中考數(shù)學(xué)真題匯編（江蘇）三角形

中考數(shù)學(xué)真題分項匯編（江蘇專用）

專題08三角形

一、單選題

I.（2022?江蘇淮安?中考真題）下列長度的三條線段能組成三角形的是（）

A.3,3,6B.3,5,10C.4,6,9D.4,5,9

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷即可.

【詳解】A.□3+3=6,

口長度為3,3,6的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；

B.3÷5<10?

口長度為3,5,10的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；

C.□4+6>9,6-4<9,

二長度為4,6,9的三條線段能組成三角形，本選項符合題意；

D.□4+5=9,

I長度為4,5,9的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟記三角形兩邊之和大于第三邊、三角形的兩邊

差小于第三邊是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?江蘇淮安?中考真題）如圖，在△4BC中，AB=AC,NBAC的平分線交BC于點D,

E為AC的中點，若AB=10,則DE的長是（）

【答案】C

【分析】利用等腰三角形三線合一以及直角三角形斜邊上的中線進行求解即可.

【詳解】AB=AC=IO,ADsP^?BAC,

JAD1BC,

?ADC=90°,

口E為/IC的中點，

UDE=-AC=5,

2

故選C.

【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和宜角三角形斜邊上的中線.熟練掌握等腰三角形三線

合一和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?江蘇南通?中考真題）用一根小木棒與兩根長分別為3cm,6cm的小木棒組成三角形,

則這根小木棒的長度可以為（）

A.IcmB.2cmC.3cmD.4cm

【答案】D

【分析】設(shè)第三根木棒的長為XCm,再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出X取值范圍即可.

【詳解】解：設(shè)第三根木棒的長為Xem,則6-3<x<6+3,即3<x<9.觀察選項，只有選

項D符合題意.

故選：D.

【點睛】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，即三角形任意兩邊之和大于第三邊；任意兩邊之

差小于第三邊.

4.（2022?江蘇南通?中考真題）如圖，αIlb,43=80。,Nl-42=20。，則Nl的度數(shù)是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可得11+12=80。，結(jié)合Nl—42=20。,

兩式相加即可求出Nl.

【詳解】解：如圖，a〃b,

□□4=□1,

□□3=□4+□2=□l+l2=80。，

□Z.1-Z2=20°,

□2zl=100°,

□Z1=50°,

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，求出1+2=80。是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）如圖，點A、B、C、。在網(wǎng)格中小正方形的頂點處，力。與BC相

交于點0,小正方形的邊長為1,則Ao的長等于（）

【答案】A

【分析】先根據(jù)勾股定理計算的長，再根據(jù)A∕O8DOC,對應(yīng)邊成比例，從而求出

4。的長.

【詳解】解：AD=>∕32+42=5,AB=2,CD=3,

GABJDC,

ΛAOB∏fDOC,

,AOAB2

√-—————,

ODCD3

股4O=2x,貝∣JOO=3x,

UAChrOD=AD,

□2x+3x=5.

解得：x=l,

口40=2,

故選：A.

【點睛】本題考查勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的

判定和性質(zhì).

6.（2022?江蘇宿遷?中考真題）若等腰三角形的兩邊長分別是和5c∕w,則這個等腰三角

形的周長是（）

A.8cmB.13cmC.8c,m或13c,"?D.IIe機或13c”？

【答案】D

【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為3和5,而沒有明確腰、底分別是多少，所以要

進行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形.

【詳解】解：當(dāng)3是腰時，

□3+3>5,

□3,3,5能組成三角形，

此時等腰三角形的周長為3+3+5=11（cm）,

當(dāng)5是腰時，

□3+5>5,

5,5,3能夠組成三角形，

此時等腰三角形的周長為5+5+3=13（cm）,

則三角形的周長為IIeVM或13cm.

故選:D

【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定

要想到兩種情況，分類進行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常

重要，也是解題的關(guān)鍵.

7.（2022?江蘇揚州?中考真題）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形形狀的玻璃壞了，需要

重新配一塊.小明通過電話給玻璃店老板提供相關(guān)數(shù)據(jù)，為了方便表述，將該三角形記為

AABC,提供了下列各組元素的數(shù)據(jù)，配出來的玻璃不一定符合要求的是（）

A.AB,BC,CAB.AB1BC1ZBC.AB,AC,ZBD.?A,ΛB,BC

【答案】C

【分析】根據(jù)SSS,SAS,ASA逐一判定，其中SSA不一定符合要求.

【詳解】A.AB1BC1CA.根據(jù)SSS一定符合要求；

B.AB,BC,?B.根據(jù)SAS一定符合要求；

C.AB,AC,?B.不一定符合要求；

D.NA,NB,BU根據(jù)ASA一定符合要求.

故選：C.

【點睛】本題考查了三角形全等的判定，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握判定三角形全等的SSS,

SAS,ASA三個判定定理.

8.（2022?江蘇揚州?中考真題）如圖，在AaBC中，AB<AC,將△ABC以點4為中心逆時針

旋轉(zhuǎn)得到A4DE,點。在Be邊上，DE交4C于點F.下列結(jié)論：□A4FE?ACFC;□D4平分

乙BDE；U?CDF=?BAD,其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A

E

/?

BDC

A.□□B.□□C.□□D.□□□

【答案】D

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，進而逐項分析判斷即可求解.

【詳解】解：口將BC以點4為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到A∕WE,

△ADE=△ABC?

?E=ZC,

V?AFE=?DFCf

?△AFE~?DFCi故□正確；

???△ADE≡ΔABCf

???AB-AD1

?Z-ABD=Z-ADB,

VZ-ADE—?ABC,

????ADB=Z.ADE,

???ZM平分NBDE,故口正確；

V△ADE≡ΔABCf

??BAC=?DAE,

???/.BAD=?CAE,

△AFEDFCf

?/-CAE=?CDF1

：.?CDF=?BADf

故口正確

故選D

【點睛】本題考查了性質(zhì)的性質(zhì)，等邊對等角，相似三角形的性質(zhì)判定與性質(zhì)，全等三角形

的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

9.（2022?江蘇宿遷?中考真題）如圖，點/在反比例函數(shù)y=j（x>O）的圖像上，以O(shè)A為一

邊作等腰直角三角形OAB,其中□OAB=90o,Ao=AB,則線段OB長的最小值是（）

A.1B.√2C.2√2D.4

【答案】C

【分析】如圖，過4作AMhr軸，交y軸于過B作軸，垂足為。，交MA于H,則

?OMA=Z.AHB=90°,證明A40M三AB4H,可得OM=AH,4M=B”,設(shè)A(m,￡),則

AM—m,OM——,MH=m+-,BD==――m可得B(m+—τn?再利用勾股定理建

mmml?mm/l

立函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合完全平方公式的變形可得答案.

【詳解】解：如圖，過4作4M∣比軸，交y軸于例，過8作BD_L%軸，垂足為Q,交MA于H,

則40M4=?AHB=90。，

????MOA+?MAO=90°,

VAO=ABfAO1ABt

???乙MAo+乙BAH=90°,

??.?MOA=乙BAH,

???△AOM≡ΔBAH1

??,OM=AH,AM=BH,

設(shè)4(mt則AM=m,OM=g,MH=m÷^,BD=?-τn,

???β(m+?4-7n}

ob=J(m+?)2+?-m)2=J2m2+?

Vm>0,而當(dāng)Q>0,b>0時，則。÷6>2?Γab,

二2m2÷?≥2/2m2×?=8,

τnzyjmz

口2/+2的最小值是8,

m2

OB的最小值是√δ=2√2.

故選：C.

y

0

【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)的性

質(zhì)，完全平方公式的變形應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，掌握“a?+/≥2αb的變形公式”是解本

題的關(guān)鍵.

10.(2022?江蘇蘇州?中考真題)如圖，點/的坐標(biāo)為(0,2),點8是X軸正半軸上的一點，

將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到線段AC.若點C的坐標(biāo)為(g3),則m的值為

【答案】C

【分析】過C作COX軸于O,CEy軸于E,根據(jù)將線段繞點N按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。

得到線段AC,可得/8C是等邊三角形,又4(0,2),C(%3),即得4C=√m2+1=BC=AB,

可得8。=√BC2—CD2=y∕τn2—8>OB=?∣AB2—OA2='Jm2—3,從而Vm2_3+

√τn2—8—m,即可解得zn=W±

【詳解】解：過C作。X軸于CEy軸于E,如圖所示：

BDX

口COEk軸，CE口y軸,

CDO=CEO=DOE=90°,

四邊形Eoz)C是矩形,

將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到線段AC,

0

DAB=AC9BAC=6Of

□□∕8C是等邊三角形，

QAB=AC=BC,

DA(0,2),C(陽，3),

QCE=m=OD,CD=3,04=2,

QAE=OE-OA=CD-OA=1,

222

UAC=y∕AE÷CE=√m+1=BC=AB1

在RtJBCD中，BD=y∕BC2-CD2=√m2-8,

在中，OB=y∕AB2-OA2=√m2-3,

UOB+BD=OD=m,

□√m2—3+Vm2—8=m,

化簡變形得：3--22/-25=0,

解得：m=W或m=-W(舍去)，

□m=故C正確.

故選：C.

【點睛】本題考查直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用勾股定理，用含m的

代數(shù)式表示相關(guān)線段的長度.

11.(2022?江蘇無錫?中考真題)如圖，在EI/8CD中，AD=BD,NACC=IO5。，點E在工。

ArB.?C.隹D.立

3222

【答案】D

【分析】過點8作8尸/O于凡由平行四邊形性質(zhì)求得/=75。，從而求得

AEB=↑S0°-A-ABE=45o,則是等腰直角三角形，即BF=EF,設(shè)BF=EF=x,則BD=2x,

DF=Mx,DE=DF-EF=(√3-l)x,AF=AD-DF=BD-DF=(2-√3)x,??ff∏JRWAB2=AF2+BF2=

(2-√3)2√+Λ,2=(8-4√3)√,從而求得變=立，AB=CD,即可求得答案.

AB2

【詳解】解：如圖，過點3作BAUO于人

Ct-----------------------------------'B

DEFA

CD=AB,CDHABf

□D^DC+□5^D=180o,

[J?ADC=105o

□□/=75。，

□□JBΛ=60o,

□□4EB=180°-口4-口/BE=450,

ΠBFJAD,

□匚BFD=90。,

o

∏ΠEBF=DAEB=45f

BF=FE,

QAD=BD9

□□Z8Z＞」/=75。，

□□4DB=30°,

設(shè)BF=EF=x,則80=2x,由勾股定理，得DF=√5%,

IJDE=DF-EF=(√3-I)x,AF=AD-DF=BD-DF=(2-√3)x,

由勾股定理，得AB2=AF2+BF2=(2-√3)2x2+x2=(8-4√3)x2,

DE2_(母1)晨2_1

TlF2-(8-4甸%2-2

DE√2

AB=2,

□AB=CD,

DE√2

二,

CD2

故選：D.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì),

過點8作8尸4D于F,構(gòu)建直角三角形與等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

12.(2022?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題)一副三角板如圖放置，乙4=45。，NE=30。，DEIlAC,則

Zl=°.

【答案】105

【分析】根據(jù)平行性的性質(zhì)可得42=45。，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖，

?JDE??AC,

□Z.2=?A=45°,

V乙E=30o,ZF=90°,

???乙D=60°,

???Zl=z2+ZD=45°+60°=105°,

故答案為：105.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，掌握以

上知識是解題的關(guān)鍵.

13.（2022?江蘇常州?中考真題）如圖,在四邊形ABCO中，?A=?ABC=90o,DB平分

Z.ADC.若4。=1,CD=3,則SinZ.

【答案】華

O

【分析】過點。作BC的垂線交于E,證明出四邊形48ED為矩形，ABCC為等腰三角形，由

勾股定理算出DE=遍，BD=VG,即可求解.

【詳解】解：過點。作BC的垂線交于E,

???乙DEB=90°

LA=Z.ABC=90°,

???四邊形/BED為矩形，

???DE/∕ABtAD=BE=1,

????ABD=乙BDE,

-BD^^?ADCf

????ADB=Z.CDBy

,：ADllBE,

???Z.ADB=乙CBD,

?JΩCDB=JCBD

?CD=CB=3,

VAD=BE=1,

???CE=2,

.?.DE=VDC2-CE2=√9→=√5,

.?.BD=yjDE2+BE2=√5+1=√6

?sin∕.BDE=—=>

FD√66

?s?n?ABD=—,

6

故答案為：當(dāng).

6

【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行線的性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形求解.

14.（2022?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）如圖，在AABC和△力BC中，?ACB=/.ADB=90o,E、尸、

G分別為48、AC.BC的中點，若。E=I,貝IJFG=.

【答案】1

【分析】由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出∕8=2CE,再由三角形中位線的性質(zhì)可得FG的

長；

【詳解】解：匚RtA48C中，點E是力8的中點，DE=?,

AB=IDE=I,

□點尸、G分別是/C、BC中點，

DFG=-AB=1,

2

故答案為：1

【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線的性質(zhì)等知識；熟練掌握中位線定理

是解題的關(guān)鍵.

15.（2022?江蘇徐州?中考真題）如圖，將矩形紙片/88沿CE折疊，使點B落在邊“。上

的點尸處.若點E在邊/8上，/3=3,BC=5,則ZE=.

【分析】由折疊性質(zhì)可得W=8C=5,BE=EF,由矩形性質(zhì)有CD=/8=3,BC=AD=5,勾股

定理求得。RAF.設(shè)BE=EF=X,則∕E=4B-BE,在直角三角形廠中，根據(jù)勾股定理，

建立方程，解方程即可求解.

【詳解】解：由折疊性質(zhì)可得CF=8C=5,BE=EF,

由矩形性質(zhì)有CD=AB=3,BC=AD=5,

□□0=90。，

QDF=y∕CF2-CD2=4,

所以4F=AD-DF=5-4=1,

所以BE=EF=X,則/E=∕8-8E=3-x,在直角三角形NEE中：

AE2+AF2=EF2,

口（3-x）2+I2=X2,

解得X=|.

54

UAE=3--=-,

33

故答案為：￡

【點睛】本題考查了圖形折疊的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，在直角三角形AEF中運用

勾股定理建立方程求解是關(guān)鍵.

16.（2022?江蘇淮安?中考真題）如圖,在團ABC。中,CALAB,若NB=50。，則Na4D的度

數(shù)是.

【答案】400##40度

【分析】根據(jù)平行四邊形對邊平行可得4。IlBC，利用平行線的性質(zhì)可得=NACB,因

此利用直角三角形兩個銳角互余求出UCB即可.

【詳解】解：二四邊形ABCn是平行四邊形，

DADWBC,

D?CAD=/-ACB,

OCAJLAB,

匚NBAC=90°,

DzF=50°,

“ACB=90o-ZS=40°,

D?CAD=UCB=40°,

故答案為：40°.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，難度較小，解題

的關(guān)鍵是能夠綜合運用上述知識.

17.（2022?江蘇淮安?中考真題）如圖，在Rt△4BC中，KC=90。，AC=3,BC=4,點。是

AC邊上的一點，過點D作DFllaB,交BC于點F,作NBAC的平分線交DF于點E,連接BE.若

△ABE的面積是2,則警的值是.

【答案W

【分析】先根據(jù)勾股定理得出48=5,根據(jù)ZMBE的面積是2,求出點E到4B的距離為土

根據(jù)RtAABC的面積，求出點C到AB的距離為第=”，即可得出點C到。尸的距離為之根

據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，得出M===%，求出CC=2,DF=^,根據(jù)等角對等邊求

CA3AB3

出DA=DE=L即可求出EF=CF—DE=/—1=（,即可得出最后結(jié)果.

【詳解】解：在RtBC中，由勾股定理得，48=5,

△48E的面積是2,

□點E到48的距離為支

在RtZMBC中，點C到4B的距離為^=當(dāng)，

點C到。F的距離為3

DDFHABf

△CDFCAB,

—CD=-2=一DF，

CA3AB

DCD=2,DF

3

EME平分皿B,

Z-BAE=?CAE,

□DFHAB,

?AED=?BAE,

[J?DAE=?DEA,

□DA=DE=1,

DFF=DF-DE=-10-1="7,

33

DE3

U-~,

EF7

故答案為：

【點睛】本題主要考查了三角形高的有關(guān)計算，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì),

等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是求出點E到4B的距離為:，點C到DF的距離為∣?

三、解答題

18.（2022?江蘇淮安?中考真題）已知：如圖，點力、D、C、F在一條直線上，且4。=CF,

AB=DE,Z.BAC=Z.EDF.求證：4B=Z.E.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)SAS證明AABC三ADEF,即可得出答案.

【詳解】證明：□4D=CF,

?JAD+CD=CF+CD,

QAC=DF,

AB=DE

□在△ABC和4DEF中Z.A=/.EDF,

.AC=DF

△4BC三ZiCEF（SAS）,

□4B=Z.F.

【點睛】本題主要考查了三角形全等的性質(zhì)和判定，熟練掌握三角形全等的判定方法，是解

題的關(guān)鍵.

19.（2022?江蘇常州?中考真題）如圖，點A在射線OX上，OA=a.如果Oa繞點。按逆時針

方向旋轉(zhuǎn)n。（0<n≤360）到。4',那么點A的位置可以用（am。）表示.

A'

/A

OX

(1)按上述表示方法，若α=3,n=37,則點A'的位置可以表示為；

(2)在(1)的條件下，已知點B的位置用(3,74。)表示，連接44、A'B.求證：A'A=A'B.

【答案】(1)(3,37。)

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)點的位置定義，即可得出答案；

(2)畫出圖形，證明4∕0∕LZk8O4(SAS),即可由全等三角形的性質(zhì)，得出結(jié)論.

【詳解】⑴解:由題意,得4(。/。)，

□α=3,n=37,

□A,(3,37o),

故答案為：(3,37。)；

(2)證明：如圖，

4(3,37°),3(3,74°),

Γ?[jAOA'=31o,/08=74。，0A=0B=3,

a0A'OB=QAOB-aAOA'=14o-31°=31°,

?OA'=0A',

QDAOAlrJJBOA'(SAS),

DA1A=A1B.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，新定義，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的

判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.(2022?江蘇常州?中考真題)在四邊形4BCD中，。是邊BC上的一點.若4CMB三AOCD,

則點。叫做該四邊形的“等形點

BO

(1)正方形U等形點”(填“存在''或"不存在'')：

(2)如圖，在四邊形48CD中，邊BC上的點。是四邊形ABCD的“等形點”.己知CD=4√2,OA=

5,BC=12,連接4C,求AC的長；

(3)在四邊形EFGH中，EHHFG.若邊FG上的點。是四邊形EFGH的“等形點”，求器的值.

OG

【答案】(1)不存在，理由見詳解

(2)4√5

(3)1

【分析】(1)根據(jù)“等形點”的概念，采用反證法即可判斷；

(2)過Z點作4W8C于點河,根據(jù)“等形點”的性質(zhì)可得NB=Cz>4√Σ,04=Oe=5,08=7=0。,

設(shè)Λ∕O=α,則8M=8O-MO=7-α,在∕?□N8M和&-ZOM中，利用勾股定理即可求出4W,

則在町/1MC中利用勾股定理即可求出/C;

(3)根據(jù)“等形點”的性質(zhì)可得OF=O",OE=OG,EOF=DGOH,再根據(jù)EmlFG,可得

GEOF=OEH,?GOH=UEHO,即有OEH=?OHE,進而有OE=0”,可得OF=OG,則問

題得解.

(1)

不存在，

理由如下：

假設(shè)正方形48Co存在“等形點”點O,即存在OABOCD,

□在正方形為8CZ)中，點。在邊BC上，

LLABO=90°,

□ZIO∕8□[OCD,

□□JSO=□CZ)(7=90o,

QCDLDO,

UCDBC,

QDOWBC,

□。點在BC上，

Do與BC交于?點、。，

口假設(shè)不成立，

故正方形不存在“等形點”；

(2)

如圖，過/點作∕Λ∕1BC于點M,如圖，

D

。點是四邊形/88的“等形點”，

□□O^β∏ΓOCD,

□AB=CD,OA=OC,OB=OD,?JAOB=OCOD,

GCD=4√2,OA=S,BC=↑2,

□J5=C∕?4√2,OA=OC=5,

OB=BC-OC=IIS=I=OD,

UAMUBC,

LllAMO=9Qo=[AMB,

設(shè)MO=a,則BM=BO-MO=I-a,

口在RtABM^WRtUAOMfp,AM2=AB2-BM2=AO2-MO2,

UAB2-BM2=AO2-MO2,即(4√Σ>一(7—α>=52-。2,

解得：α=3,BPMO=3,

□MC=M80C=3+5=8,AM=?∣AO2-MO2=√52-32=4

在RtAMC中，4C=>∕AM2+MC2=√42+82=4√5,

即NC的長為4√5;

(3)

如圖，

。點是四邊形EFGH的“等形點”，

∏aθEFOΠOGH,

OF=OH,OE=OG,EOF=GOH,

CEHWFG,

□_EOF=OEH,GOH=IEHO,

根據(jù)EOF=GOH有OEH=OHE,

OE=OH,

OF=OH,OE=OG,

OOF=OG,

□O^G=1.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)、平行的性質(zhì)等知識，充

分利用全等三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

21.(2022?江蘇徐州?中考真題)如圖，在口∕8C中，∏BAC=90o,/5=4C=I2,點尸在邊

ABh,D、E分別為8C、尸C的中點，連接。E.過點E作BC的垂線，與BC、/C分別交

于尸、G兩點.連接。G,交PC于點

AA

(I)DfOC的度數(shù)為;

(2)連接PG,求UZPG的面積的最大值；

(3)PE與OG存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系？請說明理由;

(4)求捐的最大值.

【答案】⑴45。

(2)9

⑶PE=DG,理由見解析

(4)第

【分析】(1)先說明［18=45。，再說明Z)E是CBP的中位線可得OEMP,然后由平行線的

性質(zhì)即可解答；

(2)先說明尸和匚GFC是等腰直角三角形可得Z)F=后尸考。E、GF=CFqCG；設(shè)

AP=x,則8P=12-x,BP=?2-x=2DE,然后通過三角形中位線、勾股定理、線段的和差用X

表示出/G,再根據(jù)三角形的面積公式列出表達式，最后運用二次函數(shù)求最值即可；

(3)先證明IG尸￡>「"CFE,可得DG=CE,進而可得尸E=OG;由：IG尸￡>CFE可得

ECF=DGF,進而得到G"E=CFE=90o,即可說明。G、PE的位置關(guān)系；

(4)先說明：CEFCz)H得到狹=與，進而得到號=煞，然后將已經(jīng)求得的量代入可

CDCHCECEZ

得號==XgM/然后根據(jù)α+；=(G+3)2—2≥2求最值即可.

【詳解】（1）解：口在Z1/3。中，OβylC=90o,AB=AC=U

□□fl=ACB=45°

，D、E分別為8C、PC的中點

DE??BP,DEVBP

□□ΛDC=θ5=45o.

(2)解：如圖：連接PG

a∏EDC=JACB=450,GFCDC

EDF和GFC是等腰直角三角形

DF=EF也DE,GF=CF巫CG,

22

?AP=x,則8P=12-x,BP=M-X=IDE

RtAPC,

QPC=y∕AP2+AC2=√x2+144

CE=iVx2+144

2

□Rt【EFC

_12+x

FC=FG=-JCE2-EF2=

~2yf2

?JCG=y∕2CF=~

DAG=1Z-CG=12-12+X-12~X

22

112x2

SCAJDP/-G-AΛPD?AΛGΓ=-1%"-----~--=--1-2-%---χ-2-=----(-χ---6-)---+--3-6

Δ22244

所以當(dāng)尸6時，SJPG有最大值9.

(3)解：DG=PE,DG匚PE,理由如下:

QDF=EFfJCFE=?JGFD,GF=CF

ΠQGFDJCFE(SAS)

UDG=CE

□E是尸C的中點

QPE-CE

DPE=DG;

GFDCFE

□DfCF=LJPGF

r?Γ?CEF=-PEG

QQGHE=EbC=90。，BPDGPE.

(4)解：□□GFD□□CFE

□□CEF=口CDH

又□□ECF=口QC4

Γ?∏CEF?VCDH

□—=—,BPCFCH=CF-CF

CDCH

-C-H=-C-F--C-D

CECE2

22

FC=^-，Cf=l√χ2+144,CD=^-BC=√12+12=6√2

2√222

CH=翳6夜X+12=12

CE(i√z2+144)2χ2+144x+12+；：：z24

12_12_1_2V2+2_V2+1

-2√288-24^24√2-24^^2√2-2^-4-2

義的最大值為

CE2

【點睛】本題主要考查了三角形中位線、平行線的性質(zhì)、二次函數(shù)求最值、全等三角形的判

定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，綜合應(yīng)用所學(xué)知識成為解答本題的關(guān)鍵.

22.（2022?江蘇無錫?中考真題）如圖，□∕8C為銳角三角形.

圖1圖2

⑴請在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：在4C右上方確定點。，使□Z）∕C=/C8,且

CDlaD；（不寫作法，保留作圖痕跡）

⑵在（1）的條件下，若4B=60o,AB=2,BC=3,則四邊形488的面積為.（如

需畫草圖，請使用試卷中的圖2）

【答案】（1）見解析

⑵竽

【分析】（1）先作DAC=ACB,再利用垂直平分線的性質(zhì)作CCJ.40,即可找出點D；

（2）由題意可知四邊形48Cz）是梯形，禾U用直角三角形的性質(zhì)求出4E、BE、CE、NQ的

長，求出梯形的面積即可.

(1)

解：如圖,

點D為所求點.

(2)

解：過點/作XE垂直于BC,垂足為E,

□4B=60o,/.AEB=90°,

ZBTlE=90°-60°=30°,

DAB=2,

DBE^=-AB=1,CE=Be-BE=2,

2

AE=?∣AB2-BE2=√22-I2=√3,

□□Z)∕C=ACB,

ADHBC,四邊形NBS是梯形，

□ZD=4ECD=90°,

口四邊形4ECZ)是矩形，

CE=AD=2,

口四邊形ABCD的面積為T(ZD+BC)?4E=：X(2+3)X8="，

故答案為：竽.

【點睛】本題考查作圖，作相等的角，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)做垂線，根據(jù)直角三角形的性

質(zhì)及勾股定理求線段的長，正確作出圖形是解答本題的關(guān)鍵.

23.(2022?江蘇揚州?中考真題)如圖1,在A48C中，2B4C=90。,NC=60。，點。在BC邊

上由點C向點B運動(不與點B、C重合)，過點。作DEIAZ),交射線AB于點E.

A

A

(1)分別探索以下兩種特殊情形時線段AE與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

□點E在線段4B的延長線上且BE=BD；

□點E在線段AB上且EB=ED.

(2)若AB=6.

□當(dāng)黑=4時，求4E的長；

□直接寫出運動過程中線段ZE長度的最小值.

【答案】(I)ZIAE=2BEAE=2BE

21

(2)γ4

【分析】(1)算出AABD各個內(nèi)角，發(fā)現(xiàn)其是等腰三角形即可推出；

:算出AADE各內(nèi)角發(fā)現(xiàn)其是30。的直角三角形即可推出；

(2)分別過點/,E作8C的垂線,得到一線三垂直的相似,即AEGDsADH4,設(shè)。E=bα,

AD=2a,利用30。直角三角形的三邊關(guān)系，分別表示出ED,AD,EG,DH,列式求解“即

可；

；分別過點4E作8C的垂線，相交于點G,H,證明AEHD-ADGAuJ得M=與，然后

DHEH

利用完全平方公式變形得出AE≥3+EH,求出/E的取值范圍即可.

【詳解】(1)□匚在AABC中，/.BAC=90o,NC=60°

□ZTlBC=30°

□BE=BD

匚NBz)E=-?ABC=15°,乙BDA=90°-4BDE=90°-15°=75°

2

?ΔABC中，?BAD=180°-乙ABD-4BDA=180°-30°-75°=75°

U?BAD=?BDA=75°

DAB=BD=BE

UAE=2BE；

□如圖：

E.

B

DC

□BE=DE

UZEBD=乙EDB=30o,/-AED=60o

口在RtAADE中，NEAn=30°

DAE=2ED

DAE=2BE；

(2)口分別過點4,E作BC的垂線，相交于點，，G,貝!|nEGZ)=nOH4=90。,

∩口GE。+-GQE=90°,

a∏HDA+JGDE=90o,

?QGED^HDA,

△EGDS△DHA>

設(shè)。E=√3α,AD=2a,則AE=√DF2+AD2=√7a,BE=G-√7a,

在RtZkABC中，NABC=30。，AB=6

則4C=果=2√3,BC=2AC=4√3

在RtABEG中，"BG=30。，BE=6-小a

則EG=竽=3-^-a

在RtZMHCrfi,NC=60°,AC=2√3

DDH=-JAD2-AH2=√4a2-9

由^EGDSDHA得吆=—,

δADDH

即吏=卓

2√4a2-9

解得：α1=∣√7,α2=-3√7(<?)

故4E=V7α=γ;

分別過點4,E作BC的垂線，相交于點G,H,則EHD=AGD=90。,

□□^DE=90o,

UUEDH=WO-UADG=DAG,

o

ΠQEHD=[JAGD=90f

△EHDS△OGa,

AGDG

DHEH

OAG-EH=DH-DG,

DΣBAC=90o,口C=60°,

□,8=30。，

AG=^AB=3,EH/BE—(6-AE),

GDH-DG=3EH,

UAE2=AD2+DE2=AG2+DG2+DH2+EH2=9+DG2+DH2+EH2,

3DG2+DH2≥2DG-DH

ΠAE2≥9+2DG-DH+EH2,

DAE2≥9+6EH+EH2≥(3+EH)2,

^AE>O,DH>O,

QAE≥3+EH,

QEH(6-AE),

DAE≥3+1^6-AE),

DAE≥4,

故ZE的最小值為4.

【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，一

線三垂直相似模型，垂線段最短，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，一線三垂直模型，垂線段最

短原理是解題的關(guān)鍵.

24.(2022?江蘇連云港?中考真題)【問題情境】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小聽同學(xué)將一

大一小兩個三角板按照如圖1所示的方式擺放.其中乙4CB=乙DEB=90。,NB=30o,BE=

AC=3.

【問題探究】小昕同學(xué)將三角板DEB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn).

(1)如圖2,當(dāng)點E落在邊上時，延長DE交BC于點凡求BF的長.

(2)若點C、E、。在同一條直線上，求點。到直線BC的距離.

(3)連接DC,取DC的中點G,三角板CEB由初始位置(圖1),旋轉(zhuǎn)到點C、B、D首次在同一

條直線上(如圖3),求點G所經(jīng)過的路徑長.

(4)如圖4,G為DC的中點，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點G到直線4B的距離的最大值是.

【答案】(1)2√5

(2)√6±1

×5√3

ɑ