江蘇省鎮(zhèn)江市2022-2023學年高一年級下冊期中聯(lián)考數(shù)學試題（含解析）

江蘇省鎮(zhèn)江市2022-2023學年高一下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題

（含解析）

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.）

1.已知復數(shù)Z滿足：7?=i（i為虛數(shù)單位），則Z的共輸復數(shù)為（）

1—21

A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i

2.設(shè)｛1￡｝是平面內(nèi)的一個基底，則下面的四組向量不熊作為基底的是（）

A.B.e∣和G+/

C.q+3/和e1+3β∣D.3q—2?2泳口4g—6e∣

3.Δ^CΦ,4=60",b=l,△力3C的面積為百，則."=（）

sinA

2√3926√3

?-fB.rD.√7

33

4.在4/8C中，為BC邊上的中線,E為ZO的中點，則而

3—1—1——3—

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

3—1一1——3—

C.-AB+-ACD.—ABT—AC

4444

5.已知向量聯(lián)=（1,2）,1=（4,3）,則向量G在向量B方向上的投影向量為（）

f2√5組

D.(8√5,6√5)

丁,丁

6.已知4,8兩地的距離為IOkm,B,C兩地的距離為20km,且測得點8對點/和點C

的張角為120。，則點8到ZC的距離為（）km.

A.Zθ√∑「20√2110√7

RIO√∑Tn

7777

7.已知平面向量￡,b,"均為單位向量，且2α+=3c，則4?c二（）

A.-?1C.7D.-?

B.-

4422

8.已知“8C中，D,E分別為線段48,BC上的點，直線NE,8交于點尸，且滿足

麗=,或+?!?Z,則合a的值為（）

62'>BPE

二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中,

有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.)

9.在復平面內(nèi)有一個□0N8C,點。為坐標原點，點A對應的復數(shù)為z∣=l+i,點8對應的

復數(shù)為Z2=l+2i,點C對應的復數(shù)為Z3,則下列結(jié)論正確的是()

點位于虛軸上

A.CB.z1+z3=Z2

c.?zl-z3?=?AC?D.4?Z3=Z2

10.若?τ48C的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為b,則下列結(jié)論中正確的是()

A.若4>8,則sin4>sinB

B.若QCOSB-bcosZ=c,則Δ√48C為直角三角形

C.若QCoS4=8cos8,則力6C為等腰三角形

Λ√???l-t

D.若c(√7==,則>5C為直角三角形

22c

11.tan75°=()

A.2+√3B.∕1+coslr,°uc.Sm"°D.tan250tan35°tan850

Vl-cos150°l+cosl50o

12.如圖，設(shè)αe(0,π),且。二5，當NXS=C時，定義平面坐標系XQy為α的斜坐標系，

在α的斜坐標系中，任意一點尸的斜坐標這樣定義：設(shè)1是分別與X軸，y軸正方向相

______UUJl

同的單位向量，若而=+記OP=(X/),則下列結(jié)論中正確的是()

A.設(shè)〃=(加,〃)，B=(S/),若方=B,則加=S,n=t

設(shè))二(加,〃)，則同=J/+〃

設(shè)彳=(優(yōu),〃)，B=(S"),∣∣b,則MiS=O

設(shè)1=(1,2),5=(2,1),若不與B的夾角為:，則a=；

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.)

13.已知meR,復數(shù)(/一5〃?-6)+(機2+〃?)i為純虛數(shù)，則加=.

14.已知。為第二象限角，且sin(2+工]=則tan。=

[24)10------------

15.在A∕8C中，點M,N滿足:而=2沆，BN=3NC,若麗=X而+y就，則

X

y.

16.如圖所示，在等腰直角“8C中，AB=AC=I,。為8C中點，E,尸分別是線段N8,

/C上的動點，且/￡。9=150。.當E尸〃8C時，則E尸的值為;(?.0＞的最大值

為.

四、解答題(本大題共6小題，共計70分.)

17.已知向量Z=(-3,1),5=(1,-2),蔡=￡+屆伏∈R).

⑴若向量而與力-刃垂直，求實數(shù)%的值；

(2)若向量I=(l,-1),且前與向量序+"平行，求實數(shù)A的值.

18.設(shè)Zl是虛數(shù)，Z2=z∣+!是實數(shù)，且㈤≤L

2I

(1)求IZJ的值；

(2)求4的實部的取值范圍.

19.已知向量α=(cosα,sinα),坂=(CoSP,sin/?),R-M=生叵.

(1)求cos(α-4)的值.

TTTT3

(2)若O<α<5,-5</<0,且CoSP=《，求Sina的值.

20.在①Z>c=f(α+c),其中f為角A的平分線/。的長(AD與BC交于點、D),

(2)sin2√l-(sinS-sinC)2=3sin5sinC,③b=αcosC-乎CSinZ這三個條件中任選一個，補

充在下面問題中，并解答.在ASC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,.

(1)求角A的大?。?/p>

(2)求加=史女的取值范圍.

C

21.扇形AOB中心角為60。，所在圓半徑為為，它按如圖(I)(∏)兩種方式有內(nèi)接矩形CDEF.

(1)矩形CDEF的頂點C、D在扇形的半徑OB上，頂點E在圓弧AB上，頂點F在半徑OA

上，設(shè)ZEoB=θ;

(2)點M是圓弧AB的中點，矩形CDEF的頂點D、E在圓弧AB上，且關(guān)于直線OM對稱,

頂點C、F分別在半徑OB、OA±,設(shè)4EOM=<p；

試研究(1)(2)兩種方式下矩形面積的最大值，并說明兩種方式下哪一種矩形面積最大？

(3x.3x?(X.x)"

22.己知向量α=[cos5,sm萬J,re=1eos?,-sm-I,函數(shù)

/(x)=α??-∕n∣α+6∣+l,xε-y,^?,meR.

(1)若/(x)的最小值為-1,求實數(shù)加的值；

74τrTt

(2)是否存在實數(shù)m,使函數(shù)g(x)=∕(x)+a/，XW-J?有四個不同的零點？若

存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

答案解析

1.C

【分析】根據(jù)條件，利用復數(shù)的運算法則求出z=2+i,再利用共施復數(shù)的定義即可得出結(jié)

果.

【詳解】因為τ?=i,得到2=2+i,所以^=2-i?

1-21

故選：C.

2.D

【分析】判斷每個選項中的向量是否共線，即可判斷出答案.

【詳解】由于舊,號是平面內(nèi)的一個基底，故?不共線，

根據(jù)向量的加減法法則可知I+晟和不共線，］和1+￡不共線，

6+3,=3(耳+；6)和q+36不共線，故A,B,C中向量熊作為平面的基底，

4e2-6el=-2(3el-2e2),故3“-26和4β2-6el共線，不熊作為平面的基底，D錯誤，

故選：D

3.B

【分析［利用三角形的面積求出J利用余弦定理求出。，然后求出」?的值.

sin?

【詳解】因為/=60F=I,SJPC=布，所以√5=∕xl?csin60°,

所以c=4,由余弦定理可知：ai^b1+cl-2bccQSA,

所以/=1+16—4=13,a=-??，

a√132√39

所以sin/y∣33?

T

故選：B.

4.A

一一

【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應用三角形中線向量的特征，求得BE=3BA1+3BD1,___

22

之后應用向量的加法運算法則——三角形法則，得到反i=+之后將其合并，得到

BE=-BA+-AC,下一步應用相反向量，求得麗=2次AC,從而求得結(jié)果.

4444

【詳解】根據(jù)向量的運算法則，可得

E

BE=—BAH—BD=—BA4—BC=—BAH—(BA+4C)=—BAH—BAH—AQ——BAH—AC9

222424v,24444

一3一1__

所以EB=—4B——AC故選A.

449

該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識點有三角形的中線向量、向

量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認真對

待每一步運算.

5.A

【分析】根據(jù)向量的坐標運算結(jié)合投影向量的定義運算求解.

【詳解】由題意可得：t∕-6=l×4+2×3-10,∣?∣=√42+32=5,

故向量Z在向量3方向上的投影向量為

r

r/r￡

〃

凡

COSC十-

故選：A.

6.B

【分析】由余弦定理求出4G再由面積等積法求解.

【詳解】由余弦定理可得：

AC2=AB2+BC2-2∕4β?5Ccosl20o=I02+202-2×10x20×(-1)=700,

即∕c=ιoJ7,

所以%，Bc=；/8ICsinl200=；?/C-",

.Z=,AB-BC-sm?20o100√3lθ/?l

解A7得力=------------=——L=--—?

AC10√77

故選：B

7.A

【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算法則和性質(zhì)求解即可.

【詳解】平面向量￡,i),以均為單位向量，所以同=W=Fl=I,又垢+45=3之

所以22-3,=T5,平方得4/+%2_12小己=16戶,則

__4a2+9c2-?6b24+9-161

a?c=--------------=--------=——.

12124

故選：A.

8.C

【分析】令麗=〃瓦i,BE=λJC>令餅=衣，麗=k亙i,利用平面向量基本定理確

定點P,E,Z)的位置即可求解作答.

【詳解】如圖，令麗=〃而，BE^λBC>

fBP=JE+EP=BE+μEA=BE+μ(BA-BE)=(?-μ)BE+μBA=Λ(1-μ)BC+μBA,

—1-1_______1I3

而BP=LB4+：BC,并且848C不共線，因此〃=!"(1-〃)=：,解得2=2,

62625

令僥=面，BD^kBA>

則BP=BD+DP=BD+tDC=BD+t(BC-BD)=(i-t)BD+tBC=k(?-t)BA+tBC,

從而f=g,Hlτ)=?解得4=；,/=；,因此點P是線段Cz)的中點，

所以顯“￡=：S?"C==S,BW,,所以沁=:

??OΛBPE?

故選：C

思路點睛：用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件

和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.

9.ABC

【分析】先利用復數(shù)的幾何意義，得出45兩點的坐標，再利用條件得出點C的坐標，進而

得出Zj,再逐一對各個選項分析判斷即可求出結(jié)果.

【詳解】因為點A對應的復數(shù)為z∣=l+i,點8對應的復數(shù)為Zz=l+2i,故41,1),8(1,2),

又因為Q48C是平行四邊形，

設(shè)C(XM則反=(X,y),苕=(0,1),由歷=之,得到X=O,N=1,故C(0,D,所以選項

A正確，

選項B,因為Z3=i,所以z∣+Z3=l+i+i=l+2i=z?,故選項B正確；

選項c,∣z∣-z3∣=∣ι+i-i∣=ι=MC,故選項C正確;

選項D,z??z3=(l+i)?i=-l+i≠z2,故選項D錯誤.

故選：ABC.

10.ABD

【分析】利用正弦定理推理判斷A；利用三角形射影定理計算判斷B；利用正弦定理計算判

斷C；利用二倍角余弦公式及射影定理計算判斷D作答.

【詳解】在中，正弦定理'=3==

sinAsinBsinC

對于A,/>8=。>b02Rsin4>2Rsin8=sin/>sinB,A正確；

對于B,由射影定理得αcosB+6cos4=c,X6/cos-AcosJ=c,即bcosA=0,

而6≠0,貝IJCOS/=0,A=-,C為直角三角形，B正確；

2

對于C,由正弦定理可得27?sin4cos4=27?sin5cos5,即sin2J=sin2B,

7Γ

而2Z+28e(0,2W,貝IJ有24=28或24+28=萬，即/=8或/+8=5,"BC為等腰三

角形或直角三角形，C不正確；

對于D,cos?4=°\"o!+Cos'J*'oCeOSA=b,由射影定理6=αcosC+ccosZ得，

22c22c

即“cos。=。，ffiia≠0,則CoSC=0,C=5,“8C為直角三角形，D正確.

故選：ABD

思路點睛：解決判斷三角形的形狀問題，一般將條件化為只含角的三角函數(shù)的關(guān)系式，然后

利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關(guān)系式；或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式，然后利用常見

的化簡變形得出三邊的關(guān)系.

11.ACD

【分析】根據(jù)兩角和的正切公式及特殊角的三角函數(shù)值判斷A,由正切半角公式判斷BC,

?tan(60o-σ)tan(60o+a)tana=tan3a,令α=25。即可判斷出D.

o。1+3

tan45tan

【詳解】tan75°=tan(450+30°)=J,3θ=__L.=2+√3,故A正確:

1-tan45°tan30°√3

1------

3

懸黑’故錯誤,

由正切的半角公式知tan75°=B

Sin75。2sin750COS75。Sinl50。

tan75。=故C正確;

cos7502cos275°1+cos150°

Vtan(60o-a)tan(60o+a)tana=tan3a,令α=25°,Wtan75o=tan25otan35otan85o,可得

D正確.

故選：ACD.

12.AC

【分析】根據(jù)題意得：a=me]+ne2,h=sel+te2,

對于A結(jié)合向量相等理解判斷；

對于B、D：利用莉=同WCOSe以及=B「進行運算判斷；

對于C：∣∣b,則“sR,使得M=萬0工。).

【詳解】5=(τw,/?)<=>5=mex+ne2,h=(5√)<=>?=5e1+te2

對于A：2=B即=%+修，則機=s,n=t

A正確；

22222

對于B：a=^mel+ne2j=me^+2mne]?e2+ne2=m+2〃z〃CoSa+/

即∣5∣=√∕n2+2mncosa+n2

B錯誤；

對于C：若不〃

當3=6即f=0,s=0時，顯然滿足：mt-ns=O↑

當BHO即'O或∕≠0時，則州∈R,使得萬=焉,

即me}+ne2=λ^sel+te2^=Asel+λte2

[m=λs

則可得<,，消去4得：nit-ns=O：

?n=λt

C正確；

對于D：結(jié)合可A、B知：若a=(l,2),?=(2,1)

則萬=e]+2e?,B=2e∣+/,同=W=J5+4COSa

-?/—?—?\/-*-??-?2,—-—2

a?b=Ie1+2e2l?l2ex÷e21=2c1+5e1?e2+2/=4+5cosa

根據(jù)題意得：獲=同WCoSm=；同W

即4+5COSa=；(5+4CoSa),可得：COSa=-g即α=g?

D不正確;

故選：AC.

13.6

【分析】根據(jù)純虛數(shù)的概念列式可求出結(jié)果.

【詳解】因為復數(shù)為純虛數(shù)，

/H2-5w-6=0

所以，解得陽=6.

m2+m≠0

故6.

4

14.

3

【分析】根據(jù)6的范圍可求得g+7的范圍，結(jié)合Sinl?+?)〉0可確定g+(為第二象限角,

結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求得eos(g+^),利用二倍角公式和誘導公式可求得cos。，由同角

三角函數(shù)關(guān)系可求得結(jié)果.

【詳解】?.?e為第二象限角，.??2版?+/<0<2版?+萬信eZ),

P.(eπ}3Λ∕10八,?.πθπ..3π,.

又sin—I—=-------->O,..2k冗4—<—I—<2,kτrH-------(%∈Z),

124JlO2244v7

θπθπ=sin(分π嗎=COSθ=--

2sin—+一COS—F-，又。為第二象限角,

2424,25

.nΛ774z.Sin6/4

.*.sm0=√l-cos~θ=_,:.tanθ=----=——

5cosθ3

4

故答案為

易錯點點睛：已知三角函數(shù)值求解函數(shù)值時，易錯點是忽略角所處的范圍，造成在求解三角

函數(shù)值時出現(xiàn)符號錯誤.

15.3

【分析】根據(jù)條件，利用向量的線性運算得到而=;萬+A撫，再利用平面向量基本定

理求出χ,y,即可求出結(jié)果.

【詳解】因為初=2沅，麗=3近1,所以

MN=MC+CN=-7C--JC=-7C--(AC-^B)=~^B+-^C

3434412

11Y

故由平面向量基本定理得到，x==所以一=3.

4-12

NC

8+4√3

3

【分析】(I)由正弦定理得OE=g百=。/,再利用余弦定理求解E尸;

⑵設(shè)4EO=α,αe(0M0)由正弦定理得°F=而E'OE=福.再求出

4

OE?。尸取最小值即得解.

【詳解】解：(1)因為A∕8C是等腰直角三角形，EF∕7BCQB=OC,:.OE=OF,

又Nfw=I50°,所以∕EO8=NFOC=15°,

所以ZBEO=NCFO=120'.

因為力8=∕C=2,所以CO=5。=；8C=JΣ,

在ABEO中，由正弦定理得3=0-,.?.OE=2J5=O1,

sin120oSin45。3

在△O跖中，由余弦定理得環(huán)2=9+3一2χfX(Hl)=目3分.

33323

(2)?ZAEO=a,a∈(0?180o),

所以ZAFO=120°-a,NCFo=60+a,ZOEB=180o-α,

近OF.]

在ACFO中,由正弦定理得sin(60"+α)播'sin(60d+a)-

^2^

同理OE=—!—.

SIna

所以sιn(60+a)sιnα?/?1.x?/???1C1

sina(——cosa+—sιnɑ)——sin2a——cos20+一

22444

1

^sin(2cr-30o)+?-

因為α∈(0O,180O),Λ2a-30o∈(-30°,330°),

4

所以當20-30°=90°即α=60°時，OE?。戶取最小值§.

所以O(shè)??θ"=OE?OF?(-^)=4OEOF,

所以(??(?的最大值為-￥?

故史超一邁

33

17.(1)?=∣

⑵A=T

【分析】（1）利用向量的線性運算與向量垂直的坐標表示即可得解;

（2）利用向量的線性運算與向量平行的坐標表示即可得解；

【詳解】(1)因為￡=(-3,1)石=(1,-2),

所以藐=￡+比=(-3+k,l-2k),2Z-否=(-7,4),

又前與垂直，

一一一5

所以〃7?(2Q—與=(-3+%)?(-7)+(l-2%)?4=0,BP25-15Ar=O,解得左二∣,

所以4=3

3

(2)因為"=(1,-1),^=(-3,l),?=(l,-2),

因為屈+c=(左+1,—24—l),τn=(-3+k,l—2k)9

又前與向量癌+"平行，

所以(-3+%)?(-2左一1)一(4+1)?(1-2左)=0,即64+2=0,解得左=一；，

所以無

3

18.(1)IZll=1；(2)[-于萬].

【分析】(1)根據(jù)題意，設(shè)4,進而表示出N2,結(jié)合馬=馬+,是實數(shù)，即可求解;

Zl

(2)根據(jù)(1)表示出Z2,結(jié)合㈤≤1,即可求解.

【詳解】(1)設(shè)z∣=α+歷(α,6eR/≠0),

.1,.I,ci.h.

則Z2=Z]+-=a+bι+-------=(^+~2~~-T)+(b—j-?)?

Zlα+?!Cfjr?Ou+ZΓ

?.'Z2是實數(shù),且6工0,

七?二°'得

⑵由⑴知Z2=2”,貝∣J-l≤2α≤l,即一g≤α≤g,

.??z∕的實部取值范圍為［-：,；］.

19.(1)一；(2)—?.

1365

(1)根據(jù)平面向量模的公式、平面數(shù)量積的定義，結(jié)合兩角差的余弦公式進行求解即可;

(2)利用兩角和的正弦公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進行求解即可.

【詳解】(1)由題意,卜1,W=1,tz??=cosacos∕7+sinasinβ=cos(α-/?)

∣tz-∕j∣=-2ab+b=y∣2-2cos(a-β)

?平一可=警，.?噌=2-2cos(α”),

.*.cos\a-B)—??-；

TT3

(2)，：-g<β<Q,且cos/=1,

?，?sinβ=-?/l-eos2/7=-4

5

XV0<a-β<π,eos(ɑ-^)??,

12

?'?sin

13

?235416

.?.sinα=sin[(cr-β)+/?]=sin(a-β]cosβ+cos(a-0)sinβX-4—

51365

20.⑴券

Q)Zn>1

【分析】(1)選條件①，由5.。+5徵加=54^結(jié)合已知得SinN8∕O=sin2NB4O,進而

得N5∕O=q,N8∕C=卒；

選條件②，結(jié)合正弦定理角化邊得/-/-,2=A,再根據(jù)余弦定理求解即可得答案;

選條件③，根據(jù)正弦定理邊化角，結(jié)合恒等變換得tan4=-百，進而得4=半;

百

再根據(jù)Ce(O,求解即可.

(2)根據(jù)題意,結(jié)合恒等變換得〃?=

tanC2

2

【詳解】(1)解：方案一：選條件①歷=p+c),

由題思可得SgAD+SMAD=S^BC，

???力。為/84。的平分線，ZBAD=ZCAD=-ZBAC

2T

/.ctsinNBAD+btsin/BAD=besin2/.BAD,

即t(c+?)sinZ.BAD=eesin2ZBAD

又be=t(b+c),

sinΔBAD-sin2/BAD,即sinZBAD-2sinZBADCOSZBAD,

???/BAD∈.?.cosZSAD=—

2

.?.NBADZBAC=-

33

方案二：選條件②sin?/-(sin8—SinC)2=3sinSsinC

222

由已知結(jié)合正弦定理得a-b-c=be

由余弦定理得COS4="+1-3=色=-L

2bcIhc2

2萬

O<4<冗、A=—

3

方案三：選條件③6=6fCOsC--CSinA

3

a

由正弦定理得，sinB=sinAcosC-----SinCSin4

又4=~(4+C),

yfj

sincosC+cos/1sinC=sinAcosC-?-sinesinA,

3

?/?

/.cos√lsinC=------sinCsin/4，

3

易知sinC>O,/.tanA=-?/?，

??0<A<π,.?A=-

3

近

+sin[^y-C

(2)解：sinJ+sinβ2

m=--=-----

sinCsinC

v???/?sinCMh???C?

÷cosrC—(1÷cosrC)—■2cos2一

222二2'J11221l_2_?

sinCssiinnCC2?.CC2了2

2sιnCoS一

222

π

又tanye

3

所以加二-J"一1.

tanɑ2

2

21.方式一最大值也

2

【詳解】試題分析：（1）運用公式時要注意審查公式成立的條件，要注意和差、倍角的相對

性，要注意升暴、降暴的靈活運用；（2）重視三角函數(shù)的三變：三變指變角、變名、變式；

變角：對角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：

對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等，適當選擇公式進行變形；（3）把形

如y=αsinx+Z>cosx化為y=J/+從sij1（χ+夕）,可進一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值

和對稱性.

試題解析：解（1）在AOEO中，設(shè)NEOZ）=。，則。。=√JcosO,EO=√Jsin4

又CD=OD-OC=瓜osθ--=√Jcos"sinO

tan60

/.SCDEF=EDCD=?/?sin6（6cosθ-sinθ）

=3sin夕COSe-GsirPe

=∣?sin26一^√l-cos26)

=√Jsin(26+.-日

當2。+堂、即。.時，Snm="

OZ