山東省濰坊市昌樂北大公學(xué)學(xué)校2024屆高三下學(xué)期二模第二次拉練數(shù)學(xué)監(jiān)測試題含解析

高三級部二模第二次拉練（數(shù)學(xué)）監(jiān)測試題考試時間：120分鐘總分：150分注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。一．選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A． B． C． D．2．函數(shù)的部分圖象大致是（

）A． B．C． D．3．在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．4．在中，，，若，則（

）A． B． C． D．5．蓋碗是由茶碗、茶蓋、茶船三件套組成，蓋碗又稱“三才碗”，蘊含了古代哲人講的“天蓋之，地栽之，人育之”的道理．如圖是乾隆時期的山水人物方蓋碗的茶蓋和茶碗，近似看作兩個正四棱臺的組合體，其中茶碗上底面的邊長為﹐下底面邊長為，高為，則茶水至少可以喝（不足一碗算一碗）（

）A．7碗B．8碗C．9碗D．10碗6．柯西不等式最初是由大數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy）在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時得到的.而后來有兩位數(shù)學(xué)家Buniakowsky和Schwarz彼此獨立地在積分學(xué)中推而廣之，才能將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步.該不等式的三元形式如下：對實數(shù)和，有等號成立當(dāng)且僅當(dāng)已知，請你用柯西不等式，求出的最大值是（

）A．14 B．12 C．10 D．87．DNA是形成所有生物體中染色體的一種雙股螺旋線分子，由稱為堿基的化學(xué)成分組成它看上去就像是兩條長長的平行螺旋狀鏈，兩條鏈上的堿基之間由氫鍵相結(jié)合．在DNA中只有4種類型的堿基，分別用A、C、G和T表示，DNA中的堿基能夠以任意順序出現(xiàn)兩條鏈之間能形成氫鍵的堿基或者是A-T，或者是C-G，不會出現(xiàn)其他的聯(lián)系因此，如果我們知道了兩條鏈中一條鏈上堿基的順序，那么我們也就知道了另一條鏈上堿基的順序．如圖所示為一條DNA單鏈模型示意圖，現(xiàn)在某同學(xué)想在堿基T和堿基C之間插入3個堿基A，2個堿基C和1個堿基T，則不同的插入方式的種數(shù)為（

）A．20B．40 C．60 D．1208．已知正實數(shù)滿足，則的大小關(guān)系為（

）A．B．C． D．二．多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．下列說法中正確的是（

）A．一組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為14B．某中學(xué)有高中生3500人，初中生1500人，為了解學(xué)生學(xué)習(xí)情況．用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個容量為100的樣本，則抽取的高中生人數(shù)為70C．若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3D．隨機變量服從二項分布，若方差，則10．已知，則（

）A．的最小值為 B．的最大值為C．的最小值為 D．的最小值為11．在平面四邊形中，點為動點，的面積是面積的3倍，又數(shù)列滿足，恒有，設(shè)的前項和為，則（

）A．為等比數(shù)列 B．C．為等差數(shù)列 D．三．填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且，則.13．2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)新結(jié)構(gòu)，其中多選題計分標(biāo)準(zhǔn)如下：①本題共3小題，每小題6分，滿分18分；②每道小題的四個選項中有兩個或三個正確選項，全部選對得6分，有選錯的得0分；③部分選對得部分分（若某小題正確選項為兩個，漏選一個正確選項得3分；若某小題正確選項為三個，漏選一個正確選項得4分，漏選兩個正確選項得2分）．已知在某次新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)試題的考試中，小明同學(xué)三個多選題中第一小題確定得滿分，第二小題隨機地選了兩個選項，第三小題隨機地選了一個選項，則小明同學(xué)多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數(shù)為．14．如圖，該“四角反棱柱”是由兩個相互平行且全等的正方形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)、連接而成，其側(cè)面均為等邊三角形，已知該“四角反棱柱”的棱長為4，則其外接球的表面積為．四．解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15（13分）．已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)給定，記集合中的元素個數(shù)為，若，試求的最小值.16（15分）．四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，側(cè)面底面，，，是BC的中點，點在側(cè)棱PC上.(1)若Q是PC的中點，求二面角的余弦值；(2)是否存在，使平面DEQ?若存在，求出的值；若不存在，說明理由.17（15分）．已知函數(shù)，，是的導(dǎo)數(shù).(1)討論的單調(diào)性，并證明：；(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一的零點，求a的取值范圍.18（17分）．某小區(qū)為了加強對“新型冠狀病毒”的防控，確保居民在小區(qū)封閉期間生活不受影響，小區(qū)超市采取有力措施保障居民正常生活物資供應(yīng).為做好甲類生活物資的供應(yīng)，超市對社區(qū)居民戶每天對甲類生活物資的購買量進行了調(diào)查，得到了以下頻率分布直方圖.（1）從小區(qū)超市某天購買甲類生活物資的居民戶中任意選取5戶.①若將頻率視為概率，求至少有兩戶購買量在（單位：）的概率是多少？②若抽取的5戶中購買量在（單位：）的戶數(shù)為2戶，從5戶中選出3戶進行生活情況調(diào)查，記3戶中需求量在（單位：）的戶數(shù)為，求的分布列和期望；（2）將某戶某天購買甲類生活物資的量與平均購買量比較，當(dāng)超出平均購買量不少于時，則稱該居民戶稱為“迫切需求戶”，若從小區(qū)隨機抽取10戶，且抽到k戶為“迫切需求戶”的可能性最大，試求k的值.19（17分）．中國是紙的故鄉(xiāng)，折紙也是起源于中國.后來數(shù)學(xué)家將幾何學(xué)原理運用到折紙中，并且利用折紙來研究幾何學(xué)，很好的把折紙藝術(shù)與數(shù)學(xué)相結(jié)合.將一張紙片折疊一次，紙片上會留下一條折痕，如果在紙片上按照一定的規(guī)律折出很多折痕后，紙上能顯現(xiàn)出一條漂亮曲線的輪廓.如圖，一張圓形紙片的圓心為點D，A是圓外的一個定點，P是圓D上任意一點，把紙片折疊使得點A與P重合，然后展平紙片，折痕與直線DP相交于點Q，當(dāng)點P在圓上運動時，得到點Q的軌跡.(1)證明：點Q的軌跡是雙曲線；(2)設(shè)定點A坐標(biāo)為，紙片圓的邊界方程為.若點位于（1）中所描述的雙曲線上，過點M的直線l交該雙曲線的漸近線于E，F(xiàn)兩點，且點E，F(xiàn)位于y軸右側(cè)，O為坐標(biāo)原點，求面積的最小值。高三級部二模第二次拉練（數(shù)學(xué)）監(jiān)測試題答案1．A【詳解】分析：根據(jù)離心率得a,c關(guān)系，進而得a,b關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果.詳解：因為漸近線方程為，所以漸近線方程為，選A.點睛：已知雙曲線方程求漸近線方程：.2．B【分析】判斷奇偶性，再取特殊點判斷即可.【詳解】，則函數(shù)為奇函數(shù)，故排除A，，故排除CD.故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵在于利用特殊點以及奇偶性進行判斷.3．A【分析】利用三角函數(shù)的坐標(biāo)定義求出即得解.【詳解】由題得，，.故選：A4．D【解析】畫出圖形，將作為基底向量，將向量結(jié)合向量的加減法表示成兩基底向量相加減的形式即可求解【詳解】如圖，由題可知，點為的中點，點為上靠近的三等分點，，故選：D【點睛】本題考查平面向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題5．C【分析】根據(jù)題意，由棱臺的體積公式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由條件可得，茶碗的上底面面積，茶碗的下底面面積，茶碗高，則茶碗的體積，所以，即茶水至少可以喝9碗.故選：C6．A【分析】利用柯西不等式求出即可.【詳解】由題干中柯西不等式可得，所以的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故選：A7．C【分析】利用排列數(shù)計算公式計算出正確答案.【詳解】依題意可知，不同的插入方式的種數(shù)為.故選：C8．A【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性以及定點畫出函數(shù)圖象即可得解.【詳解】由題意，所以令，所以問題等價于比較的圖象分別與的圖象三個交點橫坐標(biāo)的大小關(guān)系，而均過點，則由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，的圖象分別與的圖象三個交點橫坐標(biāo)如圖所示：則.故選：A.9．BC【分析】由百分位數(shù)求解判斷A，由分層抽樣判B，由平均值性質(zhì)判C，由二項分布性質(zhì)判D.【詳解】對A，，故第60百分位數(shù)為第6和第7位數(shù)的均值，故A錯誤；對B，由題抽取的高中生抽取的人數(shù)為，故B正確；對C，設(shè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，由平均值性質(zhì)可知：樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，解得，故C正確；對D，由題意可知，解得或，則或，故D錯誤.故選：BC10．ABD【分析】根據(jù)指數(shù)運算，結(jié)合基本不等式即可判斷A；結(jié)合對數(shù)運算，利用基本不等式可判斷B；將化為關(guān)于x的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可判斷是C；通過變量代換，令，得到，根據(jù)“1”的巧用，將變形后，利用基本不等式，即可判斷D..【詳解】對于A，由于，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時，等號成立，即的最小值為，A正確；對于B，由于，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，即的最大值為，B正確；對于C，又，得，故由于，而對稱軸為，則在上單調(diào)遞減，在上無最值，C錯誤；對于D，令，則，故，由于，故，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時，等號成立，所以，即的最小值為，D正確，故選：ABD【點睛】難點點睛：本題考查了基本不等式的應(yīng)用，主要是求最值問題，難點是選項D的判斷，解答時要通過變量代換，令，得到，根據(jù)“1”的巧用，將變形后，利用基本不等式，即可求解.11．BCD【分析】根據(jù)的面積是面積的3倍，推出，根據(jù)向量的共線可得，結(jié)合向量相等即可推出，即可得，由此可判斷C，由此求出的表達式，可求得，判斷B；利用等比數(shù)列定義判斷A，利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和，判斷D.【詳解】設(shè)交于E點，則，即，故，由于三點共線，故存在實數(shù)，使得，即得，故，整理得，即，則，即而，故為首項是，公差為的等差數(shù)列，C正確；則，故，故，B正確；又常數(shù)，故不為等比數(shù)列，A錯誤；，故，則，故，D正確，故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知的三角形面積之間的關(guān)系推出，從而根據(jù)向量的共線推出，得到，由此即可求得的表達式，進行求解.12．【分析】利用正弦定理的邊角變換，結(jié)合三角函數(shù)的和差公式與誘導(dǎo)公式得到，從而得解.【詳解】因為，所以由正弦定理得，因為在中，，所以，又，所以.故答案為：.13．11【分析】列舉出所有的得分情況，再結(jié)合中位數(shù)的概念求答案即可.【詳解】由題意得小明同學(xué)第一題得6分；第二題選了2個選項，可能得分情況有3種，分別是得0分、4分和6分；第二題選了1個選項，可能得分情況有3種，分別是得0分、2分和3分；由于相同總分只記錄一次，因此小明的總分情況有：6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、15分共8種情況，所以中位數(shù)為，故答案為：11.14．【分析】作出輔助線，找到外接球的球心，得到外接球半徑，進而得到外接球的表面積.【詳解】如圖，由對稱性可知旋轉(zhuǎn)角度為，設(shè)上、下正方形的中心分別為，連接，則的中點即為外接球的球心，其中點為所在棱的中點，即為該幾何體的外接球的半徑，，過點作于點，則，.易得四邊形為矩形，即，則，即，，即該“四角反棱柱”的外接球的表面積為.故答案為：【點睛】方法點睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.15．(1)(2)11【分析】（1）根據(jù)與之間的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列求解結(jié)果；（2）由解出的范圍，得到，進行數(shù)列求和與比較大小即可達到結(jié)果.【詳解】（1）依題意，①當(dāng)時，，②.①②兩式相減得，即，因為，所以，即，所以是公差為1的等差數(shù)列，又，故數(shù)列的通項公式為.（2）依題意，即，因為，所以滿足不等式的正整數(shù)個數(shù)為，即，.，因為，所以單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的最小值為11.16．(1)；(2)時，平面.【分析】（1）以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法能求出二面角的余弦值．（2）設(shè)，，，，推導(dǎo)出，利用向量法能求出當(dāng)時，平面．【詳解】（1）解：取中點，連接，，．因為，所以．因為側(cè)面底面，且平面底面，所以底面．可知，，，以為坐標(biāo)原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．則，因為為中點，所以．所以，所以平面的法向量為．因為，設(shè)平面的法向量為，則，即．令，則，即．所以．由圖可知，二面角為銳角，所以余弦值為．（2）解：設(shè)由（1）可知．設(shè)，，，則，又因為，所以，即．所以在平面中，，所以平面的法向量為，又因為平面，所以，即，解得．所以當(dāng)時，即，平面．17．(1)答案見解析(2)【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)，分類討論即可，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求解最值即可證明；（2）把問題轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間內(nèi)有唯一解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】（1）因為，所以，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，令得，令得，所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，令，則，令得，令得，所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以當(dāng)時，取得最小值為，所以，得證；（2）由（1）知，，因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一的零點，所以方程在區(qū)間內(nèi)有唯一解，令，則函數(shù)與在上只有一個交點，記，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，故，所以在上單調(diào)遞增，又，如圖：要使方程在區(qū)間內(nèi)有唯一解，則.所以a的取值范圍是.【點睛】方法點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問題處理.18．（1）①；②詳見解析；（2）.【解析】（1）事件“從小區(qū)超市購買甲類物資的居民戶中任意選取1戶，購買量在，”發(fā)生的概率為．①記事件“從小區(qū)超市購買甲類物資的居民戶中任意選取5戶，則至少有兩戶購買量在，”為，利用獨立重復(fù)實驗的概率求解即可．②隨機變量所有可能的取值為0，1，2．求出概率得到分布列，然后求解期望．（2）每天對甲類物資的購買量平均值，求出從小區(qū)隨機抽取中隨機抽取一戶為“迫切需求戶”的概率為，判斷，通過若戶的可能性最大，列出不等式組，求解即可．【詳解】（1）由題意，事件“從小區(qū)超市購買甲類生活物資的居民戶中任意選取1戶，購買量在”發(fā)生的概率為.①記事件“從小區(qū)超市購買甲類生活物資的居民戶中任意選取5戶，則至少有兩戶購買量在”為A，則.②隨機變量所有可能的取值為0，1，2.則，，，