重難點(diǎn)15導(dǎo)數(shù)在不等式恒成立及存在問題中的應(yīng)用（3種考法）原卷版

重難點(diǎn)15導(dǎo)數(shù)在不等式、恒成立及存在問題中的應(yīng)用（3種考法）【目錄】考法1：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式考法2：不等式恒成立與存在性問題考法3：利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題題型方法考法1：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式題型方法一、解答題1．（2023·上?！つM預(yù)測(cè)）令，取點(diǎn)過其曲線做切線交y軸于，取點(diǎn)過其做切線交y軸于，若則停止，以此類推，得到數(shù)列．(1)若正整數(shù)，證明；(2)若正整數(shù)，試比較與大??；(3)若正整數(shù)，是否存在k使得依次成等差數(shù)列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，試說明理由．2．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考三模）已知實(shí)數(shù)，，．(1)求；(2)若對(duì)一切成立，求的最小值；(3)證明：當(dāng)正整數(shù)時(shí)，．3．（2023·上海虹口·上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知.(1)求函數(shù)的極小值；(2)當(dāng)時(shí)，求證:；(3)設(shè)，記函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，當(dāng)最小時(shí)，求a的值.4．（2023·上海普陀·曹楊二中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若是定義域上的嚴(yán)格增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)若，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)設(shè)、是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．5．（2023·上海嘉定·統(tǒng)考一模）已知，(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并證明：函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)（常數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底）；(2)根據(jù)（1），判斷并證明與的大小關(guān)系，并請(qǐng)推廣至一般的結(jié)論（無須證明）；(3)已知、是正整數(shù)，，，求證：是滿足條件的唯一一組值.6．（2023·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）；(1)若；①求曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線方程；②求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間和極小值；(2)若對(duì)任意，函數(shù)在區(qū)間（a，b]上均無最小值，且對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)，都有，求證：當(dāng)時(shí)，；考法2：不等式恒成立與存在性問題一、解答題1．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)，.(1)求方程的實(shí)數(shù)解；(2)若不等式對(duì)于一切都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)f(x)＝－2alnx－，g(x)＝ax－(2a＋1)lnx－，其中a∈R.(1)若x＝2是函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；(2)當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若存在x[，e2]（e為自然對(duì)數(shù)的底），使得不等式f(x)g(x)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．3．（2023·上海普陀·曹楊二中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求證：；(2)若，試比較與的大?。?3)若，問是否恒成立？若恒成立，求的取值范圍；若不恒成立，請(qǐng)說明理由.4．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù).(1)，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，且不等式對(duì)任意恒成立，求的取值范圍；(3)設(shè)，試?yán)媒Y(jié)論，證明：若，其中，則.5．（2023·上海虹口·華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)（?）．(1)當(dāng)a=2，b=0時(shí)，求函數(shù)圖象過點(diǎn)的切線方程；(2)當(dāng)b=1時(shí)，既存在極大值，又存在極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)當(dāng)，b=1時(shí)，分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．6．（2023·上?！とA師大二附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知.記，其中常數(shù)m，.(1)證明：對(duì)任意m，，曲線過定點(diǎn)；(2)證明：對(duì)任意s，，；(3)若對(duì)一切和一切使得的函數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.7．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)校考二模）已知關(guān)于的函數(shù)，與在區(qū)間上恒有，則稱滿足性質(zhì).(1)若，，，，判斷是否滿足性質(zhì)，并說明理由；(2)若，，且，求的值并說明理由；(3)若，，，，試證：是滿足性質(zhì)的必要條件.8．（2023·上海長(zhǎng)寧·上海市延安中學(xué)?？既＃┮阎?(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，曲線在相異的兩點(diǎn)點(diǎn)處的切線分別為和和的交點(diǎn)位于直線上，證明：兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和小于4；(3)當(dāng)時(shí)，如果對(duì)于任意，總存在以為三邊長(zhǎng)的三角形，求的取值范圍.9．（2023·上海寶山·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)函數(shù)，①若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并寫出函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍；②當(dāng)時(shí)，分別為函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，且不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.10．（2023·上海普陀·曹楊二中?？既＃┮阎瘮?shù)，.(1)若存在極值，求的取值范圍；(2)若，求的值；(3)對(duì)于任意正整數(shù)，是否存在整數(shù)，使得不等式成立？若存在，請(qǐng)求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.11．（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)是定義域均為的三個(gè)函數(shù).是的一個(gè)子集.若對(duì)任意，點(diǎn)與點(diǎn)都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則稱是關(guān)于的“對(duì)稱函數(shù)”.(1)若和是關(guān)于的“對(duì)稱函數(shù)”，求；(2)已知是關(guān)于的“對(duì)稱函數(shù)”.且對(duì)任意，存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)證明：對(duì)任意，存在唯一的，使得和是關(guān)于的“對(duì)稱函數(shù)”.考法3：利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題一、解答題1．（2023上·上海長(zhǎng)寧·高三上海市延安中學(xué)校考期中）已知A是直線和曲線的一個(gè)公共點(diǎn).(1)若直線與曲線相切于點(diǎn)A，求的值；(2)設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，當(dāng)在區(qū)間上變化時(shí)，求的最大值；(3)若直線與曲線另有一個(gè)不同于A的公共點(diǎn)，求證：線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于1.2．（2023下·上海浦東新·高二?？计谀┮阎瘮?shù).(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)若有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若有兩個(gè)相異零點(diǎn)，，求證：.3．（2023·上海虹口·統(tǒng)考一模）設(shè)，已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)對(duì)于函數(shù)的極值點(diǎn)，存在，使得，試問對(duì)任意的正數(shù)，是否為定值?若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由；(3)若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為40，試求的取值集合．4．（2023·上海松江·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的極值點(diǎn)；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若函數(shù)有三個(gè)不同的極值點(diǎn)、、，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.5．（2022上·上海普陀·高二校考階段練習(xí)）給出下列兩個(gè)定義：Ⅰ.對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)?，且其在上是可?dǎo)的，其導(dǎo)函數(shù)定義域也為，則稱該函數(shù)是“同定義函數(shù)”.Ⅱ.對(duì)于一個(gè)“同定義函數(shù)”，若有以下性質(zhì)：①；②，其中，為兩個(gè)新的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù).我們將具有其中一個(gè)性質(zhì)的函數(shù)稱之為“單向?qū)Ш瘮?shù)”，將兩個(gè)性質(zhì)都具有的函數(shù)稱之為“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，將稱之為“自導(dǎo)函數(shù)”.(1)判斷下列兩個(gè)函數(shù)是“單向?qū)Ш瘮?shù)”，或者“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，說明理由.如果具有性質(zhì)①，則寫出其對(duì)應(yīng)的“自導(dǎo)函數(shù)”.Ⅰ.；Ⅱ..(2)給出兩個(gè)命題，，判斷命題是的什么條件，證明你的結(jié)論.：是“雙向?qū)Ш瘮?shù)”且其“自導(dǎo)函數(shù)”為常值函數(shù)，：.(3)已知函數(shù).①若的“自導(dǎo)函數(shù)”是，試求的取值范圍.②若，且定義，若對(duì)任意，，不等式恒成立，求的取值范圍.6．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）