線性代數(shù)課件

線性代數(shù)

歷史上,行列式因線性方程組的求解而提出

G.W.Leibniz[德](1646.7.1~1716.11.14)

S.Takakazu[日]

(1642~1708.10.24)

第1章行列式（Determinant）1.1二階與三階行列式

考慮用消元法解二元一次方程組

(a11a22-a12a21)x2=a11b2-b1a21

(a11a22-a12a21)x1=b1a22-a12b2第1節(jié)行列式的概念用a22和a12分別乘以兩個(gè)方程的兩端，然后兩個(gè)方程相減，消去x2得

同理，消去x1得二階行列式

當(dāng)時(shí)，方程組的解為當(dāng)時(shí)，方程組的解為為便于敘述和記憶，

引入符號(hào)D=D1=稱D為二階行列式.按照二階行列式定義可得D2=于是，當(dāng)D≠0時(shí)，方程組的解為j=1,2,3.類似引入符號(hào)，其中D1,

D2,D3分別為將D的第1、2、3列換為常數(shù)項(xiàng)后得到的行列式.三階行列式

求解三元方程組稱D為三階行列式.25431是一個(gè)5級(jí)排列.如，3421是4級(jí)排列；例1．寫出所有的3級(jí)全排列.

解：所有的3級(jí)排列為：321.312，231，213，132，123，1.2排列定義：n個(gè)自然數(shù)1,2,…,n按一定的次序排成的一個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的有序數(shù)組稱為一個(gè)n級(jí)排列，記為i1i2…in.顯然，n級(jí)排列共有個(gè)n!.其中，排列12…n稱為自然排列.342

1逆序數(shù)的計(jì)算方法(向前看法)43

21從而得τ(3421)=5.5逆序及逆序數(shù)定義在一個(gè)n級(jí)排列i1i2

in中，若一個(gè)較大的數(shù)排在一個(gè)較小數(shù)的前面，則稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序.一個(gè)排列中逆序的總數(shù)，稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為τ(i1i2

in).奇排列與偶排列逆序數(shù)是奇數(shù)的排列，稱為奇排列.逆序數(shù)是偶數(shù)或0的排列，稱為偶排列.

如3421是奇排列，1234是偶排列，因?yàn)棣?3421)=5.因?yàn)棣?1234)=0.逆序及逆序數(shù)定義在一個(gè)n級(jí)排列i1i2

in中，若一個(gè)較大的數(shù)排在一個(gè)較小數(shù)的前面，則稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序.一個(gè)排列中逆序的總數(shù)，稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為τ(i1i2

in).定義符號(hào)稱為n階行列式，它表示代數(shù)和

其中和式中的排列j1

j2

jn要取遍所有n級(jí)排列.元素aij列標(biāo)行標(biāo)1.3

n階行列式n階行列式定義a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

(3)n階行列式共有n!項(xiàng).

(-1)τ(j1

j2

jn).之前的符號(hào)是n個(gè)元素的乘積.(1)在行列式中,項(xiàng)是取自不同行不同列的行列式有時(shí)簡(jiǎn)記為|a

ij|.一階行列式|a|就是a.

=說(shuō)明：(2)項(xiàng)以三階行列式為例

每一項(xiàng)都是三個(gè)元素的乘積.每一項(xiàng)的三個(gè)元素都位于不同的行和列.行列式的6項(xiàng)恰好對(duì)應(yīng)于1,2,3的6種排列.各項(xiàng)符號(hào)與對(duì)應(yīng)的列標(biāo)的排列的奇偶性有關(guān).a11a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33=a11

a22

a33+a12

a23

a31+a13

a21

a32

a11

a23

a32

a12

a21

a33

a13

a22

a31

.a11a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33j1

j2

j3的逆序數(shù)對(duì)所有不同的三級(jí)排列j1

j2

j3求和

寫出三階行列式的一般形式a14a23a31a44a14a23a31a44

a14a23a31a42

a14a23a31a42再如，四階行列式a11a21a31a41

a12a22a32a42

a13a23a33a43

a14a24a34a44

(-1)τ(4312)

a14a23a31a42為行列式中的一項(xiàng).

表示的代數(shù)和中有4!=24項(xiàng).a14a23a31a42取自不同行不同列,

的列標(biāo)排列為4312不是行列式中的一項(xiàng).中有兩個(gè)取自第四列的元素，所以它(為奇排列)，D=行列式計(jì)算解：根據(jù)行列式定義例1．計(jì)算2

階行列式D=注：3階行列式的計(jì)算類似，略.例2．計(jì)算n階下三角形行列式D的值其中aii

0(i=1,2,

,n).D=a11a21a31…an1

0a22a32…an2

00a33…an3

000…ann

……………

解：為使取自不同行不同列的元素的乘積不為零，D=(-1)τ(12

n)a11a22a33

ann第一行只能取a11，第三行只能取a33，第二行只能取a22，第n行只能取ann.

，

這樣不為零的乘積項(xiàng)只有a11a22a33

ann，所以=a11a22a33

ann.例3．計(jì)算n階行列式D的值D=00…0bn………bn-1*00…**b1*…**

0b2…**解：為使取自不同行不同列的元素的乘積不為零，D=(-1)τ(nn-121)b1b2b3

bn第一行只能取b1，第n-1行只能第二行只能取b2，第n行只能取bn.

，

這樣不為零的乘積項(xiàng)只有b1b2b3

bn，所以取bn-1，下三角形行列式的值：a11a21a31…an1

0a22a32…an2

00a33…an3

000…ann

……………

=a11a22a33

ann.上三角形行列式的值：a1100…0a12a220…0a13a23a33…0a1na2na3n…ann

……………

=a11a22a33

ann.對(duì)角形行列式的值：a1100…00a220…0

00a33…0

000…ann

……………

=a11a22a33

ann.結(jié)論：2.1向量的概念與運(yùn)算

定義1

n個(gè)數(shù)a1,a2,

,an組成的有序數(shù)組(a1,a2,

,an)，稱為n維向量,記為a,其中ai(i=1,2,…,n)叫做向量的第i個(gè)分量.

a=(a1,a2,

,an)，a1a2an

.

a=寫成列的形式，稱為列向量，記為n維向量寫成行的形式,稱為行向量，記為1.1向量的概念

(-a1,-a2,

,-an)T，為向量a的負(fù)向量，記作-a.稱向量

(0,0,

,0)T為零向量，記作o.稱向量如果向量a=(a1,a2,

,an)T與向量b=(b1,b2,

,bn)T都是n維向量，且對(duì)應(yīng)的分量都相等，則稱它們相等，記作a＝b.a1a2an

.

a=本教材約定向量的形式為列向量，即向量滿足以下8條運(yùn)算規(guī)律(設(shè)a、b、g都是n維向量，k、l為實(shí)數(shù)):

(1)a+b=b+a(2)a+(b+g)=(a+b)+g(3)a+o=a

(4)a+(-a)=o(5)(k+l)a=ka+la(6)k(a+b)=ka+kb(7)(kl)a=

k(la)(8)1

a=a1.2向量的運(yùn)算定義2

設(shè)

,則(1)

(2)

k為常數(shù).1.向量的加法2.向量的數(shù)乘3.向量的減法設(shè)a、b都是n維向量，利用負(fù)向量可定義向量的減法為:

a-b,即對(duì)應(yīng)分量相減.=a+(-b)例1．設(shè)解：定義3

設(shè)a=(a1,a2,

,an

)T與b=(b1,b2,

,bn

)T是兩個(gè)n維向量，則實(shí)數(shù)稱為向量a和b的內(nèi)積，記為(a,b)，或aTb.4.向量的內(nèi)積

例如，設(shè)a=(-1,1,0,2)T，b=(2,0,-1,3)T,則a與b的內(nèi)積為(a,b)=(-1)

2+1

0+0

(-1)+2

3=4.內(nèi)積的性質(zhì)

設(shè)a，b，g為Rn中的任意向量，k為常數(shù).(1)

(a,b

)=(b,a

)

；

(2)(ka,b

)=k(a,b

)

；

(3)(a+b,g

)=(a,g

)+(b,

g

)

；

(4)

(a,a

)

0，當(dāng)且僅當(dāng)a=o時(shí)，有(a,a

)

=0.5.向量的長(zhǎng)度定義4

對(duì)于向量a=(a1,a2,

,an

)T，其長(zhǎng)度(或模)為

例如，向量a=(-3,4)T的長(zhǎng)度為向量長(zhǎng)度的性質(zhì)（了解）

(1)||a||

0，當(dāng)且僅當(dāng)a=o時(shí)，有||a||=0；

(2)||ka||=|k|

||a||(k為實(shí)數(shù))；

(3)三角不等式:||a+b

||≤||a||＋||b||；

(4)對(duì)任意非零向量a，b，有|(a,b)|

||a||

||b||.

長(zhǎng)度為1的向量稱為單位向量.

向量的單位化（標(biāo)準(zhǔn)化）例4．n維單位向量組e1，e2，

，en，是兩兩正交的：(ei,ej)=0(i

j).

例3．零向量與任意向量的內(nèi)積為零，因此零向量與任意向量正交.6.正交向量組定義5

如果向量a與b為非零向量，它們的夾角θ定義為：

若(a,b)=0，則稱向量a與b互相正交(垂直),

.其中

aij稱為矩陣的第

i行第

j列的元素.

一般情況下，我們用大寫字母

A，B，C等表示矩陣.m

n矩陣A簡(jiǎn)記為

A

(aij)m

n

或記作

Am

n.a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amn定義1

由

m

n個(gè)數(shù)

aij(i

1,2,

,m；j

1,2,

,n)排成一個(gè)

m行

n列的矩形表稱為一個(gè)

m

n矩陣，記作什么是矩陣？黑客帝國(guó)3Thematrixrevolution機(jī)器帝國(guó)集結(jié)了烏賊大軍攻打真實(shí)世界僅存的人類城市－錫安城，錫安城內(nèi)的人類拼死抵抗，但最后仍是兵敗如山倒；另一方面，電腦人史密斯進(jìn)化成為更高等的電腦病毒，幾乎占領(lǐng)了整個(gè)矩陣（Matrix），甚至包括了“矩陣之母”－先知。經(jīng)過(guò)與先知密談的救世主尼奧進(jìn)入機(jī)器城市，與矩陣的造物主達(dá)成停戰(zhàn)協(xié)議。代價(jià)是尼奧必須進(jìn)入矩陣，刪除叛逃異變的強(qiáng)大病毒—史密斯。零矩陣

所有元素均為0的矩陣稱為零矩陣，記為O.行矩陣與列矩陣

只有一行的矩陣稱為行矩陣，只有一列的矩陣稱為列矩陣.常用小寫黑體字母

a，b，x，y等表示.例如a=(a1

a2

an)，b1b2

bm

b=.負(fù)矩陣-a11

-a12

-a1n

-a21

-a22

-a2n-am1

-am2

-amn稱矩陣為A的負(fù)矩陣,記作–A.b11b21

bn10b22

bn2

00

bnnB=.A=.a11a12

a1n

0a22

a2n

00

ann

如下形式的

n

階矩陣稱為上三角矩陣.三角矩陣

如下形式的

n

階矩陣稱為下三角矩陣.方陣

若矩陣

A的行數(shù)與列數(shù)都等于

n，則稱

A為

n階矩陣，或稱為

n階方陣.a110

00a22

0

00

annA=.對(duì)角矩陣

如下形式的n

階矩陣稱為對(duì)角矩陣.

對(duì)角矩陣可簡(jiǎn)單地記為A=diag(a11,a22,

,ann).

單位矩陣(Identitymatrix)

如下形式的n

階矩陣稱為單位矩陣，記為En

或E.10

001

0

00

1E=.2.2矩陣的運(yùn)算定義1

設(shè)A與B為兩個(gè)m

n矩陣A

Ba11+b11

a12+b12

a1n+b1n

a21+b21

a22+b22

a2n+b2nam1+bm1

am2+bm2

amn+bmn=.a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnA=，b11

b12

b1n

b21

b22

b2nbm1bm2

bmnB=，

A與B對(duì)應(yīng)位置元素相加得到的m

n矩陣稱為矩陣A與B的和，記為A

B.即C=A+B.1.矩陣的加法

設(shè)A,B,C都是m

n矩陣.容易證明，矩陣的加法滿足如下運(yùn)算規(guī)律：

（1）交換律：

A+B=B+A;（2）結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C);

（3）A+O=A，其中O是與A同型的零矩陣;

矩陣的減法可定義為:

顯然：若A=B，則A+C=B+C，A-C=B-C；若A+C=B+C，則A=B.（4）A+(-A)=O，其中O是與A同型的零矩陣.

a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnA=，

定義2

設(shè)A

(aij)為m

n矩陣則以數(shù)k乘矩陣A的每一個(gè)元素所得到的m

n矩陣稱為數(shù)k與矩陣A的積，記為kA.即ka11

ka12

ka1n

ka21

ka22

ka2n

kam1

kam2

kamnkA=.2.數(shù)與矩陣的乘法(5)

k(A

B)

kA

kB；(6)(k

l)A

kA

lA

；(7)(kl)A

k(lA)；(8)1

A=A.

設(shè)A，B，C，O都是m

n矩陣，k，l為常數(shù)，則矩陣數(shù)乘的性質(zhì)性質(zhì)(1)-(8)，稱為矩陣線性運(yùn)算的8條性質(zhì)，須熟記.

例1．設(shè)357

22043012

3A=

，132

02157064

8B=

，求3A-2B.

解：3A-2B

357

22043012

3=3132

02157064

8-2264

04210140128

16-91521

66012

9036

9

=.7917

62-22

-50-9-2

-7=9-215-621-4

6-06-40-212-10

9-140-03-126-8

9-16

=X

=?*(B-A)例2．已知357

22043012

3A=

，132

02157064

8B=

，且A+2X=B，求X.解：某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000=1800020

200+50

100+30

150+25

1803.矩陣的乘法

某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.1800018150=1815020

180+50

120+30

160+25

1503.矩陣的乘法

某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.180001815016750=1675020

190+50

100+30

140+25

1503.矩陣的乘法

某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000181501675010480=1048016

200+20

100+16

150+16

1803.矩陣的乘法

某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.1800018150167501048010240=1024016

180+20

120+16

160+16

1503.矩陣的乘法

某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000181501675010480102409680=968016

190+20

100+16

140+16

1503.矩陣的乘法

定義3

設(shè)A是一個(gè)m

s矩陣，B是一個(gè)s

n矩陣：構(gòu)成的m

n矩陣C稱為矩陣A與矩陣B的積，記為C

AB.

則由元素

cij

ai1b1j

ai2b2j

aisbsj(i

1,2,

,m；j

1,2,

,n)

a11

a12

a1s

a21

a22

a2sam1

am2

amsA=，b11

b12

b1n

b21

b22

b2nbs1

bs2

bsnB=，c11

c12

c1n

c21

c22

c2ncm1

cm2

cmnAB=.即3.矩陣的乘法

cij

ai1b1j

ai2b2j

aisbsj(i

1,2,

,m；j

1,2,

,n).

a11

a12

a1s

a21

a22

a2sam1

am2

amsb11

b12

b1n

b21

b22

b2nbs1

bs2

bsnc11

c12

c1n

c21

c22

c2ncm1

cm2

cmn=

ai1b1j

ai2b2j

aisbsj.(ai1

ai2

ais

)b1jb2j

bsj

注：

A的列數(shù)等于B的行數(shù)，AB才有意義;

C的行數(shù)等于A的行數(shù)，列數(shù)等于B的列數(shù).

因此，cij

可表示為A的第i行與B的第

j列的乘積.cij

3.矩陣的乘法

矩陣乘法AB

：1.條件：前列=后行

2.結(jié)果：前行×后列

反例．設(shè)B=.

1-2-32-10A=

，010

-112151-2-32-10則AB=

010

-11215=無(wú)意義.m×

kk×

n相等m×nB=，求AB及BA.

A=

，

例3．設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78（1）先行后列法B=，求AB及BA.

A=

，

例3．設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-3（1）先行后列法B=，求AB及BA.

A=

，

例3．設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35（1）先行后列法B=，求AB及BA.

A=

，

例3．設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==5-38（2）先列后行法B=，求AB及BA.

A=

，

例3．設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==5-38-70-7（2）先列后行法B=，求AB及BA.

A=

，

例3．設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==5-38-70-7-6-9-3（2）先列后行法B=，求AB及BA.

A=

，

例3．設(shè)231-2311-2-32-10231-2311-2-32-10BA==4-983解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35；通常采用：先行后列法

例6．設(shè)A=

，4-2-21B=

，求AB及BA.

4

2-6-3AB=4-2-214

2-6-3解：-32

-16168=BA=4-2-214

2-6-30

000=B=，求AB及BA.

A=

，

例3．設(shè)231-2311-2-32-10解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.

例4．設(shè)A=

，4-2-21B=

，求AB及BA.

4

2-6-3AB=解：-32

-16168，BA=0

000B=，求AB及BA.

A=

，

例3．設(shè)231-2311-2-32-10解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.注2：矩陣乘法一般不滿足交換律，即AB

BA;注3：兩個(gè)非零矩陣相乘，乘積可能是零矩陣，但不能從AB=O，推出A=O或B=O

.注意：左乘右乘的不同1110

例5．設(shè)A=

，B=

，求AB及BA.

2110

解：11102110AB=3110=21101110BA=3110=顯然AB=BA

.定義：如果兩矩陣A與B相乘，有AB=BA，則稱矩陣A與矩陣B可交換.顯然AC=BC，但A

B.

例6．設(shè)注4：矩陣乘法不滿足消去律.例8.100000001設(shè)A=則AA=100000001100000001100000001==A.顯然AA=A，但A

E，A

O

.

例7．

對(duì)于任意矩陣A及相應(yīng)的矩陣O，E，有AO=O，

OA=O；AE=A，

EA=A，EE=E.a11x1+a12x2+…+a1nxn

=

b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…as1x1+as2x2+…+asnxn=bsb=b1

b2

…bs

a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………as1

as2…asnA=Ax=b

x=x1

x2

…xn

例9.

線性方程組的矩陣表示（矩陣方程）應(yīng)注意的問(wèn)題(1)AB

BA

；(3)AB=OA=O或B=O；

/

(2)AC=BCA=B；

/

矩陣乘法的性質(zhì)(4)AA=AA=E或A=O.

/

(1)(AB)C=A(BC)；(2)(A+B)C=AC+BC；(3)C(A+B)=CA+CB；(4)k(AB)=(kA)B=A(kB).4.方陣的冪

對(duì)于方陣A及自然數(shù)k

Ak=A

A

A(k個(gè)A相乘)，稱為方陣A的k次冪.

方陣的冪有下列性質(zhì)：

(1)ArAs=Ar+s；

(2)

(Ar)s=Ars.問(wèn)題：(A+B)2=?②(A

B)2=A2

AB

BA

+B2

注:①(A+B)2

=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2

③

(A+B)(A

B)=A2

AB

+BA

B2

定義4

將m

n矩陣A的行與列互換，得到的n

m矩陣，稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT或A

.即如果a11a21…am1

a12a22…am2

a1na2n…amn

…………

A=，a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn

…………

AT

=則.

例如，設(shè)x=(x1

x2

xn)T，y=(y1

y2

yn)T，則(y1

y2

yn)xyTx1x2

xn

==x1y1x2y1…xny1

x1y2x2y2…xny2

x1ynx2yn…xnyn

…………

.5.轉(zhuǎn)置矩陣及對(duì)稱方陣顯然，ET＝E.轉(zhuǎn)置矩陣有下列性質(zhì)

(1)(AT)T=A；

(2)(A+B)T=AT+BT；

(3)(kA)T=kAT；a11a21…am1

a12a22…am2

a1na2n…amn

…………

A=，a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn

…………

AT

=則.

定義4

將m

n矩陣A的行與列互換，得到的n

m矩陣，稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT或A

.即如果

(4)(AB)T=BTAT

.5.轉(zhuǎn)置矩陣及對(duì)稱方陣

定義5

設(shè)A

為n階方陣，若AT=A，則稱A為對(duì)稱矩陣，如果AT=-A，則稱A為反對(duì)稱矩陣.分別是三階對(duì)稱矩陣和三階反對(duì)稱矩陣.顯然：A為對(duì)稱矩陣的充分必要條件是aij=aji

;

A為反對(duì)稱矩陣的充分必要條件是

aij=-aji.如：定義6

設(shè)A是n階方陣，由A的元素構(gòu)成的n階行列式稱為方陣A的行列式，記為|A|或detA

.性質(zhì)：設(shè)A、B為n階方陣，k為數(shù)，則(1)|A|=|AT|;(3)|AB|=|A||B|.(2)|kA|=kn|A|;6.方陣的行列式顯然，|E|=1.一般地，若A1,A2,…Ak都是n階方陣，則

顯然

A——方陣

f(x)=asxs+as1xs1+…+a1x+a0

f(A)=asAs+as1As1+…+a1A+a0E

f(x)——多項(xiàng)式

注意!!!

定義7.

方陣A的多項(xiàng)式

6.方陣的行列式例10．設(shè)

求解:

因?yàn)橛晒?/p>

則若先求得

同樣

例11．設(shè)

A，B均為四階方陣，且.

計(jì)算.解

由方陣的行列式的運(yùn)算規(guī)律，

定義1

對(duì)于n階矩陣A，如果存在n階矩陣B，使得

AB

BA

E，那么矩陣A稱為可逆矩陣，而B(niǎo)稱為A的逆矩陣.1.可逆矩陣的定義

這是因?yàn)椋绻鸅和B1都是A的逆矩陣，則有

AB=BA=E，AB1=B1A=E

于是

B=B1.=EB1=(BA)B1=B(AB1)=BE

如果矩陣A可逆，則A的逆矩陣是唯一的.逆矩陣的唯一性

A的逆矩陣記為A

1.即若AB

BA

E

，則B

A

1.定義1

對(duì)于n階矩陣A，如果存在n階矩陣B，使得

AB

BA

E，那么矩陣A稱為可逆矩陣，而B(niǎo)稱為A的逆矩陣.1.可逆矩陣的定義定理1

如果矩陣A可逆，則A的逆矩陣是唯一的.

由于A，B位置對(duì)稱，故A，B互逆，即B

A

1，A

B

1.

如可以驗(yàn)證，

2.方陣可逆的充分必要條件A11A21

An1A12A22

A2nA1nA2n

Ann

定義2

由矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣，記為A*.即a11a12

a1na21a22

a2nan1an2

ann

A=的代數(shù)余子式構(gòu)成的矩陣

A11A21

An1A12A22

A2nA1nA2n

Ann

A*

=例1.

求

的伴隨矩陣A*.

解:同理A13=1，A21=-2，A22=1，A23=-1，A31=-1，A32=2，A33=1因此A的伴隨矩陣

A11A21A31A12A22A32A13A23A33三階矩陣A的伴隨矩陣A*為

，

定理2

n階矩陣A為可逆的充分必要條件是|A|

0，而且其中A*為方陣A的伴隨矩陣.所以|A|

0，即A為非奇異.設(shè)A可逆，故|A|·|A

1|

|E|

1，使AA

1

E

,即有A

1，

證：必要性.=—A*，1|A|A-1定義3

對(duì)于n階矩陣A，若行列式|A|=0，則稱A是奇異的(或降秩的或退化的)，否則稱A為非奇異的(或滿秩的或非退化的).2.方陣可逆的充分必要條件a11a12

a1na21a22

a2nan1an2

ann

A11A21

An1A12A22

An2A1nA2n

Ann

AA*==|A|E|A|

0

0

0|A|

0

0

0|A|

=充分性.定理2

n階矩陣A為可逆的充分必要條件是|A|

0，而且其中A*為方陣A的伴隨矩陣.

證：=—A*，1|A|A-1

設(shè)A非奇異，B=—A*1|A|取=A(—A*)1|A|則有

AB=—AA*1|A|注意：=

—

|A|E1|A|=E.同理可證BA=E.因此A可逆，=—A*.1|A|且A-1(即

AB=E.)

=—A*.1|A|A-1

矩陣

A可逆

|A|

0；

例2．求矩陣

A=的逆矩陣.

2-3

1

1

2

0

0-5

1

2-3

1

1

2

0

0-5

1

解:

因?yàn)?2

0，

所以A可逆.

又因?yàn)锳12A13A11A22A23A21A32A33A31

A*=10

7-5-2-2

2

2

1-1

=，所以=—A*1|A|=—12A-110

7-5-2-2

2

2

1-1

5

7/2-5/2-1-1

1

1

1/2-1/2=

.|A|=推論

設(shè)A是n階方陣，若存在同階方陣B，使得AB=E

(或BA=E)，則A可逆，且A-1=B.

這一結(jié)論說(shuō)明，如果要驗(yàn)證矩陣B是矩陣A的逆矩陣，只要驗(yàn)證一個(gè)等式AB=E或BA=E即可.例3．設(shè)n階矩陣A滿足aA2+bA+cE=O，證明A為可逆矩陣，并求A-1(a,b,c為常數(shù)，且c

0)

.又因c

0，故有

aA2+bA=-cE，

解:

由aA2+bA+cE=O，有

-c-1(aA2+bA)=E，即-c-1(aA+bE)A=E，因此A可逆，且A-1=-c-1aA-c-1bE.3.可逆矩陣的性質(zhì)

(3)若A、B為同階可逆矩陣，則AB亦可逆，且(AB)

1

B

1A

1.因?yàn)?/p>

(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E所以(AB)

1

B

1A

1.

(2)若A可逆，數(shù)l

0，則lA

可逆，且(lA)

1

l

1A

1.

(1)若A可逆，則A

1也可逆，且(A

1)

1

A.

(4)若A可逆，則AT也可逆，且(AT

)

1

(A

1)T

.因?yàn)?/p>

AT(A-1)T

=(A-1A)T=ET=E，所以

(AT

)

1

(A

1)T

.(5)|A

1|=|A|

1.例4.

設(shè)三階矩陣A,B滿足關(guān)系式，且求矩陣

B.解:

由于A可逆，

將等式

兩端右乘

有

，整理得

,于是

故

，線性方程組

的矩陣形式為

其中

當(dāng)|A|≠0時(shí)，A-1存在，AX=b兩邊左乘A-1，得

X=A-1b這就是線性方程組解的矩陣表達(dá)式.

4.用逆矩陣求解線性方程組例5.

利用逆矩陣求解方程組

解:

將方程組寫成矩陣形式

計(jì)算得

，故A可逆.

因而有

，即

A-1

=，

3

1-3-2-15/2

1

1-3/2

1

3

2

2

4

2

3

3

1

例6．設(shè)A=，B=，C=.

5

2

3

1

1

3

2

3

1

0

求矩陣X

使AXB

C.

-5

3

2-1B-1=

，解:X=

3

1-3-2-15/2

1

1-3/2

1

3

2

3

1

0-5

3

2-1-2-10

10

1

4-4=.X

A-1CB-1

為什么？

1.AA＊＝A＊A＝|A|E;

3.若|A|≠0,則|A*|=|A|n-1.2.若|A|≠0,則A＊＝|A|A-1;5.伴隨矩陣的常用性質(zhì)5.1初等變換

交換第i行與第j行記為ri

rj

.

1

5-1-1

1-2

1

3

1-9

3

7

3

8-1

1

1-2

1

3

1-9

3

7r2

r4———

1

5-1-1

3

8-1

1定義1

對(duì)矩陣施以下列三種變換之一，稱為初等變換.

(1)交換矩陣的某兩行(列)；

(2)以數(shù)k

0乘矩陣的某一行(列)；

(3)把矩陣的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.例如-1

1

3-1

交換第i列與第j列記為ci

cj

.

1

5-1-1

1-2

1

3

1-9

3

7

3

8-1

1c1

c3———

5-2-9

8-1

3

7

1

1

1

1

3例如定義1

對(duì)矩陣施以下列三種變換之一，稱為初等變換.

(1)交換矩陣的某兩行(列)；

(2)以數(shù)k

0乘矩陣的某一行(列)；

(3)把矩陣的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.5.1初等變換

用數(shù)k乘以第i行記為kri

.

1

5-1-1

1-2

1

3

1-9

3

7

3

8-1

14r2———

4

4-812

1-1

5-1

1

3-9

7

3-1

8

1例如定義1

對(duì)矩陣施以下列三種變換之一，稱為初等變換.

(1)交換矩陣的某兩行(列)；

(2)以數(shù)k

0乘矩陣的某一行(列)；

(3)把矩陣的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.5.1初等變換

用數(shù)k乘以第i列記為kci

.

1

5-1-1

1-2

1

3

1-9

3

7

3

8-1

14c3———-4

412-4

1

5-1

1-2

3

1-9

7

3

8

1例如定義1

對(duì)矩陣施以下列三種變換之一，稱為初等變換.

(1)交換矩陣的某兩行(列)；

(2)以數(shù)k

0乘矩陣的某一行(列)；

(3)把矩陣的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.5.1初等變換

第i行的k倍加到第j行記為rj+kri

.

1

5-1-1

1-2

1

3

1-9

3

7

3

8-1

1r3-3r1———

1

5-1-1

1-2

1

3

1-9

3

7

0-7

2

4例如定義1

對(duì)矩陣施以下列三種變換之一，稱為初等變換.

(1)交換矩陣的某兩行(列)；

(2)以數(shù)k

0乘矩陣的某一行(列)；

(3)把矩陣的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.5.1初等變換

第i列的k倍加到第j列記為cj+kci

.

1

5-1-1

1-2

1

3

1-9

3

7

3

8-1

1c3+c1———

0

2

4

2

1

5-1

1-2

3

1-9

7

3

8

1例如定義1

對(duì)矩陣施以下列三種變換之一，稱為初等變換.

(1)交換矩陣的某兩行(列)；

(2)以數(shù)k

0乘矩陣的某一行(列)；

(3)把矩陣的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.5.1初等變換定義2

對(duì)單位矩陣E施以一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣（或初等方陣）.

初等矩陣有下列三種：

E(i,j)、E(i(k))、E(j,i(k)).

=E(2,4)

例如，下面是幾個(gè)4階初等矩陣：1000010000100001E=0001100000100100r2

r4———=E(2,4)

1000010000100001E=0001100000100100c2

c4———5.2初等矩陣=E(3(4))

1000010000100001E=00401000010000014r3———=E(3(4))

1000010000100001E=00401000100000014c3———定義2

對(duì)單位矩陣E施以一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣（或初等方陣）.

初等矩陣有下列三種：

E(i,j)、E(i(k))、E(j,i(k)).

例如，下面是幾個(gè)4階初等矩陣：5.2初等矩陣=Er(2,4(k))

1000010000100001E=010k100000100001r2+kr4———=Ec(2,4(k))1000010000100001E=100000010001010kc2+kc4———定義2

對(duì)單位矩陣E施以一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣（或初等方陣）.

初等矩陣有下列三種：

E(i,j)、E(i(k))、E(j,i(k)).

例如，下面是幾個(gè)4階初等矩陣：5.2初等矩陣

定理1

設(shè)A是一個(gè)m

n矩陣，對(duì)A施行一次初等行變換相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)A施行一次初等列變換相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n

階初等矩陣.E(1,2)A=

=與交換A的第一行(列)與第二行(列)所得結(jié)果相同.AE(1,2)==

例如，設(shè)=與第三行(列)的2倍加到第一行(列)所得結(jié)果相同.=例如，設(shè)E(1,3(2))A=

AE(1,3(2))=

定理1

設(shè)A是一個(gè)m

n矩陣，對(duì)A施行一次初等行變換相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)A施行一次初等列變換相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n

階初等矩陣.

初等矩陣都是可逆的，且它們的逆矩陣仍是初等矩陣.初等矩陣的可逆性E(j,i(k))-1=E(j,i(-k)).

E(i(k))-1=E(i(k-1))；E(i,j)-1=E(i,j)；

這是因?yàn)椋醯染仃嚨男辛惺揭礊?,要么為-1,要么為k(k≠0).其逆陣分別為:例1例2

設(shè)A可逆，A經(jīng)過(guò)交換第i行與第j行后得到B，證明B可逆.

證明：由條件知，一定存在初等矩陣E(i,j),使得B=E(i,j)A.又A可逆，|A|≠0，|E(i,j)|=-1.|B|=|A||E(i,j)|≠0,即B可逆.6.3求逆矩陣的初等變換方法定理2

若n階矩陣A可逆，則可以通過(guò)初等行變換將A化為單位矩陣.

證：

因?yàn)锳可逆,即|A|≠0，所以A的第一列不全為0,不妨設(shè)a11≠0.將A的第一行元素乘以1/a11,再將變換后的第一行的(-ai1)倍加到第i行，i=2,3,…,n,使第一列其他元素全化為零，得如下形式矩陣B1:由定理1知，

其中Fi是對(duì)應(yīng)初等矩陣.一直進(jìn)行下去，最終把A化成了單位矩陣E.

同理可得B2:

即B2的第二行第二列元素化為1,第二列的其它元素全化為零.利用初等行變換求逆矩陣的方法(要求：熟練掌握)

構(gòu)造一個(gè)n×2n矩陣(A|E)，對(duì)矩陣(A|E)作初等行變換，當(dāng)左部A變成單位矩陣E時(shí)，右部單位矩陣E則變成A-1.即推論

方陣A可逆的充分必要條件是A可以表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積.即若,則而就是說(shuō)，當(dāng)通過(guò)初等行變換將矩陣A變成E時(shí)，經(jīng)過(guò)同樣的變換把E變成了A-1.于是有,即解：例3.

若矩陣A可逆，則矩陣(A|E)可經(jīng)初等行變換化為(E|A-1).-0.5r2???-r3定義1

設(shè)A是m╳n矩陣，在A中任取k行k列(1≤k≤min{m,n})，位于k行k列交叉位置上的k2個(gè)元素，按原有的次序組成的k階行列式，稱為A的k階子式.如矩陣

第1,3行及第2,4列交叉位置上的元素組成的一個(gè)二階子式為

三階子式共有4個(gè)

7.1矩陣的秩的概念

定義2

若矩陣A有一個(gè)r階子式不為零，而所有r+1階子式(如果存在的話)全等于零，則r稱為矩陣A的秩，記作r(A).規(guī)定零矩陣的秩為零.

易見(jiàn)：（1）若A是m╳n矩陣，則r(A)≤min{m,n}.

（2）若m╳n矩陣A中有一個(gè)r階子式不等于零，則r(A)≥r；若所有r+1階子式全等于零，則r(A)≤r.

（3）r(A)