專(zhuān)題15概率（知識(shí)梳理精講）原卷版

專(zhuān)題15概率知識(shí)點(diǎn)一有關(guān)隨機(jī)事件的概率(1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.例1．（1）、（2024上·四川宜賓·高二統(tǒng)考期末）袋子中裝有4個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)白球，2個(gè)紅球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球．記事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“兩個(gè)球顏色相同”（

）A．事件A與事件B互斥 B．事件A與事件B獨(dú)立C．事件A與事件B對(duì)立 D．事件C包含事件（2）、（2024上·湖北十堰·高三統(tǒng)考期末）有5張相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1張卡片．表示事件“第一次取出的卡片上的數(shù)字為2”，表示事件“第二次取出的卡片上的數(shù)字為1”，表示“事件兩次取出的卡片上的數(shù)字之和為6”，表示事件“兩次取出的卡片上的數(shù)字之和為7”，則（

）A．與相互獨(dú)立 B．與相互獨(dú)立C．與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立（3）、（2024上·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．對(duì)立事件一定是互斥事件B．若是互斥事件，則C．甲乙兩人獨(dú)立地解同一道題，已知各人能解出該題的概率分別是0.5和0.25，則該題被解出的概率是0.75D．從中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率是1．（2024上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·高二統(tǒng)考期末）將一枚均勻硬幣連續(xù)拋擲兩次，下列事件中與事件“至少一次正面向上”互為對(duì)立事件的是（

）A．至多一次正面向上 B．兩次正面都向上C．只有一次正面向上 D．兩次都沒(méi)有正面向上2．（2024上·湖北恩施·高二恩施土家族苗族高中?？茧A段練習(xí)）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，設(shè)“第一次向上的點(diǎn)數(shù)是2”為事件，“第二次向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”為事件，“兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和能被3整除”為事件，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．事件與事件互斥B．C．D．事件與事件不相互獨(dú)立3．（2023下·湖南岳陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）將一枚質(zhì)地均勻且標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的骰子隨機(jī)擲兩次，記錄每次正面朝上的數(shù)字，甲表示事件“第一次擲出的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次擲出的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次擲出的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次擲出的數(shù)字之和是7”.則（

）A．事件甲與事件丙是互斥事件B．事件甲與事件丁是相互獨(dú)立事件C．事件乙包含于事件丙D．事件丙與事件丁是對(duì)立事件知識(shí)點(diǎn)二有關(guān)古典概型的概率1.古典概型具有以下兩個(gè)特征的概率模型稱(chēng)為古典的概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)古典概型.(1)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有有限個(gè)，每次試驗(yàn)只出現(xiàn)其中的一個(gè)結(jié)果.(2)每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同.2.如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是eq\f(1,n)；如果某個(gè)事件A包括的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率P(A)＝eq\f(m,n).3.古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(事件A包含的可能結(jié)果數(shù),試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)).例2．（1）、（2024上·陜西漢中·高一南鄭中學(xué)校聯(lián)考期末）為充分挖掘“漢風(fēng)古韻”文化內(nèi)涵，漢中市創(chuàng)新策劃了“漢風(fēng)年，老家過(guò)”2024年迎新春系列文化活動(dòng)，活動(dòng)圍繞“潮、賞、購(gòu)、趣、游”5個(gè)主題開(kāi)展.某公司計(jì)劃從5個(gè)主題中選取2個(gè)主題制作吉祥物，則主題“游”當(dāng)選的概率為.（2）、（2023上·河南安陽(yáng)·高一校聯(lián)考期末）在足球比賽中通常要求雙方穿著顏色不同的球衣，已知甲隊(duì)有白、黑、紅3種顏色的球衣，乙隊(duì)有藍(lán)、白、黑3種顏色的球衣．若甲、乙兩隊(duì)隨機(jī)挑選一套球衣進(jìn)行比賽，則他們的球衣顏色符合要求的概率為（

）A． B． C． D．（3）、（2023上·廣東佛山·高二校聯(lián)考期中）某戲曲學(xué)院圖書(shū)館藏有四部戲曲名著各10本，由于該戲曲學(xué)院的部分學(xué)生對(duì)《牡丹亭》這部戲曲產(chǎn)生了濃厚的興趣，該戲曲學(xué)院圖書(shū)館決定購(gòu)買(mǎi)一批《牡丹亭》戲曲書(shū)籍（其他三部數(shù)量保持不變）若干本．若要保證購(gòu)買(mǎi)后在該戲曲學(xué)院圖書(shū)館所藏有的這四大戲曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戲曲書(shū)籍的概率不小于0.6，則該戲曲學(xué)院圖書(shū)館需至少購(gòu)買(mǎi)《牡丹亭》戲曲書(shū)籍（

）A．25本 B．30本 C．35本 D．40本1．（2023上·上?！じ叨虾Ｊ邢蛎髦袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）桌上有三個(gè)紙杯，正中間那一個(gè)有巧克力，現(xiàn)采取如下操作：將正中間那個(gè)紙杯和左右兩邊中的任意一個(gè)紙杯互換，記為一次操作，重復(fù)上述操作4次，則正中間紙杯中有巧克力的概率是.2．（2024上·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不大于10的素?cái)?shù)中，選兩個(gè)不同的數(shù)，和為偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．3．（2023上·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）《易經(jīng)》是中國(guó)文化中的精髓，如圖，這是易經(jīng)八卦圖（含乾?坤?巽?震?坎?離?艮?兌八卦），每一卦由三根線組成（表示一根陽(yáng)線，稱(chēng)為陽(yáng)爻，表示一根陰線，稱(chēng)為陰爻），從八卦中任取一卦，則卦中陽(yáng)爻比陰爻多的概率為（

）A． B． C． D．例3．（2024上·廣西桂林·高一統(tǒng)考期末）2023年11月，首屆全國(guó)學(xué)生（青年）運(yùn)動(dòng)會(huì)在廣西舉行.10月31日，學(xué)青會(huì)火炬?zhèn)鬟f在桂林舉行，廣西師范大學(xué)有5名教師參與了此次傳遞，其中男教師2名，女教師3名.現(xiàn)需要從這5名教師中任選2名教師去參加活動(dòng).(1)寫(xiě)出試驗(yàn)“從這5名教師中任選2名教師”的樣本空間；(2)求選出的2名教師中至多有1名男教師的概率.例4．（2024上·四川巴中·高二統(tǒng)考期末）新高考科目設(shè)置采用“”模式，普通高中學(xué)生從高一升高二時(shí)將面臨選擇物理還是歷史的問(wèn)題，某校進(jìn)行了大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，在1000名學(xué)生的問(wèn)卷調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)有800名學(xué)生選擇了物理，200名學(xué)生選擇了歷史．(1)從這1000名學(xué)生中按選科比例選出五名學(xué)生將選科信息錄入系統(tǒng)，同時(shí)在這五名學(xué)生中抽取兩名學(xué)生作為組長(zhǎng)，寫(xiě)出樣本空間；(2)求出（1）中兩名組長(zhǎng)出自不同選科的概率．例5．（2024上·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在一次猜燈速的活動(dòng)中，共有20道燈謎，甲乙兩名同學(xué)之間獨(dú)立競(jìng)猜.甲同學(xué)猜對(duì)了16道，乙同學(xué)猜對(duì)了12道，假設(shè)猜對(duì)每道燈謎都是等可能的.(1)任選一道燈謎，求甲和乙各自猜對(duì)的概率；(2)任選一道燈謎，求甲和乙至少一人猜對(duì)的概率.例6．（2024上·云南大理·高二統(tǒng)考期末）算盤(pán)是我國(guó)古代一項(xiàng)偉大的發(fā)明，是一類(lèi)重要的計(jì)算工具．如圖是一把算盤(pán)的初始狀態(tài)，自右向左，分別表示個(gè)位、十位、百位、千位、……，上面一粒珠子（簡(jiǎn)稱(chēng)上珠）代表5，下面一粒珠子（簡(jiǎn)稱(chēng)下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大?。纾瑐€(gè)位撥動(dòng)一粒上珠、十位撥動(dòng)一粒下珠至梁上，表示數(shù)字15．現(xiàn)將算盤(pán)的個(gè)位、十位、百位分別隨機(jī)撥動(dòng)一粒珠子至梁上，設(shè)事件“表示的三位數(shù)能被5整除”，“表示的三位數(shù)能被3整除”．(1)求事件發(fā)生的概率；(2)求事件或發(fā)生的概率．.知識(shí)點(diǎn)三有關(guān)長(zhǎng)度的幾何概率1.幾何概型的定義如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)為幾何概型.2.幾何概型的兩個(gè)基本特點(diǎn)(1)無(wú)限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性.3.幾何概型的概率公式P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）).例7．（1）、（2023上·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）一個(gè)路口的紅綠燈，紅燈的時(shí)間為40秒，黃燈的時(shí)間為5秒，綠燈的時(shí)間為45秒，當(dāng)你到達(dá)路口時(shí)，看見(jiàn)黃燈的概率為（

）A． B． C． D．（2）、（2022下·內(nèi)蒙古赤峰·高二統(tǒng)考期末）在區(qū)間上任取一個(gè)數(shù)x，若x滿足的概率為，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．81．（2023·江西撫州·金溪一中統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在區(qū)間[0，π]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則事件“”的概率為（

）A． B． C． D．2．（2022上·陜西榆林·高二?？计谀┰趨^(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)，則的概率為（

）A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)四有關(guān)面積的幾何概率例8．（1）、（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測(cè)）勾股定理，是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，被稱(chēng)為“幾何學(xué)的基石”，而且在高等數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中也有著極為廣泛的應(yīng)用．正因?yàn)檫@樣，世界上幾個(gè)文明古國(guó)都已發(fā)現(xiàn)并且進(jìn)行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱(chēng)．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在所注解的《周髀算經(jīng)》中給出了一種勾股定理的絕妙證明．如圖，這是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個(gè)以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱(chēng)為弦實(shí)．圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形，分別涂成紅（朱）色及黃色，其面積稱(chēng)為朱實(shí)、黃實(shí)，利用2×勾×股+（股勾）=4×朱實(shí)+黃實(shí)=弦實(shí)，化簡(jiǎn)得勾+股=弦．設(shè)勾股形中勾股比為5∶12，現(xiàn)給弦圖內(nèi)的4個(gè)朱色三角形分別作內(nèi)切圓，并向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲1粒芝麻（大小忽略不計(jì)），則芝麻落在所作的4個(gè)內(nèi)切圓中的概率為（

）A． B． C． D．（2）、（2023·內(nèi)蒙古包頭·統(tǒng)考二模）小王家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上之間把報(bào)送到小王家，小王離開(kāi)家去工作的時(shí)間在早上之間．用A表示事件：“小王在離開(kāi)家前能得到報(bào)紙”，設(shè)送報(bào)人到達(dá)的時(shí)間為x，小王離開(kāi)家的時(shí)間為y，看成平面中的點(diǎn)，則用幾何概型的公式得到事件A的概率P（A）等于（

）A． B． C． D．1．（2022·甘肅臨夏·統(tǒng)考一模）如圖是一張剪紙窗花，外部正六邊形的