中考數(shù)學(xué)壓軸題練習(xí) 2半角模型（教師版）

【壓軸必刷】中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案

專題2半角模型

典例題

------------

［例I］如圖，在正方形A8C。中，點(diǎn)E、尸分別在邊BC、CDl.,且NEA尸=45°,分別連接EEBD,

BD與AF、AE分別相交于點(diǎn)M、N

(1)求證：EF=BE+DF

為了證明‘'EF=BE+DF”,小明延長CB至點(diǎn)G,使BG=QF,連接AG,請(qǐng)畫出輔助線并按小明的思路

寫出證明過程.

(2)若BE=2,DF=3,請(qǐng)求出正方形A8C。的邊長.

(3)請(qǐng)直接寫出線段BMMN、力M三者之間的數(shù)量關(guān)系

【分析】(1)延長3C到G,使BG=QF,連接AG,證得AABG咨ZV1Z)F,?AEF^ΔAEG,最后利用

等量代換求得答案即可；

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論，設(shè)正方形的邊長為X,列方程可解答；

(3)在AG截取A4=AM,連接M7、BH,證得aA8∕7絲aAOM,AAMN冬AAHN,最后利用勾股定理

求得答案即可.

【解析】(1)證明：如圖1,延長CB至點(diǎn)G,使BG=力尸，連接4G,

圖1

：四邊形ABC。為正方形,

：.AB=AD1ZBAD=ZADF=ZABE=ZABG=90°,

在aABG和aADF中，

AB=AD

/-ABG=Z.ADFy

BG=DF

:.XABGQZXADF(SAS),

：.ΛDAF=ZBAG,AF=AG,

ooo

：.ZGAE=ZBAG+ZBAE=ZDAF+ZBΛE=90-45=45=ZEAF9

在AAEF和△?!EG中，

AF=AG

Z-FAE=Z-GAE，

AE=AE

：.ΛAEF^∕?AEG(SAS),

：.EF=EGf

?：EG=BE+BG,

：.EF=BE+DF；

(2)解：設(shè)正方形的邊長為羽

VBE=lf.DF=3,

ΛCE=x-2,CF=X-3,

由(1)得：EF=BE÷DF=2+3=5,

RtΔCEFφ,EF2=CE2+CF2,

52=Cx-2)2+(X-3)2,

解得：x=6或-1(舍)，

答：正方形ABC。的邊長為6.

(3)解：BN2+DM2=MN2;

理由是：如圖2,在AG上截取A4=AM,連接“N、BH,

圖2

在4A"8和Mf)中,

AB=AD

乙HAB=?MAD?

AH=AM

Λ?ΛHβ^?ΛMD(SAS),

：.BH=DM,ZABH=ZADB=45°,

又??NA5A=45°,

：.NHBN=90°.

.?BH2+BN2^HN2.

在AAHN和aAMN中，

AH=AM

乙HAN=LMAN,

.AN=AN

:.XAHN迫XAMN(SAS),

：.MN=HN.

：.BN2+DM2=MN2.

【例2】.如圖，ASC是邊長為2的等邊三角形，%>C是頂角為120。的等腰三角形，以點(diǎn)。為頂點(diǎn)作

NMON=60。，點(diǎn)M、N分別在AB、ACl..

(1)如圖①，當(dāng)MNHBC時(shí)，貝U.AMN的周長為；

(2)如圖②，求證：BM+NC=MN.

圖①圖②

【答案】(1)4；(2)見解析

【分析】

(I)首先證明ABDM絲ZiCDN,進(jìn)而得出ADMN是等邊三角形，NBDM=/CDN=30。，NC=BM=TDM=T

MN,即可解決問題；

(2)延長AC至點(diǎn)E,使得CE=3”,連接。石，首先證明aBZW之△(?￡)￡,再證明ZWW會(huì)Z?EQN,

得WMN=NE,進(jìn)而得出結(jié)果即可.

【詳解】

解：(1)YA4C是等邊三角形，MNHBC,

ZAMN=ZABC=60°,ZAW=ZAC3=60。

???是等邊三角形，.?AM=AN,則=NC,

，BDC是頂角NBOC=120。的等腰三角形，

o

.?ZDBC=ZDCB=30f

:"DBM=/DCN=90。,

在/3DW和ACDN中,

BM=CN9

<ZMBD=ZDCN,

BD=CD,

:.ABDM/ACDN(SAS),

:.DM=DN,ABDM=/CDN,

?；NMDV=60。，

???jOMN是等邊三角形，ZBDM=/CDN=30。,

NC=BM=LDM='MN,：.MN=MB+NC,

22

??...AAW的周長=AB+AC=4.

(2)如圖，延長Ae至點(diǎn)E,使得CE=BM,連接。E,

??,.ABC是等邊三角形，8。C是頂角N8DC=120。的等腰三角形，

o

??.ZABC=ZAeB=60。,ZDBC=ZDCB=30f

o

:.ZABD=ZACD=90f

.?.ZDCE=90°,

在L3DM和"DE中,

BD=CD,

<NMBD=NECD,

BM=CE,

.ΛBDMACDE(SAS),

:.MD=ED,ZMDB=ZEDC,

：.AMDE=120。-AMDB+AEDC=120o,

?；NMDN=60°,

NNDE=60。,

在4MDN和LEDN中，

'MD=ED、

-NMDN=/NDE=60°,

DN=DN,

.-.AMDN沿LEDN(SAS).

MN=NE,

又,：NE=NC+CE=NC+BM,

：.BM+NC=MN.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的性質(zhì)與

判定，等邊三角形及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【例3].如圖，在四邊形ABeD中，ZB=ZD=90。，E,F分別是BC,CD上的點(diǎn)，連接AE,AF,EF.

(1)如圖①，AB^AD,ZBAD=UOo,NEAF=60°.求證：EF=BE+DF；

圖①圖②圖③

(2)如圖②，ZBAD=120°,當(dāng)一.A￡F周長最小時(shí)，求NAEF+ZAFE的度數(shù)；

(3)如圖③，若四邊形ABCn為正方形，點(diǎn)E、尸分別在邊BC、CDk,且NE4F=45。，若BE=3,DF=2,

請(qǐng)求出線段EF的長度.

【答案】(1)見解析；(2)ZAEF+ZAFE=↑20o;(3)EF=5.

【分析】

(1)延長ED到點(diǎn)G,使DG=8E,連接AG,首先證明.A8Eg,.AE>G,則有AE=4G,NBAE=NDAG,

然后利用角度之間的關(guān)系得出/E4尸=∕E4G=60°,進(jìn)而可證明AE4/絲AGAF,則EF=FG=DG+DF,

則結(jié)論可證；

(2)分別作點(diǎn)A關(guān)于Be和CO的對(duì)稱點(diǎn)4",連接AA",交BC于點(diǎn)、E,交CD于點(diǎn)F,根據(jù)軸對(duì)稱

的性質(zhì)有AE=A￡，A"F=AF',當(dāng)點(diǎn)A，、E、F、A"在同一條直線上時(shí)，AA"即為EF周長的最小值，

然后利用ZAEF+ZAFE=ZEAA+ZEAA+ZFAD+NA〃求解即可；

(3)旋轉(zhuǎn)ZSABE至ZW)P的位置，首先證明尸之則有EF=",最后利用

防=PF=P￡>+=8E+OE求解即可.

【詳解】

(1)證明：如解圖①，延長Fo到點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG,

在AABE和αADG中，

AB=AD,

"ZABE=ZADG,

BE=DG,

：.ABE空ADG(SAS).

.?.AE=AG,ΛBAE=ΛDAG,

ZBAD=UOo,ZE4F=60o,

.?.ZBAE+ZFAD=ZDAG+ZFAD=60°.

:.ZEAF=ZFAG=60°,

在了和，G4F中，

AE=AG,

NEAF=ZGAF,

AF=AF,

.?.E4F^.GAF(SAS).

：.EF=FG=DG+DF,:.EF=BE+DF；

(2)解：如解圖，分別作點(diǎn)A關(guān)于BC和CO的時(shí)稱點(diǎn)A,A",連接AA〃，交SC于點(diǎn)E,交C。于點(diǎn)尸.

由對(duì)稱的性質(zhì)可得AE=A￡，A"F=AF,

此時(shí)一AEF的周長為AE+EF+A尸=A'E+EF+AN=AA".

???當(dāng)點(diǎn)4、E、F、A"在同一條直線上時(shí)，AA"即為4心周長的最小值.

ZZMB=120°,

.?.ZAME+NA"=180°-120°=60°.

ZEA'A=ZEAA',ZFAD=ZA",ZEA'A+Nw=ZAEF,ZFAD+ZΛ"=ZAFE,

.?.ZAEF+ΛAFE=ZE4,Λ+ZEAA'+ZFAD+ZAff=2(ZAA'E+ZAff)=2×60°=120°；

(3)解：如解圖，旋轉(zhuǎn)A43E1至?Δ47P的位置，

.?.NPAE=NDAE+NPAD=ZDAE+NEAB=90°,

AP=AE,ZPAF=/PAE-/FAF=90o-45o=45o=AEAF.

在Z?R4尸和尸中，

AP=AE,

-ZPAF=ZEAF,

AF=AF,

.?ΛPAF^ΛEAF(SAS).

.-.EF=FP.

.-.EF=PF=PD+DF=BE+DF=3+2=5.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【例4】.(1)如圖1,在四邊形ABCC中，AB=AD,ZBAD=IOOo,N8=/AZ)C=90。.E,F分別是BC,

CO上的點(diǎn).且/EAF=50。.探究圖中線段ERBE,尸。之間的數(shù)量關(guān)系.

小明同學(xué)探究的方法是：延長尸。到點(diǎn)G,使。G=BE,連接AG,先證明AABE咨Z?AOG,再證明AAEF冬

△AGR可得出結(jié)論，他的結(jié)論是(直接寫結(jié)論，不需證明)；

(2)如圖2,若在四邊形48Cz)中，AB=AD,ZB+ZD=180o,E,尸分別是8C,CD上的點(diǎn)，JlIAEAF

=NBAD,上述結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖3,四邊形ABCO是邊長為7的正方形，NEBF=45。，直接寫出AOEF的周長.

【分析】

(1)延長FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG,由“SA歹可證AABEgZVlOG,可得AE=AG,NBAE=ZDAG,

再由“SAS”可證AAEP絲ZVlGF,可得EF=FG,即可解題；

(2)延長E8到G,使BG=DF,連接AG,即可證明AA8G?Z?AOF,可得AF=AG,再證明AAEF-AiAEG,

可得EF=EG,即可解題；

(3)延長EA到，，使A∕∕=CF,連接84,由"SAT可證絲Z?C8R可得BH=BF,NABH=NCBF,

由“SAS”可證AEBHgZ?EB凡可得EF=EH,可得M=E"=AE+C凡即可求解.

【詳解】

證明：(1)延長FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG,

在AABE和AAOG中，

AB=AD

<ZABE=ZADG=90,

BE=DG

：.(SAS),

：.AE=AG,NBAE=NDAG,

VZBAD=IOOO,NEAF=50。，

o

ΛNBAE+NFAD=ZDAG^-ZFAD=50f

ΛZfAF=ZMG=50o,

??EΛF>fΠ?GAFφ,

AE=AG

VZEAF=ZGAF,

AF=AF

ΛΔEΛF^ΔGΛF(SAS)9

.?.EF=FG=DF+DG,

：,EF=BE+DF,

故答案為：EF=BE+DF;

(2)結(jié)論仍然成立，

理由如下：如圖2,延長所到G,使BG=OR連接AG,

???NABG=ND,

Vffi?AβG??ΛDFφ,

AB=AD

,ZABG=ZD,

BG=DF

ΛΔAβG^ΔADF(SAS)f

：.AG=AFiNBAG=NDAF,

?*2ZEAF=ZBAD9

：.ZDAF+ZBAE=NBAG+NBAE=?ZBAD=NEAF,

LNGAE=NEAF,

又AE=AE9

：.ΛAEG^∕?AEF(SAS),

.?EG=EF.

*：EG=BE+BG.

.?EF=BE+FD;

(3)如圖，延長E4到，，使A"=b,連接8H,

：.AB=BC=I=AD=CDfNBAD=NBCD=90。,

o

：.ZBAH=ZBCF=90f

又YAH=CF,AB=BC9

ΛΛABH^ΔCBF(SAS),

：.BH=BF9NABH=NCBF,

YNEB尸=45°,

???ZCBF+ZABE=450=ZHBA+ZABE=ZEBF9

??./EBH=NEBF,

又YBH=BF,BE=BEf

.?.△EBH/AEBF(SAS),

：.EF=EHf

.?EF=EH=AE+CFf

.,.∕?DEF的周長=Z)E+Z>F+EF=OE+DF+AE+CF=AZ)+CD=14.

【點(diǎn)睛】

本題是四邊形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角

形是本題的關(guān)鍵.

【例5]]如圖1,在菱形ABC。中，AC=2,BD=2√3,AC,BO相交于點(diǎn)0.

(1)求邊AB的長；

(2)求NBAC的度數(shù)；

(3)如圖2,將一個(gè)足夠大的直角三角板60。角的頂點(diǎn)放在菱形ABCO的頂點(diǎn)4處，繞點(diǎn)A左右旋轉(zhuǎn)，其中三

角板60。角的兩邊分別與邊BC,CD相交于點(diǎn)E,F,連接￡凡判斷△入《尸是哪一種特殊三角形，并說明理

由.

【答案】(1)2；(2)60°；(3)見詳解

【分析】

(1)由菱形的性質(zhì)得出OA=I,OB=⑺，根據(jù)勾股定理可得出答案；

(2)得出AABC是等邊三角形即可；

(3)由AABC和AACD是等邊三角形，利用ASA可證得ZiABE妥Z?ACF;可得AE=AF,根據(jù)有?個(gè)角是

60。的等腰三角形是等邊三角形推出即可.

【詳解】

解：(1)；四邊形ABCD是菱形，

ΛAC1BD,

二Z?AOB為直角三角形，且OA=LAC=1,OB=LBD=6.

22

222

?*-AB=y∣OA+OB-=Λ∕1+(√3)=2;

(2)?.?四邊形ABCD是菱形,

ΛAB=BC1

由(1)得：AB=AC=BC=2,

???△ABC為等邊三角形，

NBAC=60°；

(3)4AEF是等邊三角形，

Y由(1)知，菱形ABCD的邊長是2,AC=2,

ΛΔABC和AACD是等邊三角形，

ZBAC=ZBAE+ZCAE=60o,

,.?ZEAF=ZCAF+ZCAE=60o,

.?.NBAE=NCAF,

在AABE和AACF中，

NBAE=ZCAF

<AB=AC

NEBA=NFCA

二ZXABEgZXACF(ASA),

二AE=AF,

?.,ZEAF=60o,

ΛΔAEF是等邊三角形.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)以及圖形的旋轉(zhuǎn).解題的關(guān)鍵是熟

練掌握菱形的性質(zhì).

優(yōu)訓(xùn)練

X____________________________Z

1.(1)如圖①，在四邊形ABa)中，AB=AD,ZS=ZD=90。，E,尸分別是邊8C,Co上的點(diǎn)，且

NE4F=gZBAD.請(qǐng)直接寫出線段EF,BE,EO之間的數(shù)量關(guān)系：;

(2)如圖②，在四邊形ABCr)中，AB=AD,ZS+ZD=180o,E,F分別是邊8C,Co上的點(diǎn)，且

NEAF=gNBA。,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)寫出證明過程；

(3)在四邊形A8C。中，AB=AD,ZB+ZD=180o,E,尸分別是邊BC,CO所在直線上的點(diǎn)，且

NEAYNBAD.請(qǐng)畫出圖形(除圖②外)，并直接寫出線段EF,BE,KD之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)EF=BE+FD;(2)成立，理由見解析；(3)圖形見解析，EF=BE-FD

【分析】

(1)延長EB到G,使BG=DF,連接AG.證明"GE??AEF全等，則EF=GE,則EF=BE+DF,證明△”后

和AAE尸中全等，那么AG=A/，/1=/2,∕l+∕3=∕2+∕3=∕H4f=g∕84λ從而得出EF=GE；

(2)思路和作輔助線的方法同(1)；

(3)根據(jù)(1)的證法，我們可得出CF=BG,GE=EF,那么EF=GE=BE-BG=BE-DF.

【詳解】

(1)延長E8至G,使BG=O/，連接AG,

VZABG=ZABC=ZD=90o,AB=AD,

：._ABG^ADF,

：.AG=AF,4=N2,

/.N1+N3=N2+N3=NE4F」ZBA￡>,

2

/.NGAE=NEAF,

在」G4￡和一中，

AG=AF

?：?ZGAE=ZEAF,

AE=AE

：.^GAEFAE(SAS)9

：.EG=EF,

?：EG=BE+BG,

，EF=BE+FD?

故答案為：EF=BE+FD

(2)(1)中的結(jié)論仍成立，

證明：延長CB至加，使BM=D/7,

β.?ZABC+ZD=180%Zl+ZABC=180。，

，Zl=ZDf

在，ΛBΛ∕和αAOE中，

AB=AD

<NI=NO,

BM=DF

Λ..ABM^ADF(SAS)f

：.AF=AM>/2=/3,

?.,ZEAF=-ZBAD,

2

???Z2+Λ4=-ZBAD=ZEAF,

2

.,.Z3+Z4=ZEAF即ZMAE=ZEAF.

在4MΛE和/XAFE中，

AM=AF

"NMAE=NEAF,

AB=AE

：.∕?AME四々A尸E(SAS),

：.EF=ME,即EF=BE+BM.

(3)EF=BE-FD,

證明：在BE匕截取BG使BG=DE,

連接AG,

VZB+ZADC=180o,ZADF+ZADC=ISOo,

,AB=ZADF,

在ABGfIIAZ)F中，

AB=AD

-ZABG=AADF,

BG=DF

：._ABG^>ADF(SAS),

ΛABAG=ADAF,AG=AF,

：.NBAG+ZEAD=NDAF+NEAD=NEAF=-ZBAD,

2

.".NGAE=NEAF,

在AAEG和4A￡尸中,

AG=4尸

-NGAE=NEAF,

AE=AE

∕?AEG^ΛAEF(SAS),

：.EG=EF,

'：EG=BE-BG,

，EF=BE-FD.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，通過全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵，沒有明確的全

等三角形時(shí)，要通過輔助線來構(gòu)建與已知和所求條件相關(guān)聯(lián)的全等三角形.

2.如圖，在等邊三角形A8C中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)。是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作等邊

三角形DEF,連接CF.

（1）如圖1,若點(diǎn)。在邊BC上，直接寫出CE,CF與CO之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2,若點(diǎn)。在邊BC的延長線上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE,CF與CC之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明

理由；

（3）如圖3,若點(diǎn)。在邊CB的延長線上，請(qǐng)直接寫出CE,CE與CC之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）CE+CF=CD；（2）CF=CE+CD,理由見解析；（3）CD=CE+CF

【分析】

（1）在CQ上截取CH=CE,易證.CEH是等邊三角形，得EH=EC=CH,證明—DEHm?FEC,得DH=CF,

即可得出結(jié)論；

(2)先證-GCE為等邊三角形，再證-EGOT-ECF,得至IJGZ)=C凡又因?yàn)镚Q=CG+CD,得CF=CG

+CD,則CF=CE+CD；

(3)先證aGCE為等邊三角形，再證CG=CE=EG,∕GEC=6(Γ,ED=EF,NDEG=NFEC,得AEGD

里ECF,則GD=CF,即可得到CE+CF=CD.

【詳解】

(1)證明：CE+CF=CD,

理由如下：在CD上截取CH=CE,連接EH,如圖1所示：

圖1

：-ABC是等邊三角形，

二ZECH=GOo,

.?.-CEH是等邊三角形，

JEH=EC=CH,NCEH=60°,

：。EF是等邊三角形，

：.DE=FE,ZDEF=60o,

.,.ZDEH+ZHEF=ZFEC+ZHEF=Wo,

：.NDEH=NFEC,

DE=FE

在ΛDEH和aFEC中，■NDEH=ZFEC,

EH=EC

：...DEH^..FEC(SAS),

JDH=CF,

：.CD=CH+DH=CE+CF,

：.CE+CF=CD;

(2)解：CF=CE+CO

理由如下：

—48C是等邊三角形,

.??/A=NB=NACB=60。，

忤EGHAB,交BC于點(diǎn)G,如圖2所示

：.ZEGC=ZB=60o,NGEC=N4=60。,

，ZEGC=ZGEC=NAC8=60。，

：?AGCE為等邊三角形,

：.CG=CE=EG,

EDF為等邊三角形,

.?ED=EF1NDE尸=60。，

：,/DEG=NFEC

??”EGD出二ECF(SAS),

：?GD=CF,

又GD=CG+CD

：.CF=CE+CD.

(3)??,二ABC是等邊三角形，

???ZA=ZABC=NACB=60。，

悍EGHAB、交BC于點(diǎn)G,如圖所示

oo

.?ZEGC=ZABC=60fZGEC=ZA=60f

???NEGC=NGEC=/ACB=60。,

???二GCE為等邊三角形，

Z.CG=CE=EG,ZGEC=GOo

NGEC=NGEF+NFEC=60o

?.?,ED尸為等邊三角形，

IED=EF,∕OEK=60°,

二ZDEF=ZGEF+ADEG=-GQo

：.NDEG=NFEC,

：.?EGD^-ECF(SAS),

：.GD=CF,

又YGD=CD-CG,CG=CE

：.CE+CF=CD

【點(diǎn)睛】

本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；作輔助線構(gòu)建等

邊三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型.

3.如圖，CA=CB,CAVCB,NECF=45°,CD=CF,ZACD=NBCF.

(1)求NACE+NBb的度數(shù)；

(2)以E為圓心，以AE長為半徑作?。阂訤為圓心，以BF長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)G,試探索EFG

的形狀？是銳角三形，直角三角形還是鈍角三角形？請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)45°；(2)見詳解

【分析】

(I)由C4LCB,可得NACB=90。，再根據(jù)NECF=45。，即可得出答案；

(2)如圖，連接OE,先證明AECF絲ZXECQ(SAS),可得DE=EF,再證明△(?"＞絲ACBF(SAS),可得

AD=-BF,ZCAD=ZB,即可得出ND4E=90。，再利用SSS證明AEFGZZXED4,即可得出答案.

【詳解】

解：(1)VCAlCB,

???NACB=90。，

/.ZACE+ZECF+ZBCF=90°f

?/ZECF=45o,

???ZACE+ZβCF=90o-ZECF=45o;

(2)AEFG是直角三角形，理由如下:

如圖，連接

由(1)知，ZACE+ZBCF=45o,

?：/ACD=NBCF,

：.ZACE+ZACD=450,即NQCE=45。,

YNECF=45。,

：.ZECF=ZECDf

在AECF和AECQ中，

CF=CD

<ZECF=ZECDf

CE=CE

：./\ECF^/\ECD(SAS),

：.DE=EF,

??CAD和中，

CD=CF

</ACD=NBCF,

CA=CB

ΛΔCΛD^ΔCBF(SAS),

：.AD=BF,ZCAD=ZB1

YFG=BF,

：.FG=AD,

VZACB=90o,CA=CB,

.?.ΛABC是等腰直角三角形，

，NCAB=/8=45。，

/.NDAE=ZCAB+/8=90。,

在AEFG和AEZM中，

EG=EA

FG=AD,

EF=ED

：.ΛEFG^ΔEDA(SSS),

：.ZEGF=ZEAD=90o,

二ZXEFG是直角三角形.

【點(diǎn)睛】

本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)等

知識(shí)，解題關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，熟練運(yùn)用全等三角形判定和性質(zhì)解決問題.

4.(1)閱讀理解

如圖1,在正方形A8C。中，若E,F分別是S,8C邊上的點(diǎn)，ZEAF=45o,則我們常常會(huì)想到：把ADE

繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到.A8G.易證.AEZW,得出線段8凡DE,EF之間的關(guān)系為；

(2)類比探究

如圖2,在等邊，ABC中，D,E為BC邊上的點(diǎn)，ZDA￡=30o,BD=I,EC=I.求線段OE的長；

(3)拓展應(yīng)用

如圖3,在，ABC中，AB=AC=/BAC=150。，點(diǎn)D,E在BC邊上，NDAE=75°,若DE是等

腰，AQE的腰，請(qǐng)直接寫出線段8。的長.

圖1圖2圖3

【答案】(1)AGF,EF=DE+BF;(2)DE=√7；(3)BD=2或26

【分析】

(1)證明AAG尸名Z?4EF(S4S),5∣∣JGF=EF,BPGF=BG+BF=DE+BF=EF,即可求解；

(2)ilEBJJ?ΛFD^Δ.AED(SAS),則FD=DE,在RtNBH中,NFBH=6Q°,則BH=?BF=1,FH=BFsmWo

/7__________

=2×-=y[i,則==√7=ED,即可求解；

(3)①當(dāng)OE=A。時(shí)，AAOΔ?Z?ADF(SAS),在AABC中，AB=AC=√6+√21NHAC=30°,由BG

=(.AB+AH)2+HC2得:BC2=(X+也x)2+(WX)2,求出BC=4+2>Λ；在AADE中，AD=DE=a,Z

22

AOE=30。，同理可得：AE=#a,由AB2+Af2=Bf2,求出α=2,即可求解；②當(dāng)?！?A￡時(shí)，BD

2

對(duì)應(yīng)①中的CE,即可求解.

【詳解】

解：(1)由圖象的旋轉(zhuǎn)知，AG=AE,ZDAE^ZGAB,

VZBAF+ZDAE^ZBAD-NEAF=45。,

ΛZGAF=ZGAB+ZBAF=ZDAE+ZBAF=Wo-ZEAF=45°=ZEAF,

5L'：AG=AE,AF=AF,

：./^AGF^?AEF(SAS),

IGF=EF,

即GF=BG+BF=DE+BF=EF,

即EF=DE+BF,

故答案為：-AGF,EF=DE+BF;

(2)將AAEC圍繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)到AAFB的位置，連接FD,

由(1)知，△?!/?方絲Z?AEC(SAS),則AF=AE,FB=EC=2,

VZFAD=ZFAB+ZBAD=ZEAC+ZBAD=ZBAC-Nz)AE=60。-30°=ZDAE,

'：AD=AD,AF=AE,

：.ΛAFD^∕?AED(SAS),

.?FD=DE,ZABF=ZC=60o,

在尸中，BD=?,BF=2,ZFBD=ZABF+ZABC=60o+60o=120°,

過點(diǎn)F作FHLBD交DB的延長線于點(diǎn)H,則NF8，=60。，

在RtAFBH中,ZFBH60°,則尸=1,FH=BFsin600=2×-=√3.

22

則FD=x∣FH2+HD2=√7=ED

故DE=√7；

(3)①當(dāng)f>E=4O時(shí)，則NZME=NOEA=75。，貝IJNADE=I80°-2x75°=30°,

在等腰中，NBAC=150。，則/ABC=NACB=15。，

將“EC圍繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到"FB所在的位置(點(diǎn)F對(duì)應(yīng)點(diǎn)￡),連接DF,

由(2)同理可得：A4OE絲ZvtDF(SAS),

IDF=DE,

?：ZADE=ZABC+ZBAD=?5o+ZBAD=30o,故NBA。=15°=ZABD,

.,.AD=BD=ED,

設(shè)8∑>=",則AO=8O=EO=4,則8E=2”,

過點(diǎn)C作CHLBA交BA的延長線于點(diǎn)H,則/HAC=2/A2C=30。，

??ABCφ,AB=AC=√6+√2,ZHAC=30°,

設(shè)AC=x,則CH=!X,AH=BX,

22

由BG=(AB+AH)2+HC2得：BC1=Cx+-x)2+(??)2,

22

將x=a+近代入上式并解得：BC=4+2√3；

在ZkADE中，AD=DE=a,ZADE=30°,

同理可得：AE=G&a,

2

'：ZABE=]5a,AAEB=I5°,故NBAE=90°,

在∕?A4M中，AB2+AE2=BE2,即(指+應(yīng))2+(直二^a)2=(2α)2,

2

解得α=±2(舍去負(fù)值)，故a=2,

則BC=2,

CE=BC-2a=4+2√3-4=2√3；

②當(dāng)C)E=AE時(shí)，

8。對(duì)應(yīng)①中的CE,

故BD=2B

綜上，8。=2或26.

BDEC

圖2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的

性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

5.已知四邊形ABC。中，ABLAD,BCLCD,AB=BC,ZABC=UOo,NMBN=60°,NMBN繞B點(diǎn)、旋

轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交4。，DC（或它們的延長線）于E、F.

（1）當(dāng)NMBN繞8點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)（如圖1）,試猜想AE,CF,EF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)將

三條線段分別填入后面橫線中：—+—=—.（不需證明）

（2）當(dāng)/MBN繞8點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE，CF（如圖2）時(shí)，上述（1）中結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由.

（3）當(dāng)NMBN繞8點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到A母CF（如圖3）時(shí)，上述（1）中結(jié)論是否成立？若不成立，線段AE,CF,

【答案】（I）AE；CF;EF；（2）成立，見解析；（3）不成立，新的關(guān)系為AE=EF+C凡

【分析】

（1）根據(jù)題意易得AA8EgZ?C8凡然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得乙48E=NCBf?=3（Γ,進(jìn)而根據(jù)30。角的

直角三角形及等邊三角形的性質(zhì)可求解；

（2）如圖2,延長FC到“，使C4=AE,連接8”，根據(jù)題意可得ABCH絲Z?BAE,則有B"=BE,NCBH=

NABE,進(jìn)而可證AH5FgaE8F,推出HF=ER最后根據(jù)線段的等量關(guān)系可求解；

（3）如圖3,在AE上截取AQ=C凡連接BQ,根據(jù)題意易得CF絲Z?BAQ,推出BF=BQ,ZCBF=ZABQ,

進(jìn)而可證ZkPBEgZXQBE,推出EF=QE即可.

【詳解】

解：(1)如圖1,AE+CF=EF,理由如下：

VAB±ΛD,BClCD,

???ZΛ=ZC=90o,

YAB=BC,AE=CF,

：?AABEmACBF(SAS),

ΛZABE=ZCBFtBE=BF,

VZAβC=120o,NMBN=60°,

：.NABE=NCBF=3。。,

AE=LBE,CF=LBF,

22

:NMBN=60°,BE=BF,

...△8E廠是等邊三角形，

.?.AE+CF=-BE+-BF=BE=EF,

22

故答案為：AE+CF=EF;

(圖1)

(2)如圖2,(1)中結(jié)論成立；理由如下:

延長FC到凡使CH=AE,連接

???ABLAD,BClCD1

o

：.ZA=ZBCH=90t

ΛΔBCW^ΔBAE(SAS),

：.BH=BE,NCBH=NABE,

VZABC=120o,NMBN=6。。,

：.NABE+ZCBF=120o-60o=60o,

.?ZHBC+ZCBF=60o,

/./HBF=/MBN=60°,

：.ZHBF=ZEBF9

:.AHBFtAEBF(SAS),

：.HF=EF,

?.?HF=HC+CF=AE+CF,

：.EF=AE+CF；

(圖2)

(3)如圖3,(1)中的結(jié)論不成立，關(guān)系為AE=EF+CF,理由如下:

在4￡上截取AQ=CK連接BQ,

u

?ABLAD1BCLCD,

???NA=NBCF=90。，

YAB=BC,

.?∕?BCF^ΛBAQ(SAS),

：.BF=BQtNCBF=NABQ,

?/NMBN=60°=NCBF+∕CBE,

???ZCβE+ZΛB0=6Oo,

??ZAfiC=120o,

.?ZQBE=120o-60o=60°=ZMBN,

：.NFBE=NQBE,

ΛΔFBE^ΔQBE(SAS),

：.EF=QE,

?"AE=QE+AQ=EF+CE,

J.AE=EF+CF.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、含30。角的直角三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等

三角形的性質(zhì)與判定、含30。角的直角三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，在正方形ABCQ中，點(diǎn)尸在直線BC上，作射線AP,將射線AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，得到射

線AQ,交直線CD于點(diǎn)Q,過點(diǎn)8作BEJ_AP于點(diǎn)E,交AQ于點(diǎn)凡連接。F.

（1）依題意補(bǔ)全圖形;

（2）用等式表示線段BE,EF,OF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】（1）補(bǔ)全圖形見解析；（2）BE+DF=EF,證明見解析.

【分析】

(1)根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可.

(2)延長/E到”,使EH=E-根據(jù)題意證明AA8H∕ZV1OF,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明.

【詳解】

(1)補(bǔ)全圖形

(2)BE+DF=EF.

證明：延長FE至Ij”,使EH=E/

9

JBELAP9

：.AH=AF,

,NHAP=NFAP=45°,

Y四邊形A8CD為正方形,

.?AB=ADf

ZBAD=90o

ΛZBΛP+Z2=45o,

VZl+ZBAP=45o

ΛZ1=Z2,

：,AABH經(jīng)4ADF,

：.DF=BH,

,：BE+BH=EH=EF,

.?.BE+DF=EF.

【點(diǎn)睛】

此題考杳了正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線.

7.(1)如圖，在正方形中，E、F分別是BC,Ce)上的點(diǎn)，且NE4F=45。.直接寫出BE、DF、EF

之間的數(shù)量關(guān)系；

A

B

(2)如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,ZS=ZD=90。，E、尸分別是BC,C。上的點(diǎn)，且NE4F=gNB4),

求證：EF=BE+DF；

(3)如圖，在四邊形ABCZ)中，AB=AD,"+/3=180。，延長8C到點(diǎn)E,延長Cf)到點(diǎn)F,使得

NEAFWNBAD,則結(jié)論EF=BE+D尸是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)寫出它們的數(shù)量關(guān)系

并證明.

【答案】(I)EF=8E+OF,理由見詳解；(2)見詳解：(3)結(jié)論EF=BE+Fn不成立，應(yīng)當(dāng)是EF=BE-FD.理

由見詳解.

【分析】

(1)在CD的延長線上截取。M=M,連接AM,證出“BE嶺ZXAQM,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BE=

DM,再證明AAEF絲ZXAMF,得EF=FM,進(jìn)而即可得出答案；

(2)在Co的延長線上截取。G=8E,連接AG,證出AABEgZSADG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BE=

OG,再證明AAEFGZ?AGF,得EF=FG,即可得出答案；

(3)按照(2)的思路，我們應(yīng)該通過全等三角形來實(shí)現(xiàn)相等線段的轉(zhuǎn)換.就應(yīng)該在BE上截取BG,使BG

=DF,連接AG.根據(jù)(2)的證法，我們可得出。尸=8G,GE=EF,那么EF=GE=8E-8G=8E-DF.所

以(1)的結(jié)論在(3)的條件下是不成立的.

【詳解】

(1)解：EF=BE+DF,理由如下:

延長CQ,使。M=BE,連接AM,

M

一.T

o

???在正方形ABCD中，AB=ADfZB=ZADM=W9

：?dABE?ADM,

：.ZBAE=ZDAMfAE=AM1

?/ZE4F=45o,

???ZBΛE÷ZDΛF=ZDΛΛ∕+ZDAF=90o-45o=45o,

ΛZEAF=ZMAF=450,

XVAF=AF,AE=AM1

LAEF緣AMF,

：.EF=MF=MD+DF=BE+DF;

(2)在Co的延長線上截取OG=BE連接AG,如圖,

VZADF=90o,ZADF+ZADG=[S0o,

：./ADG=90。，

VZB=90o,

???ZB=ZADG=90o,

?：BE=DG,AB=ADi

：.AABE^ΛADG(SAS),

ΛZBAf=ZDAG,AG=AEf

???NEAG=ZEAD+ZDAG=ZEAD+ZABE=ZBAD,

?/NEAF=LNBAD,

2

.?.ZEAF=-ZEAG,

2

：.ZEAF=ZFAGf

XVΛF=AF,AE=AG,

ΛΔAEF^ΔAGF(SAS),

：?EF=FG=DF+DG=EB+DF;

(3)結(jié)論M=BE+尸D不成立，應(yīng)當(dāng)是EF=BE-FD.理由如下:

如圖，在BE上截取3G,使BG=OE連接AG.

VZB+ZADC=180o,ZADF+ZADC=180°,

???ZB=ZADF.

V??ABG??ΛDFφ,

AB=AD

<ZABG=ZADF9

BG=DF

ΛΛABG^ΔADF(SAS).

：.ZBAG=ZDAFfAG=AF,

：.Z8AG+ZEAD=ZDAF+ZEAD=ZEAF=?ZBAD=-^GAF.

22

：.ZGAE=?ZBAD=ZEAF.

'：AE=AE,AG=AF.

：.ΛAEG^∕?AEF.

J.EG=EF,

?,EG=BE-BG

IEF=BE-FD.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形綜合題，三角形全等的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)變換的思想添加

輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，解題時(shí)注意一些題目雖然圖形發(fā)生變化，但是證明思路和方法是類似

的，屬于中考?jí)狠S題.

8.(1)思維探究：

如圖1,點(diǎn)E,尸分別在正方形ABC。的邊8C,CDl.,且/E4F=45。，連接EF,則三條線段ERBE,

。F滿足的等量關(guān)系式是;小明的思路是：將F繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。至MBG的位置，并說

明點(diǎn)G,B,E在同一條直線上，然后證明AAEF堂—即可得證結(jié)論；(只需填空，無需證明)

(2)思維延伸：

如圖2,在AABC中，ZBΛC≈90o,AB=AC,點(diǎn)。，E均在邊BC上，點(diǎn)。在點(diǎn)E的左側(cè)，且/D4E=45。，

猜想三條線段BZλDE,EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并說明理由；

(3)思維拓廣:

如圖3,在AABC中，NBAC=60。，AB=AC=5,點(diǎn)￡>,E均在直線BC上，點(diǎn)。在點(diǎn)E的左側(cè)，S.ZDAE

=30。，當(dāng)20=1時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段CE的長.

355

222

【答案】（I）BE+OF=EF,?AEGi（2）BD+CE=DE,理由見解析；（3）五或］

【分析】

（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AG=AF,ZGAB=ZFAD,NABG=NO=90。，則有NGAE=NE4F=45。，進(jìn)而證得AAEG

^ΛAEF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證得GE=EF即可解答；

（2）將“8。繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o≡?ΛCG,連接EG,可證得AG=AD,ZGAE=ZDAE=45o,NGCE=90。，

進(jìn)而可證得AGAE絲AZME,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證得GE=OE,再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；

（3）當(dāng)點(diǎn)￡＞在點(diǎn)B右側(cè)時(shí),將MBO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至AACG,可證得NG4E=NOAE=30。，NGCE=I20。,

進(jìn)而可證得AGAE絲ZVME,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證得GE=DE,過G作G∕ΛLEC,交Ee延長線于”，

設(shè)CE=X,易求得GE=0E=4-x,EH=X+"GW=-,在AG//E中，由勾股定理可求得CE的值：當(dāng)點(diǎn)。

在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，同樣的方法可求得CE的長.

【詳解】

解：（1）：四邊形ABCD是正方形，

：.AB^AD,ZBAD^ZD^ZABC^90o,

：將尸繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。至M8G,

：.AG=AF,BG=DF,ZGAB=ZFAD,NABG=ZD=90°,

NA8G+∕48C=90°+90°=180°,

二點(diǎn)G、B、E共線，

?/NEAF=45°,

：.ZBAE+ZFAD^45o,

：.ZBAE+z≤GAB=45°,即ZGAE=45°

ΛZGAE=ZFAE,XAG=AF,AE=AE,

：.∕?AEG^∕?AEF(SAS),

GE=EF,

??GE=BE+BG=BE+DF,

LBE+DF=EF,

故答案為：BE+DF=EF,AAEG;

(2)猜想：BD2+CE2=DE2,理由為：

VZBAC=90o,AB=AC,

ΛZABC=ZACB=45o,

如圖2,將“8。繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。至AACG,連接EG,

.'.AG^AD,CG=BD,ZGAC^ZDAB,NACG=NA8CE5°,

.?.NACG+∕AC2=45°+45°=90°,

.?GE2^CG2++CE2,

?：ZDAE=450,

：.ZDAB+ZEAC=45o,

：.ZGAC+^EAC=45o,即NGAE=45°

ΛZGAE=ZDAE,又AG=AO,AE^AE,

：.XGAE空MDAE(SAS),

.,.GE=DE,

??GE2^CG2++CE2^BD2+CE2,

.?BD2+CE2=DE2↑

圖2

(3)?.?Z?A8C中，ZBAC=60o,AB=AC=5,

ΛΔABC為等邊三角形，

二NA8C=/Ae8=60°,

由題意，點(diǎn)。，E均在直線BC上，點(diǎn)。在點(diǎn)E的左側(cè)，且ND4E=30。,

.?.①當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)B右側(cè)時(shí),BD=X,如圖3,

將D繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至AACG,連接EG,

：.AG=AD,CG=BD=I,ZGAC=ZDAB,ZACG=ZABC=60O,

VZDAE=30o,ZθAC=60o,

.?.ZDAB÷ZEAC=30o,

ΛZGAC+∠^AC=30o,BPZGAE=30°

：.ZGAE=ZDAE,XAG=AD,AE=AE,

ΛΔGΛE^ΔDΛE（SAS）,

：?GE=DEt

過G作G”，EC,交EC延長線于從

?/NECG=NACG+NACB=600+60°=120。，

JNGCH=60。，

在RtAGCH中，CH=CG?cos6（Γ=;,GH=CGSin60。=立，

22

設(shè)CE=x,易求得GE=DE=4-x1EH-x+y,

在AGHE中，由勾股定理得：（4-x）2=（"；）2+（立）2,

22

解得：，即CE=g；

同理，將AABO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至AACG,連接EG,

易證ZiGAE嶺ADAE,得GE=DE,

過G作G”,EC,交CE于”，

?/NACG=ZADB=120°,/4CB=60°,

NGCH=60°,

在RtAGC"中，CH=CGCOS60°=[,G”=CG?sin60°=也,

22

設(shè)CE=x,易求得GE=DE=6-x,EH=x-

在AGEE贏由勾股定理