數(shù)值分析-方程組題庫(kù)

例5-10求矩陣Q的||Q||1，||Q||2，||Q||與Cond2(Q)，其中 分析這實(shí)際上是根本概念題，只要熟悉有關(guān)范數(shù)與條件數(shù)的定義即可。解答〔1〕由定義，顯然||Q||1=4〔2〕因QTQ=4I，故〔3〕由定義顯知〔4〕因QTQ=4I，故，從而 所以 例5-12設(shè)有方程組AX=b，其中 它有解.如果右端有小擾動(dòng)，試估計(jì)由此引起的解的相對(duì)誤差。分析此題是討論方程組的右端項(xiàng)的小誤差所引起的解的相對(duì)誤差的估計(jì)問題，這與系數(shù)矩陣的條件數(shù)有關(guān)，只要求出Cond(A)，再由有關(guān)誤差估計(jì)式即可算得結(jié)果。解答容易求得 ，從而Cond(A)=22.5由公式有 例5-13試證明矩陣A的譜半徑與范數(shù)有如下關(guān)系 其中||A||為A的任何一種算子范數(shù)。分析由于譜半徑是特征值的絕對(duì)值的最大者，故由特征值的定義出發(fā)論證是自然的。證明由特征值定義，對(duì)任一特征值有 AX=X〔X0，特征向量〕取范數(shù)有 ||AX||=||||X||由于范數(shù)||A||是一種算子范數(shù)，故有相容關(guān)系 ||AX||||A||||X||從而 ||||X||||A||||X||由于X0，故||||A||，從而 (A)||A||例5-18設(shè)A,B為n階矩陣，試證 Cond(AB)Cond(A)Cond(B)分析由條件數(shù)定義和矩陣范數(shù)的性質(zhì)即可證明。證明 例5-19設(shè)A,B為n階非奇異矩陣，||||表示矩陣的任何一種算子范數(shù)，試證〔1〕〔2〕分析由矩陣范數(shù)的根本性質(zhì)即可推證。證明〔1〕，因?yàn)閨|||是算子范數(shù)，故 又 故 即 〔2〕，從而 即 例5-20設(shè)A為n階非奇異矩陣，且有三角分解A=LU，其中L為單位下三角陣，U為上三角陣。求證A的所有順序主子式均不為零。分析因?yàn)橐CA的所有順序主子式均不為零，故把A=LU按分塊的形式寫出比擬好，再由A的非奇異性即可推證。證明設(shè) 將A=LU按分塊形式寫出那么有 從而由矩陣的分塊乘法有 Ak=LkUk,(k=1,2,…,n)因?yàn)?A=An=LnUn非奇異，故 從而 Ak非奇異，A的所有順序主子式不為零。例5-22非奇異矩陣不一定都有LU分解。分析這只需要舉一個(gè)例子就行了。一般舉例子盡量要簡(jiǎn)單些，而一個(gè)恰當(dāng)?shù)睦油枰?jīng)過幾次反復(fù)的“失敗—修正”后才研究下來。解答考慮矩陣 顯然A非奇異，假設(shè)A有LU分解，那么有 于是ae=bd=1，而ad=0，顯然矛盾。故該非奇異矩陣不存在LU分解，所以說并非非奇異矩陣都有LU分解。

例5-4設(shè)是對(duì)稱正定矩陣，經(jīng)過高斯消去法一步后A約化為 其中，證明〔1〕A的對(duì)角元素aii>0,i=1,2,…,n；〔2〕A2也對(duì)稱正定；〔3〕；〔4〕。證明〔1〕因A對(duì)稱正定，故 aii=(Aei,ei)>0,i=1,2,…,n其中為第i個(gè)單位向量。〔2〕由A的對(duì)稱性及消元公式得 故A2也對(duì)稱。又 其中 顯然L1非奇異，從而對(duì)任意的x0，有 〔由A的正定性〕故正定。又，而，故A2正定。〔3〕因A正定，故a11>0，故由消元公式有 〔4〕先設(shè)，取 那么，與A2正定矛盾，故 由〔1〕，〔3〕有 例5-14設(shè)A是任一n階對(duì)稱正定矩陣，證明是一種向量范數(shù)。證明〔1〕因A正定對(duì)稱，故當(dāng)x=0時(shí)，||x||A=0，而當(dāng)x0時(shí)，?！?〕對(duì)任何實(shí)數(shù)c，有 〔3〕因A正定，故有分解A=LLT，那么 故對(duì)任意向量x和y，總有 綜上可知，是一種向量范數(shù)。例5-15設(shè)，證明是一種矩陣范數(shù)。證明〔1〕，且?！?〕對(duì)任意實(shí)數(shù)c，有 〔3〕〔4〕 故||A||是一種矩陣范數(shù)。例5-19計(jì)算Cond(A)及Cond( DA);其中此結(jié)果說明了什么？解故計(jì)算結(jié)果說明了用對(duì)角陣左乘A可以改善其條件數(shù)。例5-20設(shè)，Ax=b的精確解為x=(3,-1)T.〔1〕計(jì)算條件數(shù)Cond(A);〔2〕假設(shè)近似解，計(jì)算剩余向量；〔3〕利用事后誤差估計(jì)式計(jì)算不等式右端，并與不等式左邊比擬。此結(jié)果說明了什么？解〔1〕 〔2〕〔3〕由事后誤差估計(jì)式，右端為 而左端 這說明當(dāng)A為病態(tài)矩陣時(shí)，盡管剩余||r||很小，誤差估計(jì)仍然較大。因此，當(dāng)A病態(tài)時(shí)，用||r||大小作為檢驗(yàn)解的準(zhǔn)確度是不可靠的。例5-21設(shè)對(duì)稱正定陣，試計(jì)算||A-1||2，||A||2和Cond(A)2,且找出b〔常數(shù)〕及擾動(dòng)b，使 解，故，從而 假設(shè) x+x=y,A(x+x)=b+b取b=(1,-1)T，b=(1,1)T，那么解Ax=b，即 得又解 得。故 而 故 例5-22求下面兩方程組的解，并利用矩陣的條件數(shù)估計(jì) 即Ax=b 即記，，那么Ax=b的解，而的解，故，從而，而 ，由誤差估計(jì)得 說明估計(jì)是符合實(shí)際的。1.填空題〔1〕，那么，，；〔2〕，那么，，；〔3〕，那么A的譜半徑(A)=；A的條件數(shù)Cond(A)=；〔4〕，Cond(A)2=；〔5〕設(shè)，為使A可分解為A=LLT，其中L是對(duì)角線元素為正的下三角形矩陣，那么a的取值范圍是，取a=1，那么L=?！泊鸢福骸?〕19，13，12；〔2〕4，3.6180340，5；〔3〕，6；〔4〕；〔5〕，10.下述矩陣能否分解為L(zhǎng)U〔其中L為單位下三角陣，U為上三角陣〕？假設(shè)能分解，那么分解是否惟一？ ， ， 解A中2=0，故不能分解。但det(A)=-100，故假設(shè)將A中第一行與第三行交換，那么可以分解，且分解惟一。B中，2=3=0，但它仍可以分解為 其中l(wèi)32為一任意常數(shù)，且U奇異，故分解不惟一。對(duì)C，i0，i=1,2,3，故C可分解且分解惟一。 17.矩陣第一行乘以一數(shù)成為 證明當(dāng)時(shí)，Cond(A)有最小值。證明設(shè)0，那么 又 故 從而當(dāng)時(shí)，即時(shí)，Cond(A)有最小值，且 minCond(A)=7例24。〔1〕求〔2〕求A的譜半徑?！?〕求三個(gè)非零向量X，分別滿足 解〔1〕， 。由，得。解得，故 ?！?〕由，得，解得，故 ?！?〕假設(shè)滿足的解X存在，那么也滿足。故按題目要求，只須求出滿足的解。這時(shí)，有 解此方程組得。 解此方程組得。記是ATA的最大特征值，X是相應(yīng)的特征向量，且，那么 這說明X即為所求。令，即 。得 代入，得 其中此就是滿足的向量。33.Hilbert矩陣 ?！?〕計(jì)算H3的條件數(shù)cond(H).〔2〕解方程時(shí)，假設(shè)H3及b有微小誤差〔取3位有效數(shù)字〕，估計(jì)解X的誤差。35.填空題〔1〕，那么，，?！?〕，那么，。33.解〔1〕； ，所以cond(H3)=748。