中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：特例入手 化繁為簡

特例入手化繁為簡特殊情形是一般情形在具體、特殊背景下的表現(xiàn)形式．若同學(xué)們能有效借助題目中的信息，可通過選擇特例，巧取動(dòng)（變）中之一瞬（或值），以小見大，以點(diǎn)帶面，或捷足先登，或得到啟示，或發(fā)現(xiàn)問題，從而迅速破解問題．一、特例助解捷足先登例1若x1，x2（x1<x2）是方程(x－a)(x－b)＝1(a<b)的兩個(gè)根，則實(shí)數(shù)x1，x2，a，b的大小關(guān)系為()．(A)x1<x2<a<b(B)x1<a<x2<b(C)x1<a<b<x2(D)a<x1<b<x2析解無論選擇哪一個(gè)答案，都意味著x1，x2，a，b的大小排列有一個(gè)固定順序，由此可令a＝－1，b＝1，則原方程變?yōu)椋▁＋1）（x－1）＝1， 即x2＝2，解之，得x1＝－，x2＝． 故有x1<a<b<x2，選C． 例2如圖1，梯形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E,F,G分別是BD,AC,DC的中點(diǎn)，已知兩底差是6，兩腰和是12，則△EFC的周長是()．(A)8 (B)9 (C)10 (D)12析解結(jié)論是確定的數(shù)據(jù)，而圖形卻有很大的“隨意性”，這說明圖形在不改變題目內(nèi)涵的情況形下運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，△EFC的周長為定值．結(jié)合已知中“兩底差是6，兩腰和是12”，可將圖1“特殊化”為一個(gè)正三角形，如圖2所示，其中三邊長均為6．借助三角形的中位線，極易得△EFG的周長是9，選B．點(diǎn)評以上兩例，一個(gè)代數(shù)題，一個(gè)幾何題，直接處理，難度都很大，但由于從題目（包括已知條件、待求結(jié)論和圖形）中提取出一些暗示信息，實(shí)現(xiàn)了速解．“特例法”展示了數(shù)學(xué)思維的簡潔之美，是一種有效的策略．二、特例探路退中求進(jìn)例3如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0，2)，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以線段AP為一邊，在其一側(cè)作等邊△APQ．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O處時(shí)，記點(diǎn)Q位置為B．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求證：當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)（P不與Q重合）時(shí)，∠ABQ為定值；(3)是否存在點(diǎn)P，使得以A,D,Q,B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．析解此處僅關(guān)注第(2)問．題目讓證明“∠ABQ為定值”，如果能事先知道這個(gè)定值是多少，就能有的放矢了，關(guān)注到圖形具有很大的隨意性，且這個(gè)隨意性是由點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，可以讓點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到一個(gè)特殊位置——當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O左側(cè)，且∠PAO＝60°時(shí)，點(diǎn)Q落在縱軸負(fù)半軸上，此時(shí)，在△ABQ中，AB＝AQ，∠BAQ＝60°，容易判斷∠ABQ＝90°．即所求定值為“直角”，思維目標(biāo)被鎖定！通過進(jìn)一步探索，可以證明△APO≌△AQB并完成推理：易證AP＝AQ，AO＝AB，且∠PAO＝∠QAB＝60°－∠OAQ，(或60°－∠OAQ，或60°－∠PAB，或60°＋∠PAB)即△APO≌△AQB總成立，∠ABQ＝∠AOP＝90°總成立．點(diǎn)評對于一類以探究“定值”、“定點(diǎn)”、“定線（向）”為特征的數(shù)學(xué)題，可以通過“主動(dòng)尋求與建構(gòu)特例”，巧妙鎖定思維方向，迅速實(shí)現(xiàn)問題解決．“特例探路，巧鎖目標(biāo)”實(shí)質(zhì)上是一種“以退求進(jìn)”的策略——退中悟理，執(zhí)理而進(jìn)．這樣，就大大避免了探索的盲目性，使思維過程優(yōu)化變短，顯得簡潔明快．三、特例查錯(cuò)事半功倍例4先化簡，再求值：，其中x是不等式組的整數(shù)解．析解本題化簡正確是關(guān)鍵一步．若化簡原式＝，正確與否？可取特殊值x＝0來檢驗(yàn)，結(jié)果原式＝－1，而，顯然化簡出錯(cuò)，必須糾正．例5圖4是一組由菱形和矩形組成的有規(guī)律的圖案，第1個(gè)圖中菱形的面積為S(S為常數(shù))，第2個(gè)圖中陰影部分是由連結(jié)菱形各邊中點(diǎn)得到的矩形和再連結(jié)矩形各邊中點(diǎn)得到的菱形產(chǎn)生的，依此類推…則第n個(gè)圖中陰影部分的面積可以用含n的代數(shù)式表示為_______（n≥2，且n是正整數(shù)）．析解若得到結(jié)果為，正確與否？可取特殊情形檢驗(yàn)，把菱形特殊化為正方形，則第2個(gè)圖中所有小塊的白色或黑色的三角形均是全等的，易得其中陰影部分面積為，這與不符，說明結(jié)果錯(cuò)誤，需要重新修正處理．點(diǎn)評對于運(yùn)算或推理上出現(xiàn)紕漏而導(dǎo)致的結(jié)果錯(cuò)誤，有時(shí)用一般的檢查方法較難奏效．而借助思維簡單明朗的特例檢查，查出錯(cuò)誤的機(jī)率會(huì)大大增加．尤其如因式分解、代數(shù)式化簡等數(shù)式變形，運(yùn)算結(jié)果應(yīng)與原式恒等，可用特殊數(shù)值代入比較，查驗(yàn)對錯(cuò)．此法對一些幾何問題查錯(cuò)也有效，雖然特例只能查錯(cuò)，糾錯(cuò)要另外進(jìn)行，但及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤是重要的，需注意的是：(