湖南省百校大聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)12月考數(shù)學(xué)試題

湖南省百校大聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月考數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.滿足{1}=M={L2,3}的集合M的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.6

2.命題“*eR,無2-2彳+3<0”的否定是()

A.不存在xeR,尤2一2尤+320B.HxeR,尤2一2尤+320

C.VxeR,x2-2x+3>0D.VxeR,-2^+3<0

3.若aeR,貝『％=3”是“(a+l)(a-3)=?！钡?)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.己知函數(shù)=則/（/⑴）的值為（）

IX十4%,X<乙,

A.7B.3C.9D.8

5.函數(shù)/(x)=log°.5(4x-3)的定義域?yàn)?)

6.若a=203,b=（0.3）2,c=log3（）.2,則。力，。的大小關(guān)系是

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

7.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可以判定函數(shù)〃x）=91nx+2'的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）

j_3

X1

4~24

91nx-12.48-6.24-2.590

2X1.191.411.682

8.已知圓。與直線/相切于點(diǎn)A,點(diǎn)P,。同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，尸沿直線/勻速向右、。

沿圓周按逆時(shí)針方向以相同的速率運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到如圖所示的位置時(shí)，點(diǎn)尸也停

止運(yùn)動(dòng)，連接。0,0P,則陰影部分的面積S-邑的大小關(guān)系是（）

A.SX>S2B.SX<S2

C.S、=S。D.先Si』再Sf,最后，AS?

二、多選題

9.下列圖象表示的函數(shù)中有兩個(gè)零點(diǎn)的有（）

10.下列說法正確的是（）

A.兩個(gè)角的終邊相同，則它們的大小可能不相等

B.tan（-225）=-1

C.若cosa>0,則a為第一或第四象限角

D.扇形的圓心角為3rad,周長為10,則扇形面積為6

11.若〃、b、CGR,則下列命題正確的是（）

A.若,則ac2Vbe2

B.fz2+4Z?2>2?+4Z?-2

C.若正數(shù)a、b滿足a+6=l,則但+與1的最小值是8

ab

D.a2+b2-ab=l,貝1J/+/<2

12.已知定義在R上的奇函數(shù)滿足：①〃x）=〃2-x）；②當(dāng)xe[2,3]時(shí),

f（x）=2-x.下列說法正確的有（）

試卷第2頁，共4頁

/(x+2)=/(x)

當(dāng)xe[—3,—1]時(shí)，y(x)=—x—2

D.方程7/(x)=x+2有7個(gè)實(shí)數(shù)根

13.cos840=.

14.已知事函數(shù)/■(*)=(26+°卜。的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則。=

15.函數(shù)〃0=1。82仔-14尸15)的單調(diào)遞減區(qū)間為.

，九<L

16.已知函數(shù)〃x)=<2、，若關(guān)于X的方程/(X)=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,

則機(jī)的取值范圍為

四、計(jì)算題

17.化簡或求值:

21

⑵lg5?lg20(lg2)-Ig5--lg8.

五、問答題

18.已知集合A={x[l<2"<8},集合3={x[2a<尤<1一〃}.

⑴若a=-l,求AcB；

(2)命題P：xeA,命題Q；xeB,若尸是Q的必要條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

19.已矢口函數(shù)/(x)=loga(6+尤)一log/6—尤)，其中a>0且awl.

⑴若〃尤)的圖象恒過點(diǎn)A,寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=^(x),試判斷g(x)的奇偶性，并證明.

20.定義在R上的奇函數(shù)〃力滿足:當(dāng)x>0時(shí),/(x)=3v+1-3.

⑴求的解析式；

⑵求不等式I/(X)|26的解集.

21.已知函數(shù)〃x)=loga(a*-2r)(a>0且分1).

⑴若。<a<l,且7=1,求“X)的定義域；

(2)若0>1,函數(shù)〃尤)的定義域?yàn)镺,存在使得/⑺在[加,可上的值域?yàn)?/p>

[2私2〃],求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

六、應(yīng)用題

22.長沙市地鐵8號(hào)線項(xiàng)目正在進(jìn)行中，通車后將給市民帶來便利.該線路通車后，列

車的發(fā)車時(shí)間間隔T單位：分鐘)滿足2<區(qū)20,經(jīng)市場調(diào)研測(cè)算，列車載客量與發(fā)

車時(shí)間間隔/相關(guān)，當(dāng)104<20時(shí)，列車處于滿載狀態(tài)，載客量為600人，當(dāng)2型<10

時(shí)，載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)與(IO—),成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)的載客

量為280人，記列車載客量為P。).

(1)求P。)的表達(dá)式，并求當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，列車的載客量.

(2)若該線路每分鐘的凈收益。⑺/尸⑺J'。。+1000(元)，問當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少

時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大？并求出最大值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.C

【分析】根據(jù)子集的概念可得集合M的個(gè)數(shù).

【詳解】因?yàn)閧1}="={1,2,3},所以集合M可能為：{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}共4種情

況.

故選：C

2.C

【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定，直接得出結(jié)果.

【詳解】由題意知,命題“aceR,尤-2尤+3<0”的否定為

ttVxeR,x2-2x+3>0,'.

故選：C

3.A

【分析】由（。+1）（。-3）=0得。=-1或。=3,結(jié)合充分、必要條件的定義即可求解.

【詳解】由（。+1）（。-3）=0,得a=—1或。=3,

所以“。=3”是“a=-l或a=3”的充分不必要條件，

即“a=3”是“（a+1）（"3）=0”的充分不必要條件

故選：A

4.D

【分析】由里到外逐步代入即可求解.

【詳解】/（1）=-1+4=3,/（/（1））=/（3）=3X3-1=8,

故選：D

5.B

【分析】利用對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零可求得函數(shù)"%）的定義域.

【詳解】對(duì)于函數(shù)〃x）=logo，（4x—3）,有4尤一3>0,解得x>j

故函數(shù)/（x）=log05（4x-3）的定義域?yàn)?,+j.

故選：B.

6.C

答案第1頁，共10頁

2

【詳解】：。=2°3>2°=1,0<Z>=(0.3)<1,C=log30.2<log31=0,

c<b<a.故選C.

點(diǎn)晴：本題考查的是指數(shù)式，對(duì)數(shù)式的大小比較.解決本題的關(guān)鍵是利用指、對(duì)數(shù)函數(shù)的單

調(diào)性比較大小，當(dāng)指、對(duì)函數(shù)的底數(shù)大于0小于1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)，函

數(shù)單調(diào)遞增；另外由于指數(shù)函數(shù)過點(diǎn)(0,1),對(duì)數(shù)函數(shù)過點(diǎn)(1,0),所以還經(jīng)常借助特殊

值0,1比較大小

7.D

【分析】由函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可知，使函數(shù)值一正一負(fù)即可.

【詳解】由題意可得/(；|=-12.48+：1.19=-11.29,《￡|=-6.24+1.41=-4.83,

/^=-2.59+1.68=-0.91,/(1)=0+2=2

由于函數(shù)〃x)=91nx+2*為增函數(shù)，則函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為

故選：D.

8.C

【分析】根據(jù)給定條件求出扇形AOQ與一O”面積，再由面積的關(guān)系即可判斷作答.

【詳解】因圓。與直線/相切，則。4LAP,于是得AO尸面積S°針=；O4AP，

令弧AQ的弧長為/,扇形AOQ面積S=gb=g/-OA,

依題意/=AP,即S=S°”，令扇形A02面積為S',則有S，+S[=V+S2，gp5,=S2,

所以陰影部分的面積反，》的大小關(guān)系是岳=邑.

故選：C

9.AC

【分析】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合圖形依次判斷即可.

【詳解】A：由零點(diǎn)的定義知，該圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以該函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故A符

合題意；

B：由零點(diǎn)的定義知，該圖象與龍軸有3個(gè)交點(diǎn)，所以該函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，故B不符合題意；

C：由零點(diǎn)的定義知，該圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以該函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故C符合題意;

D：由零點(diǎn)的定義知，該圖象與x軸有1個(gè)交點(diǎn)，所以該函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，故D不符合題意；

故選：AC

答案第2頁，共10頁

10.ABD

【分析】利用終邊相同的角的定義可判斷A選項(xiàng)；利用誘導(dǎo)公式可判斷B選項(xiàng)；利用三角

函數(shù)值符號(hào)與角的終邊的位置關(guān)系可判斷C選項(xiàng)；利用扇形的弧長和面積公式可判斷D選

項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，兩個(gè)角的終邊相同，則它們的大小可能不相等，A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，tan(-225)=-tan(180+45)=-tan45=-1,B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，若cosa>0,則a為第一或第四象限角或終邊落在x軸正半軸上，C錯(cuò)；

對(duì)于D,設(shè)扇形的半徑為「，弧長為/,則/+2r=10,-=3,聯(lián)立解得/=6,r=2,

r

所以該扇形的面積為1”=!><6x2=6,D對(duì).

22

故選：ABD.

11.BD

【分析】取c=0可判斷A選項(xiàng)；利用作差法可判斷B選項(xiàng)；由已知可得出

-+^=-+7+7,結(jié)合基本不等式可判斷C選項(xiàng)；利用基本不等式可判斷D選項(xiàng).

abab

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)c=0時(shí)，ac2=bc2,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B選項(xiàng)，+4Z?2-（2o+4fo-2）=（a-l）2+（2Z?-1）2>0,

Ct—

當(dāng)且僅當(dāng)，1時(shí)，等號(hào)成立，故B正確;

b=—

I2

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)檎龜?shù)a、滿足a+b=l,

匚二r、i〃+14b+1a+a+ba+b+Ab廠A

所以——+-----------+=—bI--a--1-7>2,匹@+7=9,

aba--------babab

ab

ba

當(dāng)且僅當(dāng)卜+6=1時(shí),即當(dāng)。=匕=；時(shí)，等號(hào)成立,

?>0,/?>0

所以，匚十二六的最小值為9,故C錯(cuò)誤；

ab

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?+人222ab,當(dāng)且僅當(dāng)〃=〃時(shí)，等號(hào)成立，

由/+=1知/+/=1+?1+"+"，可得a?+/?2,

2

[a=b

當(dāng)且僅當(dāng)《27217時(shí)，即當(dāng)a=b=l或4=人=-1時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.

\a+b=\+ab

答案第3頁，共10頁

故選：BD.

12.ACD

【分析】推導(dǎo)出函數(shù)/(x)的周期為4,結(jié)合周期性可判斷AB選項(xiàng)；利用周期性和對(duì)稱性

求出函數(shù)/(X)在[-3,T]上的解析式，可判斷C選項(xiàng)；數(shù)形結(jié)合可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)AB,因?yàn)楹瘮?shù)/(X)在R上為奇函數(shù)，故〃x)=-〃r),

因?yàn)?(x)=/(2—x),即〃2r)=-〃r),貝ij〃2+x)=—〃力，

故/(x+4)=-〃x+2)"(x),故的周期為4,故/(一1)=/(3)=-1,故A正確,B

錯(cuò)誤；

對(duì)C,因?yàn)?(x)是奇函數(shù)，所以當(dāng)xe[-3,—2]時(shí)，-xe[2,3],

故/(-x)=2+x=-/(%),則/'(x)=-x-2,

當(dāng)xe[-2,—l]時(shí)，x+4e[2,3],/(x)=/(x+4)=2-(x+4)=-x-2,

故當(dāng)xe[—3,—l]時(shí)，/(x)=-x-2,故C正確；

對(duì)D,7/(x)=x+2,即〃x)=1+m，如下圖所示：

Y9

由圖可知，直線y=與函數(shù)/(X)的圖象共有7個(gè)交點(diǎn)，故D正確.

故選：ACD.

13.—/—0.5

2

【分析】利用誘導(dǎo)公式可得出所求代數(shù)的值.

【詳解】cos840=cos(840-2x360)=cosl20=cos(180-60)=-cos60=一；.

故答案為：

14.—/0.5

2

答案第4頁，共10頁

【分析】利用幕函數(shù)定義及圖象特征求解即得.

【詳解】幕函數(shù)/（無）=（2/+冷靖，得2a2+a=i,解得a=g或.=—1,

11一

當(dāng)4=5時(shí)，〃力=/，其圖象經(jīng)過原點(diǎn)；

當(dāng)a=-l時(shí)，f（x）=xl,其圖象經(jīng)不過原點(diǎn)

故答案為：g

15.

【分析】先求出函數(shù)定義域，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)則來確定單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】令尤2—14%—15>0,得無<一1或x>15.

因?yàn)楹瘮?shù)y=YT4x-15=（尤-7f-64在（-oo,T）上單調(diào)遞減，

在（15,轉(zhuǎn)）上單調(diào)遞增，且函數(shù)y=log2x在（0,+8）上單調(diào)遞增，

所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為

故答案為：（-0，-1）.

16.（-8,0）31}

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象即可根據(jù)圖象交點(diǎn)求解.

【詳解】畫出“X）的大致圖象，如圖所示.關(guān)于X的方程/（X）-〃2=。只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)

合圖象可得加的取值范圍為（-8,0）={1}.

故答案為：（T,0）U{1}

1

17.⑴戶

(2)0

答案第5頁，共10頁

【分析】(1)由指數(shù)塞的運(yùn)算得到；

(2)由對(duì)數(shù)的運(yùn)算得到.

51

a〃(-4'7'7

［詳解］⑴原式二丁口二UF"?a°

辟加/4

(2)原式

=lg5?(lg4Ig5)+(lg2)2-lg5-lg2=(lg5)2+21g5?Ig2(lg2)2-(Ig5+lg2)=(lg5+lg2)2-(Ig5+lg2)=12-1=1

18.⑴AcB={x[0<x<2}

(2)[0,+oo).

【分析】(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，化簡集合A,即可由交運(yùn)算求解,

(2)根據(jù)集合間的包含關(guān)系即可求解.

【詳解】(1)由人=卜[1<2，<8}可得4={引0<無<3},

當(dāng)a=-l時(shí)，B={尤卜2cx<2},所以AcB={尤|0<尤<2}.

(2)因?yàn)槭?。的必要條件，所以

當(dāng)3=0時(shí)，2a21-a,解得

2a<1-a,

當(dāng)3x0時(shí)，2a>0,,解得

1—〃W3,

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍為[。,+8).

19.(1)(0,0)

⑵g(x)為偶函數(shù)，證明見解析

6+Y

【分析】(1)令盧=1,解出X,進(jìn)而可得定點(diǎn)；

o-x

(2)先確定g(x)的定義域，然后通過證明g(-x)=g⑺可得答案.

【詳解】(1)由題意得f(x)=log〃y,

6-x

答案第6頁，共10頁

令*=1，得x=0,log.1=0,

o-x

則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,0)；

(2)g(x)為偶函數(shù),證明如下：

f6+x>0/、,,、

由6T>0'得dvxvG,即8(力的定義域?yàn)?z-6,6),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

因?yàn)間(-尤)=一無log”f—=龍log。=g(無)，

6+x6-x

所以g(x)為偶函數(shù).

31+3,工<0

20.⑴〃x)=<0,x=0

3x+1-3,x>0

【分析】(1)根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意，分x<0,x=0以及x>0討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解，即可得到結(jié)

果.

【詳解】￡1)因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，/(x)=3x+1-3,

設(shè)x<0,貝U-x>。，則〃一了)=3-前一3,

又/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，/(0)=0,

且-/(x)=/(-%)=3-同一3,則/(司=—3—+3,

-3-x+1+3,x<0

所以〃x)=0，x=0

3"+1-3,x>0

<3三+3,尤<0

(2)由(1)可知，/(%)="Q,x=0,

3x+1-3,x>0

當(dāng)x<0時(shí)，由|/(x)|26可得，卜3TM+3t6,

即一3一工+1+326或一3.+34-6,解得xe0或xV—1,

答案第7頁，共10頁

又x<0時(shí)，所以解集為（-s,T］；

當(dāng)x=0時(shí)，/（%）=0,0>6,顯然不成立;

當(dāng)x>0時(shí)，由|/（x）|26可得，|3加一3,6,

即3工+1—326或3耕1一34—6,解得或xe0,

又x>0,所以解集為0，+（?）；

綜上所述，不等式1/（切26的解集為

21.（l）（-oo,loga2）

⑵心

【分析】（1）當(dāng)。<。<1且t=l時(shí)，可得出〃x）=log“（優(yōu)-2）,利用對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零以及

指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)/（X）的定義域；

（2）分析可知，關(guān)于x的方程log”（優(yōu)-2/）=2x有兩個(gè)不同的解，令/=〃，可得出方程

I一〃+2，=0有兩個(gè)不同的正根，分％?0、%>0兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)分布可求

得才的取值范圍.

A

【詳解】（1）解：當(dāng)0<°<1且f=l時(shí)，/（%）=loga（a-2）,

由題知，一2>0,即a，>2,解得尤<log“2,

故當(dāng)—1=1時(shí),函數(shù)/（無）的定義域?yàn)椋▂,log。2）.

（2）解：因?yàn)橐驗(yàn)閮?nèi)層函數(shù)p=a'-2/在定義域內(nèi)為增函數(shù)，

外層函數(shù)y=log.P在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以，函數(shù)/（X）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

因?yàn)楹瘮?shù)“X）的定義域?yàn)镺,存在在","］=￡）,使得/'（x）在卜小川上的值域?yàn)椋?機(jī)2可，

故ifU，所以，關(guān)于x的方程l°g〃（優(yōu)一2/）=2%有兩個(gè)不同的解，故/-2/=j，

即油-/+2/=0有兩個(gè)不同的解.

令優(yōu)=〃，若方40,則Z）=R,〃：>0,

答案第8頁，共10頁

即方程儲(chǔ)+2t=0可轉(zhuǎn)化為“2一"+2/=0有兩個(gè)不同的正數(shù)根，

令g（"）="2-"+2r,則A=1-8f>0,

設(shè)函數(shù)g（"）="2-a+2r的兩個(gè)零點(diǎn)分別為對(duì)、“2，則4%=2tW0,不合乎題意；

若f>0,J^D=（loga（2f）,+oo）,u>2t,

即方程編-/+2/=0可轉(zhuǎn)化為I_〃+2r=0