安徽省名校聯盟2023-2024學年高三年級上冊實驗班12月大聯考試題及數學

局二數學

滿分：150分考試時間：120分鐘

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼

粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂：非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡簽字筆書寫，字體工整、

筆跡清晰。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿

紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題

目要求。

1.已知集合4=?—3%>0},5={2<2工<16卜貝U&A)B=()

A.{小《0或％之3}B.{小《0或％?4}

C.1x|3<x<4!D.1x|0<x<3}

2.已知數列{%,}的前n項和為Sn,且數列{4/滿足①?“=an_i+%什1(〃22),%—%=4.若5=9,則為=

()

A.9B.10C.17D.19

3.已知向量4,方滿足卜+可=同，且忖=2,則a?。的值為()

A.2B.-2C.1D.-1

4.已知a,4,r是三個不同的平面，帆,〃是兩條不同的直線，則下列判斷正確的是()

A.若m〃,則加〃a

B.若。J_/,則

C.若a〃/?，mua,則加〃,

D.若a/=/],/?=l2.a\/=13,則/1〃4〃4

5.將函數丁=35[皿+》xe0,/)的圖象繞著原點沿逆時針方向旋轉。角得到曲線r,已知曲線:T始終保

持為函數圖象，貝Utan，的最大值為(

122

A.-B.-C.1D.

232

6.設函數/(%)的定義域為D,若函數f(x)滿足條件:存在［a,b］口。，使/(%)在可上的值域為［2a,2b\,

則稱/(x)為“倍增函數”.若函數/(x)=log2(2*T)(其中/NO)為“倍增函數”，貝」的取值范圍為

()

A.B.(0,1)C.fo,|D.］；,+oo

7.已知邊長為6的正方體ABC?！狝BCQi，點。為△A3G內一個動點，且滿足Q4=0，則點。的

軌跡長度為()

?3?-

A.—B.7iC.D.27c

221

8.已知函數/■(x)=e'T—ei+V—3三+3%,若實數羽y滿足/(九2)+/(2產—1)=2,則八/1+船的

最大值為()

,3拒3^25725石

A.-----B.-----C.-----D.-----

2444

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.下列判斷正確的是()

A.若y=是一次函數，滿足/(/(x))=4x+9,貝Y(司=2尤+3

B.命題“玄五0,轉)32>2，”的否定是“Vxe(0,+oo),x2<2工”

C.函數"x)=gf+2的定義域為。，值域3={4},則滿足條件的“X)有3個

D.關于%的不等式ax2+bx+c>0的解集為(-2,3),則不等式cx2-bx+a<Q的解集為

2

io.已知函數y(x)=—(x>o),點。(機,〃)在函數圖象上，則下列說法正確的是()

A.利+〃有最小值2形B.m2+〃2有最小值2

C.標+冊有最小值21D.若2<帆<4,則一“一+—?—有最小值2+2J5

4-m1-n

11.已知定義在R上的奇函數〃x)滿足/(3—x)=/(—1+x),且當時,f(x)=x3-2x,則下

列說法正確的是()

A.函數/(x)的一個周期為4

B.當xe［l,2］時，函數/(X)的解析式為〃x)=2(2—x)—(2—%)3

4屈

C.當尤e［-1,0］時，函數”X)的最大值為年

D.函數/(%)在區(qū)間［0,2023］內有1011個零點

12.定義數列{%},4=1簿"向%=e%—1,則下列說法正確的是()

A.{4}是單調遞減數列B.an+1>^an

a

C2n+l+。2=-1<2a2"D.an>(5)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知M(1,2)是角a終邊上的一點，則sin2cz=.

14.已知一個正三棱柱既有內切球又有外接球，且外接球的表面積為40萬，則該三棱柱的體積為.

15.若“是/XABC的垂心，且2H4+2笛+3〃。=0,則tanC的值為.

16.在同一直角坐標系中，分別是函數/(%)=心如+(1—利卜―lux和8(無)=無圖象上的動點，若對

于任意機>0,都有|A512a恒成立，則實數a的最大值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)

已知a=^2^/3sinx,cosxj,b=(cosx,2cosx),且函數=(x)=a-b.

(1)求函數/(x)的對稱軸方程與單調遞增區(qū)間；

［37C7C

(2)已知f(-^o)=—，％o￡—，一，求cos2%o的值.

5|_63J

18.(12分)

如圖，在四棱錐E—ABCD中，出，平面48。，底面ABCD為矩形，AB=2,AD=1,EA=?F為EC

中點，AG=-AB.

4

(1)求證：石平面G；

(2)求二面角F—OG—C的余弦值.

19.(12分)

記AABC的角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且sm/-s1nA=洶竺

yj3c-bc+a

(1)求A；

⑵若b=20,求a+工的最小值.

2

20.(12分)

已知函數/(%)=%liu-+1.

(1)求函數“X)的單調區(qū)間；

⑵證明：當時，f(x)<a(el-x).

21.(12分)

已知數列｛2｝是等比數列,公比不為1,且仿.4=4,4伉_%=3.

b3

(1)令d=7------------7-,求證：4+d?+4—,+d<—;

(a-1)(加-1)4

7-----A------r,n-2k-l,*

⑵記%=|(2〃—1)(2〃+3)其中keN,求數列｛%｝的前2”項和邑,.

(2n-l>b,”n=2k,

22.(12分)

己知函數/(x)=xe1+1-ax,F(x)=lux.

(1)當a=l時，過點(1,0)與函數/(x)相切的直線有幾條？

(2)若/■(1)=*(x)有兩個交點，求實數a的取值范圍.

高三數學參考答案

1.【答案】D

【解析】依題意4=卜卜2_3x>0}={x|x<0或x>3},<16）={x|0<x<4},則

^A={x|0<x<3},故傳力B={x|0<x<3}.

2.【答案】C

【解析】?；24=%+4+1，

數列{%,}是等差數列，設公差為d,

則%—%=2d=4,可得d=243=32=9,可得〃？=3,

「.〃9=出+（9—2）x2=17,故選C.

3.【答案】B

【解析】W=2,在等式,+可=同兩邊平方并化簡得方2+2口力=0,

b2

a-b=----=—2,故選B.

2

4.【答案】C

【解析】有可能出現相utz的情況，故A不正確；

若&_1_7,尸_1_7，則a與夕平行或相交，故B不正確；

由a〃回mua,得直線相和平面夕沒有公共點，所以加〃萬，故C正確；

三條直線可能重合，或相交于一點，故D不正確.

5.【答案】B

1133

【解析】y'=-cosx+1,所以y=—sinx+x在原點處的切線斜率為左=—,切線方程為y=—x,

222.2

當y=Lsiru+x繞著原點沿逆時針方向旋轉時，始終保持為函數圖象，

2

3TC71

設其傾角為a，則tana=—，則。+。<一,：.6?——a,顯然。為銳角，

222

cosa12,,，2

=-----=-----=一，故tan。的最大值為一.

Hsinatana33

6.【答案】A

【解析】依題意知，函數/（X）在[a,可上是“倍增函數”；

afl2fl

log2（2-t\=2a,f2-z=2

可得4即1,

log2（P_）=2"[2b-t=22b,

是方程22、—2、+/=0的兩個根；

設加=2"則相>0,此時方程為機2-m+f=0,即方程有兩個不等的實根，且兩根都大于0,

可得卜T『一木〉°，解得：0<f<-;

了〉0,4

故滿足條件t的取值范圍是

7.【答案】A

【解析】設點用到平面的距離為為正方體對角線的g，則d=l,

???以點耳為球心，V2為半徑的球面與平面A.BQ相交的圓半徑為"（、叵>-儼=1；

等邊△A3G的內切圓半徑為6x0x孚xg=,<l,

設△ABC1的中心為O,Q軌跡與A3、3G分別交于N兩點，

如圖，弧長的三倍即為所求；

NONG=￡，可得NON3=*,NMON=[27—*2—|^|=看，

7C兀

故交線長為一xlx3=—.

62

【解析】由題意有/(x)=—e-+/_3X2+3X=e^1-e1+1+(x—1了,

記g(x)=e"T—9-+1,丸(x)=(x—1)3；

顯然71(%)關于(1,0)中心對稱且為R上的增函數，g(x)+g(2—%)=2,g'(x)=e*T+e修>0,

故g(x)是關于(1,1)中心對稱且為R上的增函數，

得/(x)也是關于(1,1)中心對稱且為R上的增函數；

由于/(d)+/(2y2—1)=2,故必+2產_1=2,可得必+2丁2=3；

記4=m+/,由基本不等式A2=x2(l+/)=gx2(2+2y2)wg./+；+2/=1，

「X〉0\V10

5歷’X=——，

可得AW、一，當且僅當1-=2+2>2,即2時，等號成立，

42一二.1

%2+2/=3,

故xjl+y~的最大值為———,選C.

9.【答案】BC

【解析】因為y=/(x)是一次函數，設/(EHfcv+M左W0),

則/(/(-X))=f｛kx+b)=k｛kx+b)+b=k1x+kb+b=4x+9,

k2=4,[k=2,[k=-2,

可得‘解得或

kb+b=9,[b=3[b=-9,

所以y(x)=2x+3或/(x)=—2x—9,故選項A錯誤；

選項B正確；

/(X)=1X2+2=4,可得無=12,所以函數/(x)的定義域?？梢允牵海?｝或｛2｝或｛—2,2｝,滿足條件的

/(%)有3個，故選項C正確；

關于x的不等式ax2+Z?x+c>0的解集為(-2,3)，則方程if+灰+c=0的解是九=-2或尤=3,且avO,

—2+3=1,

由韋達定理可得《解得b=-a.c--6a,

￡=-2X3=-6,

2

則不等式ex-bx+a<0轉化為一6以2+6n；+〃<。,

11

因為av0,所以6x9—x—1<0>解得—<%<—，

32

則不等式cd—法+。<0的解集為故選項D不正確.

故選BC.

10.【答案】ACD

【解析】依題意，m>0,n>0,由基本不等式，m+n>2y[mn=2A/2,當且僅當根=〃=血時，等號成

立，m+〃有最小值20,選項A正確；

m2+n2>2mn=4,當且僅當根=〃=0時，等號成立，

加2+/有最小值%選項B錯誤；

(Vm+Gy=m+n+2dmn=根+〃+2y/2>4A/2,

當且僅當根=〃=血時，等號成立，

5

所以赤'+冊有最小值為2"選項C正確；

mn4mn，42

------+------=-1+-------+---------=—1+-------+-------,

4-m1-n4-mm-mn4-mm-2

[2+乙)(4-加+2)小(1+后，

則—生一+/_有最小值2+20,選項D正確.

4-m1-n

故選ACD.

11.【答案】AC

【解析】由7(3-%)=/(-1+x)得7(2-%)=/(%),又因為1(無)為奇函數,/(%)=-/(-%),

“2—兀)=——元)=—〃2—x)="r),所以的周期為4,選項A正確；

當力41,2]時,2—XG[0,1],所以〃％)="2—%)=(2—%)3—2(2—%),選項B錯誤；

當工￡[0,1]時，/(%)=x3—2x,/r(%)=3%2—2,令/'(尤)=0,得％=時函數有最小值，

又因為/(x)為奇函數，故％=-Jg時，函數/(X)在區(qū)間［—1,0］有最大值,4面

~9~

選項C正確;

因為函數關于工=1對稱，/(0)=/(2)=/(-2),一個周期內兩個零點，［3,2023］有505個周期，共1010

個零點，總計1012個零點，選項D錯誤.

故選AC.

12.【答案】ABD

【解析】由題意得』用二e"^"一-1-

/?(%)=e*—%—1"(兄)=e*—1,/z(x)在［0,+8)單調遞增，在(fo,0)單調遞減,

之無(0)=0,當且僅當尤=0時，ex—x—1=0,

an

若an+l=0,又因為“小房用=e%—1,則an=e-l,an=0,則an+1=an=--a1=0,

e%—1

又因為q=1,所以所以e"”M=-------,

冊

設g(x)=1—1—xe，,可得/(x)=eA'-ex-xe*=-xe￥,

當x>0時,g<x)<0,g(x)單調遞減，當x<0時，g<x)>0,g(x)單調遞增,

所以xwO時，g(x)<g(O)=O,所以尤eje*—1,所以4e"”>e%—1,

x-1

由九(x)=e”—兄一120,當x>0時，-e----〉1,

x

V—1e-1

因為％=1,所以e'2=-------二——>1,貝！J%>0,同理得%>0,???〃〃>0，

1

e"〃—1

當乙〉0時，efl?>-------=e*,所以4〉%+1，故數列｛/｝單調遞減，選項A正確;

In-------1

中、口口4+i1a1.efl?-l1ea--l"

需證明一^〉一=>-----n--->一二>ln-------->_「,,=------>e2,

42a“2an2an

b-111-1

^b=ea",~—>b2=力一b2-lnZ?>O,l<^<e,

Inb

、---/1，1\

=Z?2—b2—lnZ?,Z?G(l,el,則4(b)=一八+方=一2>0,

2隊JbJ

.,.相(/?)>切(1)=0成立，所以〃〃+i>g”〃，選項B正確；

afl

q+1—n=In(e?-l)-lnan-an,設a”=蒼xe(0,1],

1

設/(%)=ln(e*-1)-Inx—X,XG(0,1]j則/'(冗)=^-----1--<0,

e1Xe'-lX

所以函數/(x)單調遞減，所以隨著對減小，從而4+1-%增大,

所以。2”+1一。2">a2n~a2n-l,選項C錯誤;

1

當〃>1時,根據選項B可知,4+1>5%

即哈電

當〃=1時,,選項D正確.故選ABD.

4

13.【答案】y

【解析M(l,2)是角a的終邊上一點，由三角函數定義可得

sina=/=—j=,cosa='=—f=,所以sin2a=2sinacosa=2xx—j==—

a+2275Vl2+22書非V55

14.【答案】12口

【解析】設球。的外接球半徑為R,貝|]4不尺2=40不，貝|]尺=癡,

三棱柱ABC-44G有內切球，設內切球半徑為小故高為2廠,

連接AABC,的外心Q,J，則。2a的中點。即為球心,

AA3C內切圓半徑為r,得02c=2r,AB=2#)r,

則(2ry+/=尺2,則廠=后,丫=』*26x2#義心x2&=12#.

22

15.【答案】—

2

【解析】2HA+2HB+3HC=。,得2(HC+CA)+2(HC+CB)+3HC=0,

所以7cH=2(C4+CB)=4CD(。為AB的中點)，

所以垂心H在中線上，即高線與中線重合,故〃=Z?；

2HA+2（的+AB）+3（HA+AC）=0,所以7AH=2AB+3AC,

又因為AH.3C=0,得（2AB+3AC）?,AC-A3)=0,

.......一一?一一.1：八，2一一，.

化筒為2c-3b+bccosA=0,bccosA=--=3b-2cA,得51=6

2

2M222/—6/

所以cosC=巴上2~-=-------=2日”「回

—,即tanC=-----.

lab2b252

16.【答案】當

2

【解析】解法一：

已知/(尤)=%6mx+(1-m)x-liu,ff(x)=e,nx+mxe,nx+l-m--,

X

r

J(x0)=(mx0+1)0^°+l-m--=1=,(mx0+l)e^°

%o

八的9=0,

ImXr.+l/0

—m-\---二——----=>(mx0+l)e—-

X。/I

0

e?=—,mx0=-lnx0,mx0+lnx0=0

%

_/_,oe”西+(1_M/Tn%0_/

切點(%0,%)到直線y=%的距離Q=置

5/2V2

|l+(l-m)x+mx-x

000]=交

02

解法二:

令iv(x)=e"-x(xwR),則M(x)=e"-L當尤w(0,+8)時，M(x)>0,

w(x)=ex-x單調遞增，當xw(YO,0)時，M/(X)<0,w(x)=ex一九單調遞減,

故w(x)=e"-x在x=0處取得極小值，也是最小值，故w(x)Ne°-0=1,

故年如+(1——Inx—%=e1nx+M—(lnx+mx)Nl,當且僅當lnx+g：=0時，等號成立,

設人(九,猶次+(1—機)%—lnx),6(y,y),由基本不等式得:

/\~|2

y-y+xe^+(l-m)x-lnx-x|(o+l)21

|AB『二(x-y)2+[xe如+(1-m)x-Inx-y~^>

2,一^^

當且僅當hrc+g=0時，等號成立，故憶目2,，則a的最大值為孝

17.【解析】(1)/(x)=2^/3sinxcosx+2cos2%=V3sin2x+cos2x+1=2sin2x+—+1,

6

令2%+工=2+左；r,得％=工+(左wZ)

6262v7

所以函數/(x)的對稱軸方程為x=W+(keZ)；

令一生+2QrK2x+生〈工+2左"(左eZ),解得-生+k%WxW生+(keZ),

26236

故函數/(x)的單調遞增區(qū)間為一卷+版吟+既(keZ).

(2)/(%0)=^,即2sin12%++1=*所以sin12xo+[■]=：,

71n5萬

又5e所以2%0+—€

636~2,~6

7171..7i4-373

所以cos2%o=cos=coscos—+sinsin-二-------

~66610

18?【解析】（1）因為E4,平面ABC。，四邊形ABCD為矩形，因此A3,AD,AE兩兩垂直，以A為坐標

原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A-町z,

E（0,0,V3）,C（l,2,0）,D（l,0,0）

c

DG=（-1,^,0\,DF=-j1,l,

2

因為EC?。尸=0,所以EC，。尸，即ECLDE；

因為EC-DG=0,所以ECLOG,即ECLOG；

又DF]DG=D,因此ECJ_平面。G/.

（2）因為E4,平面ABCD,所以〃=（0,0,l）為平面ABCD的一個法向量,

由（1）知EC=

ECn_V6

cos〈EC,n）=麗二一丁

顯然二面角尸—OG—C為銳二面角，所以二面角F—OG—C的余弦值為逅

4

/、sinC-sinAsinB,十心、^c-ab

19.【解析】（1）----7=--------=-------,由正弦定理m得Zf=:1

y/3c-bc+aA/3C-bc+a

即/+。2—/=百加

上人力、巾/日.b2+c2-a2拒be6

由余弦定理得：cosA=---------------=--------=——,

2bc2bc2

因為Ae（0,%）,所以A=X

6

7.4Ax-

bZ?sinA_2/32bZ?sinC2^3sinC

（2）由正弦定理：—-——,a-----，-------=-------,c=-------

sinAsinBsinBsinBsinBsinCsinBsinBsinB

2^3sin

c752+CQSB

。+—=-----+=^+V3X

2sin5ZsinB22sinB

2ctan—B1-tan2—

BBB

又因為sinB=2sin—cos—=2,cosB=cos2--sin2-------1■代入得:

22122

I+tan2一B1+tan2—

22

（B、

otan—3tan—

23977,

a+」++3（3=*時取等）,

226—4ta%n^4f-3

22J

所以a+上c的最小值為3.

2

20.【解析】(1)/(%)的定義域為(0,+8)/(%)=ln%+l,

令/'(x)=。,得%=?一1,

由/'(尤)<0,解得0<x<eT；

由/f(x)>0,解得x>e-i；

所以的單調遞減區(qū)間為(。簿一[,單調遞增區(qū)間為(e，+8).

(2)證明：令0(%)=/(x)-〃(e"-%)=〃(x-e')+jdnx+l,

令/)=%—],則左'(尤)=1—e3在(0,+00)上單調遞減，

所以左(%)4左(0)=—IvO；

由〃之1,可得〃(x—e')+xlwc+1<%—e'+xlnx+1,

ex1

即證----lux-----1>0,

xx

.z、(x-l)ex11_(xT(e「l)

貝1Jg(尤)=^—r—-------------------

JCXX2X2

由g'(x)=O,可得%=1(九=0舍去),

因為當x>0時，ex-l>0,

所以當Ovxvl時，g"(x)<O,g(x)在(0,1)上單調遞減，

當%>1時，g'(x)>O,g(x)在(l,+oo)上單調遞增；

所以g(兀)而口=g(l)=e—l—l=e-2>0，

ex1

所以g(%)>0,則----In%-----1>0,

XJC

故x—e*+xhu+l<0,結論成立.

21.【解析】⑴數列｛包｝是等比數列，且偽也=4，的—仇=3,

4?(如)=4",

設數列色｝的公比為q(qHl)".

的一如=3,

解得偽=q=3,bn=仇=3",

數列｛2｝的通項公式為：bn=3"僅eN*)；

.-_*_r___M

一d“(%T)(%T(3--l)(3n+1-l)2(3-3"+1-lJ

,,,,3113

..d+d+d+---+d=/[JZJ-32_]+—

l23n2

3111V3f1113

2^3^1—3,!+1-lJ-―3,,+1-lJ<4

/.4+d?+4+,—\-dn<—.

7------------」-----,n=2k-l,、

(2)：.cn=<(2n-l)(2n+3)(左eN*),

(2n-l)-3n,n=2k

S

2n=(q+C2+c3+c4+???+c2n_Y+C2?)=(q+c3+???+c2n_x)+(c2+c4+???+c2?)；

令A=q+q+…+生〃-1，紇=&+%+...+%〃，

111

-----11-,??H

1x55x9------(4/7-3)(471+1)

1

4n-7六］+:［春-看

Ifi__1]_八

4v4n+lJ4n+1

242rt22

Bn=3x3+7x3+---+(4/7-5)x3-+(4/7-l)x3%

32B?=3X34+7X36+---+(4H-5)X32,,+(4?-1)X32,2+2,

.?.-8B?=3X32+4X34+4X36+---+4X32,,-(4H-1)X32,2+2

=-32+[4x32+4x34+4x36+---+4x32/?]-(4n-l)x32n+2

=-32+4x[32+34+36+---+32/,]-(4n-l)x32n+2

=-9+4x%；丁-(4n-l)-32n+2=(；—x9n+1-y,

4〃—

-----2/9"+1+名

816

n2c“+i27n8n-3n?+127/_T,

S2n=4+g,=+▲x9+—=+x9+--neN

4H+1-----8-----------164H+1----16----------16、

22.【解析】（1）當a=l時，函數/'（x）=xe*M—x,設切點為（如人浜為十1一看b

因為/(x)=(x+1)產1—1,所以/■'(d)=(%+1)e^-1；

+1)+1+1

所以切線方程為：y-(xoe^-x0)=(e^+xoe^-l)(x-x0),