2023年浙江省七彩陽光新高考研究聯(lián)盟高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023年浙江省七彩陽光新高考研究聯(lián)盟高一（下）期中數(shù)學(xué)試

卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知集合4={x|x2<9],B={x\-l<x<5},則4nB=()

A.{x|—3<x<3}B.{x|—1<x<5}

C.{x|—1<x<3}D.{x|—3<x<5}

2.若|z|=4,則z-z=()

A.32B.16C.4D.2

3."A=30?！笔恰皊譏4="的條件.（）

A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要

4.如圖所示，F(xiàn)為平行四邊形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，BF

：而，則存=（）

31311313

於

而

而

擊

初

-+-----7-

A.444444X

5.已知sin（5+a）=I，則cos年一a）的值等于（）

2B」|C.殍D.土？

A.3

6.已知向量為=(2,1)5=(-1,1)>向量為在方方向上的投影向量為（）

D.-頡

A.~TbB.一會(huì)C.頡

7.如圖扇形ABC,圓心角A=90。,。為半徑48中點(diǎn)，CB,CD把扇形分

成三部分，這三部分繞4c旋轉(zhuǎn)一周，所得三部分旋轉(zhuǎn)體的體積匕，彩，匕之

比是（)

A.1：2：2

B.1：2：3

C.1：3：3

D.1：3：4

8.已知平面向量五，石，且1^-4初的最小值與|下-〃石|的最小值乘積為2(九〃為實(shí)數(shù))，則

|司的最小值為()

A.1B.<7C.2D.2c

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.已知函數(shù)/(%)=然/竦，則下列判斷錯(cuò)誤的是()

A./Q)是奇函數(shù)B./(%)的圖像與直線y=1有兩個(gè)交點(diǎn)

C.f(x)的值域是［0,+8)D./(x)在區(qū)間(一8,0)上是減函數(shù)

10.已知函數(shù)/Xx)=Acos(a)x+0)(4>0,a)>0,\(p\<今的部分圖像如圖所示，則下列關(guān)于

函數(shù)/'(x)的說法正確的是()

A71

A.0B.函數(shù)/(x)的絕對(duì)值最小的零點(diǎn)為-微

C.直線”奈是函數(shù)/(%)的一條對(duì)稱軸D.函數(shù)/⑺在(2*兀)上單調(diào)遞增

11.如圖在棱長為6的正方體48C。一公當(dāng)6。1中，E,F分別是

AD,中點(diǎn)，P在側(cè)面4DD14上(包括邊界)，且滿足三棱錐P-

BEF的體積等于9,貝UPC］的長度可以是()

A.36

B.6門

C.10

D.6c

12.無字證明來源于《幾何原本》第二卷的幾何代數(shù)法(

用幾何方法研究代數(shù)問題)，很多代數(shù)的公式或定理都能僅

通過圖形得以證明、如圖，在△ABC中，D,E為BC邊上異

于端點(diǎn)的兩點(diǎn)，BD=a,EC=c,且4ADE是邊長為b的正

三角形，則下列不等式一定成立的是（）

A.Va2+ac+c2—Vb2+be+c2>a+b+c

B.Va24-ab4-fa2+V/）24-6c+c2>a+b+c

C.N砂+血+"2—Q爐—尻+c2va+b-c

D.，-2+兒+3—Va2—ab+b2<a—b+c

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.函數(shù)/（%）=|%一1|一%的零點(diǎn)是.

14.已知復(fù)數(shù)z=占?為虛數(shù)單位），貝物的虛部為.

15.平面直角坐標(biāo)系％0y中線段。4的長為仁，與x軸所成的夾角為a,且t（ma=2,在斜二

測畫法下（々'oy'=45。），其直觀圖為線段O'A,則線段0'4的長度為.

16.已知△力8C的三個(gè)角4B,C所對(duì)的邊為a,b,c,若乙BAC=*。為邊8C上一點(diǎn)，且

AD=2,BD：DC=4c：b,則2+：的值為.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

(1)已知tana=2,求3sina—4cosa的值:

cosa+2sina

（2）計(jì)算：-（3+lg<7+為5-29。比3.

Z-VooZ

18.（本小題12.0分）

己知復(fù)數(shù)Z[=1-2i（i為虛數(shù)單位）和Z2是關(guān)于x的方程/-2%+p=0（pGR）兩根.

（1）求p和Z2；

（2）若Z2對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)4,且△048是以4為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求點(diǎn)8對(duì)應(yīng)的復(fù)

數(shù)Z3.

19.（本小題12.0分）

如圖，為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A,B兩點(diǎn)進(jìn)行測量，力，B,M,

N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)，在4點(diǎn)測得M,N的俯角分別為的=75。，仇=30。，在B點(diǎn)測得M,

N的俯角分別為戊2=45。，為=60。，同時(shí)測得AB=10V■石km.

(1)求BN和AM的長度；

(2)求M,N之間的距離.

20.(本小題12.0分)

如圖，在三棱錐P-4BC中，高PC=4（PC_L底面4BC）,AB=BC=3,^ABC=120°.

(1)求三棱錐P-ABC的體積；

(2)求三棱錐P-ABC外接球的表面積.

21.(本小題12.0分)

設(shè)△ABC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知士智=士善學(xué).

cosAsin2B

(1)判斷△ABC的形狀(銳角、直角、鈍角三角形)，并給出證明；

(2)求竺型的最小值.

22.(本小題12.0分)

如圖，△48。中48=1,AC=3,4B4c=60。，40為BC邊上的中線，點(diǎn)E,F分另U為邊4B,

力C上的動(dòng)點(diǎn)，線段E尸交4。于G,且線段4E與線段AF的長度乘積為1.

(1)已知AF=2,請(qǐng)用荏，而表示南；

(2)求怒.前的取值范圍.

答案和解析

I.【答案】c

【解析】解由：于A={x\x2<9}={x|-3<%<3),F={x|—1<x<5],

故AnB={x[-1<x<3}.

故選：C.

求得集合力，根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求得答案.

本題主要考查了集合交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b6R),且a2+b2=16,

則z-z=a2+b2=16.

故選:B.

設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a/€R),且a?+爐=16,根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算即可求解.

本題主要考查共輒復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：?1=30°=>sinA=p反之不成立,例如血150。=宗

"4=30?！笔恰皊inA=的充分不必要條件.

故選：B.

/I=30°=>sinA=反之不成立，例如sinl50。=,即可判斷出.

本題考查了充要條件的判定方法、三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于檢查團(tuán)

4.【答案】a

【解析】解：因?yàn)榍?：而，所以喬=：前，

34

所以而=AB+JF=AB+94前

=AB+^(AD-AB)=^AB+^AD.

4'/44

故選：A.

根據(jù)向量的線性運(yùn)算，即可求得答案.

本題主要考查平面向量基本定理，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閟in/+a)=|,

所以cos年-a)=cos[y_G+?)]=-sin(1+a),

所以cos會(huì)—a)=—|.

故選：B.

通過構(gòu)造角?-a=萼-《+a),再利用誘導(dǎo)公式即可求出結(jié)果.

623

本題主要考查了誘導(dǎo)公式在三角化簡求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解:向量方=(2,1)5=(-1,1)>

則|E|cos<a,b>=^=-^=,

一

bC冷

-=2

山(-,

所以向量中轉(zhuǎn)方向上的投影向量為—/(一三，?)=G,一;)=一部

故選：D.

根據(jù)投影向量的定義即可求解.

本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：由題意，不妨設(shè)扇形4BC的半徑為2,

則第I部分旋轉(zhuǎn)后的幾何體是圓錐，計(jì)算體積為匕=3兀xI?x2=當(dāng)，

第II部分旋轉(zhuǎn)后的幾何體是大圓錐中間去掉一個(gè)小圓錐，計(jì)算體積為%=守兀x22x2-：兀x

I2x2=2n,

第HI部分旋轉(zhuǎn)后是的幾何體是半球，中間去掉一個(gè)圓錐，計(jì)算體積為匕=:XJ兀X23—之兀X22X

,233

c871

2=于

所以匕：/：V3=y：2n：y=1：3：4.

故選：D.

根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的概念結(jié)合圓錐以及球的體積公式，分別求得匕，/，匕的值，即可得答案.

本題考查了旋轉(zhuǎn)體的概念以及圓錐和球的體積計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：如圖，

設(shè)04=落OB=b，0C=c,。4'=4五，0B'=〃b，

過C分別做CA'104,CB"LOB,垂足分別為4',B".

由向量減法的幾何意義，=c-ka.Wc=c-nb>

當(dāng)成，即力'在Z"處時(shí)，房-；I五|的模最小，此時(shí)|下-4方|=|歹/|=|〃3|，

當(dāng)玩JL話,即夕在B”處時(shí)，|下一遍|的模最小，\c-nb\=1^0|=\Aa\<

平面向量五1b，且|不-4初的最小值與|口-（1b|的最小值乘積為2（尢〃為實(shí)數(shù)），

所以|不一2菊的最小值與房一通|的最小值乘積為|甲5|?|西|=磯?|通|=2>

222

1引=而1=]|布2+\~^0\=J\Aa\+\fib\>J2\Xa\-\fib\=2，

當(dāng)且僅當(dāng)用五|=也時(shí)取等號(hào).

所以|1|的最小值為2.

故選：C.

由圖可知，莉=不一，五，比=不一〃石，要使模最小，只需莉J.亞和比1麗，此時(shí)得到|4五上

2

|MK|=2.再由圖可知|列=I\Aa\+\fib\^由基本不等式即可得到最小值.

本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

9.【答案】AB

【解析】解：如圖所示，作出函數(shù)圖象,

顯然圖象不關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，故A不正確；

函數(shù)圖象與直線y=l有一個(gè)交點(diǎn)，故3錯(cuò)誤；

函數(shù)的值域?yàn)椋?,+8),且在區(qū)間(一8,0)上是減函數(shù)，即C、。正確.

故選：AB.

根據(jù)分段函數(shù)的解析式及基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一分析即可.

本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和值域，屬于中檔題.

10.【答案】ABC

【解析】解：由圖可知A=2,T=4(y-2)=2rt,

所以3="=1,

27r

由圖可知f(x)圖像經(jīng)過點(diǎn)片,0),

所以/售)=2cos(與+@)=0，

解得與+9=k?r+€Z,即0=/ot—k€Z,

又陽＜=一六9＜看

當(dāng)k=0時(shí)，=故4正確；

所以f(%)的解析式為f(x)=2cos(x-看)，

令/(x)=0,

則2cos(x—^)=0,

解得%—?=k/r+k€Z,即％=k?r+AEZ,

當(dāng)々=-1時(shí),X=-7T+y=-^

當(dāng)k=o時(shí)，x=§,函數(shù)f（%）的絕對(duì)值最小的零點(diǎn)為一%故8正確；

oJ

由/0）=2cos（名—^）=2cosn=—2,

666

得直線x=?是函數(shù)/（%）的一條對(duì)稱軸，故C正確；

O

7

因?yàn)?兀<%<-7T,

仁「Ki117T/7T/137r

ooo

A幾、

令2=%-7T6_（A甘in干]3），

則y=2cosz在（半，等）上不單調(diào)，

所以函數(shù)/（乃在（2兀4兀）上不單調(diào)，故。錯(cuò)誤.

故選:ABC.

根據(jù)函數(shù)/Xx）部分圖像求出/（x）的解析式，利用函數(shù)的零點(diǎn)及余弦函數(shù)的性質(zhì)及逐項(xiàng)判斷即可求

解.

本題主要考查了由y=Asin（a）x+@）的部分圖像確定其解析式以及余弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查

了函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

11.【答案】AB

【解析】解：因?yàn)檎襟w的棱長為6,E,F分別是4D,44中點(diǎn)，

所以EF=3/7，設(shè)P到EF的距離為九°,

因?yàn)?一BEF=^B-PEF=5sAPEFh=x2=3\T~2hQ—9,

得到h0=學(xué)，

如圖，連接設(shè)力與4D,EF分別交于M,N,易得MN=浮,

所以點(diǎn)P在線段&D上，連接PL?i，因?yàn)镚A1面4DDM1，

又P%u面ADD14,所以a。11PD1,

所以|PG|=J匕也|2+附1|2=436+IP0/2,

又易知<\PDX\<6，所以3v■石<|PG|<6V-2.

故選：AB.

先利用等體積法，求出P到EF的距離，從而得出點(diǎn)P在線段4D上，進(jìn)而得到|PG|=J36+|叫|2,

再利用3，克W〈6,即可求出結(jié)果.

本題考查正方體中的動(dòng)點(diǎn)問題，三棱錐的體積問題，屬中檔題.

12.【答案】BC

【解析】解：由題意得=Z.AEC=120°,

在△480中，由余弦定理得AB=Va2+b2—2abcosl20°=Va2+ab+b2'

在4AEC中，由余弦定理得AC=Vb2+bc+c2,

又4B+4C>BC,故8正確；

vAB-AC<BCQVa2+ab+b2—Vb2+be+c2<a+b+c,

二對(duì)上述不等式用-c代替c得、a?+ab+》—y/b2—be+c2<a+b—c<故C正確；

取a=b=c=1,故A錯(cuò)誤；

取a=c=1,b=3,Vb2+be+c2—y/a2-ab+b2=V11->J-7>0）而a-￡>+c=-l<0,

故。錯(cuò)誤.

故選：BC.

AD選項(xiàng)可以通過取特殊值進(jìn)行排除；通過余弦定理的計(jì)算，三角形三邊關(guān)系4B+4C>BC可知B

正確，由4B-4C<BC可對(duì)C進(jìn)行判斷，即可得出答案.

本題考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

13.【答案】|

【解析】解：令f（x）=|x-l|-x=0,

則|x-l|=x,解得X=

故答案為：g.

令/（X）=|x-l|-x=0,解方程即可求解.

本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的求解，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】一：

【解析】解.?>-z=—=—=-=1-1/,

>小力1'k?zi-11-i(l-i)(l+i)229

z的虛部為-；.

故答案為：—P

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運(yùn)算，即可求解.

本題考查了復(fù)數(shù)虛部的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運(yùn)算，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基

礎(chǔ)題.

15.【答案】J2+。

【解析】解：根據(jù)題意，如圖1，過點(diǎn)4分別作x軸與y軸的平

行線，交x軸與y軸于B,C兩點(diǎn)，則ABJLx軸，

__AD

在RtZkAB。中，0A=A/-5?tanZ-AOB=tana=—=2,

UD

ffll圖2

所以AB=20B,y.OB2+AB2=OA2,所以得到OB=1,

AB=2,故OC=AB=2,

如圖2,過4分別作x'軸與y'軸的平行線，交/軸與y'軸于C'兩點(diǎn),

則四邊形O‘B'A'C'為平行四邊形，所以O(shè)'C'=A'B',

由平面直觀圖的性質(zhì)知，O/B'=0B=1,O'C=\0C=1,

所以AB'=1,

又因?yàn)閦x'o'y'=45°,所以NO'B'4'=135°,

在小O'B'A'中，由余弦定理得，\0'A'\2=\O'B'\2+\A'B'\2-2\O'B'\'\A'B'\cos^O'B'A'=14-1-

2cosl35°=2+/1，

故1041=V2+<7-

故答案為：V2+<2.

根據(jù)題意，結(jié)合斜二測畫法，分析求出。'夕和O'C',再利用余弦定理即可求出結(jié)果.

本題考查斜二測畫法，涉及余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】二

2

【解析】解：設(shè)NBAD=。(0<。<羽，則NCAD=^-。，

vAD=2,BD：DC=4c：b,

.SAABD_山DB_BD_4c

??S△力CD一扣DCD-siMADCCD~bf

^x2-csin64C

即丁/-----n--=T，

|x2bsin(1-0)b

化簡得2cos。=y/~3sind,即tern。=與3，

故sinJ=^y^,sin(^-0)=^sin9=g，

又S>ABC=S4ABD+SBACD?

所以gbesin-=1X2csin0+1x2bsin(^-8),

即±+*=三,

be2

故答案為：4I.

設(shè)48/。=。(0<6<芻，則4。4D=g一仇利用面積關(guān)系冷跡=生=學(xué)可以得到2COS6=

JJ、》ACD30

GstnS，從而求得tan/B/W；再利用面積關(guān)系S0BC=ShABD+S—CD可以得到g+：=/萬?

本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

17.【答案】解:(1)vtana=2,

.3sina—4cosa_31^-4_3tana-4_3x2-4_2

?cosa+2sina2+25fna1+2tana1+2x25'

⑵原式=(2.XI口)-(?)j+狙2+3怎-2。門

=2+<3-|+：仞2+：仞5_2，。比「

=2+/^-|+|lg(2x5)-C

=2+<3-1+1-<3

=1.

【解析】(1)根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，弦化切計(jì)算即可;

(2)應(yīng)用指數(shù)及對(duì)數(shù)運(yùn)算可得結(jié)果.

本題主要考查了同角基本關(guān)系及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

+

18.【答案】解：(1)由題意可得^=p=>z2=2-(1-2i)=1+2i,p=(1-2i)-(1+2i)=

由上知4(1,2),設(shè)B(a,b),結(jié)合圖形可得荏1成，|。川=|AB|,

嘴二戕2鼠沅N+22叱:M：丁，故點(diǎn)B對(duì)應(yīng)有兩個(gè)取3,1)或叫-1,3),

故Z3=3+i或Z3=-1+3L

【解析】(1)利用韋達(dá)定理計(jì)算即可；

(2)數(shù)形結(jié)合，利用復(fù)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可.

本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：(1)在ZkABM中，由題知AB=10，^，^MAB=75°,/.ABM=45°,

所以乙4MB=180°-75°-45°=60°,

由正弦定理得_編=_^,所以4時(shí)="需=叫尹=20,

Sinz.ABMs\nz.AMBsinz^4MBv_3

2

在AABN中，又因?yàn)?8AN=30°,Z.ABN=180°-60°=120°,4ANB=180°-120°-30°=30°,

所以/BAN=乙4NB,

所以BN=AB=10\T6;

(2)在小ABN,由(1R4BN=120°,4BAN=乙BNA=30°,AB=BN=

所以AN=2AB-cos30°=2x10<6x—=304，

在ZkAMN中，AM=20,AN=307~2,/-MAN=75°-30°=45°,

由余弦定理得MN?=AM2+AN2-2AM-ANcos^MAN=400+1800-2x20x30cx?=

1000,

所以MN=ioV-To.

0AB

【解析】(1)在△ABM中，利用正弦定理即可求解出AM,J

再利用條件得到BN=AB；

(2)在AABN中，利用條件和(1)中的結(jié)果，求出4N,

在△力MN中，再利用余弦定理即可求解.

本題主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)由題意知4B=BC=3,^ABC=120°,PC1底面4BC,

故SMBC=；xABxBCxsinl20°=；x3x3x/=亨，

故4-4BC=^SAABCXPA=^XX4=3y/~3;

(2)由4B=BC=3,/.ABC=120°,可得乙4cB=30。,

r483/

設(shè)△ABC的外接圓半徑為r,則廿=痂相=丁=6,...r=3,

2

設(shè)44BC的外接圓圓心為O',過點(diǎn)。'作平面4BC的垂線。'0,

則。'O〃PC,設(shè)PC的中點(diǎn)為D,過點(diǎn)。作PC的垂線交0'0于。，

則四邊形。。￡。為矩形，

。即為三棱錐P-4BC外接球的球心，設(shè)外接球半徑為R,

22

貝IJR2=0C2=0'02+Q'C2=2+3=13,

故三棱錐P-力BC外接球的表面積為4兀R2=527r.

【解析】(1)根據(jù)棱錐的體積公式即可求得答案；

(2)確定三棱錐外接球心的位置，進(jìn)而求得外接球半徑，即可求得答案.

本題考查了三棱錐的體積和三棱錐外接球的表面積計(jì)算，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)△力BC是鈍角三角形，證明如下：

由題意可知，1-SM4=1-(1-25加2刃=^BCOSB_SINA_COSB_SINB.COSA)

cosA2sinBcosBcosB

所以cosB=sin(i4+B),

于是有sing-B)=sin(4+B),得5-B=4+B或]-B+A+B=n,即A+2B=卷或4=p

77TT

又cos/H0,〃—(4+B)=2+B>0,

所以△力8C是鈍角三角形；

(2)由(1)知，C=]+B,A=^—2B,有sinC=cosB,sinA=cos2B,

匚匕“4次+5戶4sin*2A*+5sin2B4sin2g-2S)+5stn2B

所以一^=sin2c二一量畫一

_4COS22B+5(1-COS2B)_4(2cos2F-l)2+5(l-cos2B)

COS2BCOS2B

16COS4B*-21COS2B+9