2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版2019必修第二冊(cè)試題6-2-2向量的減法運(yùn)算

622向量的減法運(yùn)算（分層作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）

【夯實(shí)基礎(chǔ)】

一、單選題

1.（2022秋?四川綿陽(yáng)?高一?？计谀┰贠ABC中，點(diǎn)。在BC邊上，且8O=2OC?設(shè)A8=α,AC=h,

則4?？捎没?。力表示為（？???????？）

1rr

A.-（a+b）B.L+4

233

12.1rr

C.-cι-?—bD.-(a+b)

33

【答案】C

.2

【分析】在AABO中根據(jù)An=AB+B/），然后BO=]BC,然后在一ABC用向量的減法化簡(jiǎn).

2一

【詳解】解析：因?yàn)?O=2OC,所以BO=§BC.

ιuutinuniuni2ulιnlul2UlmUUB1ɑu?2Uim∣r?r

f）↑VλAD=AB+BD=AB+-BC=AB+-（AC-AB）=-AB+-AC=-a+-b.

故選：C

2.（2022秋.江蘇南通.高一統(tǒng)考期末）在JIBC中，已知。是A3邊上一點(diǎn)，且3CO=CA+2CB,則（？??？）

A.AD=IBDB.AD=^DBC.AD=2DBD.AD=^AB

【答案】C

【分析】利用向量的減法運(yùn)算即可得到答案.

【詳解】解：3CD=CA+2CB,

則有C3-CA=2（CB-CO）,

可得A￡>=21）8.

故選：C.

3.（2022秋.江蘇鹽城.高一鹽城市田家炳中學(xué)?？计谥校┫铝姓f(shuō)法錯(cuò)誤的是（????）

A.若A8C。為平行四邊形，則AB=OC

B.若“∕∕b,6∕∕c,則“〃C

C.互為相反向量的兩個(gè)向量模相等

LUULULlLlUULUUI

D.NQ+QP+MN-MP=O

【答案】B

【分析】利用向量相等的定義判斷A；舉例說(shuō)明判斷B；利用互為相反向量的定義判斷C,利用向量加法、

減法法則計(jì)算判斷D作答.

【詳解】對(duì)于A,YABeO中，AB=DC,且向量AB與。C同向，則A8=OC,A正確；

對(duì)于B,當(dāng)6=0時(shí)，”與C不共線，也滿(mǎn)足a"b,b∕∕c,B不正確；

對(duì)于C,由互為相反向量的定義知，互為相反向量的兩個(gè)向量模相等，C正確；

對(duì)于D,NQ+QP+MN-MP=NP+PN=0,D正確.

故選：B

4.(2022?高一課前預(yù)習(xí))化簡(jiǎn)PΛ∕-∕W+"N所得的結(jié)果是(????)

A.MPB.NPC.0D.NM

【答案】C

【分析】根據(jù)向量減法原則，以及相反向量的定義，即可得出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)平面向量減法原則，PM-PN=NM，而MN=-NM.

故PM-PN+MN=3

故選：C

5.(2022?高一單元測(cè)試)化簡(jiǎn)3(0+2幻-23+6)的結(jié)果為(????)

A.a+4hB.a+bC.2a+bD.a-b

【答案】A

【分析】由向量的加減運(yùn)算法則即可求解.

【詳解】解：3(α+2?)-2(a+?)=a+4?>

故選：A.

6.(2022秋?北京朝陽(yáng)?高一統(tǒng)考期末)如圖，在平行四邊形488中，下列結(jié)論正確的是(????)

A.AB=CDB.AB+DA=BD

C.AB-AD=DBD.AD+BC=O

【答案】C

【分析】利用相等向量可判斷A選項(xiàng)；利用平面向量的加法可判斷BD選項(xiàng)；利用平面向量的減法可判斷

C選項(xiàng).

02/19

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，AB=DC.A錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，AB+DA=DBB錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，AB-AD=DByC對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，AD+BC=2ADD錯(cuò).

故選：C.

7.(2022秋.吉林?高一吉林省實(shí)驗(yàn)校考階段練習(xí))化簡(jiǎn)4(7-8。+。-48+8。得(????)

A.0B.DAC.BCD.AB

【答案】C

【分析】利用向量的線性運(yùn)算直接求解.

【詳解】AC-BD+CD-AB+BC

=AC+CD+DB+BA+BC

=0+BC

=BC-

故選：C

二、多選題

8.(2022?高一課時(shí)練習(xí))(多選)已知向量AB,BC,4C,那么下列命題中正確的有(????)

A.AB+BC=ACB.∣AB∣+∣BC∣=∣AC∣

C.AB+BC>ACD.∣ΛB∣+∣BC∣>∣AC∣

【答案】AD

【分析】根據(jù)向量的加法法則判斷逐一判斷即可.

【詳解】解：由向量的加法法則可得：AB+BC=AC,故A正確，C錯(cuò)誤；

當(dāng)點(diǎn)B在線段AC上時(shí)，卜用+卜4=卜4,否則卜q+卜4>卜4,故B錯(cuò)誤，O正確.

故選：AD.

9.(2022.高一課時(shí)練習(xí))下列各式中能化簡(jiǎn)為AD的有(????)

A.MB+AD-BMB.(AD+MB)+(BC+CΛ∕)

C.(AB+CZ))+BCD.OC-OA+CD

【答案】BCD

【分析】由向量的加法與減法法則逐一驗(yàn)證即可

【詳解】對(duì)于A：MB+AD-BM=MB-BM+AD=MB+MB+AD=2MB+AD-故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B：^AD+MB）+（BC+CM）=AD+（BC+CM+MB）=AD,故B正確；

對(duì)于c：（AB+CD）+BC=AB+BC+CD=AD,故C正確；

對(duì)于D:OC-OA+CD-AC+CD=ADι故D正確.

故選：BCD

三、填空題

10.（2022?高一課前預(yù)習(xí)）08-Q4-0C-Co=.

【答案】AB

【分析】根據(jù)向量減法運(yùn)算法則即可求解.

【詳解】解：OB-OA-OC-CO={θB-OA^+CO-CO=AB,

故答案為：AB-

11.（2022秋?江西南昌?高一南昌十中?？计谥校┗?jiǎn)（AB+PC）+（BA-QC）=.

【答案】PQ

【分析】利用向量加減法運(yùn)算化簡(jiǎn)，注意相反向量的應(yīng)用.

【詳解】（AB+PCy（BA-QC^=AB+PC-AB+CQ=PQ.

故答案為：PQ

12.（2022春?青海海南?高一海南藏族自治州高級(jí)中學(xué)?？计谀┗?jiǎn)2（α-3q+3（2人-α）=.

【答案】-a

【分析】利用向量的加法運(yùn)算，即可得到答案；

【詳解】2（a-3?）+3（2/?-?）=2?-6b+6b-3a=-a,

故答案為：-4

13.（2022?高一課時(shí)練習(xí)）下列四個(gè)等式：

①q+b=6+”;②一（一”）=a;③A8+BC+CA=0;④α+（-α）=0?

其中正確的是（填序號(hào)）.

【答案】①②③④

【分析】根據(jù)向量加減法及其運(yùn)算律即可判斷.

【詳解】由向量的運(yùn)算律及相反向量的性質(zhì)可知①②④是正確的，③符合向量的加法法則，也是正確的.

04/19

故答案為：①②③④.

14.（2022?高一課時(shí)練習(xí)）在.ABC中，。,瓦尸分別是AB,BC,CA的中點(diǎn)，則AE-Z）8=.

【答案】AF

【分析】由向量的加法與減法法則求解即可

【詳解】利用三角形中位線定理知D8=FE，

所以AE-D8=AE-FE=AE+EF=AF?

故答案為：AF

15.（2022?高一"課前預(yù)習(xí)）向量A而可以寫(xiě)成：?MO+ON'?MO-ON`?OM-ON:?ON-OM?

其中正確的是（填序號(hào)）.

【答案】①④

【分析】①利用向量的加法運(yùn)算；②③④利用向量的減法運(yùn)算

【詳解】?MO+ON=MN'

TT→TT

@MO—ON=MOtNO≠M(fèi)N'

T二TT→→

@OM-ON=OM+NO=NM≠M(fèi)N；

?ON-OM=MN^

故答案為：①④

四、解答題

16.（2022?高一課前預(yù)習(xí)）如圖所示，。為ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=",OB=b,OC=c,求作向量力+D?

【答案】答案見(jiàn)解析

【分析】以。8，OC為鄰邊作平行四動(dòng)形OBDC,連接。。，AD,A。即為所求.

【詳解】解：以0B，OC為鄰邊作平行四邊形OBQC,連接。。，AD,

所以O(shè)O=OB+θC=i+i，

所以AO=OD-OA^h+'c-'a-

17.(2022?高一課前預(yù)習(xí))如圖所示，四邊形ACZ)E是平行四邊形，B是該平行四邊形外一點(diǎn)，且AB=”,

AC=b<'AE=C'<試用向量α,Ac表示向量C。，BC<BD-

【答案】CD=c>BC-b—a>BD=b-a+c

(分析】根據(jù)向量加法與減法的運(yùn)算法則即可求解.

【詳解】解：因?yàn)樗倪呅蜛C。E是平行四邊形，

所以CD=AE=c,BC=AC-AB=b-a,

所以BO=BC+CE>=b-α+c?.

18.(2022?高一課前預(yù)習(xí))化簡(jiǎn)下列式子：

(V)NQ-PQ-NM-MP；

(2)(λβ-CD)-(ΛC-BD);

【答案】(1)0

(2)0

06/19

【分析】按照向量的加法，減法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可.

（1）

ULIUUUUULlUULIUUUUlI

原式=NP+MN—MP=NP+PN=G

(2)

uι≡nunnunUuKlUunmi??、/uu?UuQl、mi`uuπr

原式=AB-CAC+8。=(AB-AC)+(Oe-嗎=CB+8C=O

【能力提升】

一、單選題

1.（2022春?江西贛州?高一贛州市贛縣第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，等腰梯形ABCO中,

AB=BC=CD=ZAD,點(diǎn)E為線段CO中點(diǎn)，點(diǎn)尸為線段BC的中點(diǎn)，貝UFE=（????）

A.-AB+-ACB.--AB+-AC

3636

C.-AB+-ACD.--AB+-AC

6363

【答案】B

【分析】根據(jù)向量的加減法以及三角形中位線BD=2FE即可得到答案.

【詳解】連接3￡>,A3=3C=CO=3AD,點(diǎn)E為線段8中點(diǎn),

11(4141

BD=BA+AD=BA+-BC=BA+-(BA+ACλ]=-BA+-AC=——AB+-AC,

33、'3333

X?,BD=2FE，

.?.FE=--AB+-AC.

36

故選：B.

IUiBl

2.（2022春?北京豐臺(tái)?高一統(tǒng)考期末）若卜8卜7,卜4=4，則BC的取值范圍是（????）

A.[3,7]B.(3,7)C.[3,11]D.(3,11)

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的減法的幾何意義，確定向量4C,AB共線時(shí)取得最值，即可求得答案.

【詳解】由題意知網(wǎng)=7,1因=4,?∣BC∣HAC-AB∣,

.∣UUO]l.

當(dāng)AeA8同向時(shí)，口。取得最小值，∣BCHAC-ABR∣4CI-IA8∣R4-7∣=3;

IUuBl

當(dāng)AcA8反向時(shí)，取得最大值，lBq=lIAC-ABI=IIAC∣+∣A8∣∣=∣4+7hll;

當(dāng)AC,A8不共線時(shí)，I潴I取得最小值，3=∣∣AC∣-∣ΛS∣∣<∣BC∣<∣∣AC∣+∣AB∣∣=11,

IUIW1

故的取值范圍是[3,ιι],

故選：C

3.（2022秋?浙江紹興?高一校考階段練習(xí)）如圖，已知..AfiC中，。為BC的中點(diǎn)，AE=^EC,AD,BE

交于點(diǎn)尸，設(shè)4C=",Ao=6.若AF=叢力，則實(shí)數(shù)f的值為（？??？）

A.0.6B.0.8C.0.4D.0.5

【答案】D

【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算，結(jié)合線段關(guān)系，用α,匕表示出A8，EB，F(xiàn)B,由平面向量的基本定理,

即可求得f的值.

【詳解】因?yàn)?。為BC的中點(diǎn)，且AC=α,AD=b,^.AB+AC=IAD,即AB=26-α,

又AE=gEC,可得AE=JAC=，，EB=AB-AE=Ib-a--a=2b--a,

23333

又AF=tAD=th>FB=AB-AF=2b-a-tb=-a+（2-t）b9

-?2-tt

因?yàn)镋B，/韋共線，由平面向量的基本定理可知滿(mǎn)足42,解得r=χ,

^32

故選：D.

08/19

4.（2022秋?陜西西安?高一統(tǒng)考期末）如圖為正八邊形48CDEFG”,其中。為正八邊形的中心，則

CE-FG=（????）

A.BEB.EOC.ADD.OH

【答案】A

【分析】根據(jù)正八邊形的幾何性質(zhì)可知FG=CB，結(jié)合向量的減法運(yùn)算，可得答案.

【詳解】因?yàn)镕d=C8，所以CE-FG=CE-CB=BE，

故選:A.

5.（2022秋.山西長(zhǎng)治.高一?？计谥校┰谄矫嫔嫌?,B,C三點(diǎn)，設(shè)機(jī)=AB+=AB-8C,若加與“

的長(zhǎng)度恰好相等，則有（？???？）

A.A,B,C三點(diǎn)必在一條直線上

B.AABC必為等腰三角形且為頂角

C.AABC必為直角三角形且為直角

D.AABC必為等腰直角三角形

【答案】C

【分析】以BABC為鄰邊作平行四邊形，根據(jù)“，〃的長(zhǎng)度相等可知平行四邊形一定是矩形,即可判斷.

【詳解】以BA,BC為鄰邊作平行四邊形，則機(jī)=48+8。,〃=48-4。=。8,由“，〃的長(zhǎng)度相等可知，兩

對(duì)角線相等，因此平行四邊形一定是矩形,所以A43C必為直角三角形且NB為直角.

故選：C.

6.（2022?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）已知ABC中，AB=3,AC=4,ABAC=6,。為ΛBC所在平面內(nèi)一

點(diǎn)，且OA+203+30C=0，則40BC的值為（????）

A.-4B.-1C.ID.4

【答案】D

【分析】取A8、AC為基底，把A。，BC都用A8、AC表示，再計(jì)算AO?BC?

【詳解】因?yàn)?。A+2O8+3OC=0,則O4+2(O4+AB)+3(OA+AC)=0,

所以，6QA+2A8+3AC=0,所以，OA=-^AB-^AC9即AO=；A3+(AC,

因此AoBC=IjABigACj(AC-AB)=,AC--ΛB--ABAC=4.

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：向量運(yùn)算的技巧：

(1)構(gòu)造向量加、減法的三角形法則和平行四邊形法則；

(2)樹(shù)立“基底”意識(shí)，利用基向量進(jìn)行運(yùn)算.

?全國(guó)?高一■專(zhuān)題練習(xí))已知A,B,C,￡>是以。為球心,半徑為的球面上的四點(diǎn)，Qgj，

7.(20222r(J(J=θ

則I陰+∣M+∣Ca不可能等于(????)

A.6B.7C.8D.6√2

【答案】A

【分析】利用向量的定義得

—>―?—>

AD+BD+CD=(OD-OA)+(OD-OB)+(OD-OC)=3OD-(OA+OB+OC)=3OD，從而AD+BD+CD=6,

利用AD+BD+CD<AD+BD+CD=IAQl+∣BC∣+∣8∣判斷等號(hào)成立條件，確定Mq+忸4+|3不可能

取的值.

【詳解】由AD+BD+CD=(OD-OA)+(OD-OB)+(OD-OC)=3OD-(OA+OB+OC)=3OD'

由OD=2得，ΛD+BD^CD=6,

TTT

而AD+BD+CD≤AD^BD+CD=?AD?^?BD?+?CD?f當(dāng)且僅當(dāng)茄,晶,cb同向時(shí)，等號(hào)成立,

而A,B,C,拉在球面上，不可能共線，即/?b,訪,cB不同向,

—―?―?

故M0+忸力∣+∣CO∣>AD+BD+CD=6

且∣Aq,∣BQ∣,∣Cα均小于直徑長(zhǎng)4,即∣Aq+∣叫+1Cq<12,觀察選項(xiàng)，只有A取不到.

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用向量不等式，向量模長(zhǎng)之間的關(guān)系，判斷線段和的最值.

—?2τ

8.(2022秋?甘肅金昌.高一永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？计谥?如圖，在二45C中，βC=3BD'AE=-AD,

則&=(????)

10/19

A

41］一4→7→

C.-AB——ACD.——AB+-AC

99993399

【答案】B

2→—>2,→.→-

【分析】利用向量定義，CE=AE-AC=-AD-AC=^(AB+BD)-AC,最后化簡(jiǎn)為泰,公來(lái)表示向量即

可.

—>Tf2TT2TTT

【詳解】CE=AE-AC=-AD-AC=-(AB+BD)-AC

2TlT→2-2T→→

=-(ΛB+-BC)-AC=-AB+-(AC-AB)-AC

4τ7—

=-AB--AC

99

故選：B

二、多選題

9.(2022秋?吉林長(zhǎng)春?高一德惠市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖，在平行四邊形ABC。中，下列計(jì)算錯(cuò)誤

的是(???????)

A→→→RT→->T

?AB+AD=ACb?AC+CD+DO=OA

c?AB+AC+CD=ADd?AC+BA+DA=6

【答案】BC

【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和向量加法的幾何意義，計(jì)算得到AD正確；AC+CD+DO=Ab^

B錯(cuò)誤；A%+n+cb=Ab,C錯(cuò)誤.

【詳解】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和向量加法的幾何意義,

A%+A3=AN???A正確;

AC+CD^DO=AD+DO^AO'?1B錯(cuò)誤;

AB+AC+CD=AB+AD^AC''C錯(cuò)誤；

AC+BA+DA=BC+DA=O'??D止確.

故選：BC

10.(2022秋.上海寶山.高一上海交大附中?？茧A段練習(xí))設(shè)點(diǎn)。是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法

正確的有(？??？)

A.若4O=g(A8+AC),則點(diǎn)。是邊BC的中點(diǎn)

B.若AD=g(AB+AC),則點(diǎn)。是，ΛBC的重心

C.若AD=2A8-AC,則點(diǎn)。在邊BC的延長(zhǎng)線上

D.AD=xAB+yAC,且x+y=4,則ABCO是ABC面積的一半

【答案】ABD

【分析】對(duì)A,根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)即可判斷；對(duì)B,根據(jù)重心的性質(zhì)即可判斷；對(duì)C,根據(jù)向量的運(yùn)算得到

BD=CB,即可判斷；對(duì)D,根據(jù)三點(diǎn)共線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：對(duì)A,AD=∣(AB+AC),

即LA，

2222

即BD=OC,

即點(diǎn)。是邊BC的中點(diǎn)，故A正確；

對(duì)B,設(shè)BC的中點(diǎn)為M,

11?

AD=-^AB+AC^=-×2AM=-AM,

即點(diǎn)。是AfiC的重心，故B正確；

對(duì)C,AD=2AB-AC

即AD-AB=AB-AC，

即BD=CB,

即點(diǎn)。在邊CB的延長(zhǎng)線上，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,AD=xAB+yAC,且x+y=?∣,

^2AD=2xAB+2yAC,且2x+2y=l,

設(shè)4M=2Af>,

12/19

則AM=2xAB+2yAC,且2x+2y=l,

故M,民C三點(diǎn)共線，且AM=2AO，

即aBCO是，ABC面積的一半，故D正確.

故選：ABD.

三、填空題

11.(2022.高一課時(shí)練習(xí))如圖所示，中心為。的正八邊形44中，α,=AA+1(z=l,2,,7),

bj=OA.(J=l,2,,8),則生+見(jiàn)+4+4+a=.(結(jié)果用生，&表示)

【答案】?

【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算即可求得答案.

【詳解】由題圖口丁知，生+%+。2+”5+°7

=A2A,+AA+OA2+04+OA7

=(θA2+A2A3)+(OA5+A5At^+OA7

=OA3+04+(M7

=OA^÷OA6—OAy=OA6=bβ,

故答案為：bh

12.(2022秋?上海楊浦?高一?？计谥?已知IABI=4,1ACl=6,則IBCl的取值范圍是.

【答案】[2,10]

LlLUUUlKl

【分析】利用BC=AC-AB,將BC的模與AGA8聯(lián)系起來(lái)，即可得到區(qū)CI的范圍.

【詳解】BC=AC-AB，BC2=(AC-AB)2=AC2+AB2-2?AC^AB?COSΘ

=16+36-2x4x6CoSe=52-48COSe,

cos0∈[-1,1]/.52-48cos∈[4,100],

B∣J∣BC∣Ξ∈[4,100],.?.∣BC∣∈[2,10].

故答案為：[2,10]

13.(2022秋?河南安陽(yáng)?高一安陽(yáng)一中?？茧A段練習(xí))已知平面向量”,6,c,滿(mǎn)足|?|=2,∣?∣=√3,∣c∣=∣,

且R-C)?伍-c)=5,匕與“+〃夾角余弦值的最小值等于.

【答案】—

15

【解析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn)(α-c)?(6-c)=5,結(jié)合題中所給模長(zhǎng)用”力表示出門(mén)+可,即可

用“小表示出C與α+b夾角9的余弦值;利用換元法令〃z=α∕,由平面向量數(shù)量積定義及三角函數(shù)的值域，

求得，”的范圍.代入∣cos6∣≤I中求得m的取值范圍.再根據(jù)平面向量數(shù)量積定義,用m表示出與α+b夾

角余弦值,即可由m的取值范圍結(jié)合表達(dá)式的性質(zhì)得解.

【詳解】平面向“力,＜：,滿(mǎn)足卜|=2,忖=6,卜卜1,則。-=∣α∣2=4,?2=∣?∣2=3,c2=∣c∣2=1

因?yàn)?α-c)?P-C)=5

展開(kāi)化簡(jiǎn)可得a∕-c(α+b)+C-=5,

因?yàn)镃?=r=1,代入化簡(jiǎn)可得α∕-c(α+6)=4

設(shè)C與“+匕的夾角為aθe[θ,司

則由上式可得“/-＞，“+"卜°$，=4

ffi]∣tz+/?I=J(^a+b^=?∣a'+2a?h+h=+2a?b

代入上式化簡(jiǎn)可得COS。=?∕”＞14

y∣7+2a-b

令機(jī)=”?。,設(shè)α與6的夾角為α,Qe[0,句,則由平面向量數(shù)量積定義可得

m=αd=忖?忖-0(?￡=2后CoSa,而一1≤cosa≤l

JVτ?-2√3≤w≤2√3

a`b-4加一4

由余弦函數(shù)的值域可得∣cos6∣≤1,即ICOSa=≤1

√7+2α?∕??∣1+2m

14/19

2

將不等式化簡(jiǎn)可得WJ-1（）,Π+9≤0,解不等式可得l≤∕n≤9

綜上可得1≤,"≤2√5,即l≤α∕≤26

而由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可知,設(shè)α-〃與α+h夾角為夕,

?a-b?Aa-irb

則cos/?=------?------1

?a-b???a+b?yjl-2a?b??J1+2a?b

當(dāng)分母越大時(shí),cos4的值越小;當(dāng)//,的值越小時(shí),分母的值越大

所以當(dāng)αd=l時(shí)，cos#的值最小

代入可得COSβ=-/IF

√49-4×l215

所以與α+6夾角余弦值的最小值等于農(nóng)

15

故答案為：逝

15

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用,根據(jù)向量的模求得向量夾角的表示形式,三角函數(shù)值域的有

界性,由函數(shù)解析式及性質(zhì)求最值,綜合性強(qiáng),屬于難題.

四、解答題

14.（2022.高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知在平行四邊形ABC。中，E,尸分別是BC,OC邊上的中點(diǎn).

若AB="，AD=b，試以α,b為基底表示。E，BF-

【分析】根據(jù)給定的平行四邊形，結(jié)合向量加法法則及共線向量求解作答.

【詳解】在平行四邊形ABC。中，E,尸分別是BC,OC邊上的中點(diǎn)，則BE=gAQ,=

所以：DE=DA+AB+BE=-AD+AB+-AD=a--b,

22

BF=BA+AD+DF=-AB+AD+-AB=--a+h.

22

15.（2022.高一單元測(cè)試）如圖，。為;ΛBC內(nèi)一點(diǎn)，OA=a，OB=b,OC=C.求作:

A

/?

BC

⑴匕+c-a；

Q)a-b-c.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

⑵答案見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)向量加法、減法的幾何意義畫(huà)出圖象.

(2)根據(jù)向量加法、減法的幾何意義畫(huà)出圖象.

(1)

設(shè)。是BC的中點(diǎn)，連接。。并延長(zhǎng)，使OD=O

b+c-a=OE—OA=AE.

(2)

a-b-c=a-(b+c)=OA-OE=EA?

16/19

A

16.(2022.全國(guó).高一專(zhuān)題練習(xí))己知∣∕?∣=2,∣AZ-A3∣=1?求IA"∣的最大值和最小值?

【答案】最大值是3,最小值是1.

【分析】根據(jù)IAZI=IAB+(AC-AB)∣≤∣ΛB∣+∣AC-A?|得到最大值，

IAC∣=∣AB+(AC-AB)∣≥∣ΛB∣-∣AC-AB\得到最小值,

【詳解】因?yàn)镮al=2，I啟-贏|=1，

所以∣∕∏7∣=∣A?+G?-A?)∣≤∣A?∣+∣AZ-∕?∣=3,當(dāng)且僅當(dāng)Ah與A"-A?,即A%與的方向相同時(shí)取

等號(hào).

?AC?=?AB+(AC-AB)∣≥∣AB∣-∣AC-ΛB∣=1＞當(dāng)且僅當(dāng)Λ?與AZ-A?，即7?與晶的方向相反時(shí)取等號(hào).

所以I/I的最大值是3,最小值是1?

UUtlUUUl

17.(2022?高一課時(shí)練習(xí))已知點(diǎn)G是ΛBC的重心，點(diǎn)。在邊AC上，AD=IDC

(1)用AB和AC表示4G;

(2)用AB和AC表示。G.

【答案】(1)AG=-(AB+AC);(2)DG=^AB-ACy

1/?UUDI2UUH

【分析】(1)設(shè)BC的中點(diǎn)為E,可得出AE=∕(A8+AC),利用重心性質(zhì)得出AG=]4E,由此可得結(jié)

果；

,UUUUUU,1.二2,二.,UUUUUIUUUUI一，1,,?E

(2)由AO=2DC,得出AO=]AC,再由。G=AG-4。，即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)設(shè)BC的中點(diǎn)為E,則AE=g(AB+AC),

G為ΛBC的重心，可知重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2:1,

UIHn2UUD2]/UUIIUUSI?1/UI?UUU?