………4分(2)依題意，f′(－eq\f(1,3))＝0，即eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)a－3＝0.∴a＝4，∴f(x)＝x3－4x2－3x.令f′(x)＝3x2－8x－3＝0，得x1＝－eq\f(1,3)，x2＝3.則當x變化時，f′(x)與f(x)變化情況如下表x1(1,3)3(3,4)4f′(x)

－0＋

f(x)－6－18－12∴f(x)在[1,4]上的最大值是f(1)＝－6.………8分(3)函數(shù)g(x)＝bx的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有3個交點，即方程x3－4x2－3x＝bx恰有3個不等實根．∴x3－4x2－3x－bx＝0，∴x＝0是其中一個根，∴方程x2－4x－3－b＝0有兩個非零不等實根．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝16＋4(3＋b)＞0,－3－b≠0))∴b＞－7且b≠－3.∴存在滿足條件的b值，b的取值范圍是b>－7且b≠－3.………12分37.A38.（1）′的兩根為（2）′+-+↑極大↓極小↑