人教A文科數(shù)課時(shí)試題及解析（58）隨機(jī)數(shù)與幾何概型

PAGEPAGE4課時(shí)作業(yè)(五十八)[第58講隨機(jī)數(shù)與幾何概型][時(shí)間：35分鐘分值：80分]eq\a\vs4\al\co1(基礎(chǔ)熱身)1．在集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中產(chǎn)生一個(gè)均勻隨機(jī)數(shù)，則得到數(shù)字8的概率是()A.eq\f(1,9)B.eq\f(8,9)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)2．容量為400ml的培養(yǎng)皿里裝滿(mǎn)培養(yǎng)液，里面有1個(gè)細(xì)菌，從中倒出20ml的培養(yǎng)液，則細(xì)菌被倒出的概率是()A.eq\f(1,200)B.eq\f(1,20)C.eq\f(1,400)D.eq\f(1,40)3．點(diǎn)A為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧AB的長(zhǎng)度小于1的概率為()A.eq\f(π,4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,3)4．在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)選一點(diǎn)M，則點(diǎn)M到點(diǎn)D的距離小于正方形的邊長(zhǎng)的概率是________．eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．在等腰Rt△ABC中，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，則AM的長(zhǎng)小于AC的長(zhǎng)的概率是()A.eq\f(\r(2),3)B.eq\f(\r(2),4)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(1,2)6．在區(qū)間(0，π]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則事件“sinx＋eq\r(3)cosx≤1”發(fā)生的概率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)圖K58－17．如圖K58－1所示，墻上掛有邊長(zhǎng)為a的正方形木板，它的四個(gè)角的空白部分都是以正方形的頂點(diǎn)為圓心，半徑為eq\f(a,2)的圓弧圍成的，某人向此板投鏢，假設(shè)每次都能擊中木板，且擊中木板上每個(gè)點(diǎn)的可能性都一樣，則它擊中陰影部分的概率是()A.eq\f(π,4)B．1－eq\f(π,4)C．1－eq\f(π,8)D．與a的取值有關(guān)8．在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別記為a，b，則使得函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零點(diǎn)的概率為()A．1－eq\f(π,8)B．1－eq\f(π,4)C．1－eq\f(π,2)D．1－eq\f(3π,4)9．將一條4米長(zhǎng)的繩子隨機(jī)地截成兩條，用A表示所截兩段繩子都不短于1米的事件，則事件A發(fā)生的概率是________．10．一只螞蟻在邊長(zhǎng)分別為3,4,5的三角形的邊上爬行，某時(shí)刻該螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過(guò)1的概率是________．11．某人欲從某車(chē)站乘車(chē)出差，已知該站發(fā)往各站的客車(chē)均每小時(shí)一班，則此人等車(chē)時(shí)間不多于10分鐘的概率為_(kāi)_______．12．(13分)某班主任統(tǒng)計(jì)本班50名學(xué)生放學(xué)回家后學(xué)習(xí)時(shí)間的數(shù)據(jù)，用條形圖表示(如圖K58－2)．(1)求該班學(xué)生每天在家學(xué)習(xí)時(shí)間的平均值；(2)該班主任用分層抽樣方法(按學(xué)習(xí)時(shí)間分五層)選出10個(gè)學(xué)生談話(huà)，求在學(xué)習(xí)時(shí)間為1個(gè)小時(shí)的學(xué)生中選出的人數(shù)；(3)假設(shè)學(xué)生每天在家學(xué)習(xí)時(shí)間為18時(shí)至23時(shí)，已知甲每天連續(xù)學(xué)習(xí)2小時(shí)，乙每天連續(xù)學(xué)習(xí)3小時(shí)，求22時(shí)甲、乙都在學(xué)習(xí)的概率．圖K58－2eq\a\vs4\al\co1(難點(diǎn)突破)13．(12分)設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率；(2)若a是從區(qū)間[0,3]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．

課時(shí)作業(yè)(五十八)【基礎(chǔ)熱身】1．A[解析]依據(jù)均勻隨機(jī)數(shù)的概念知，在該集合內(nèi)得到任何一個(gè)整數(shù)的概率都是eq\f(1,9).故選A.2．B[解析]細(xì)菌被倒出的概率為P＝eq\f(20,400)＝eq\f(1,20)，故選B.3．C[解析]點(diǎn)B可以在點(diǎn)A的兩側(cè)來(lái)取，距離點(diǎn)A的最遠(yuǎn)處時(shí)，AB的弧長(zhǎng)為1，根據(jù)幾何概率可知其整體事件是其周長(zhǎng)3，則其概率是eq\f(2,3).故選C.4.eq\f(π,4)[解析]如圖，點(diǎn)M落在陰影區(qū)域內(nèi)時(shí)，點(diǎn)M到點(diǎn)D的距離小于正方形的邊長(zhǎng)，所以概率為陰影部分的面積與正方形面積的比值，即eq\f(π,4).【能力提升】5．C[解析]在AB上截取AC′＝AC，于是P(AM<AC)＝P(AM<AC′)＝eq\f(AC′,AB)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(\r(2),2).故選C.6．C[解析]由sinx＋eq\r(3)cosx≤1得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))≤eq\f(1,2)，當(dāng)x∈(0，π]時(shí)，解得eq\f(π,2)≤x≤π，所以所求概率為P＝eq\f(π－\f(π,2),π－0)＝eq\f(1,2).故選C.7．B[解析]陰影部分的面積是邊長(zhǎng)為a正方形面積減去一個(gè)半徑為eq\f(a,2)的圓的面積，所以概率為eq\f(a2－\f(a2,4)π,a2)＝1－eq\f(π,4).8．B[解析]由已知，有－π≤a≤π，－π≤b≤π.函數(shù)有零點(diǎn)，則Δ＝4a2＋4b2－4π2≥0，即a2＋b2≥π2，如圖，當(dāng)兩數(shù)a，b落在正方形內(nèi)，圓外的四個(gè)空白區(qū)域內(nèi)時(shí)，滿(mǎn)足題設(shè)條件，所以概率為P＝eq\f(4π2－π·π2,4π2)＝1－eq\f(π,4).故選B.9.eq\f(1,2)[解析]要滿(mǎn)足所截兩段都不短于1米，則截點(diǎn)在繩子的中間2米的區(qū)域內(nèi)，所以概率為P(A)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).10.eq\f(1,2)[解析]以三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，1為半徑畫(huà)圓，三角形的三邊上在圓外的三條線(xiàn)段上的點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都超過(guò)1，這三條線(xiàn)段的長(zhǎng)度之和為6，所以概率為P＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).11.eq\f(1,6)[解析]設(shè)“等待的時(shí)間不多于10分鐘”為事件A，當(dāng)事件A恰好是到站等車(chē)的時(shí)刻位于[50,60]這一時(shí)間段內(nèi)，則此人等車(chē)時(shí)間不多于10分鐘，因此由幾何概型的概率公式得P(A)＝eq\f(60－50,60)＝eq\f(1,6)，即此人等車(chē)時(shí)間不多于10分鐘的概率為eq\f(1,6).12．[解答](1)平均學(xué)習(xí)時(shí)間為eq\f(20×1＋10×2＋10×3＋5×4,50)＝1.8(小時(shí))．(2)20×eq\f(10,50)＝4.(3)設(shè)甲開(kāi)始學(xué)習(xí)的時(shí)刻為x，乙開(kāi)始學(xué)習(xí)的時(shí)刻為y，試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)棣福絳(x，y)|18≤x≤21,18≤y≤20}，面積SΩ＝2×3＝6.事件A表示“22時(shí)甲、乙正在學(xué)習(xí)”，所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)锳＝{(x，y)|20≤x≤21,19≤y≤20}，面積為SA＝1×1＝1，這是一個(gè)幾何概型，所以P(A)＝eq\f(SA,SΩ)＝eq\f(1,6).[點(diǎn)評(píng)]根據(jù)以上的解法，我們把此類(lèi)問(wèn)題的解決總結(jié)為以下四步：(1)構(gòu)設(shè)變量．從問(wèn)題情景中，發(fā)現(xiàn)哪兩個(gè)量是隨機(jī)的，從而構(gòu)設(shè)為變量x、y.(2)集合表示．用(x，y)表示每次試驗(yàn)結(jié)果，則可用相應(yīng)的集合分別表示出試驗(yàn)全部結(jié)果Ω和事件A所包含試驗(yàn)結(jié)果．一般來(lái)說(shuō)，兩個(gè)集合都是幾個(gè)二元一次不等式的交集．(3)作出區(qū)域．把以上集合所表示的平面區(qū)域作出來(lái)，先作不等式對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)，然后取一特殊點(diǎn)驗(yàn)證哪側(cè)是符合條件的區(qū)域．計(jì)算求解．根據(jù)幾何概型的概率公式，易從平面圖形中兩個(gè)面積的比求得．【難點(diǎn)突破】13．[解答]設(shè)事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根”．當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根的充要條件為a≥b.(1)基本事件共12個(gè)：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)