天津市河?xùn)|區(qū)2023-2024學(xué)年高二年級上冊期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

天津市河?xùn)|區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)

試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

22

1.如果橢圓一一+2=1上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)人的距離為6,則點(diǎn)尸到另一個焦點(diǎn)尸2的距

10036

離

A.6B.10C.12

2.拋物線/=6x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（3,0）B.1|,o]C.（0,3）

3.雙曲線C:9/一16y2=144的實(shí)半軸長為（）

A.16B.8C.4

4.已知遞增等比數(shù)列｛%｝,>0,a2a4=64,%+%=34,則4=（）

A.8B.16C.32D.64

5.已知等差數(shù)列｛%｝的公差為2,其前〃項(xiàng)和為S,,若。2是可與。5的等比中項(xiàng)，則S,等

于（）

A.108B.64C.49D.48

6.己知數(shù)列｛。“｝的前”項(xiàng)和為S“，若%+2=2S0（weN*）,則有（）

A.｛%｝為等差數(shù)列B.｛%｝為等比數(shù)列

C.｛S,｝為等差數(shù)列D.｛S,｝為等比數(shù)列

7.已知拋物線丁=4x的焦點(diǎn)為八準(zhǔn)線為/，點(diǎn)P在拋物線上，加取于點(diǎn)。.若尸

是鈍角三角形，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（1,+a））C.（0,2）D.（2,+勸

8.已知數(shù)列｛%｝滿足。什|+%=2〃+3（”eN*）,則％+a2024M（）

A.2023B.2024C.2027D.4046

9.已知雙曲線E的焦點(diǎn)為大（-L。），鳥（1,0）,過片的直線4與E的左支相交于A3兩

點(diǎn)，過工的直線4與E的右支相交于C,。兩點(diǎn)，若四邊形A5CD為平行四邊形，以AD

為直徑的圓過￡,|班|=|A￡|,則E的方程為（)

A.2x2-2y2=lB.3X2-^-=1

2

2

5x5y之

C.4f丁=1D.-------------=i

23

二、填空題

10.已知點(diǎn)A（l,右）在拋物線c：丁=2/上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為.

2

11.雙曲線V-當(dāng)=19>0）的離心率為2,則右焦點(diǎn)入到其漸近線的距離為___.

b

12.已知數(shù)列｛4,｝,%=22"L其前〃項(xiàng)的和為s“，貝|$5=.

13.已知丹、尸2為橢圓5+>2=1（。>1）的左右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，直線/經(jīng)過點(diǎn)

a

片且垂直平分線段AB，則該橢圓的離心率為.

14.已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)1=3,且數(shù)列｛1鳴叫｝是以-2為公差的等差數(shù)列，貝U

〃3=?

22

15.己知雙曲線C：/#=im>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為序鳥.點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在

—..2

y軸上，F(xiàn)iA.LFlB,F2A=--F2B,則。的離心率為.

三、解答題

22

16.過雙曲線土-匕=1的右焦點(diǎn)F?,傾斜角為30的直線交雙曲線于A,8兩點(diǎn)，求

36

試卷第2頁，共4頁

17.已知等比數(shù)列｛%｝的公比4片-1,前〃項(xiàng)和為S”.證明S,,S2n-Sn,邑“-邑"成等

比數(shù)列，并求這個數(shù)列的公比.

22_

18.已知橢圓石:1+2=1("6>0)的一個頂點(diǎn)為40,1),焦距為2右.

⑴求橢圓E的方程；

(2)過點(diǎn)尸(-2,1)作斜率為左的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)3,C,直線AB,AC分別與

x軸交于點(diǎn)M,N,當(dāng)|MN|=2時，求上的值.

19.已知數(shù)列｛%｝為遞增等差數(shù)列，數(shù)列也｝為等比數(shù)列，且4=2,。也=4,%仇=16,

a3b3=48

⑴求數(shù)列｛%｝與｛〃｝的通項(xiàng)公式：

("一4泡，〃為奇數(shù)

aA+2

⑵對任意的正整數(shù)"，設(shè)［=■，求數(shù)列｛g｝的前2〃項(xiàng)和;

2，”為偶數(shù)

〃i9

⑶求證￡n<G（〃eN*）

i=7.。一，J

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.D

22

【詳解】由橢圓工+匕=1知橢圓長軸長為2=20.設(shè)橢圓另一個焦點(diǎn)為尸2,根據(jù)橢圓定義

10036

得：P￡+P居=20尸笈=20—尸耳=20—6=14.故選D

2.B

【分析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求解即可.

【詳解】拋物線V=6x的焦點(diǎn)在x的正半軸上，2P=6,p=3￡4所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為1|,o]

故選：B.

3.C

【分析】根據(jù)題意，化簡雙曲線的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由雙曲線C:9/-16yJ144,可化為《一?=1,可得/=16,即。=4,

169

所以雙曲線的實(shí)半軸長為4.

故選：C.

4.D

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)、定義、通項(xiàng)公式計算求解即可.

【詳解】因?yàn)檫f增等比數(shù)列｛%,｝中外的=64,

所以q%=64,

又%+%—34,

解得％=2,〃5=32,

所以/=，=16,解得4=2,

所以％=2a弓=64,

故選：D

5.C

【分析】根據(jù)題意，列出方程求得4=1,結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.

【詳解】由題意知，等差數(shù)列｛%｝的公差為2,

因?yàn)椤?是％與％的等比中項(xiàng)，可得婚=4生，即（4+2）2=4（4+8）,解得4=1,

答案第1頁，共10頁

所以S7=74+*d=7xl++*x2=49.

22

故選：C.

6.B

fSi,/?—1(?.

【分析】AB選項(xiàng)，根據(jù)%=Js_sn〉2'求出｛%｝為公比為T的等比數(shù)列，A錯誤，B

正確；CD選項(xiàng)，再求出H=2,邑=0,S3=2,根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義得到CD錯誤.

【詳解】AB選項(xiàng)，當(dāng)”=1得%+2=2%,解得%=2,

q,+2=2S“(〃eN*)①，當(dāng)"22時，??_1+2=2Sn+1,②

式子①-②得a?-a”y=2%,故a,=-a,^,

所以｛%｝為2,-2,2,-2一，是公比為-1的等比數(shù)列，A錯誤，B正確；

CD選項(xiàng)，由于H=2,凡=0應(yīng)=2,故5-S尸邑-邑，故｛S“｝不是等差數(shù)列，

由于$2=0,故｛S,,｝不是等比數(shù)列，CD錯誤.

故選：B

7.A

【分析】設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)，由平面向量的數(shù)量積求解

【詳解】由題意得尸0=尸尸,尸(L0),設(shè)尸則。(Ty),

尸Q=(—1—x,0),PF=(l—x,—y),

若aPQ歹是鈍角三角形，則是—P為鈍角，Pe-PF=(-l-x)(l-x)<0,

又x>0,得0<x<l.

故選：A

8.C

【分析】由。"+1+。"=2〃+3可得4“+2+%+1=2〃+5,進(jìn)而可得=2,則有數(shù)列｛。“｝的

偶數(shù)項(xiàng)是以2為公差的等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.

【詳解】由。鸛+。”=2〃+3①,得%+“2=5,

“〃+2+4+1=2〃+5②，

答案第2頁，共10頁

由②一①得%+2-a.=2,

所以數(shù)列｛%｝的偶數(shù)項(xiàng)是以2為公差的等差數(shù)列，

、

+2x(2024

貝I]a2024=?2l——一11=?2+2022,

所以4+。2024=G+%+2022=5+2022=2027.

故選：C.

9.D

【分析】設(shè)。耳|=體丹=》，連接",則有|D]=x—2a,|C段=|明|=x,|C司=x+2a,

\DC\=\DF^+\CF^=2x-2a,在直角三角形C"；中，由|C￡「=|阿「可得尤=3。，在

直角三角形片4。中，由居用『可得5a2=2°2,再結(jié)合C=1,即可求得答案.

【詳解】解：設(shè)|聞=|明|=x,則函=x-2a,

由雙曲線的對稱性和平行四邊形的對稱性可知：|Cg|=|4團(tuán)=x,

連接C%則有|C￡|=x+2a,|￡)q=|M|+|CE|=2x—2a,

由于月在以AD為直徑的圓周上，

,。耳_LA6，

??,A3CD為平行四邊形，

AB//CD,

：.DFJDC,

在直角三角形中，司2+"以，

即(x+2a)2=爐+(2%-2a)2,

解得x=3a,

答案第3頁，共10頁

所以司=3a,卬閶=a；

在直角三角形片居。中，|必「+|。閭2=閨月『，

HP（3a）2+O2=（2c）2>得5a2=2c2，

又因?yàn)閏=l,

所以/=,，^=1，

所以雙曲線的方程為紀(jì)-之=1.

23

故選:D.

10.-

4

【分析】由題意首先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為

x=-|,最后利用點(diǎn)的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程計算點(diǎn)A到C的準(zhǔn)線的距離即可.

【詳解】由題意可得：（若『=2pxl,則2P=5,拋物線的方程為產(chǎn)=5萬，

準(zhǔn)線方程為x=，點(diǎn)A到C的準(zhǔn)線的距離為1=|.

9

故答案為：—.

4

11.73

【分析】由雙曲線離心率結(jié)合方程求出。，仇。，得到右焦點(diǎn)尸2的坐標(biāo)和雙曲線漸近線方程,

利用公式求點(diǎn)到直線的距離.

2_____

【詳解】雙曲線V一方=1僅>0）的離心率為2,由a=l得c=2,則1c2-/=5

右焦點(diǎn)用（2,0）,漸近線方程為氐±y=0,尸2到漸近線的距離為丁="7『+]2=」.

故答案為：73

12.682

【分析】利用等比數(shù)列的定義及求和公式運(yùn)算即可得解.

【詳解】解：由題意為=22"、〃eN*

==22=4,neN*.

4221

答案第4頁，共10頁

數(shù)列｛凡｝是首項(xiàng)為4=2,公比為q=4的等比數(shù)歹lj.

22x5+1-2_2“-2_2046

故答案為：682.

13.—/0.5

2

【分析】根據(jù)題意，利用垂直平分線的性質(zhì)，得到|A耳|=|耳月結(jié)合離心率的定義，即可

求解.

【詳解】如圖所示，直線/為線段人工的垂直平分線，可得|鉆|=|耳司，即”=2c,

故答案為：—■

【分析】分析可知數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可得出的的值.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛10g3%｝是以—2為公差的等差數(shù)列，貝口。g3。向-1。83?！?1。834包=-2,

an

所以，—=32=1,所以，數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為3,公比為:的等比數(shù)列，

因止匕，二」一.

故答案為：

⑸挈/M

【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到|9|,|巡忸胤,|叫|關(guān)于

答案第5頁，共10頁

a，機(jī)的表達(dá)式，從而利用勾股定理求得。=〃z,進(jìn)而利用余弦定理得到a，。的齊次方程，從

而得解.

方法二：依題意設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，從而由向量坐標(biāo)運(yùn)算求得尤。=；5。,%=-。2乙產(chǎn)=4，，將點(diǎn)

A代入雙曲線C得到關(guān)于"c的齊次方程，從而得解；

【詳解】方法一：

依題意，設(shè)|明|=2%,則忸閭=3以=忸耳|,|四|=勿+2a,

在RtABG中，9機(jī)2+（24+2機(jī)產(chǎn)=25機(jī)之，則（a+377z）（a-/〃）=0,故。=加或a=—3〃z（舍去），

所以|9|=4a,|隹|=2a,忸同=|即|=3a,則陷=5a,

故cosNfJAK=-AF.L4o_4

5a5

所以在中，8s4伍=*比”=1整理得5c』片,

依題意，得耳(-C,O),耳(c,0),令45,%),3(0,0,

2252

因?yàn)榫覣=所以=則無0=§c,%,

又耳耳3,所以月4/8=1|。,一：/｝（。#=|/_（/=0,則r=4,2,

25

25r24戶則"小匕

又點(diǎn)A在。上，則g整理得合一三=1,

=19a29b2

/b2

所以25c2〃一16c2〃=9a2b2,即25c2(c2-a2)-16?2c2=9a2(c2-a2),

2222

整理得25c4-50^2+9,=0,^(5c-9?)(5c-a)=0r解得5c?=9/或5c?=/,

答案第6頁，共10頁

又e>l,所以e=*5或e=^（舍去），故e=>5.

555

故答案為：史.

5

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線過焦點(diǎn)的三角形的解決關(guān)鍵是充分利用雙曲線的定義，結(jié)合勾股

定理與余弦定理得到關(guān)于"c的齊次方程，從而得解.

16.興

【分析】由雙曲線方程求出工的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線的方程，直線方程與雙曲線方程聯(lián)

立消去y,可得占+%、占X?,再由弦長公式即可求弦長.

22

【詳解】由土-匕=1得，/=3,從=6,所以=9即c=3,

36

所以右焦點(diǎn)區(qū)（3,0）,

因?yàn)橹本€的傾斜角是30，且直線經(jīng)過右焦點(diǎn)月（3,0）,

所以直線A2的方程為了=#（丈-3）,

y=—（x-3）

由《,,可得：5f+6x-27=0,

±-乙=1

136

叱?627

所以須+%2=-1，玉/=--，，

Iz/—\2_______________

所以河|=+]孝Jx'E+xJ2/

-4玉％2

四音忐網(wǎng)-升專241673

X——二----.

55

17.證明見解析；q"

【分析】利用等比數(shù)列求和公式、等比數(shù)列的定義運(yùn)算分析即可得證得解.

【詳解】證明：當(dāng)4=1時，S.n僅1,

S2n-Sn=2nax-nax=nax,

S3n-S2n=3〃〃]-2na{=nax,

答案第7頁，共10頁

$3”一$2“_$3“-S"_"4

因?yàn)?1

S].-S“Snnax

所以S“，S2n-S?,Sw-Sz”成等比數(shù)列,公比為1.

a\\~qn

當(dāng)qwl時，S,=x

"q

a^-q2"

s2n-s?==g,

i-qi-qi-q

a.(l-q3n蜉山天（邑-“），

i—q

52“S“_S3,,一邑“

所以=q".

S

因?yàn)?'為常數(shù)，所以S.，邑”-S“，S3,,-邑“成等比數(shù)列，公比為,，

綜上知，S”,s2n-sn,”,-星“成等比數(shù)列，公比為‘，

丫2

18.（1）—+y2=l

4

（2）k=T

b=l

【分析】（1）依題意可得2c=2/，即可求出。，從而求出橢圓方程；

c2=a2-b2

（2）首先表示出直線方程，設(shè)3國,%）、C（%%）,聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)

定理，由直線AB、AC的方程，表示出為、X.,根據(jù)|加時=|4-%|得到方程，解得即可；

【詳解】（1）解：依題意可得力=1,2c=26，又-尸，

所以。=2,所以橢圓方程為三+丁=1；

4

（2）解：依題意過點(diǎn)?（-2,1）的直線為y-1=k（％+2）,設(shè)3（項(xiàng),％）、C（x2,y2）,不妨令

一2W玉v々（2,

y-l=%(x+2)

由，f。,消去y整理得(1+43)尤2+(i6F+8@x+16/+i6)t=0,

14-

答案第8頁，共10頁

所以A=（16/+84）2-4（1+4用（16公+164）>0,解得左<0,

；匚a16k2+8k16〃+16k

XXZ

丹T以項(xiàng)+%2=一一］+4,2，\'21+4公

直線A5的方程為yT1=^y_—］X,令…，解得"=汽

%

1Vo—1

直線AC的方程為,一1=,令…，解得”之

x2

所以小1F==-上

1-［他2+2）+1］-1-［左（芯+2）+1］

*2?%

—左（々+2）左（工］+2）

（x2+2）玉一x2（xj+2）

k（&+2乂h+2）

2年一天|

|磯工2+2)(芯+2)

所以打一百=|磯馬+2乂再+2),

即J（尤］+%）~-47々=網(wǎng)［尤2苫1+2（尤2+X］）+4］

Bn\（16/+8公，16公+16左⑴16/+16左J16左2+8公，

即1.......--4x------L=網(wǎng)------—+2--------+4

虱1+4左2）1+4k2111+4公（1+4/J

2

即］：笈2，（2左2+、）2_0+4,2）（,?+,）=J^L［16^+16左一2（16左2+8左）+4（1+4k?）］

整理得8口=4網(wǎng)，解得左=T

19.(1)4=2〃，2=2"

0、22n6n+54

2n+l9-4"9

(3)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)已知條件求得｛%｝的公差及也｝的公比，從而求得｛%｝與也｝的通項(xiàng)公式;

答案第9頁，共10頁

（2）利用裂項(xiàng)相消法和錯位相減法進(jìn)行計算即可;

12注1

（3）利用工工（（2—）（2卬一1），結(jié)合裂項(xiàng)相消法即可得證?

【詳解】（1）設(shè)數(shù)列｛q｝的公差為d,且d>0,數(shù)列出｝的公比為少

因?yàn)?=2,。向=4,所以4=2,則

a力z=（2+d）?2q=16

d=2

v=（2+2d）-2/=48,解得

q=2

d>0

所以｛??）的通項(xiàng)公式為an=2+2（〃-1）=2“，也｝的通項(xiàng)公式為2=2.2"一=2".

（2）九為奇數(shù)時，記〃二2左一1,%EN*,

則G1=（加I-4泡1（12左22（^-1）

a2k-\a2k+\2（2左一1>2（2左+1）2k+l