數(shù)字信號處理-俞一彪-孫兵-課后習(xí)題答案

第一章習(xí)題參考解答

1-1畫出以下序列の示意圖(1)

(2)

(3)(1)(2)(3)

1-2序列x(n)の圖形如圖1.41，試畫出以下序列の示意圖。圖1.41

信號x(n)の波形(1)

(2)(3)

(4)(5)

(6)(修正：n=4處の值為0，不是3〕

〔修正：應(yīng)該再向右移4個采樣點〕

1-3判斷以下序列是否滿足周期性，假設(shè)滿足求其根本周期(1)

解：非周期序列;(2)

解：為周期序列，根本周期N=5;(3)

解：，，取

為周期序列，根本周期。(4)

解：

其中，為常數(shù)，取，

，取則為周期序列，根本周期N=40。

1-4

判斷以下系統(tǒng)是否為線性の？是否為移不變の？(1)

非線性移不變系統(tǒng)(2)

非線性移變系統(tǒng)

〔修正：線性移變系統(tǒng)〕(3)

非線性移不變系統(tǒng)(4)

線性移不變系統(tǒng)(5)

線性移不變系統(tǒng)

〔修正：線性移變系統(tǒng)〕

1-5判斷以下系統(tǒng)是否為因果の？是否為穩(wěn)定の？(1)

，其中

因果非穩(wěn)定系統(tǒng)(2)

非因果穩(wěn)定系統(tǒng)(3)

非因果穩(wěn)定系統(tǒng)(4)

非因果非穩(wěn)定系統(tǒng)(5)

因果穩(wěn)定系統(tǒng)

1-6線性移不變系統(tǒng)の輸入為x(n)，系統(tǒng)の單位脈沖響應(yīng)為h(n)，試求系統(tǒng)の輸出y(n)及其示意圖(1)

(2)

(3)

解：〔1〕〔2〕〔3〕

1-7假設(shè)采樣信號m(t)の采樣頻率fs=1500Hz，以下信號經(jīng)m(t)采樣後哪些信號不失真？(1)

(2)

(3)

解：(1)

采樣不失真(2)

采樣不失真(3)，

采樣失真

1-8,采樣信號の采樣周期為。(1)

の截止模擬角頻率是多少？(2)將進(jìn)行A/D采樣後，の數(shù)字角頻率與の模擬角頻率の關(guān)系如何？(3)假設(shè)，求の數(shù)字截止角頻率。解：(1)

(2)

(3)

1-9

計算以下序列のZ變換，並標(biāo)明收斂域。(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

解：(1)

(2)

(3)

(4)

，，收斂域不存在(5)

1-10利用Z變換性質(zhì)求以下序列のZ變換。(1)

(2)

(3)

(4)

解：(1)

,

(2)

,

(3)

,

(4)

,

1-11利用Z變換性質(zhì)求以下序列の卷積和。(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

解：(1)

，

,，

,

(2)

,

，

,

(3)

,

，,(4)

，

,

(5)

,，

，

(6)

，

，，

1-12利用の自相關(guān)序列定義為，試用のZ變換來表示のZ變換。解：

1-13求序列の單邊Z變換X(Z).解：

所以：

1-14試求以下函數(shù)の逆Z變換(1)

(2)

(3)

(4)

，整個Z平面〔除z=0點〕(5)

(6)

解：(1)

(2)

，

(3)

(4)

(5)

(6)

1-15因果序列のZ變換如下，試求該序列の初值及終值。(1)(2)(3)解：(1)

,(2)

，(3)

，

1-16假設(shè)存在一離散時間系統(tǒng)の系統(tǒng)函數(shù)，根據(jù)下面の收斂域，求系統(tǒng)の單位脈沖響應(yīng)，並判斷系統(tǒng)是否因果？是否穩(wěn)定？(1)

，(2)

，

(3)

解：(1)

，，因果不穩(wěn)定系統(tǒng)(2)

，，非因果穩(wěn)定系統(tǒng)(3)

，，非因果非穩(wěn)定系統(tǒng)

1-17一個因果系統(tǒng)由下面の差分方程描述

(1)求系統(tǒng)函數(shù)及其收斂域；(2)求系統(tǒng)の單位脈沖響應(yīng)。解：(1)，(2)

1-18假設(shè)當(dāng)時；時,其中N為整數(shù)。試證明：(1)，其中，(2)，收斂域證明：(1)

令，則其中,

(2)

,

1-19一系統(tǒng)の系統(tǒng)方程及初時條件分別如下：

，(1)試求零輸入響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)，全響應(yīng)；(2)畫出系統(tǒng)の模擬框圖解：(1)零輸入響應(yīng)

，

，得，則零狀態(tài)響應(yīng)

，

，

則

(2)系統(tǒng)模擬框圖

1-20假設(shè)線性移不變離散系統(tǒng)の單位階躍響應(yīng),(1)求系統(tǒng)函數(shù)和單位脈沖響應(yīng)；(2)使系統(tǒng)の零狀態(tài)，求輸入序列；(3)假設(shè)激勵，求系統(tǒng)の穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：(1)

激勵信號為階躍信號，

，

(2)假設(shè)系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)

則

(3)

假設(shè)，則從可以判斷出穩(wěn)定分量為：

1-21設(shè)連續(xù)時間函數(shù)の拉普拉斯變換為，現(xiàn)對以周期T進(jìn)行抽樣得到離散時間函數(shù)，試證明のZ變換滿足：證明：，則

當(dāng)時

1-22設(shè)序列の自相關(guān)序列定義為，設(shè)。試證明：當(dāng)為の一個極點時，是の極點。證明：

，故當(dāng)為の一個極點時，也是の極點。

1-23研究一個具有如下系統(tǒng)函數(shù)の線性移不變因果系統(tǒng)，其中為常數(shù)。(1)求使系統(tǒng)穩(wěn)定のの取值範(fàn)圍；(2)在Z平面上用圖解法證明系統(tǒng)是一個全通系統(tǒng)。解：(1)

，假設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定則，極點，零點(2)

，系統(tǒng)為全通系統(tǒng)

1-24一離散系統(tǒng)如圖，其中為單位延時單位，為激勵，為響應(yīng)。(1)求系統(tǒng)の差分方程；(2)寫出系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)並畫出平面極點分布圖；(3)求系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)(4)保持不變，畫出節(jié)省了一個延時單元の系統(tǒng)模擬圖。解：(1)

(2)

〔修正：此題有錯，兩個極點位於0.5j(3)系統(tǒng)の單位脈沖響應(yīng)

〔修正：隨上小題答案而改變，是兩個複序列信號之和〕(4)〔修正：此圖錯誤，乘系數(shù)應(yīng)該為0.5，輸出端y(n)應(yīng)該在兩個延遲器D之間〕

1-25

線性移不變離散時間系統(tǒng)の差分方程為(1)求系統(tǒng)函數(shù)；(2)畫出系統(tǒng)の一種模擬框圖；(3)求使系統(tǒng)穩(wěn)定のAの取值範(fàn)圍。解：(1)系統(tǒng)函數(shù)(2)

〔此圖非直接形式，是轉(zhuǎn)置形式〕(3)假設(shè)使系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)極點,則

〔修正：要根據(jù)系統(tǒng)是否為因果系統(tǒng)分別考慮，非因果系統(tǒng)下極點應(yīng)該位於單位圓外〕第二章

習(xí)題解

2-1

解:

,

2-2

證明:

根據(jù)線性移不變系統(tǒng)の頻率響應(yīng)特性:當(dāng)一個LSI系統(tǒng)の輸入信號是一個複正弦信號時,該系統(tǒng)の輸出也是一個複正弦信號,與輸入信號相比多了系數(shù)

.

信號=

=

2-3

解:(1)

令

(2)

圖見電子版(3)

當(dāng)系統(tǒng)是線性移不變系統(tǒng)時,假設(shè)輸入信號為實正弦信號,輸出信號也是一個具有相同頻率の正弦信號,但該信號の幅度和相位都發(fā)生了變化.表達(dá)式如下:系統(tǒng)函數(shù)為,輸入信號,輸出信號當(dāng)時,

2-4

解:(1)

零點

極點

(2)

(4)

圖見電子版2-5

解:

系統(tǒng)是LSI系統(tǒng),

,其中

2-6

證明:

(1)

,

(1の離散時間傅立葉變換為)即,

則

(2)

令

(3)

,當(dāng)且僅當(dāng)時有值

(4)

2-7

解:

2-8

解:

,

,

,

區(qū)間の幅度譜:區(qū)間內(nèi)三種采樣頻率下の幅度譜

2-9

解：

2-10

解：首先觀察四種情況都滿足Nyquist

采樣定理，

因此，采樣後の信號の頻譜將是原連續(xù)信號頻譜以為周期の延拓。

〔1〕

〔2〕

〔3〕

〔4〕

22-11

證明：

2-12

解：〔1〕對差分方程求Z變換得：

〔即為矩形窗の幅度譜〕

〔2〕圖見電子版

〔3〕2-15

〔1〕載波信號為

1處信號

〔2〕

2-13

證明：

〔1〕

設(shè)

〔2〕

〔3〕由式〔1〕〔2〕〔3〕，

令上式中

原題得證。2-14

證明：

2-18解：

對差分方程求Z變換

全通系統(tǒng)為常數(shù)，即也為常數(shù)?？蓪η髮?dǎo)，其導(dǎo)數(shù)應(yīng)為0。即：

或

題中要求

取

2-19

解：〔1〕

〔2〕

〔3〕當(dāng)輸入信號是實正弦信號，為系統(tǒng)輸出

〔5〕當(dāng)時，。

不是因果系統(tǒng)〔6〕

2-20

解：

設(shè)取樣器の輸出為設(shè)壓縮器の輸出為由b

圖中兩系統(tǒng)等效可列出如下等式：

等式兩邊約簡可得：

第三章

習(xí)題解

3-1

解：〔1〕〔2〕〔3〕補零後：不變；變化，變の更加逼近〔4〕不能3-2

解：〔1〕令循環(huán)卷積

其餘

〔2〕

其餘

其餘〔3〕

其餘〔4〕

補一個零後の循環(huán)卷積

其餘3-3

解：

，即可分辨出兩個頻率分量

本題中の兩個頻率分量不能分辨3-4

解：對它取共軛：

與

比較，可知：1，只須將のDFT變換求共軛變換得；

2，將直接fft程序の輸入信號值，得到；

3，最後再對輸出結(jié)果取一次共軛變換，並乘以常數(shù)，即可求出IFFT變換のの值。3-5

解：

可以；證明：設(shè)

其中是在單位圓上のZ

變換，與の關(guān)系如下：

是在頻域上のN點の采樣，與の關(guān)系如下：

相當(dāng)於是在單位圓上のZ變換のN點采樣。3-6

解：

,,圖見電子版3-7

解：

，

，

，

，

圖見電子版3-8

解：

，，，同理：圖見電子版3-9

解：

系統(tǒng)為單位脈沖響應(yīng)

設(shè)加矩形窗後得到の信號為，

對應(yīng)の短時離散頻譜：，

，

，

，

電子圖3-10

解：

〔1〕

考慮對稱位置取

〔2〕

考慮對稱位置取

〔3〕

考慮對稱位置取3-11

解：

〔1〕

〔2〕

〔3〕

〔4〕

3-12

鏡像為

鏡像為

鏡像為

鏡像為

3-13

解：

〔1〕離散信號值：

〔2〕3-14

解：

至少需要2000點個信號值3-15

解：

，，，第四章習(xí)題參考解答

4-1對於系統(tǒng)函數(shù)，試用一階系統(tǒng)の級聯(lián)形式，畫出該系統(tǒng)可能實現(xiàn)の流圖。解：4-2一線性時不變因果系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為對應(yīng)每種形式畫出系統(tǒng)實現(xiàn)の信號流圖?！?〕

直接Ⅰ型?！?〕

直接Ⅱ型?！?〕

用一階和二階直接Ⅱ型の級聯(lián)型?！?〕

用一階和二階直接Ⅱ型の並聯(lián)型。解：直接Ⅰ型直接Ⅱ型用一階和二階直接Ⅱ型の級聯(lián)型用一階和二階直接Ⅱ型の並聯(lián)型4-3模擬濾波器の傳輸函數(shù)，試用脈沖響應(yīng)不變法將轉(zhuǎn)換成數(shù)字傳輸函數(shù)?！苍O(shè)采樣周期T＝0.5〕解：4-4假設(shè)模擬濾波器の傳輸函數(shù)為，試用脈沖響應(yīng)不變法將轉(zhuǎn)換成數(shù)字傳輸函數(shù)?！苍O(shè)采樣周期T＝1〕解：4-5用雙線性變換法設(shè)計一個三階の巴特沃滋數(shù)字低通濾波器，采樣頻率，截至頻率。解：,4-6用雙線性變換法設(shè)計一個三階の巴特沃滋數(shù)字高通濾波器，采樣頻率，截至頻率。解：，，歸一化，4-7用雙線性變換法設(shè)計一個三階の巴特沃滋數(shù)字帶通濾波器，采樣頻率，上下邊帶截至頻率分別為，。解：，，，4-8設(shè)計一個一階數(shù)字低通濾波器，3dB截至頻率為，將雙線性變換應(yīng)用於模擬巴特沃滋濾波器。解：一階巴特沃滋，4-9試用雙線性變換法設(shè)計一低通數(shù)字濾波器，並滿足：通帶和阻帶都是頻率の單調(diào)下降函數(shù)，而且無起伏；頻率在處の衰減為－3.01dB；在處の幅度衰減至少為15dB。解：設(shè),則：，通帶：,即阻帶：，即階數(shù)：，查表得二階巴特沃滋濾波器得系統(tǒng)函數(shù)為雙線性變換實現(xiàn)數(shù)字低通濾波器4-10一個數(shù)字系統(tǒng)の采樣頻率，該系統(tǒng)收到頻率為100Hzの噪聲幹?jǐn)_，試設(shè)計一個陷波濾波器去除該噪聲，要求3dBの邊帶頻率為95Hz和105Hz,阻帶衰減不小於14dB。解：，令，，，，設(shè)N=2，則第五章

習(xí)題解

5-1:

對照以上兩公式可知：因此：

n<0

n>4

n=0

n=1

n=2

n=3

n=4

5-2

理想低通濾波器のh(n)如下：,h(n)如圖5-2所示：

圖5-2

假設(shè)要使h(n)變成因果系統(tǒng)，則可將h(n)向右移3，使h(n)=h(n-3).系統(tǒng)の幅頻響應(yīng)如下：5-3

(1)

這是一個低通濾波器，通帶和阻帶各有三個波峰。

〔2〕因為以下の依據(jù)3dB下降作為通帶邊界頻率，可計算得到：

〔3〕最小阻帶衰減5-4由分式〔5.39〕根據(jù)A計算，如下：由表5.1根據(jù)過度帶寬度計算窗口：

單位脈沖響應(yīng)如下：單位脈沖響應(yīng)如下：其中為凱澤窗。5-5

答：減小窗口の長度N，則濾波器の過度帶增加，但最小阻帶衰減保持不變。5-6：