廣西專用2022高考數(shù)學一輪復習單元質(zhì)檢九 解析幾何（含解析）新人教版（理）

單元質(zhì)檢九解析幾何

(時間：100分鐘滿分：150分)

一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分，共60分)

1.(2021新高考〃)拋物線/3px(pX)的焦點到直線的距離為調(diào),則p的值為()

A.1B.2C.2V2D.4

2.(2021四川成都第二次聯(lián)考)已知橢圓J的上焦點為F,以尸點為圓心,且與一條坐標軸相切

的圓的方程為()

A.x+爐-2產(chǎn)0B.x+/-2xR

C.x-f-y-^-y=^D.x+y《xR

88

3.(2021云南師大附中月考)已知左、右焦點分別為￡,￡的雙曲線C9-《=l(a>0)上一點P到左焦

點￡的距離為6,點。為坐標原點，點M為m的中點，若/的〃節(jié),則雙曲線。的漸近線方程為()

A.y=±2xB.y=±x

C.尸號XD.y=±\x

4.記雙曲線-乙=1(加0)的左、右焦點分別為￡,￡,離心率為2,點M在雙曲線C上,點N滿足

16m

下木=河，若慍Fj=\0,。為坐標原點,貝?。?〃『/=()

A.8B.9C.8或2D.9或1

5.(2021天津高考)已知雙曲線攝-。1心與"刈的右焦點與拋物線/2^3刈的焦點重合,拋物

線的準線交雙曲線于A,8兩點,交雙曲線的漸近線于C,〃兩點.若/族/'小用〃引,則雙曲線的離心率

為()

A.V2B.V3

C.2D.3

6.過點1(0,3),被圓(x-1)2+/力截得的弦長為2百的直線方程是()

4

A.尸y3

B.xR或?片^4x+3

c.產(chǎn)o或片產(chǎn)超

D.才可

7.已知橢圓。4=1的左、右焦點分別為F\,凡過￡且垂直于長軸的直線交橢圓于A,6兩點，則

43

△力班內(nèi)切圓的半徑為()

A.；4B.1c4D，34

354

8.已知拋物線C:4=2px(pX))的焦點為F,M3,2),直線，監(jiān)1交拋物線于A,8兩點，且."為"的中點，

則P的值為()

A.3B.2或4C.4D.2

9.我們把焦點相同且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關(guān)曲線”,已知幾￡是一對相關(guān)

曲線的焦點，e”牲分別是橢圓和雙曲線的離心率,若尸為它們在第一象限的交點，NF、PFa,則雙

曲線的離心率e?=()

A.V2B.2C.V3D.3

10.已知拋物線72px(p>0)上一點M(l,血(加X))到其焦點的距離為5,雙曲線《-”=1的左頂點為A,

a

若雙曲線一條漸近線與直線41/平行,則實數(shù)a的值為()

A二B.JC.3D.9

93

11.點M3,2)到拋物線G：y=af(-o)準線的距離為4,尸為拋物線的焦點，點Ml,1),當點尸在直線

l-x-y^上運動時，午的最小值為()

PF\

A3-2V2D2-V2

A.——B.--

84

「5-2V2八5-2V2

□kD.丁

12.(2021廣西來賓模擬預測)設雙曲線的左、右焦點分別為&&點。(異于頂點)在雙

曲線。的右支上,則下列說法正確的是()

A.△利凡可能是正三角形

B.P到兩漸近線的距離之積是定值

C.若PFJP%則△然￡的面積為8

D.在△然月中,sinN/j/5

sin/徑巧-sinN/V7]/^4

二、填空題(本大題共4小題,每小題5分，共20分)

13.(2021廣西浦北中學月考)已知橢圓的中心在坐標原點，右焦點與圓/W-6^-7=0的圓心重合,

長軸長等于圓的直徑,那么短軸長等于.

14.拋物線C:"=2px(pX))的焦點為F,0是拋物線C上的點,若三角形勿說的外接圓與拋物線。的準

線相切,且該圓的面積為36“，則p的值為.

15.(2021浙江高考)已知橢圓<+齊(a?刈，焦點”(-c,0),￡(c,0)(c刈.若過￡的直線和圓

(尸gc?川=02相切,與橢圓在第一象限交于點P,且皮，x軸,則該直線的斜率是,橢圓的離心率是.

16.已知點M(T,1)和拋物線C-y=4x,過。的焦點且斜率為k的直線與C交于A,6兩點,若/

41廄=90°，則仁.

三、解答題(本大題共6小題，共70分)

17.(10分)如圖，在平面直角坐標系X。中，點4(0,3),直線設圓。的半徑為1,圓心在1

上.

(1)若圓心。也在直線y=x-1上,過點A作圓。的切線,求切線的方程；

⑵若圓C上存在點M,使他/=2/如/,求圓心C的橫坐標a的取值范圍.

18.(12分)已知橢圓得吟=1(a>"0)的離心率為苧,￡,￡是橢圓的兩個焦點,一是橢圓上任意一點,

且△曲片的周長是8*2^15.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設圓T-(x-2)引三,過橢圓的上頂點〃作圓7的兩條切線交橢圓于E,尸兩點,求直線)的斜率.

19.(12分)(2021全國/)已知拋物線C:/之px(pXJ)的焦點/到準線的距離為2.

(1)求。的方程.

(2)已知。為坐標原點，點P在C上，點。滿足㈤力旗求直線。。斜率的最大值.

20.(12分)(2021山東濰坊一模)在平面直角坐標系中，4,4兩點的坐標分別為(口,0),(2,0分直線

AM&V相交于點物且它們的斜率之積是3,記動點M的軌跡為曲線E.

(1)求曲線￡的方程.

(2)過點A1,0)作直線1交曲線￡于P,0兩點,且點尸位于x軸上方,記直線4Q,47的斜率分別為

k?.

①證明為定值；

出

②設點。關(guān)于X軸的對稱點為Q”求△如。面積的最大值.

21.(12分)已知拋物線K的頂點為平面直角坐標系x勿的坐標原點。焦點為圓3K的

圓心F.經(jīng)過點尸的直線1交拋物線小于A,。兩點，交圓月于8,C兩點,A,8在第一象限，C,。在第四

象限.

(1)求拋物線￡的方程；

⑵是否存在直線1使21BC］是/朋/與/切的等差中項?若存在,求直線1的方程;若不存在，請說明

理由.

22.(12分)已知橢圓吟=1(a?X)的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點,直

線l:y=-x埒與橢圓￡有且只有一個公共點T.

(1)求橢圓￡的方程及點71的坐標；

(2)設0是坐標原點,直線/'平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點A,B,且與直線1交于點P,證明：

存在常數(shù)4，使得IPT『=A/PA/-IPBI,并求A的值.

答案：

1.B解析本題考查拋物線的性質(zhì).拋物線"之px(pA))的焦點為G，0),焦點到直線y=x+l的距離

聞=?，

即卜+112解得p=2或p=~6(舍去),故選B.

2.八解析由題意,橢圓［+9=1的上焦點為NO,1),在y軸正半軸上，

故所求圓只能是與x軸相切,切點為原點,所以r-/OF/~1,

可得圓的方程為f+(r1尸=1,即*+*-2片0.

3.A解析由/掰/刃,得/咫/=10為故點?在雙曲線左支上,故/用/-/網(wǎng)/=M=-2a,得a=2,故雙曲線

的方程為J-5=1,故雙曲線，的漸近線方程為y=±2x.

4.B解析離心率為eS,

a

根據(jù)題意e=「熱之，

716

解得777=48.

,.,//J^/-M//=2a=8,

AM/-18或2,而/姐/》c-a=8Y=4,故M/-18.

???點N滿足用，忖書

:.N為MF、的中點，。是￡￡的中點，則/ftV/^M/=9.故選B.

5.A解析設雙曲線《-，=1(a>0,"0)與拋物線/4px(pX)的公共焦點為(c,0),

則拋物線/-2p%(p>0)的準線為x>c,

令x=c,則捺解得y=土勺所以/例與

又因為雙曲線的漸近線方程為y=土％所以/口/哼，

所以也=竺即cEb,

aa

所以WYT用

所以雙曲線的離心率e==顯.

a

6.B解析當弦所在的直線斜率不存在時，即弦所在直線方程為xO,

此時被圓(xT)，”N截得的弦長為2VI

當弦所在的直線斜率存在時,設弦所在直線1的方程為y=kx埒,即kx-y埒々.

因為弦長為2代，圓的半徑為2,

所以弦心距為＞/22-(十)2=1.

由點到直線距離公式，

-1，解得T

綜上所述,所求直線方程為x=0或

7.D解析釁得a=2,c=l,根據(jù)橢圓的定義可知△僻的周長為4a陽△倆的面積為

成片E/X/%-外片X2X3=3=X8Xr,解得弓,故選D.

8.B解析設A(xit%),6(均,%).

7?=2px\,

2c兩式相減得(必任必)?(必-%)之夕(由-苞)，依題意乂工“，

{達=2P叫，

?修一及_2〃

,,陽一/2月+理.

?.?〃為力8的中點，

又出,0)在初上，

?2_2p

解得片2或4.故選B.

9.C解析設￡(-c,OS,0),橢圓的長半軸長為a,雙曲線的實半軸長為例可得

/用/“陰/=2a,/在/-/例/=2/77,可得/用/=a切，lPFj=a-m,

由余弦定啊得IF\Fj=〔PF#+[PFJ%PFJ?M/cos60°,

2222

即有4c=(a+ni)+(a-/ri)-(a+/n)(a-//;)-a+3z?",由離心率公式可得g+盤工exe2-\,即有考+34),解

=

得&2^.

10.A解析由題意可知，拋物線y^px(pX))的準線方程為產(chǎn)W

則上8,所以點材(1,4).

因為雙曲線J-/=l的左頂點為A30),漸近線方程為y=±%

所以直線41/的斜率為

l+y/a

由題意得念曦

解得實數(shù)af.

11.B解析?.?點M3,2)到拋物線C.y=a*2(a>0)準線的距離為4,

二24，

4a

?1

拋物線C:x=8y,

直線l-.x-y=2與x軸交于4(2,0),則FALL

設AP=t,則/JA7=V2,/AF/^y/2,/PN/=-Jt2+2,/PF/=^t2+8,

設V祥+2T=7Z?(/7/^V2-1),

則州-i_Vt^2-i_?i_

人」［即I/tM-J(mi*+6舜H，

即當時，字的最小值為竽.

所以B選項是正確的.

12.B解析在雙曲線C中，可知a書,6N,c=5,

A選項，由雙曲線的定義可知，/用"=/你/+2心/陰/，△仍￡不可能是正三角形，故A錯誤；

B選項,設點P5,%),則5-4=1,即16年口訃=144,雙曲線C的漸近線方程為4x±3片0.P到兩漸近

yibuu

線的距離之積為片萼?/*=粵％_=/是定值，故B正確；

V42+32J42+322525

C選項，由PRIPF,可得P4+P除嗎,即(%+2a)2+/^=(2c)：解得和行-3,則PF、阪電故

S^pF2=渺?臣=16,故C錯誤；

D選項，設點D(4,%),

則sin/用sinN例人吟，

PF\PF）

在△）；￡中，S*Fz=*F\,生七行/6程日/%/?￡&故sin〃況」始:普,

441ri2

M?八粒

則____sKNAPfi_____-2々=-=空=2故D錯誤

sinN%F「sinN所用匕'0_MPF「P內(nèi)2a3’

PF2所

13.2次解析由于六+my弋mxT』是圓，故m=l,即圓的方程為/曠3『7=0.其中圓心為（3,0）,半徑

為4,所以橢圓的長軸長為8,即c-3,aN,廬浸=木,所以短軸長為2次.

14.8解析設△列物的外接圓圓心為Q,

則/。。/=/0尸/=/4，,所以。在線段所的垂直平分線上.

又因為0a與拋物線的準線相切，

所以a在拋物線上，

所以《（會曰「）.

又因為圓面積為36n,所以半徑為6,

所以《《。飛6,所以2⑹

1b/

15.竺，解析由題意，可知直線的斜率一定存在，且大于0.

□5

由直線過點￡,可設直線的方程為y=〃（x+c）（%為）,

：直線和圓（尸?；）2歹=。2相切,

圓心Qc,0）到直線的距離與半徑相等,

??\k?丁/O+rAc力1解,?工得衣9竿

將x=c代入/+^=\,可得點P的坐標為卜,今

由題意，可知-an/優(yōu)行緇=］冷,

,/一。2_2后

2ac5

,￥=竺解得V

2e55

16.2解析設A（xif必）,B（x?,y2）,直線AB:x=my+l、mWO,

聯(lián)立7j得「/成"=0,

（/=4x,

必正必力力,必為二/?

而南二（乂+1,%-1）=（勿必+2,%-1）,

通二（％+1,%T）=（勿為+2,%T）.

?；NAMB』O°,

???謝?礪二（勿乂+2）（加%+2）+（%T）（必T）=（/+1）乂%+（2H-1）（必+必）-^5--4（m+1）依m(xù)（2勿T）用工自一

4初+1=0.

17.解⑴由｛;二露/得圓心＜7(3,2).

又因為圓。的半徑為1,

所以圓C的方程為(x-3)2*y-2)2=l.

顯然切線的斜率一定存在,

設所求圓C的切線方程為y=kx那,

即kx-y蹌小,則筆受=1,

v^+l

所以/3A+1/-VA2TT,

即2"(4代3)R.

所以FO或公

所以所求圓C的切線方程為片3或片素+3,

即y=3或3xMyT2r=0.

(2)由圓。的圓心在直線l-.y^x-A上，可設圓心C為(a,2aM),

則圓C的方程為（x-a）2+[y-（2aY）]2=l.

又因為加/2如。/,

所以設M{x,y),

則+(尸3)2必/+產(chǎn),

整理得

設方程d+Q+lLN表示的是圓D,

所以點材既在圓C上又在圓〃上，即圓。和圓〃有交點，

所以2T<Ja2+[(2a-4)-(T)尸<2+1,

由5az-12a用20,得aGR.

由5aL12aW0,得OWaW”，

5

因此圓C的橫坐標a的取值范圍為[o,吊.

18.解(1)由題意,得e二=孚=口,可知a^b,cWl5&

a4a

?.?△明￡的周長是8+2倔，

：.2a-f2c=8+2y/15,

Aa=4fb=l.

9

橢圓。的方程為9+爐=1.

(2)橢圓的上頂點為.)/(0,1),由題意知過點M與圓7相切的直線存在斜率,則設其方程為l:y=kx+l,

由直線y=kx+\與圓7相切可知筌-I，

V1+A23

即322+36〃為4),4為，

k、+kz=q,得.

(y-k]x+1,

由21得(1+16，)V+32%x=0,

S=l，

.32用

??Xf-r---

E1+16年

k_k\Xbk?XF尢+42_3

X『XFxg-xp1-16^1^2.

故直線項的斜率為5.

4

19.解（1）在拋物線C中，焦點/到準線的距離為p,故尸2,。的方程為yMx.

⑵設點尸（為,%）,0（&%）.

又Hi,0）,貝ij㈤二（而-局,％-%），訪二（1一沏-%）.

因為河田麻

所以是一為斗?！埃匾粊V二4外，

得^-10^2-9,yi-10y2.

又因為點尸在拋物線。上,所以片所以（10%）￡（10%⑼，

則點°的軌跡方程為/名q.

52b

易知直線。。的斜率存在.

設直線。。的方程為y=kx,當直線0。和曲線相切時,斜率取得最大值、最小值.

□ZD

y=kx,Q

由"42得"胃云

525

即扁《X曾0,（*）

當直線00和曲線"看才得相切時,方程（*）的判別式△R,即.l=ot解得公4

所以直線OQ斜率的最大值為最

20.（1）解設點"坐標為（x,力，則直線4也4"的斜率分別為專，七,B±2,

依題意知七?6.化簡得94=1（寸±2）.

（2）①證明設直線1的方程為x=my+l,P（x”y）,Q（x?必）（/X）,外＜O）,

y-i

月2+2（*1-2）及_5八1）為_〃"’1."2一.「231及一（力+及）+力

21

（X2+2）71（哪+3）月初力為+3月的理+3力

x-/ny+1,

{—

消x得（3/弘）/4my-9-O,

'_6m

71+72=-TJ77?

得｛93M

“2=-赤，

9m+6加卜，

因此紅二室生L21

3K3M?

故的定值?

②解Q坐標為(均，-%),則直線PQ,方程為廣％星(x-x),

*「*2

鬻+1交嶷+1工

令網(wǎng)，解得X-%(如匕7)口?(〃/”?1)外

修+及力+及力+及-39小-4

即直線PQ恒過。(4,0)點.

故S△戶時=/Sw-S△。網(wǎng)/他X31yli《X3|及|七//%/-/%〃於/%+%號*碧=就需忘短

3V3

當病』,即〃尸士斗時，等號成立,此時△如Q面積的最大值為苧.

21.解(1)..?圓尸的方程為(x也)2曠=1,

圓心F的坐標為(2,0),半徑r=L

根據(jù)題意設拋物線￡的方程為/=2px(o)0),

.,?^=2,解得

.??拋物線￡的方程為“4x.

存在滿足要求的直線r.2x-y-4=Q或2x+y-A=Q.

(2)理由如下.

,/2/BC/是/與,/血的等差中項，M/=2r,

AlABl+ICDl^/BC/=4X2r=8.

：.lADi=iAB[+lBCl+ICDi=\O.

討論：

若1垂直于x軸，則1的方程為x