計(jì)數(shù)原理、排列組合、二項(xiàng)式定理-2023年高考數(shù)學(xué)考試（新高考）（解析版）

專題15計(jì)數(shù)原理與排列組合、二項(xiàng)式定理

易命臺(tái)所

【正解】

一、混淆二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)致錯(cuò)

I.（F+3）的展開式中√t的系數(shù)為（）

A.10B.20C.90D.80

【錯(cuò)解】A,q?3r?x10-3r

令10-3r=4廁r=2,所以（/+1的展開式中/的系數(shù)為曰。，故選A.

【錯(cuò)因】錯(cuò)把二項(xiàng)式系數(shù)當(dāng)成項(xiàng)的系數(shù)。

【正解】C,由題可得&∣=C>(χ2廣.[a]=C?3F∣°τr

令10—3r=4,則r=2,所以u(píng),3'_C?.3?—90，故選C

2、（α-b）”的展開式中,系數(shù)最大的項(xiàng)是第項(xiàng)

【錯(cuò)解】6或7,（4-"’的展開式中共12項(xiàng),第6項(xiàng)的系數(shù)為CQ第7項(xiàng)的系數(shù)為,又循=C],

所以數(shù)最大的項(xiàng)是第6或7項(xiàng).

【錯(cuò)因】錯(cuò)把二項(xiàng)式系數(shù)當(dāng)成項(xiàng)的系數(shù)。

【正解】（“—6）”的展開式中共12項(xiàng),第6項(xiàng)的系數(shù)為,第7項(xiàng)的系數(shù)為C：,

所以數(shù)最大的項(xiàng)是第7項(xiàng).

二、忽略二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是第r+1項(xiàng)不是第r項(xiàng)致錯(cuò)

3、二項(xiàng)式—的展開式的第二項(xiàng)是（）

A.60X2B.-60X2C.12X4D.-12x4

2

【錯(cuò)解】展開式的通項(xiàng)為Cl（X）j,令r=2,可得展開式的第二項(xiàng)為C；/=60X2.

故選A.

【錯(cuò)因】誤認(rèn)為第二項(xiàng)是尸=2而錯(cuò)誤

【正解】展開式的通項(xiàng)為7；M=Cζ(x)6-',令r=1,可得展開式的第二項(xiàng)為

C=-12一.故選d?

三、混淆均勻分組與部分均勻分組致錯(cuò)

4、某校高二年級(jí)共有六個(gè)班,現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生,要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排2

名,則不同的安排方案種數(shù)為O

Λ2Γ2

A.B.C.A：A^D.2A；

2

【錯(cuò)解】選A,先將4名學(xué)生均分成兩組方法數(shù)為C；,再分配給6個(gè)年級(jí)中的2個(gè)分配方法數(shù)

為尼,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理合要求的安排方法數(shù)為盤片.

【錯(cuò)因】該題為均勻分組，忽略除以G而錯(cuò)誤.

C2

【正解】先將4名學(xué)生均分成兩組方法數(shù)為卡,再分配給6個(gè)年級(jí)中的2個(gè)分配方法數(shù)為

4

C2A2

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理合要求的安排方法數(shù)為‘√?.故選B.

5.某小區(qū)共有3個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)同時(shí)進(jìn)行檢測(cè)，有6名志愿者被分配到這3個(gè)檢測(cè)點(diǎn)參加服務(wù)，

6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”進(jìn)行檢測(cè)工作的傳授，每

個(gè)檢測(cè)點(diǎn)至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，則不同的分配方案

種數(shù)是()

A.72B.108C.216D.432

【錯(cuò)解】A,根據(jù)題意，可先把4名“熟手”分為人數(shù)為2,1,1的三組，再分配到3個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，共

氾

CC；?；種分法，然后把名“生手”分配到個(gè)檢測(cè)點(diǎn)中的個(gè)，有；種分法,

仃?A232A

Cc；c；

所以共有?A，A；=72種不同的分配方案.

【錯(cuò)因】該題為部分均勻分組，應(yīng)除以4；,而不是

【正解】C,根據(jù)題意，可先把4名“熟手”分為人數(shù)為2,1,1的三組，再分配到3個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，共有

CCe

?A汨吩法，然后把2名“生手”分配到3個(gè)檢測(cè)點(diǎn)中的2個(gè)，有A；種分法,所

C；C；C；

以共有?A}A；=216種不同的分配方案.

F

四、計(jì)數(shù)時(shí)混淆有序與定序

6、某學(xué)校舉行校慶文藝晚會(huì)，已知節(jié)目單中共有七個(gè)節(jié)目，為了活躍現(xiàn)場(chǎng)氣氛，主辦方特

地邀請(qǐng)了三位老校友演唱經(jīng)典歌曲，并要將這三個(gè)不同節(jié)目添入節(jié)目單，且不改變?cè)瓉淼墓?jié)目

順序，則不同的安排方式有種.

【錯(cuò)解】4：原先有七個(gè)節(jié)目，添加三個(gè)節(jié)目后，節(jié)目單中共有十個(gè)節(jié)目，則不同的排列方法

有浦種.

【錯(cuò)因】忽略了不改變?cè)瓉淼墓?jié)目順序這一條件，即原來的七個(gè)節(jié)目是定序的。

【正解】原先七個(gè)節(jié)目的不同安排方法共有W利，，添加三個(gè)節(jié)目后，節(jié)目單中共有十個(gè)節(jié)目，

先將這十個(gè)節(jié)目進(jìn)行全排列，不同的排列方法有力：：種，而原先七個(gè)節(jié)目的順序一定,

4?

故不同的安排方式共有=720（種）.

7、身高互不相同的七名學(xué)生排成一排,從中間往兩邊越來越矮,不同的排法有O

A.5040種B.720種C.240種D.20種

【錯(cuò)解】最高個(gè)子站在中間,只需排好左右兩邊,第一步：先排左邊,有A：=120種排法,第二步:

排右邊,有A；種排法,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有120x6=720種,故選B.

【錯(cuò)因】混淆有序與定序

【正解】最高個(gè)子站在中間,只需排好左右兩邊,第一步：先排左邊,因順序固定有屐=20種排法,

第二步：排右邊,因順序固定,有1種排法,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有20x1=20種,故選。.

五、混淆排列與組合導(dǎo)致計(jì)數(shù)錯(cuò)誤

8.有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)，從10人中選出4人承

擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法種數(shù)是（）

A.1260B.2025C.2520D.5040

【錯(cuò)解】先從10人中選出2人承擔(dān)甲任務(wù)：再從余下8人中選出2人分別承擔(dān)乙任務(wù)、丙任務(wù).根

據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法共有4彳44=5040種.故選A.

【錯(cuò)因】本題是組合問題，是無序的，不是排列問題。

【正解】選C,先從10人中選出2人承擔(dān)甲任務(wù)；再從余下8人中選出2人分別承擔(dān)乙任務(wù)、

丙任務(wù).根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法共有C%C?C}=2520種.故選C.

六、考慮問題不全面導(dǎo)致漏計(jì)出錯(cuò)

9、如圖，洛書（古稱龜書）是陰陽五行術(shù)數(shù)之源.在古代傳說中有神

龜出于洛水，其甲殼上有此圖象，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為

肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四角黑點(diǎn)為陰數(shù).若從四

個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽數(shù)中隨機(jī)選取3個(gè)數(shù)，則選取的3個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)的方

法數(shù)為（）

A.10B.40C.44D.70

【錯(cuò)解】選B,由題意可知，陰數(shù)為2,4,6,8,陽數(shù)為1,3,5,7,9,若選取3個(gè)數(shù)的和為奇數(shù)，則3

個(gè)數(shù)都為奇數(shù)，共有Cg=IO種方法；所以滿足題意的方法共有10種.

【錯(cuò)因】沒有考慮兩偶一奇的情況，

【正解】選B,由題意可知，陰數(shù)為2,4,6,8,陽數(shù)為1,3,5,7,9,若選取3個(gè)數(shù)的和為奇數(shù)，則有

兩類：一類是3個(gè)數(shù)都為奇數(shù)，共有Cg=IO種方法；另一類是兩偶一奇，共有C2Cg=

30種方法，所以滿足題意的方法共有10+30=40種.故選B.

10.某賓館安排N,B,C,D,E五人入住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，且48不能

住同一房間，則共有種不同的安排方法.（用數(shù)字作答）

【錯(cuò)解】42,5個(gè)人住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，則按3,1,1住，有Cg?A+=60（種），A,B

住同一房間有QA§=18（種），故有60—18=42（種）.

【錯(cuò)因】沒有考慮按2,2,1住的情況，

【正解】114,5個(gè)人住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，則有3,1,1和2,2,1兩種.當(dāng)為3,1,1

時(shí)，有C*AJ=6O（種），A,8住同一房間有CV^=I8（種），故有60—18=42（種）；當(dāng)為

2,2,1時(shí)，有器?XAt=90（種），A,8住同一房間有C3A3=18（種），故有90—18=

Ai

72（種）.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有42+72=114（種）.

11、若a,b∈{1,2,3,4,8,9}J∣Jlogπb可表示個(gè)不同的實(shí)數(shù)。

【錯(cuò)解】當(dāng)。RLb=I時(shí)log,/=。；當(dāng)α=b≠l時(shí)IOg“6=1,當(dāng)。力不相等且均不為1時(shí)滿

足條件的實(shí)數(shù)個(gè)數(shù)為&=20,所以log,*可表示22個(gè)不同的實(shí)數(shù).

【錯(cuò)因】忽略l0g23=Iog49,log32=log,4,log,4=Iog39,Iog42=Iog93.

【正解】當(dāng)αwl力=1時(shí)logf,b=0；當(dāng)α=b≠1時(shí)IOg“b=1,當(dāng)α,b不相等且均不為1

時(shí),由α,b可組成6=20個(gè)對(duì)數(shù)式淇中l(wèi)ɑg?3=Iog49Iog32=Iog94,Iog24=Iog39,

所以logflb可表示20個(gè)不同的實(shí)數(shù).

七、混淆二項(xiàng)式系數(shù)之和與所有項(xiàng)系數(shù)之和出錯(cuò)

12.已知(x+二)"的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256,則這個(gè)展開式中X4項(xiàng)的系數(shù)

X

【錯(cuò)解】令X=I,則4"=256,則〃=4,a+)的展開式的通項(xiàng)為小尸《產(chǎn)'('=43工-

XX

(r∈N*,r≤4),由4-2廠=4得r=0,所以所求展開式中√l項(xiàng)的系數(shù)是蠕.3°=L

3

【錯(cuò)因】混淆二項(xiàng)式系數(shù)之和與所有項(xiàng)系數(shù)之和，本題是說(x+3)"的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式

X

系數(shù)的和為256,

【正解】依題意2"=256,則N=8,(x+3)ii的展開式的通項(xiàng)為小I=QXx(3y=C.3'??χ8-2r

XX

(r∈N*,r≤8),由8—2廠=4,得r=2,所以所求展開式中X4項(xiàng)的系數(shù)是.3?=252.

八、利用分步乘法原理計(jì)數(shù),分步標(biāo)準(zhǔn)錯(cuò)誤

13、把3個(gè)不同的小球投入到4個(gè)盒子,所有可能的投法共有()

A.24種B.4種C.43種D.34種

【錯(cuò)解】因?yàn)槊總€(gè)盒子有三種投入方法,共4個(gè)盒子,所以共有3χ3χ3χ3=3"種)投法.

【錯(cuò)因】沒有考慮每個(gè)球只能投入一個(gè)盒子中,導(dǎo)致錯(cuò)誤

【正解】第1個(gè)球投入盒子中有4種投法；第2個(gè)球投入盒子中也有4種投法；第3個(gè)球投入

盒子中也有4種投法.只要把這3個(gè)球投完,就做完了這件事情,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可

得共有43種方法.

九、混淆二項(xiàng)式展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)與系數(shù)最大的項(xiàng)致錯(cuò)

14、若［"十41展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)和為163,則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)第項(xiàng).

2n~3k

【錯(cuò)解】5或6,展開式的通項(xiàng)為=由題意可得，20C!!+2C,1,+22Cs=163,

解得〃=9.則展開式中共有10項(xiàng)，且第5項(xiàng)、第6項(xiàng)為二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)。

【錯(cuò)因】混淆二項(xiàng)式展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)與系數(shù)最大的項(xiàng)

【正解】展開式的通項(xiàng)為。+I=2*c?χ1^一,由題意可得，20C2+2C,∣+22CA163,解得“=9.

2tC?≥2*+lCΓ'17A

設(shè)展開式中〃+1項(xiàng)的系數(shù)最大，則,'解得izWAW9型，又?.?R∈N,

2M>2λ'^lCΓl,33

：.k=6,故展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第7項(xiàng)。

1.將2名教師，4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組

由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有()

A.12種B.10種C.9種D.8種

【答案】A

【解析】先安排I名教師和2名學(xué)生到甲地，再將剩下的1名教師和2名學(xué)生安排到乙地，共

有C；C；=12種.

2.(l+±)(l+x)6展開式中χ2的系數(shù)為()

X

A.15B.20C.30D.35

【答案】C

【解析】因?yàn)?1+!)(1+X)6=1?(1+X)6+J?(1+X)6,則(l+x)6展開式中含χ2的項(xiàng)為

XJr

22

1-C；X=15X,[?(l+x)6展開式中含尤2的項(xiàng)為Jrc54=i5χ2,故χ2的系數(shù)為

XX

15+15=30,選C.

3.6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館

安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有()

A.120種B.90種C.60種D.30種

【答案】C

【解析】首先從6名同學(xué)中選1名去甲場(chǎng)館，方法數(shù)有G：然后從其余5名同學(xué)中選2名去乙場(chǎng)

館，方法數(shù)有C；；最后剩下的3名同學(xué)去并場(chǎng)館，故不同的安排方法共有=6x10=60

種，故選C.

4.某班級(jí)要從6名男生、3名女生中選派6人參加社區(qū)宣傳活動(dòng)，如果要求至少有2名女生參

加，那么不同的選派方案種數(shù)為()

A.19B.38C.55D.65

【答案】D

【解析】至少有2名女生參加包括2名女生4名男生與3名女生3名男生兩種情況，所以不

同的選派方案種數(shù)為C3C?+CK?=65.故選D.

5.若(x—I)4=ao+aιx+a2χ2+ajχ3+a4χ4,則知+內(nèi)+四的值為()

A.9B.8C.7D.6

【答案】B

【解析】令X=1,則ao+α1+α2+43+44=O,令X=-I,則。0—“|+。2—。3+。4=16,兩式相加

得。（）+。2+。4=8.

6.若（1-x）5=αo+αιx+42χ2+α3χ3+α4χ4+α5χ5,則Iaol一切|+心2|一∣tf3∣+∣α4∣一|怒|=（）

A.OB.1C.32D.-1

【答案】A

rr

【解析】由（1—x）5的展開式的通項(xiàng)為7^?+1=（—1）C?τ,得m,ay,“5為負(fù)數(shù)，ao,a2,。4為正數(shù),

故有IaOI—∣m∣+∣02∣一悶+⑸一∣α5∣=α0+α∣+α2+43+α4+α5=（l-^l）'=0.故選A.

7、某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目，2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類

節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是（）

A.72B.120C.144D.168

【答案】B

【解析】安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順序有三種：“小品1,小品2,相聲“，“小品I,相聲，

小品2”和“相聲，小品1,小品2”.對(duì)于第一種情況，形式為“□小品1歌舞1小品2口相

聲□"，有A3C3A孑=36（種）安排方法；同理，第三種情況也有36種安排方法，對(duì)于第二種情況,

三個(gè)節(jié)目形成4個(gè)空，其形式為“□小品1口相聲□小品2口”，有A3Ai=48種安排方法，故

共有36+36+48=120種安排方法.

8.（多選題）卜+：）的展開式中，下列結(jié)論正確的是（）

A.展開式共6項(xiàng)

B.常數(shù)項(xiàng)為160

C.所有項(xiàng)的系數(shù)之和為729

D.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64

【答案】BCD

【詳解】+展開式的總項(xiàng)數(shù)是7,A不正確；（X+：）展開式的通項(xiàng)公式為

C）6-，E）=qZx6-2r,令6-2r=0得r=3,常數(shù)項(xiàng)為C：23=160,B正確；取X=I得卜+：］

展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)之和為3'=729,C正確；由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得（x+1］展開式的所有

項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為26=64,D正確.

LX2__Ll

9、(多選)已知IUJ"(α>O)的展開式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且展開式的各項(xiàng)

系數(shù)之和為1024,則下列說法正確的是()

A.展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256

B.展開式中第6項(xiàng)的系數(shù)最大

C.展開式中存在常數(shù)項(xiàng)

D.展開式中含χi5的項(xiàng)的系數(shù)為45

【答案】BCD

【解析】由二項(xiàng)式的展開式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等可知〃=10,又展開式的各項(xiàng)系

數(shù)之和為1024,所以令X=1,得伍+1嚴(yán)=IO24,又4>0,所以α=l,所以二項(xiàng)式為(x2+?]?θ

=G+xJ10,故展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為,x2∣°=512,故A錯(cuò)誤；由"=IO可知展

2

開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，因?yàn)?與AΛ5的系數(shù)均為[,所以第6項(xiàng)的系數(shù)最大，故B

(--]2(10-r)--1

2

正確；l『+xJ∣°的展開式的通項(xiàng)為7；+I=Cf(JX(F=0,1,2,10),令2(10—r)一,=0,

解得，=8,即常數(shù)項(xiàng)為第9項(xiàng)，故C正確；令2(10-r)一5=15,得r=2,所以展開式中含x"

的項(xiàng)的系數(shù)為C?o=45,故D正確.故選B、C、D.

10某運(yùn)動(dòng)會(huì)期間，從3名男志愿者和2名女志愿者中選4名去支援“冰壺”“花樣滑冰”“短道速滑”

三項(xiàng)比賽志愿者工作，其中冰壺項(xiàng)目需要一男一女兩名，花樣滑冰和短道速滑各需要一名，男

女不限.則不同的支援方法的種數(shù)是()

A.36B.24C.18D.42

【答案】A

【詳解】第?步從3名男志愿者和2名女志愿者各選一名志愿者去支援冰壺項(xiàng)目，選法共有

C；C；=6種；第二步從剩余的3人中選?人去支援花樣滑冰，選法共有C；=3種；第三步從剩余

的2人中選一人去支援短道速滑，選法共有C；=2種；依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的支

援方法的種數(shù)是6x3x2=36,

11.已知(x+2)”的二項(xiàng)展開式中，第三項(xiàng)與第凡-2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為84,則第四項(xiàng)的系數(shù)為

A.280B.448C.692D.960

【答案】B

【詳解】由題，［+I=CXl"4x2,因?yàn)榈谌?xiàng)與第〃-2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為84,所以

C：+C；『=84,即C：+0=84,所以.M〃T）+〃（〃_1）（〃_2）=84,解得”=8,

23×2

所以第四項(xiàng)的系數(shù)為CjχJ3χ23=448,

12.甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去4民C三個(gè)不同的小區(qū)參加新冠疫情防控志愿服務(wù)，每

個(gè)小區(qū)至少去1人，每人只去1個(gè)小區(qū)，且甲、乙去同一個(gè)小區(qū)，則不同的安排方法有（）

A.28種B.32種C.36種D.42種

【答案】C

CCe

【詳解】將甲、乙看成一個(gè)元素然后將/、內(nèi)、丁、戊四個(gè)元素分為組，共有=6

43F

種，再將3組分到3個(gè)不同小區(qū)有A；=6種，所以滿足條件的安排方法共有6x6=36種.

13.現(xiàn)從男、女共8名學(xué)生中選出2名男生和1名女生分別參加學(xué)?！百Y源”“生態(tài)”和“環(huán)?！比齻€(gè)

夏令營活動(dòng)，已知共有90種不同的方案，那么男、女學(xué)生的人數(shù)分別是（）

A.2,6B.3,5C.5,3D.6,2

【答案】B

【詳解】設(shè)男生有X人，則女生有（8-x）人,且8>x≥2.由題意可得CCLA”90,即

X（X-I）（8-x）χ6=9o,得χ=3,故8-x=5,即男、女學(xué)生的人數(shù)分別是3,5.

2

14.（多選）已知6"一色”的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,下列說法正確的是（）

A.2,10成等差數(shù)列

B.各項(xiàng)系數(shù)之和為64

C.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3項(xiàng)

D.展開式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)

【答案】BDA

【解析】由6A-W"的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2"=64,得〃=6,得2,6,10成等差數(shù)列，A正確;

令x=l,則［"-?^）6=26=64,即各項(xiàng)系數(shù)之和為64,B正確；［”??^j6的展開式共有7項(xiàng)，

則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，C不正確；6,一日6的展開式中的第5項(xiàng)為?2（5月2（—《｝1

=15X25X81為常數(shù)項(xiàng)，D正確.

15.在M(x+y)6的展開式中，X3V的系數(shù)是()

A.20B,-C.-5D.--

22

【答案】D

【解析】(?]α+y)6=j(x+y)6-y(χ+y)6,(χ+y)6展開式的通項(xiàng)為「“=C衣6-y,令6—尸

=2,則廠=4,則(x+y)6的展開式中爐)4的系數(shù)為CW=I5.令6一r=3,則廠=3,則(x+yp的展

33

開式中XjP的系數(shù)為Q=20,故(H(x+y)6的展開式中XV的系數(shù)是15-20=-y..

16.(多選)為了弘揚(yáng)我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計(jì)劃利用暑期開設(shè)

“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”六門體驗(yàn)課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，貝(J()

A.某學(xué)生從中選3門，共有30種選法

B.課程“射”“御”排在不相鄰兩周，共有240種排法

C.課程“禮”“書”“數(shù)”排在相鄰三周，共有144種排法

D.課程“樂”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，共有504種排法

【答案】CD

【解析】對(duì)于A,某學(xué)生從6門中選3門共有CN=20種選法，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,課程“射”“御”

排在不相鄰兩周，先排好其他的4門課程，有5個(gè)空位可選，在其中任選2個(gè)安排“射”“御”，

共有AfAg=480種排法，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,課程“禮”“書”“數(shù)”排在相鄰三周，由捆綁

法分析，將“禮”“書”“教”看成一個(gè)整體，與其他3門課程全排列，共有AjAg=144種排

法，故C正確；對(duì)于D,課程“樂”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，分2種情況

討論，若課程“樂”排在最后一周，有Aw種排法，若課程“樂”不排在最后一周，有QCVU種

排法，則共有Ag+C1C1AW=5O4種排法，故D正確.故選C、D.

17.(多選)已知1+3x)展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大992,則下列結(jié)論正確

的是()

A.展開式中的有理項(xiàng)是第2項(xiàng)和第5項(xiàng)

B.展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)

C.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3項(xiàng)和第4項(xiàng)

D.展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)

【答案】BCD

【解析】由題意可得4"-2〃=992,解得2"=32,所以〃=5.所以6+'1的展開式的通項(xiàng)為

Tr+]=C?3”華.若10+4為有理數(shù),則r=2或〃=5,展開式中的有理項(xiàng)是第3項(xiàng)和第6項(xiàng)，

33

ιn-∣-4rS

故A錯(cuò)誤；令出口=O,解得r=-2,不符合題意，故展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，故B正確；由〃

32

=5可知，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)和第4項(xiàng)，故C正確；假設(shè)第A+1項(xiàng)系數(shù)最

3λα>3i^lCΓl,

大，則戶解得3.5≤無W4.5,因?yàn)閗∈N*,所以k=4,所以展開式中系數(shù)最大的

項(xiàng)是第5項(xiàng)，故D正確.故選B、C、D.

18.(多選)某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選

考科目，下列說法錯(cuò)誤的是()

A.若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為AJ

B.若物理和化學(xué)至少選一門，選法總數(shù)為CJR

C.若物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為C}-Cg

D.若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不同時(shí)選，選法總數(shù)為C3CK?

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A,若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為C3,A錯(cuò)誤；對(duì)于B,若物理和化學(xué)選一

門，有C4種方法，其余兩門從剩余的五門中選，有Cg種選法；若物理和化學(xué)選兩門，有C3種

選法，剩下一門從剩余的五門中選，有Cg種選法，所以總數(shù)為CJCg+Gcg,B錯(cuò)誤；對(duì)于C,

若物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為C3一Ga=G—Q,C正確；對(duì)于D,有3種情況：①

選物理,不選化學(xué)，有CZ種選法；②選化學(xué)，不選物理，有Cw種選法；③物理與化學(xué)都選，有

C)種選法，故總數(shù)為α+Cg+CL=6+10+4=20,D錯(cuò)誤.

2

19.(多選)已知(2+x)(l—2x)5="o+α∣x+tJ2X+α3χ3+α4χ4+α5χ5+q6χ6,則()

A.“0的值為2

B.公的值為16

C.m+a2+a3+44+α5+α6的值為一5

D.g+g+/的值為120

【答案】ABC

【解析】對(duì)于A,令X=0,得αo=2Xl=2,故A正確；對(duì)于B,(1—2x>的展開式的通項(xiàng)為

rrr

7;+ι=Cξ(-2x)=(-2)C?x,所以α5=2X(-2)5Cg+lX(-2)4Cg=-64+80=16,故B正確；

對(duì)于C,令X=1,得(2+1)(1-2XI)5="o+α∣+α2+03+α4+05+α6①，即α∣+α2+α3+α4+05

+“6=—3—ao=-3—2=-5,故C正確；對(duì)于D,令X=-1,得(2—1)口一2x(—I)[=。。-0

+。2一α3+α4一的+期②，由①②解得α∣+α3+α5=—123,故D不正確.故選A、B、C.

20.己知多項(xiàng)式(1—2x)+(l+x+x2)3=0o+<zix+α2X2H-----ba6x6,則m=，02+α3+04

+“5+"6=.

【答案】123

【解析】根據(jù)題意，令X=1,得(1—2)+(1+1+l)3=αo+m+α2^∣F"6=26,令x=0,得ao

=1+1=2.易知m為展開式中X項(xiàng)的系數(shù)，考慮一次項(xiàng)系數(shù)“|=-2+C[C?XH=1,所以做+

α3+44+α5+46=26-1-2=23.

21.如果一個(gè)整數(shù)的各位數(shù)字是左右對(duì)稱的，則稱這個(gè)數(shù)是對(duì)稱數(shù)，例：1234321,123321等，

顯然，兩位數(shù)的對(duì)稱數(shù)有9個(gè)，即11,22,33,…，99,則三位數(shù)的對(duì)稱數(shù)有個(gè)，2〃+1(〃

∈N*)位數(shù)的對(duì)稱數(shù)有個(gè).

【答案】909X10?

【解析】根據(jù)題意，對(duì)于三位數(shù)的對(duì)稱數(shù)，其百位和個(gè)位數(shù)字相同，都不能為0,有9種選法，

其十位數(shù)字可以為任意的數(shù)字，有10種選法，則三位數(shù)的對(duì)稱數(shù)有9X10=90個(gè)；對(duì)于2N+1("

∈N*)位數(shù)的對(duì)稱數(shù)，其首位和個(gè)住數(shù)字相同，都不能為0,有9種選法，第2位數(shù)字到第〃+I

位數(shù)字都可以為任意的數(shù)字，有10種選法，則2"+l("∈N*)位數(shù)的對(duì)稱數(shù)有9X10"個(gè).

22.設(shè)(x—l)(2+x)3="o+αιx+α2χ2+αjχ3+α4χ4,則⑶=,2(∕2÷3?÷4a4=.

【答案】-431

【解析】由題意知，m為展開式中X項(xiàng)的系數(shù)，所以內(nèi)=(：吃3—(2,22=-4.對(duì)所給等式，兩邊對(duì)

X求導(dǎo)，(2÷x)3÷3(χ-l)(2+x)2=fl∣÷2fl2r÷3ajx2÷4a4X3,令x=l,得27=。|+2。2+3。3+4。4,

所以2。2+3,3+444=31.

23.有編號(hào)分別為1,2,3,4的四個(gè)盒子和四個(gè)小球，把小球全部放入盒子，恰有一個(gè)空盒，有

種放法.

【答案】144

【解析】由題設(shè)，必有一個(gè)盒子內(nèi)放入2個(gè)小球，從4個(gè)小球中取出2個(gè)小球，有CZ種取法，

此時(shí)把這2個(gè)小球看作一個(gè)整體，與另2個(gè)小球放入4個(gè)盒子中，有Ai種放法，所以滿足題意

的放法有CjAi=144種.

24.(忽視排列數(shù)公式的排列