2023-2024學(xué)年北京市通州區(qū)高一年級(jí)下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題

2023-2024學(xué)年北京市通州區(qū)高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題

一、單選題

1.設(shè)4={0,l,2,3},8={dY—3χ+2>θ},則AB=（）

A.{0,l}B.{0,3}C.{1,2}D.{2,3}

【正確答案】B

【分析】解不等式得到集合A,從而求出交集.

【詳解】X2-3X+2>0,解得X>2或X<1,故A={X∣X>2或X<1},

故Ac8={0,3}.

故選：B

2.已知。=4°Lb=2°?3,c=log4O.6,則〃也C的大小關(guān)系為（）

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<b<cD.b<a<c

【正確答案】A

【分析】由于是指數(shù)式，并且可以化成同底數(shù)的指數(shù)式，所以可以構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)

的單調(diào)性判斷大小；C是對(duì)數(shù)式，并且根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可以得到c<0,從而得到a,6,c之間的大

小關(guān)系.

【詳解】因?yàn)椤?4（U=2°?2,6=2°?3,且指數(shù)函數(shù)y=2、是增函數(shù)，0.3>0.2,

所以0v2°?2<2%BP0<α<6,

又因?yàn)椋?1。840-6<10841=（）,所以CVaV6.

故選：A.

3.在平行四邊形ABCD中，BC-CD+BA=

A.BCB.ADC.ABD.AC

【正確答案】A

【詳解】在平行四邊形ABCD中,BC=AD,所以

BC-CD+BA=AD-CD+BA=AD+BA-CD=BD-CD=BC,選A.

4.已知角e的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)pp,-6）,則CoSe的值為（）

A.BB.C.；D.--

2222

【正確答案】D

【分析】利用三角函數(shù)的定義求解.

【詳解】解：因?yàn)榻?的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(-1,-G),

-11

廣廣］COSθzη=/=---

所以J(T)2+M)22,

故選：D

5.已知向量Q=(I㈤，?=(-1,1),c=(3,0),若&〃(〃+1),則m=()

A.?B.2C.-1D.-2

【正確答案】A

【分析】首先求出6+c的坐標(biāo)，再根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.

【詳解】因?yàn)棣?(l,帆)，?=(-l,l),e=(3,0),

所以A+c=(-1,1)+(3,0)=(21)，

又α∕∕(b+c),所以1x1=2機(jī)，解得機(jī)=g.

故選：A

6.函數(shù)/(x)=SinX的圖象經(jīng)過(guò)下列哪個(gè)變換可以得到g(x)=sin(2x+g)的圖象，這個(gè)變換是()

A.先將函數(shù)/(x)=SinX的圖象向左平移W個(gè)單位，再把圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍

B.先將函數(shù)/(x)=SinX的圖象向左平移g個(gè)單位，再把圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的g

C.先把函數(shù)/")=SinX的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的再將圖象向左平移;個(gè)單位

D.先把函數(shù)/(x)=SinX的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，再將圖象向左平移B個(gè)單位

O

【正確答案】B

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則計(jì)算可得.

【詳解】先將函數(shù)/(x)=SinX的圖象向左平移;個(gè)單位得到y(tǒng)=sin(x+",

再把y=sin(x+g)圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的?得到y(tǒng)=sin(2x+￡),即

故選：B

7.已知函數(shù)/(X)=ASin(5+￠)(A>0,<y>0,?9∈R).則"〃x)的函數(shù)圖象關(guān)于V軸對(duì)稱(chēng)”是“9=”

的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】B

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式、余弦函數(shù)的性質(zhì)及充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】因?yàn)?(x)=ASin(0x+9)(A>θM>O,9eR),

若〃力的函數(shù)圖象關(guān)于N軸對(duì)稱(chēng)，則3=]+E,keZ,

所以由'"(X)的函數(shù)圖象關(guān)于V軸對(duì)稱(chēng)“得不到“9=3”，即充分性不成立，

由"夕=可以得到"/(x)的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)“，即必要性成立；

故’"(X)的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)是“勿=的必要不充分條件.

故選：B

8.已知/(x)=ASin(ox+9),其中(AH),0>O,O<g;r)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示.則/(x)=

()

W

23π7π

A.2sinB.2sin

C.2sinD.2sin

【正確答案】B

【分析】根據(jù)圖象最值，可求得A值，根據(jù)圖象的周期性，結(jié)合公式，即可求得“值，根據(jù)五點(diǎn)作圖

法，代入數(shù)據(jù)，即可得。值，即可得答案.

【詳解】觀察可得圖象最大值為2,最小值為-2,所以A=2,

因?yàn)?=W-3,所以7=4萬(wàn)=二，解得

222ω2

根據(jù)五點(diǎn)作圖法可得：^×^-+φ=π,解得夕=?,

所以/(x)=2sin(gx+?).

【正確答案】D

【詳解】因?yàn)閒(τ)=(-x+3cosx=-(X-L)COSX=-/(x),故函數(shù)是奇函數(shù)，所以排除A,B；取X=",

XX

則/(%)=(九一,)以”乃=一(乃一--)<0,故選D.

ππ

1.函數(shù)的基本性質(zhì)；2.函數(shù)的圖象.

10.將一條均勻柔軟的鏈條兩端固定，在重力的作用下它所呈現(xiàn)的形狀叫懸鏈線，例如懸索橋等.建

V*

立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，可以寫(xiě)出懸鏈線的函數(shù)解析式為〃x)=αcosh,,其中。為懸鏈線系數(shù)，coshr

稱(chēng)為雙曲余弦函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為COShX=但二，相應(yīng)地雙曲正弦函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式為

2

SinhX=更上.則下列錯(cuò)誤的是()

2

A.y=SinhLrcoshx是奇函數(shù)

B.cosh(X+y)=coshxcoshy-SinhXSinhy

C.Cosh2X-Sinh2X=1

D.Sinh(X—y)=Sinhxcoshy-Coshxsinhy

【正確答案】B

【分析】根據(jù)奇偶性的定義以及指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】由CoShX=巴E,SinhX=巨士?，

22

2x—2X—2x2x

對(duì)于A,y=/(?)=sinhxcoshx=---------,f(-?)=---------=-∕(x),

且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故A正確.

pχ+n(χ+y)

對(duì)于B,cosh(x+y)=--------------

QX+QXe>'+e^^y

coshXcoshy-sinhxsinhy=---------------——

產(chǎn)，+e"+e"+>+ef-(e*+>-e`r-e”'+ex-y)-l+>'

+e故B不正確;

4―2

2v2x2v2x

對(duì)于C,COsh2X-Sinh2X=I/e,t?-ΛA2(X-Xy=-e--?--÷--2--+---e-~-----*f-e-------2--÷---e-~---*\=1,故C正確,

I2J2J4

e「1一e一(Ay)

對(duì)于D,Sinh(X-y)=---------------

ev+e≈vey-e-yev+e-χ

sinhXcoshy-sinhycoshx=———

222

e"，,+e"-e"-e「m-。一力+e/->-χ->tχ-y-eψ'yl

+ee故D正確.

42

故選：B.

二、填空題

一5兀

11.cos—=.

6----------------

【正確答案】W

2

【分析】利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算可得.

12.已知扇形的圓心角為120。，扇形的面積為3萬(wàn)，則該扇形所在圓的半徑為

【正確答案】3

【分析】令扇形所在圓的半徑為，根據(jù)扇形的面積公式有120°?"尸=3萬(wàn),即可求L

QA八。

【詳解】由題意，令扇形所在圓的半徑為『，則端XQ2=30

Ar2=9,故r=3.

故3

13.sin35°cos25°+cos35°cos65°=.

【正確答案】—

2

【分析】利用誘導(dǎo)公式將原式化為Sin35。CoS25。+CoS35。Sin25。，再根據(jù)兩角和得正弦公式即可得出

答案.

【詳解】解：sin350cos250+cos350cos650

=sin35ocos250+cos35osin25o

=sin(35o+25o)

√-5

=sin60o=2

G

故答案為.2

14.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則OE?CB的值是;OE?OC的

最大值.

【正確答案】U

【詳解】根據(jù)平面向量的點(diǎn)乘公式。。。8=。￡?。3/科回際區(qū)由圖可知，阿卜856=|。4因

此。E?CB=∣CA∣2=1;

DE?DC=?DE???DC∣cosa=∣OqCOSa,而|。耳?cosα就是向量。E在DC邊上的射影，要想讓DE?DC

最大，即讓射影最大，此時(shí)E點(diǎn)與B點(diǎn)重合，射影為∣OC∣,所以長(zhǎng)度為1.

【考點(diǎn)定位】本題是平面向量問(wèn)題，考查學(xué)生對(duì)于平面向量點(diǎn)乘知識(shí)的理解，其中包含動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，考

查學(xué)生最值的求法.

三、雙空題

15.聲音是由物體振動(dòng)而產(chǎn)生的聲波通過(guò)介質(zhì)(空氣、固體或液體)傳播并能被人的聽(tīng)覺(jué)器官所感知

的波動(dòng)現(xiàn)象.在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常需要把兩個(gè)不同的聲波進(jìn)行合成，這種技術(shù)被廣泛運(yùn)用在樂(lè)器的調(diào)音

和耳機(jī)的主動(dòng)降噪技術(shù)方面.

(I)若甲聲波的數(shù)學(xué)模型為/(/)=SinlOoR,乙聲波的數(shù)學(xué)模型為八(r)=cos(100m+e)(e>0),甲

、乙聲波合成后的數(shù)學(xué)模型為/(，)=7；。)+.人。).要使/。)=0恒成立，則。的最小值為.

(2)技術(shù)人員獲取某種聲波，其數(shù)學(xué)模型記為H。)，其部分圖象如圖所示，對(duì)該聲波進(jìn)行逆向分析,

發(fā)現(xiàn)它是由5“邑兩種不同的聲波合成得到的，*邑的數(shù)學(xué)模型分別記為/⑺和g(r),滿足

“S=∕(f)+g(f)?己知兩種聲波的數(shù)學(xué)模型源自于下列四個(gè)函數(shù)中的兩個(gè).

?y=sin→;

②y=sinπr；

③y=COS3兀，；

④y=2cos3πr.

則S∣,邑兩種聲波的數(shù)學(xué)模型分別是.(填寫(xiě)序號(hào))

【正確答案】(1)?②④

2

【分析】第一空利用余弦定理的和角公式展開(kāi)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可；第二空結(jié)合圖象確定

周期為2,最大值低于3,依次組合分析即可.

【詳解】要/(。=工。)+力⑺=SinlOOπf+cos(lOOπf+0)=O恒成立，

即(l-sinS)SinlOOm+cos^coslOOm=0對(duì)feR恒成立，

[1—sinφ=Q兀兀

故LCCS∩ne=j+2E,又9>0n?面=不；

[cosφ=D22

根據(jù)周期的計(jì)算公式，對(duì)于①②③④四個(gè)函數(shù)其周期分別為：4,2,j,∣,由圖象可知”(/)的最小正周

期為2,故排除①，若③④組合，其周期為W不符合題意，

故為②④組合.

畤②④

四、解答題

16.設(shè)向量a=(-1,2),6=(1,-1),c=(4,-5).

(2)若c=4α+∕∕b,2,∕√eR,求2+〃的值;

【正確答案】(1)1

(2)2

【分析】(1)先求得“+2"然后求得卜+24?

(2)根據(jù)1=2。+〃7歹U方程組，化簡(jiǎn)求得大〃，進(jìn)而求得4+〃.

【詳解】U)a+2?=(-l,2)+(2,-2)=(1,0),∣a+2?∣=√17θ=1；

(2)(4,-5)=X(T2)+〃(LT)=(T+〃,2j),

-A+〃=4A=-I

所以，解得:.，所以4+〃=2.

2λ-μ=-5〃=3

17.已知"工+5卜呆小。,?.

⑴求tan2x的值；

⑵求2cos2(x+?)+COS(]-2X]的值.

【正確答案】(1)—逑；

7

9

【分析】(1)先由誘導(dǎo)公式求得CoSX,再由平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系求得sinx,lanx,最后由倍角公式求

得tan2x即可；

(2)先由誘導(dǎo)公式及倍角公式化簡(jiǎn)，再代入求值即可.

【詳解】(1)由題意得，sinL+yUcosx=∣,又Xe(O,/

,∣?r-C2tanX4√2

則mtanX=2J2，tan2x=-------?-=---------;

1-tanX7

(2)2cos2(x+4)+cos(工-2x］=2cos2x+sin2x=2cos2jc+2sinxcosx=2x」+2x，x冬區(qū)=2+4加

UJ9339

18.已知函數(shù)/(x)=ASin(S+e)(A>0,<υ>0,0<e<")的周期為4/r手，且圖像上一個(gè)最低點(diǎn)為

(1)求f(x)的解析式;

(2)當(dāng)Xe乃時(shí)，求函數(shù)/(χ)的最值以及取得最值時(shí)X的值.

【正確答案】⑴〃X)=&sin(|x+?)

(2)X=多時(shí)，取得最小值-&：X=W時(shí)，/U)取得最大值1

63

【分析】(1)根據(jù)周期求出。=|,根據(jù)最低點(diǎn)求出A=√5,φ=g則可得函數(shù)/(x)的解析式;

TT~?37r「3ττ77r

(2)根據(jù)x∈不乃,求出M+:，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.

[3」24L44J

4萬(wàn)

【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=ASin(。犬+8)缶＞0,。＞0)的周期為號(hào)，且圖像上一個(gè)最低點(diǎn)為

LLi、t2乃-3335乃3冗?.IrATI/口TC1-

JjFf以A=yj2,,0)——=21×—=—,—X----卜(P=-----h2左乃,ZwZ,解得(P=—F2%肛攵∈Z,

T4422624

JT

由于OCee%，所以夕=：,

4

所以/(X)的解析式為/(X)=√∑Sin(|X+小

「「乃1LL,,3π?3π1π

(2)因?yàn)閄E彳,乃,所以彳1+;∈—,

|_3」24L44J

所以當(dāng)∣χ+?4時(shí)，即X哼時(shí)，/(X)取得最小值-0;

當(dāng)］'+￡=￥，即X=W時(shí)，/(X)取得最大值L

2443

19.對(duì)于角的集合館,％,2｝和角α,定義〃=UCOS2(q-α)+cos2(a-α)++cos?(%-α)］為集

合｛4e,…?｝相對(duì)角ɑ的“余弦方差”.

⑴集合A=，,d和B={gT,d相對(duì)角ɑ的“余弦方差”分別為多少？

(2)角a=5,集合e=求0相對(duì)角ɑ的“余弦方差”為多少？

⑶角1=生，集合{ac,c},a+a+?+a=2π∕∈N*,求。相對(duì)角α的“余弦方差”是否有最大

n

值？若有求出最大值，若沒(méi)有說(shuō)明理由？

【正確答案】⑴!:

22

⑵T

(3)有最大值；集合。相對(duì)角α的“余弦方差”的最大值為1

【分析】Q)按照“余弦方差”的定義代入公式，利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可;

(2)按照“余弦方差'’的定義代入公式，利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式及余弦的和差角公式、和差化積

化簡(jiǎn)計(jì)算即可;

(3)利用二倍角公式將問(wèn)題化簡(jiǎn)為：//=?+?×[cos2^l+cos2y0,+...+cos2∕7n],

22〃

取特殊情況笈=0,(i=l,2,3…”-1),氏=π,,代入可得結(jié)果.

【詳解】(1)集合A相對(duì)角"的“余弦方差''為:

22

1π2(π-σ)=^×^sinα÷coscrJ=?

μ=-×COS2a+COS

2~~

集合8相對(duì)角ɑ的“余弦方差”為:

1222π

u=-×COS+COS---er+cos2(π-a)

3

l+cosf^?-2ajj+1+c陪一2“+g(l+cos20)

2

11(22π](447πTC)C

÷-×cos------2a+cos-------2a+cos2a

2633

Γ(2兀2兀、(47i4τι

cos—cos2α÷sin—si∏2α+cos—cos2α+sin—si∏2α+cos20

26Ll33M33

\1-Icos2ɑ÷^?G)

=-----1-----Xsin2σ+——cos2a-------sin2α+cos2a

262222

?

-2

（2）集合3相對(duì)角。的“余弦方差''為

1，.2兀.)2π.23兀.24兀

—×sιn^—+sιn^—+sm-——÷sιn^——

55555

212π4π6π8π

——-XCOS—+cos—+cos—+cos—

510_5555

21(2π4π4π2π4π

——一X+COS—+COS—+cos—2」Xcos—+cos—

510155555555

213ππ.3π.π3ππ.3π.π

=-------×cos——cos—÷sιn——sin—+cos——cos——sin——sin—

5555