九年級數(shù)學上冊講義（人教版）：點、直線、圓與圓的位置關系（教師版）

第22課點、直線、圓與圓的位置關系課程標準（1）理解點與圓的位置關系由點到圓心的距離決定；會畫三角形的外接圓，熟識相關概念.（2）理解直線與圓的各種位置關系,會用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關系；

（3）了解兩個圓相離(外離、內(nèi)含)，兩個圓相切(外切、內(nèi)切)，兩圓相交，圓心距等概念．理解兩圓的位置關系與d、r1、r2等量關系的等價條件并靈活應用它們解題．知識點01點和圓的位置關系1．點和圓的三種位置關系：由于平面上圓的存在，就把平面上的點分成了三個集合，即圓內(nèi)的點，圓上的點和圓外的點，這三類點各具有相同的性質(zhì)和判定方法；設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離為d，則有(1)點P在圓內(nèi)(2)點P在圓上(3)點P在圓外2．三角形的外接圓經(jīng)過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心.三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等.【注意】

(1)點和圓的位置關系和點到圓心的距離的數(shù)量關系是相對應的，即知道位置關系就可以確定數(shù)量關系；知道數(shù)量關系也可以確定位置關系；(2)不在同一直線上的三個點確定一個圓.

知識點02直線和圓的位置關系1．直線和圓的三種位置關系：

(1)相交：直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交．這時直線叫做圓的割線．

(2)相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切．這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點．

(3)相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離．2．直線與圓的位置關系的判定和性質(zhì)．

直線與圓的位置關系能否像點與圓的位置關系一樣通過一些條件來進行分析判斷呢？

由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(圓心)的位置關系．下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑．如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，那么(1)直線l和相交；(2)直線l和相切；(3)直線l和相離；這三個命題從左邊到右邊反映了直線與圓的位置關系所具有的性質(zhì)；從右邊到左邊則是直線與圓的位置關系的判定．知識點03圓和圓的位置關系1．圓與圓的五種位置關系的定義

兩圓外離：兩個圓沒有公共點，且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離.

兩圓外切：兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外切.這個唯一的公共點叫做切點.

兩圓相交：兩個圓有兩個公共點時，叫做這兩圓相交.

兩圓內(nèi)切：兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點外，一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)切.這個唯一的公共點叫做切點.

兩圓內(nèi)含：兩個圓沒有公共點，且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)含.2．兩圓的位置與兩圓的半徑、圓心距間的數(shù)量關系：

設⊙O1的半徑為r1，⊙O2半徑為r2，兩圓心O1O2的距離為d，則：

兩圓外離d＞r1+r2兩圓外切d=r1+r2兩圓相交r1-r2＜d＜r1+r2(r1≥r2)兩圓內(nèi)切d=r1-r2(r1＞r2)兩圓內(nèi)含d＜r1-r2(r1＞r2)【注意】

(1)圓與圓的位置關系，既考慮它們公共點的個數(shù)，又注意到位置的不同，若以兩圓的公共點個數(shù)分類，又可以分為：相離(含外離、內(nèi)含)、相切(含內(nèi)切、外切)、相交；

(2)內(nèi)切、外切統(tǒng)稱為相切，唯一的公共點叫作切點；

(3)具有內(nèi)切或內(nèi)含關系的兩個圓的半徑不可能相等，否則兩圓重合.

考法01點與圓的位置關系【典例1】已知⊙O的半徑為2cm，點P到圓心O的距離為4cm，則點P和⊙O的位置關系為（）A．點P在圓內(nèi) B．點P在圓上 C．點P在圓外 D．不能確定【答案】C【詳解】解：∵⊙O的半徑為2cm，點P與圓心O的距離為4cm，2cm＜4cm，∴點P在圓外．故選：C．【即學即練】已知⊙O的半徑是4，OP＝7，則點P與⊙O的位置關系是（

）．A．點P在圓內(nèi) B．點P在圓上 C．點P在圓外 D．不能確定【答案】C【詳解】解：∵OP＝7，r＝4，∴OP＞r，則點P在⊙O外．故選：C．【典例2】已知的半徑為3cm，點在內(nèi)，則不可能等于（

）A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm【答案】D【詳解】解：的半徑為3cm，點在內(nèi)，故選D【即學即練】已知的半徑為為外一點，則的長可能是（

）．A． B． C． D．【答案】A【詳解】當點P是⊙O外一點時，OP＞5cm，B、C、D均不符．故選：A．考法02直線與圓的位置關系【典例3】已知⊙O的半徑是7cm，點O到同一平面內(nèi)直線l的距離為6.9cm，則直線l與⊙O的位置關系是(

)A．相交 B．相切 C．相離 D．無法判斷【答案】A【詳解】設圓的半徑為r，點O到直線l的距離為d，∵d=6.9cm，r=7cm，∴d<r，∴直線l與圓相交．故選A．【即學即練】已知一條直線與圓有公共點，則這條直線與圓的位置關系是（

）A．相離 B．相切 C．內(nèi)交 D．相切或相交【答案】D【詳解】圓心與直線的距離大于半徑則直線與圓沒有交點：相離；圓心與直線的距離等于半徑則直線與圓有且只有一個交點：相切：圓心與直線的距離小于半徑則直線與圓有兩個交點：相交；∴直線與圓有公共點時，直線與圓的位置關系為相切或相交．故選D【典例4】已知圓與直線有兩個公共點，且圓心到直線的距離為4，則該圓的半徑可能為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【詳解】解：∵圓與直線有兩個公共點，且圓心到直線的距離為4，∴該圓的半徑＞4，故選：D．【即學即練】Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，若以點C為圓心r為半徑的圓與AB所在直線相交，則r可能為（）A．3 B．4 C．4.8 D．5【答案】D【詳解】如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，∴BC=8，∵，∴CD=，∴當時，以點C為圓心r為半徑的圓與AB所在直線相交，故選：D．．考法03三角形的外接圓【典例5】如圖，是的內(nèi)接三角形，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵是的內(nèi)接三角形，∴OA=OC，∴∠ACO=∠OAC=20°，∴∠AOC=180°-∠OAC-∠ACO=140°，∴．故選：C【即學即練】如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，若AB=3，則⊙O的半徑是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：作直徑AD，連接CD，如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=60°，∵AD為直徑，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠B=60°，則∠DAC=30°，∴CD=AD，∵AD2=CD2+AC2，即AD2=(AD)2+32，∴AD=2，∴OA=OB=AD=．故選：C．【典例6】如圖，△ABC中，sinA=，BC=6，則△ABC外接圓的直徑為（

）A．8 B．10 C．4 D．5【答案】A【詳解】如圖，連接OB，OC，過點O作，∵OB=OC，∴OD平分，，∴．∵，∴，∴．∵在中，，∴，即，∴，∴△ABC外接圓的直徑長為．故選A．【即學即練】如圖，△ABC的外接圓半徑為8，∠ACB＝60°，則AB的長為（）A．8 B．4 C．6 D．4【答案】A【詳解】解：連接OA，OB，過O作OH⊥AB于H，∵∠ACB=60°，∴∠AOB=2∠ACB=120°，∵OB=OA=8，∴∠AOH=∠BOH=60°，∴∠OAB=30°，∴OH=OA=4，∴AH=，∴AB=2AH=8，故選：A．考法04圓與圓的位置關系【典例7】如果兩圓的直徑分別為和，圓心距為，那么這兩圓的位置關系是（

）A．內(nèi)含 B．內(nèi)切 C．相交 D．外切【答案】B【詳解】兩圓直徑分別為和，兩圓半徑分別為和，圓心距為，，，兩圓位置關系為內(nèi)切．故選：B．【即學即練】中，已知，以點A、B、C為圓心的圓分別記作圓A、圓B、圓C，這三個圓的半徑長都是2，那么下列結論中，正確的是（

）A．圓A與圓C相交 B．圓B與圓C外切 C．圓A與圓B外切 D．圓A與圓B外離．【答案】D【詳解】∵，∴，∵三個圓的半徑長都等于2，∴任意兩圓的圓心距都是4，∴圓A與圓C外切，圓B與圓C相交，圓A與圓B外離，故選：D．【典例8】如果與內(nèi)含，，的半徑是3，那么的半徑可以是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【詳解】解：設的半徑r根據(jù)題意知兩圓內(nèi)含，故r?3>4或者3?r>4解得r>7或r<-1(舍去)故選：D【即學即練】已知⊙O1和⊙O2相切，⊙O1直徑為9cm，⊙O2直徑為4cm，則O1O2長為（

）A．5cm或13cm B．2.5cmC．6.5cm D．2.5cm或6.5cm【答案】D【詳解】解：∵⊙O1的直徑為9cm，⊙O2的直徑為4cm，∴⊙O1的半徑為4.5cm，⊙O2的半徑為2cm，當兩圓外切時，O1O2=4.5+2=6.5cm；當兩圓內(nèi)切時，O1O2=4.5?2=2.5cm，故選：D．題組A基礎過關練1．已知的半徑為3cm，點A到圓心O的距離為2cm，那么點A與的位置關系是（）A．點A在內(nèi) B．點A在上 C．點A在外 D．不能確定【答案】A【詳解】解：由題意得：，故：，∴點A在內(nèi)，故選A．2．已知⊙O的半徑為3，點P在⊙O外，則OP的長可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】解：∵⊙O的半徑為3，點P在⊙O外，∴OP的長大于3．故選D．3．若圓O的半徑為4，，則符合題意的圖形可能是（

）A．B． C．D．【答案】C【詳解】解：∵6＞4，∴點A在圓外，則選項A、B不符合題意，∵6－4=2＜4，∴點A與圓的距離小于半徑，∵選項C中的點A與圓的距離明顯小于半徑，且與2接近，而選項D中的點A與圓距離相比大于2且接近半徑4，∴符合題意的圖形可能是C，故選：C．4．半徑為5的四個圓按如圖所示位置擺放，若其中有一個圓的圓心到直線l的距離為4，則這個圓可以是（）A．⊙O1 B．⊙O2 C．⊙O3 D．⊙O4【答案】C【詳解】解：∵⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4是四個半徑為5的等圓，∴圓心到直線l的距離為4是⊙O3，故選：C．5．平面內(nèi)，⊙O的半徑為3，若點P在⊙O外，則OP的長可能為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【詳解】解：∵⊙O的半徑為3，點P在⊙O外，∴OP＞3，故選：A．6．直角三角形的兩邊長分別為16和12，則此三角形的外接圓半徑是（

）A．8或6 B．10或8 C．10 D．8【答案】B【詳解】解：由勾股定理可知：①當直角三角形的斜邊長為16時，這個三角形的外接圓半徑為8；②當兩條直角邊長分別為16和12，則直角三角形的斜邊長=因此這個三角形的外接圓半徑為10．綜上所述：這個三角形的外接圓半徑等于8或10．故選：B．7．⊙O的直徑長為10，OA為8，則點A與⊙O的位置關系為_____．【答案】相離【詳解】解：∵⊙O的半徑為5，點A到圓心O的距離為8，∴點A到圓心O的距離大于圓的半徑，∴點A在⊙O外，即點位置關系為相離．故答案為：相離．8．⊙O的半徑為3cm，如果圓心O到直線l的距離為d，且d=5cm，那么⊙O和直線l的位置關系是____________．【答案】相離【詳解】解：∵⊙O的半徑為3cm，圓心O到直線l的距離為d＝5cm，∴d＞r，∴直線l與⊙O的位置關系是相離，故答案為：相離．9．如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，(1)若以A為圓心，6cm長為半徑作⊙A（畫圖），則B、C、D與圓的位置關系是什么？(2)若作⊙A，使B、C、D三點至少有一個點在⊙A內(nèi)，至少有一點在⊙A外，則⊙A的半徑r的取值范圍是______．【答案】(1)作圖見解析，點B在圓上，點C和點D在圓外(2)6<r<10【詳解】（1）由圖可知：點B在圓上，點C和點D在圓外．（2）連接AC，在Rt△ABC中，AC=，∴6<r<10．故答案為：6<r<10．10．在中，，，，（1）斜邊上的高為________；（2）以點C為圓心，r為半徑作⊙C①若直線與⊙C沒有公共點，直接寫出r的取值范圍；②若邊與⊙C有兩個公共點，直接寫出r的取值范圍；③若邊與⊙C只有一個公共點，直接寫出r的取值范圍．【答案】（1）2.4；（2）①；②；③或【詳解】（1）中，，，，設斜邊上的高為,,,故答案為：（2）①若直線與⊙沒有公共點，則⊙相離，則r的取值范圍是；②若邊與⊙有兩個公共點，點在圓外或者圓上，則r的取值范圍是；③若邊與⊙只有一個公共點，則⊙相切，或者點在圓內(nèi)，則r的取值范圍是或題組B能力提升練1．已知：在中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，以B為圓心，BC長為半徑的B與AC邊的位置關系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定【答案】B【詳解】解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，∴點B到AC的距離等于⊙B的半徑，∴以B為圓心，以BC為半徑的圓與AC的位置關系是相切，故選：B．2．已知⊙O的半徑為3，圓心O到直線l的距離為5，則直線l與⊙O的位置關系是（）A．相離 B．相交 C．相切 D．無法確定【答案】A【詳解】解：∵圓半徑r＝3，圓心到直線的距離d＝5．故r＝3＜d＝5，∴直線與圓的位置關系是相離．故選：A．3．P、Q是直線l上的兩個不同的點，且OP＝5，⊙O的半徑為5，下列敘述正確的是（）A．點P在⊙O外B．點Q在⊙O外C．直線l與⊙O一定相切D．若OQ＝5，則直線l與⊙O相交【答案】D【詳解】解：∵OP＝5，⊙O的半徑為5，∴點P在⊙O上，故A錯誤；∵P是直線l上的點，∴直線l與⊙O相切或相交；∴若相切，則OQ＞5，且點Q在⊙O外；若相交，則點Q可能在⊙O上，⊙O外，⊙O內(nèi)；故B，C錯誤．∴若OQ＝5，則直線l與⊙O相交；故D正確．故選：D．4．直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A為圓心，4.8長度為半徑的圓與直線BC的公共點的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．不能確定【答案】B【詳解】解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，∴BC＝10，∴斜邊上的高為：，∴d＝4.8＝r＝4.8，∴圓與該直線BC的位置關系是相切，交點個數(shù)為1，故選：B．5．如圖，OA是⊙О的一條半徑，點P是OA延長線上一點，過點P作⊙O的切線PB，點B為切點．若PA=1，PB=2，則半徑OA的長為（

）A． B． C． D．3【答案】B【詳解】解：由題意得，，，，∴是直角三角形，設OA=x，則OB=x，在中，，根據(jù)勾股定理得，解得，則半徑OA的長為，故選B．6．實驗學校的花壇形狀如圖所示，其中，等圓⊙O1與⊙O2的半徑為3米，且⊙O1經(jīng)過⊙O2的圓心O2．已知實線部分為此花壇的周長，則花壇的周長為（）A．4π米 B．6π米 C．8π米 D．12π米【答案】C【詳解】解：連接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，∵等圓⊙O1與⊙O2的半徑為3米，⊙O1經(jīng)過⊙O2的圓心O2，∴AO1＝AO2＝BO1＝BO2＝O1O2＝3米，∴△AO1O2和△BO1O2是等邊三角形，∴∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，∴優(yōu)弧所對的圓心角的度數(shù)是360°﹣60°﹣60°＝240°，∴花壇的周長為2×＝8π（米），故選：C．7．若兩個圓的半徑分別為3和4，圓心之間的距離是5，則這兩個圓的位置關系是______．【答案】相交【詳解】由題意可知r1=3，r2=4，d=5，可知4-3＜5＜4+3，即r2-r1＜d＜r2+r1．所以兩個圓相交．故答案為：相交.8．如圖，直線AB，CD相交于點O，，圓P的半徑為1cm，動點P在直線AB上從點O左側(cè)且距離O點6cm處，以1cm/s的速度向右運動，當圓P與直線CD相切時，圓心P的運動時間為_____s．【答案】4或8##8或4【詳解】解：當點P在射線OA時⊙P與CD相切，如圖1，過P作PE⊥CD于E∴PE＝1cm，∵∠AOC＝30°∴OP＝2PE＝2cm∴⊙P的圓心在直線AB上向右移動了（6﹣2）cm后與CD相切∴⊙P移動所用的時間＝＝4（秒）；當點P在射線OB時⊙P與CD相切，如圖2，過P作PE⊥CD于E∴PF＝1cm∵∠AOC＝∠DOB＝30°∴OP＝2PF＝2cm∴⊙P的圓心在直線AB上向右移動了（6+2）cm后與CD相切，∴⊙P移動所用的時間＝＝8（秒）∴當⊙P的運動時間為4或8秒時，⊙P與直線CD相切．故答案為：4或8．9．在中，，O是上的一點，，⊙的半徑為r，當r與m滿足怎樣的關系時，（1）與⊙相交？（2）與⊙相切？（3）與⊙相離？【答案】（1）；（2）；（3）【詳解】解：如圖，過點O作于，，，，，∴，∴，∴（1）當時，與相交；（2）當時，與相切；（3）當時，與相離．10．如圖所示，⊙O1和⊙O2相交于A，B兩點，過點A的直線分別交兩圓于點C，D，點M是CD的中點，直線BM分別交兩圓于點E，F(xiàn)，連接CE．(1)求證CE∥DF；(2)求證ME＝MF．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)圓周角定理及平行線的判定即可得到結論；（2）證明≌，根據(jù)全等三角形的對應邊相等從而得到試題解析：證明：(1)∵連接AB，∵與∠C是所對的圓周角，則∵(同弧所對圓周角相等),∴∠C=∠D.∴CE∥DF.(2)∵點M是CD的中點，∴CM=DM.在△DFM和△CEM中：

∴△CME≌△DMF(ASA)∴ME=MF.題組C培優(yōu)拔尖練1．點P到⊙O的最近點的距離為2cm，最遠點的距離為7cm，則⊙O的半徑是（）A．5cm或9cm B．2.5cmC．4.5cm D．2.5cm或4.5cm【答案】D【詳解】解：①當點在圓外時，∵圓外一點和圓周的最短距離為2cm，最長距離為7cm，∴圓的直徑為7﹣2＝5（cm），∴該圓的半徑是2.5cm；②當點在圓內(nèi)時，∵點到圓周的最短距離為2cm，最長距離為7cm，∴圓的直徑＝7+2＝9（cm），∴圓的半徑為4.5cm，故選：D．2．已知⊙A與⊙B外切，⊙C與⊙A、⊙B都內(nèi)切，且AB=7，AC=8，BC=9，那么⊙C的半徑長是（

）A．12 B．11 C．10 D．9【答案】A【詳解】解：設⊙A的半徑為x，⊙B的半徑為y，⊙C的半徑為z，由題意得⊙C的半徑為12，故選：A．3．已知點O是△ABC的外心，若∠BOC=70°,則∠BAC的度數(shù)為（

）A．35° B．110° C．35°或145° D．35°或110°【答案】C【詳解】當點O在△ABC的內(nèi)部時，如圖①，，，當點O在△ABC的外部時，如圖②，為優(yōu)弧所對的圓周角，，，綜上，∠BAC的度數(shù)為35°或145°．故選：C．4．已知圓、圓的半徑不相等，圓的半徑長為5，若圓上的點A滿足，則圓與圓的位置關系是（

）A．相交或相切 B．相切或相離 C．相交或內(nèi)含 D．相切或內(nèi)含【答案】A【詳解】解：當兩圓外切時，切點A能滿足AO1=5，當兩圓相交時，交點A能滿足AO1=5，當兩圓內(nèi)切時，切點A能滿足AO1=5，所以，兩圓相交或相切．故選：A．5．圓的半徑是7cm，如果圓心與直線上某一點的距離是6.5cm，那么該直線和圓的位置關系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．相交或相切【答案】C【詳解】解：∵圓的半徑為7cm，圓心到直線的距離為6.5cm，∴圓心到直線的距離＜圓的半徑，∴直線與圓相交，故選：C．6．如圖，已知直線y＝x－3，與x軸、y軸分別交于A、B兩點，P是以C（0，1）為圓心，1為半徑的圓上一動點，連接PA、PB，則△PAB面積的最小值是（

）A．6 B． C．5 D．【答案】B【詳解】解：∵直線y＝x－3與x軸、y軸分別交于A、B