人教A文科數(shù)課時(shí)試題及解析（5）拋物線A

PAGEPAGE4課時(shí)作業(yè)(五十二)A[第52講拋物線][時(shí)間：35分鐘分值：80分]eq\a\vs4\al\co1(基礎(chǔ)熱身)1．拋物線y＝－2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))B．(－1,0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,4)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,8)))2．拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)到雙曲線eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1的漸近線的距離為()A．1B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(3),6)3．邊長(zhǎng)為1的正三角形AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB⊥x軸，以O(shè)為頂點(diǎn)且過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線方程是()A．y2＝eq\f(\r(3),6)xB．y2＝－eq\f(\r(3),6)xC．y2＝±eq\f(\r(3),6)xD．y2＝±eq\f(\r(3),3)x4．拋物線y2＝－x上的點(diǎn)到直線3x＋4y－8＝0的距離的最小值為________．eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．已知點(diǎn)M(1,0)，直線l：x＝－1，點(diǎn)B是l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B垂直于y軸的直線與線段BM的垂直平分線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是()A．拋物線B．橢圓C．雙曲線的一支D．直線6．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2)，F(xiàn)為拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)，若點(diǎn)P在拋物線上移動(dòng)，當(dāng)|PA|＋|PF|取得最小值時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A．(1，eq\r(2))B．(2,2)C．(2，－2)D．(3，eq\r(6))7．已知M(a,2)是拋物線y2＝2x上的一點(diǎn)，直線MP、MQ分別與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)，且直線MP、MQ的傾斜角之和為π，則直線PQ的斜率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)D．－eq\f(1,4)8．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn)，若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝－4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為()A．(2，±2eq\r(2))B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,2eq\r(2))9．若垂直于x軸的直線交拋物線y2＝4x于點(diǎn)A，B，且AB＝4eq\r(3)，則直線AB的方程為____________．10．探照燈的反射鏡的縱截面是拋物線的一部分，燈口直徑60cm，燈深4011．過(guò)拋物線y2＝4x焦點(diǎn)的直線l的傾斜角為eq\f(π,3)，且l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，那么△AOB的面積為________．12．(13分)如圖K52－1，直線l：y＝x＋b與拋物線C：x2＝4y相切于點(diǎn)A.(1)求實(shí)數(shù)b的值；(2)求以點(diǎn)A為圓心，且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．圖K52－1eq\a\vs4\al\co1(難點(diǎn)突破)13．(12分)已知點(diǎn)P是直角坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到直線x＝－eq\f(p,2)－1(p是正常數(shù))的距離為d1，到點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距離為d2，且d1－d2＝1.(1)求動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的方程；(2)直線l過(guò)點(diǎn)F且與曲線C交于不同兩點(diǎn)A、B，分別過(guò)A、B點(diǎn)作直線l1：x＝－eq\f(p,2)的垂線，對(duì)應(yīng)的垂足分別為M、N，求證：eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝0.

課時(shí)作業(yè)(五十二)A【基礎(chǔ)熱身】1．D[解析]拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－eq\f(1,2)y，p＝eq\f(1,4)，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,8))).故選D.2．A[解析]拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)F(2,0)到雙曲線eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1的漸近線y＝±eq\f(\r(3),3)x的距離d＝1.故選A.3．C[解析]設(shè)AB⊥x軸于點(diǎn)D，則|OD|＝1·cos30°＝eq\f(\r(3),2)，|AD|＝1·sin30°＝eq\f(1,2)，所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))).由題意可設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，即可得2p＝eq\f(\r(3),6).結(jié)合圖形的對(duì)稱性知應(yīng)選C.4.eq\f(4,3)[解析]設(shè)拋物線上動(dòng)點(diǎn)P(－y2，y)，則該點(diǎn)到直線3x＋4y－8＝0的距離為d＝eq\f(|－3y2＋4y－8|,5)＝eq\f(|3y2－4y＋8|,5)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(2,3)))2＋\f(20,3))),5)≥eq\f(4,3).【能力提升】5．A[解析]由點(diǎn)P在BM的垂直平分線上，故|PB|＝|PM|.又PB⊥l，因而點(diǎn)P到直線l的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離，所以點(diǎn)P的軌跡是拋物線．故選A.6．B[解析]過(guò)P作拋物線準(zhǔn)線l：x＝－eq\f(1,2)的垂線，垂足為Q，則|PF|＝|PQ|，所以只需求|PA|＋|PQ|的最小值．當(dāng)A、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|＋|PQ|最小，此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，代入拋物線方程得橫坐標(biāo)為2，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,2)．故選B.7．C[解析]易知a＝2，設(shè)直線MP、MQ的方程分別為y＝x－2＋2，y＝－(x－2)＋2，分別代入拋物線方程，可得點(diǎn)P(0,0)，Q(8，－4)，所以可求得直線PQ斜率為－eq\f(1,2).故選C.8．B[解析]設(shè)A(x0，y0)，F(xiàn)(1,0)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x0，y0)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(1－x0，－y0)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝x0(1－x0)－yeq\o\al(2,0)＝－4.因?yàn)閥eq\o\al(2,0)＝4x0，所以x0－xeq\o\al(2,0)－4x0＋4＝0，即xeq\o\al(2,0)＋3x0－4＝0，x1＝1，x2＝－4(舍)．所以x0＝1，y0＝±2.故選B.9．x＝3[解析]由題意知，點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)為2eq\r(3)和－2eq\r(3)，代入拋物線方程求得x＝3，所以直線AB的方程為x＝3.10．5.625cm[解析]將拋物線放到直角坐標(biāo)系中，使頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，焦點(diǎn)在x軸正半軸上，則由題意可知點(diǎn)(40,30)在拋物線上，代入y2＝2px中，解得p＝eq\f(45,4)，而光源放在焦點(diǎn)位置，距離頂點(diǎn)eq\f(1,2)p＝eq\f(45,8)＝5.625cm處．11.eq\f(4,3)eq\r(3)[解析]拋物線焦點(diǎn)為F(1,0)，直線l的的方程為y＝eq\r(3)(x－1)，代入拋物線方程消去x得eq\r(3)y2－4y－4eq\r(3)＝0，解得yA＝－eq\f(2,\r(3))，yB＝eq\f(6,\r(3))，所以△AOB的面積為eq\f(1,2)|OF|·|yB－yA|＝eq\f(1,2)×eq\f(8,\r(3))＝eq\f(4\r(3),3).12．[解答](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋b，,x2＝4y))得x2－4x－4b＝0.(*)因?yàn)橹本€l與拋物線C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0.解得b＝－1.(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)即為x2－4x＋4＝0.解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1，故點(diǎn)A(2,1)．因?yàn)閳AA與拋物線C的準(zhǔn)線相切，所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線的準(zhǔn)線y＝－1的距離，即r＝|1－(－1)|＝2.所以圓A的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4.【難點(diǎn)突破】13．[解答](1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為P(x，y)，依據(jù)題意，有eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(p,2)＋1))－eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))2＋y2)＝1，化簡(jiǎn)得y2＝2px.因此，動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的方程是：y2＝2px.(2)由題意可知，當(dāng)過(guò)點(diǎn)F的直線l的斜率為0時(shí)，不合題意，故可設(shè)直線l：x＝my＋eq\f(p,2)，如圖所示．聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,x＝my＋\f(p,2)，))可化為y2－2mpy－p2＝0，則點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)的坐標(biāo)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝2mp，,y1y2＝－p2.))又AM⊥l1、BN⊥l1，可得點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\