高中數(shù)學(xué)北師大版練習(xí)第七章2第2課時互斥事件的概率

第2課時互斥事件的概率水平11．若A與B為互斥事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B).()2．若A與B為互斥事件，則P(A)＝1－P(B).()3．若A與B為對立事件，則P(A)＝1－P(B).()4．若事件A，B，C互斥，則P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C).()5．若P(A)＋P(B)≠P(A∪B)，則事件A與事件B不互斥．()【解析】1.√.2．提示：×.因為P(A∪B)不一定等于1.3．√.4．√.5．√.·題組一“有放回”與“無放回”抽取問題1．從分別寫有A，B，C，D，E的5張卡片中任取2張，這2張卡片上的字母按字母順序恰好是相鄰的概率為()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,10) D．eq\f(7,10)【解析】選B.試驗的樣本空間Ω＝{AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE}，共有10個樣本點，其中事件“這2張卡片上的字母按字母順序恰好是相鄰的”包含4個樣本點，故所求的概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).2．一個盒子里裝有完全相同的10個小球，分別標(biāo)上1，2，3，…，10這十個數(shù)字，隨機抽取2個小球，如果小球是有放回地抽取，則2個小球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率為________．【解析】如果小球是有放回地抽取，按抽取順序記錄結(jié)果為(x，y)，那么x有10種可能，y也有10種可能．故共有樣本點10×10＝100個，由于盒子里的10個小球完全相同，因此可認為這100個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，從而可以用古典概型的概率公式計算概率．設(shè)事件A表示“2個小球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)”，則A＝{(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)，(2，1)，(3，2)，(4，3)，(5，4)，(6，5)，(7，6)，(8，7)，(9，8)，(10，9)}共有18個樣本點，所以P(A)＝eq\f(18,100)＝eq\f(9,50).答案：eq\f(9,50)3．一個盒子里裝有完全相同的10個小球，分別標(biāo)上1，2，3，…，10這十個數(shù)字，隨機抽取2個小球，如果小球是無放回地抽取，則2個小球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率為________．【解析】如果小球是無放回地抽取，按抽取順序記錄結(jié)果為(x，y)，那么x有10種可能，y有9種可能，故共有樣本點10×9＝90個，由于盒子里的10個小球完全相同，因此可認為這90個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，從而可以用古典概型的概率公式計算概率．設(shè)事件B表示“2個小球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)”，則B＝{(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)，(2，1)，(3，2)，(4，3)，(5，4)，(6，5)，(7，6)，(8，7)，(9，8)，(10，9)}共有18個樣本點，所以P(B)＝eq\f(18,90)＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)·題組二利用概率的基本性質(zhì)求概率1．某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，在正常生產(chǎn)情況下，出現(xiàn)乙級品和丙級品的概率分別是5%和3%，則抽檢一件是正品(甲級品)的概率為()A．0.95B．0.97C．0.92D．0.08【解析】選C.記抽檢的產(chǎn)品是甲級品為事件A，是乙級品為事件B，是丙級品為事件C，這三個事件彼此互斥，因而所求概率為P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.2．口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是()A．0.42 B．0.28C．0.3 D．0.7【解析】選C.因為摸出黑球是摸出紅球或摸出白球的對立事件，所以摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3.3．甲、乙兩名乒乓球運動員在一場比賽中甲獲勝的概率是0.2，沒有平局，那么乙獲勝的概率為()A．0.2 B．0.8C．0.4 D．0.1【解析】選B.乙獲勝的概率為1－0.2＝0.8.4．如圖所示，靶子由一個中心圓面Ⅰ和兩個同心圓環(huán)Ⅱ、Ⅲ構(gòu)成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分別為0.35、0.30、0.25，則不命中靶的概率是________．【解析】“射手命中圓面Ⅰ”為事件A，“命中圓環(huán)Ⅱ”為事件B，“命中圓環(huán)Ⅲ”為事件C，“不中靶”為事件D，則A、B、C彼此互斥，故射手中靶的概率為P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.因為中靶和不中靶是對立事件，故不命中靶的概率為P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10.答案：0.105．中國乒乓球隊中的甲、乙兩名隊員參加奧運會乒乓球女子單打比賽，甲奪得冠軍的概率為eq\f(3,7)，乙奪得冠軍的概率為eq\f(1,4)，那么中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為________．【解析】由于事件“中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍”包括事件“甲奪得冠軍”和“乙奪得冠軍”，但這兩個事件不可能同時發(fā)生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式進行計算，即中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為eq\f(3,7)＋eq\f(1,4)＝eq\f(19,28).答案：eq\f(19,28)6．已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為eq\f(1,2)和eq\f(1,3).假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為________；甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為________．【解析】甲、乙兩球落入盒子的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，且兩球是否落入盒子互不影響，所以甲、乙都落入盒子的概率為eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，甲、乙兩球都不落入盒子的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(1,3)，所以甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為eq\f(2,3).答案：eq\f(1,6)eq\f(2,3)7．某工廠生產(chǎn)了一批節(jié)能燈泡，這批產(chǎn)品中按質(zhì)量分為一等品、二等品、三等品．從這批產(chǎn)品中隨機抽取一件產(chǎn)品檢測，已知抽到一等品或二等品的概率為0.86，抽到二等品或三等品的概率為0.35，則抽到二等品的概率為________.【解析】設(shè)抽到一等品、二等品、三等品的事件分別為A，B，C.則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（A）＋P（B）＝0.86，,P（B）＋P（C）＝0.35，,P（A）＋P（B）＋P（C）＝1，))解得P(B)＝0.21.答案：0.21易錯點一搞錯題中所研究的對象有1號、2號、3號三個信箱和A，B，C，D四封信，若4封信可以任意投入信箱，投完為止，其中A信恰好投入1號或2號信箱的概率是________．【解析】由于每封信可以任意投入信箱，對于A信，投入各個信箱的可能性是相等的，一共有3種不同的結(jié)果．投入1號信箱或2號信箱有2種結(jié)果，故A信恰好投入1號或2號信箱的概率為eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)【易錯誤區(qū)】應(yīng)該考慮A信投入各個信箱的概率，而錯解考慮成了4封信投入某一信箱的概率．易錯點二忽略概率加法公式的應(yīng)用前提致錯擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的一面出現(xiàn)1點，2點，3點，4點，5點，6點的概率都是eq\f(1,6)，記事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件B為“向上的點數(shù)超過3”，則P(A∪B)＝________.【解析】滿足條件為出現(xiàn)1，3，5與出現(xiàn)4，5，6的和事件．共5種可能，故為eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)【易錯誤區(qū)】概率加法公式使用的前提是事件互斥，本題“出現(xiàn)奇數(shù)點”和“向上的點數(shù)超過3”存在同時發(fā)生的子事件．水平1、2限時30分鐘分值50分戰(zhàn)報得分______一、選擇題(每小題5分，共25分)1．拋擲一個質(zhì)地均勻的骰子的試驗，事件A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事件B表示“小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗中，事件A＋eq\x\to(B)發(fā)生的概率為()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．eq\f(5,6)【解析】選C.擲一個質(zhì)地均勻的骰子的試驗有6種可能結(jié)果，依題意P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，所以P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，因為eq\x\to(B)表示“出現(xiàn)5點或6點”的事件，所以事件A與eq\x\to(B)互斥，從而P(A＋eq\x\to(B))＝P(A)＋P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).2.洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上有此圖象，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四隅黑點為陰數(shù)，其各行各列及對角線點數(shù)之和皆為15.如圖，若從4個陰數(shù)中隨機抽取2個數(shù)，則能使這兩數(shù)與居中陽數(shù)之和等于15的概率是()A．eq\f(1,2)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,3)【解析】選D.陰數(shù)中隨機抽取2個數(shù)，共有6種取法，其中滿足題意的取法有兩種：4，6和2，8，所以能使這2個數(shù)與居中陽數(shù)之和等于15的概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).3．現(xiàn)有5人參加抽獎活動，每人依次從裝有5張獎票(其中3張為中獎票)的箱子中不放回地隨機抽取一張，直到3張中獎票都被抽出時活動結(jié)束，則活動恰好在第4人抽完結(jié)束的概率為()A．eq\f(1,10)B．eq\f(1,5)C．eq\f(3,10)D．eq\f(2,5)【解析】選C.將5張獎票不放回地依次取出共有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＝120(種)不同的取法，若活動恰好在第四次抽獎結(jié)束，則前三次共抽到2張中獎票，第四次抽到最后一張中獎票，共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝36(種)取法，所以P＝eq\f(36,120)＝eq\f(3,10).4．(多選題)某展會安排了分別標(biāo)有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能地隨機順序前往酒店接嘉賓．某嘉賓突發(fā)奇想，設(shè)計了兩種乘車方案．方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車．記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1，P2，則()A．P1·P2＝eq\f(1,6)B．P1＝P2＝eq\f(1,2)C．P1＋P2＝eq\f(5,6)D．P1＞P2【解析】選ACD.三輛車的出車順序可能為123，132，213，231，312，321，共6種．方案一坐到“3號”車可能為132，213，231，共3種，所以P1＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)；方案二坐到“3號”車可能為312，321，共2種，所以P2＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).所以P1＞P2，P1·P2＝eq\f(1,6)，P1＋P2＝eq\f(5,6)，故選A，C，D.5．甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若a＝b或a＝b－1，就稱甲、乙“心有靈犀”，現(xiàn)在任意找兩人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為()A．eq\f(7,36)B．eq\f(1,4)C．eq\f(11,36)D．eq\f(5,12)【解析】選C.由于甲、乙各記一個數(shù)，則基本事件總數(shù)為6×6＝36個，而滿足a＝b或a＝b－1的共有(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)，(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，共11個．所以概率P＝eq\f(11,36).二、填空題(每小題5分，共15分)6．從1－9這9個數(shù)字中任取一個數(shù)字a，滿足log2a2≥4的概率為________．【解析】由log2a2≥4得a2≥16，解得a≥4或a≤－4，則符合題意的a是4，5，6，7，8，9，共有6種情況，而所有情況有9種，故所求概率為eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)7．甲、乙兩間醫(yī)院各有3名醫(yī)生報名參加研討會，其中甲醫(yī)院有2男1女，乙醫(yī)院有1男2女，若從甲醫(yī)院和乙醫(yī)院報名的醫(yī)生中各任選1名，則選出的2名醫(yī)生性別不相同的概率是________．【解析】記甲醫(yī)院2男1女為A，B，0；乙醫(yī)院1男2女為C，1，2，從甲醫(yī)院和乙醫(yī)院報名的醫(yī)生中各任選1名：(A，C)，(A，1)，(A，2)，(B，C)，(B，1)，(B，2)，(0，B)，(0，1)，(0.2)共有9種，所以選出的2名醫(yī)生性別不相同有(A，1)，(A，2)，(B，1)，(B，2)，(0，B)，共5種，選出的2名醫(yī)生性別不相同的概率P＝eq\f(5,9).答案：eq\f(5,9)8．2021年廣東新高考將實行3＋1＋2模式，即語文、數(shù)學(xué)、英語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共有12種選課模式．今年高一的小明與小芳都準備選歷史，假若他們都對后面四科沒有偏好，則他們選課相同的概率為________．【解析】由題意，從政治、地理、化學(xué)、生物中四選二，共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝6(種)方法，所以他們選課相同的概率為