2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（山東卷）

年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（山東卷）數(shù)學(xué)（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．（1）【2017年山東，理1，5分】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)椋瑒t（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】由得，由得，，故選D．（2）【2017年山東，理2，5分】已知，是虛數(shù)單位，若，，則（）（A）1或（B）或（C）（D）【答案】A【解析】由得，所以，故選A．（3）【2017年山東，理3，5分】已知命題：，；命題：若，則，下列命題為真命題的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由時(shí)有意義，知是真命題，由可知是假命題，即，均是真命題，故選B．（4）【2017年山東，理4，5分】已知、滿足約束條件，則的最大值是（） （A）0（B）2 （C）5（D）6【答案】C【解析】由畫出可行域及直線如圖所示，平移發(fā)現(xiàn)，當(dāng)其經(jīng)過(guò)直線與的交點(diǎn)時(shí)，最大為，故選C．（5）【2017年山東，理5，5分】為了研究某班學(xué)生的腳長(zhǎng)（單位：厘米）和身高（單位：厘米）的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出與之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為，已知，，，該班某學(xué)生的腳長(zhǎng)為24，據(jù)此估計(jì)其身高為（） （A）160 （B）163（C）166（D）170【答案】C【解析】，故選C．（6）【2017年山東，理6，5分】執(zhí)行兩次如圖所示的程序框圖，若第一次輸入的值為7，第二次輸入的值為9，則第一次、第二次輸出的值分別為（）（A）0，0（B）1，1（C）0，1（D）1，0【答案】D【解析】第一次；第二次，故選D．（7）【2017年山東，理7，5分】若，且，則下列不等式成立的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】，故選B．（8）【2017年山東，理8，5分】從分別標(biāo)有1，2，…，9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張，則抽到在2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】，故選C．（9）【2017年山東，理9，5分】在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若為銳角三角形，且滿足，則下列等式成立的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】所以，故選A．（10）【2017年山東，理10，5分】已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且，單調(diào)遞增，且，此時(shí)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以要有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，需，故選B．第II卷（共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分（11）【2017年山東，理11，5分】已知的展開式中含有的系數(shù)是54，則．【答案】4【解析】，令得：，解得．（12）【2017年山東，理12，5分】已知、是互相垂直的單位向量，若與的夾角為，則實(shí)數(shù)的值是．【答案】【解析】，，，，解得：．（13）【2017年山東，理13，5分】由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為．【答案】【解析】該幾何體的體積為．（14）【2017年山東，理14，5分】在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線（，）的右支與焦點(diǎn)為的拋物線（）交于、兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的漸近線方程為．【答案】【解析】，因?yàn)椋詽u近線方程為．（15）【2017年山東，理15，5分】若函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)具有M性質(zhì)。下列函數(shù)中所有具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號(hào)為．①②③④【答案】=1\*GB3①=4\*GB3④【解析】=1\*GB3①在上單調(diào)遞增，故具有性質(zhì)；=2\*GB3②在上單調(diào)遞減，故不具有性質(zhì)；=3\*GB3③，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故不具有性質(zhì)；=4\*GB3④，令，則，在上單調(diào)遞增，故具有性質(zhì)．三、解答題：本大題共6題，共75分．（16）【2017年山東，理16，12分】設(shè)函數(shù)，其中，已知．QUOTE（1）求；（2）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求在上的最小值．解：（1）因?yàn)?，所以，由題設(shè)知，所以，．故，，又，所以．（2）由（1）得，所以．因?yàn)椋?，?dāng)，即時(shí)，取得最小值．（17）【2017年山東，理17，12分】如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的，是的中點(diǎn)．（1）設(shè)是上的一點(diǎn)，且，求的大?。唬?）當(dāng)，時(shí)，求二面角的大?。猓海?）因?yàn)椋?，，平面，，所以平面，又平面，所以，又，因此．?）解法一：取的中點(diǎn)，連接，，．因?yàn)椋运倪呅螢榱庑危裕≈悬c(diǎn)，連接，，．，，為所求二面角的平面角．，．在中，，由余弦定理，所以，因此為等邊三角形，故所求的角為．解法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由題意得，，，故，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量．由可得取，得平面的一個(gè)法向量．設(shè)是平面的一個(gè)法向量．由可得取，可得平面的一個(gè)法向量．所以．因此所求的角為．（18）【2017年山東，理18，12分】在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示．（1）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；（2）用表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．解：（1）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，則．（2）由題意知X可取的值為：0，1，2，3，4．則因此X的分布列為X01234PX的數(shù)學(xué)期望是=．（19）【2017年山東，理19，12分】已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，依次連接點(diǎn)，，…，得到折線，求由該折線與直線，，所圍成的區(qū)域的面積．解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由已知．由題意得，所以，因?yàn)?，所以，因此?shù)列的通項(xiàng)公式為（2）過(guò)……向軸作垂線，垂足分別為……，由（1）得記梯形的面積為．由題意，所以……+……+=1\*GB3①又……+=2\*GB3②=1\*GB3①-=2\*GB3②得=，．（20）【2017年山東，理20，13分】已知函數(shù)，，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）令（），討論的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值，有極值時(shí)求出極值．解：（1）由題意，又，所以，因此曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2）由題意得，因?yàn)?，令，則，所以在上單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)取得極小值，極小值是；當(dāng)時(shí)，，由，得，，①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)取得極大值．極大值為，當(dāng)時(shí)取到極小值，極小值是；②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值；③當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，、單調(diào)遞增；所以當(dāng)時(shí)取得極大值，極大值是；當(dāng)時(shí)取得極小值．極小值是．綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值，極小值是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值，極大值是，極小值是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值，極大值是；極小值是．（21）【2017年山東，理21，14分】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓（）的離心率為，焦距為2．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，動(dòng)直線：交橢圓于A、B兩點(diǎn)，C是橢圓上的一點(diǎn)，直線OC的斜率為，且，M是線段OC延長(zhǎng)線上