430137081.沖刺211微專題之分段函數(shù)

第一章分段函數(shù)零點問題【重要知識點梳理】一、復合函數(shù)零點問題復合函數(shù)零點問題處理策略：考慮關于的方程根的個數(shù)，在解此類問題時，要分為兩層來分析，第一層是解關于的方程，觀察有幾個的值使得等誰成立；第二層是結合著第一層的值求出每一個被幾個對應，將的個數(shù)匯總后即為的根的個數(shù).【典例分析】例1.已知函數(shù)，若函數(shù)存在5個零點，則整數(shù)的值為.解析∵，∴令，則，∴或，∵函數(shù)存在5個零點．∴與交點加上與交點共5個，畫出的草圖如下：，∴整數(shù)的值為2．點評本題考察分段函數(shù)零點問題，由存在5個零點，我們先令得出或，進而我們畫出的圖象，結合函數(shù)的零點個數(shù)，就可以得出參數(shù)的取值范圍了！事實上這個題干虛數(shù)有不嚴謹?shù)牡胤?，函?shù)存在5個零點，那么有6個零點是不是肯定也存在5個零點．舉個很簡單的例子，你兜里只有一張100元的鈔票，班里老師臨時需要借錢辦雜事，問班里誰有50塊錢，相信你一定會舉手！你肯定會想，我都有100了，難道還沒有50塊．所以我覺得目前的條件不同的人會有不同的理解，條件最好改為函數(shù)有且僅有5個零點，這樣就不會有任何歧義了！例2.已知函數(shù)．若函數(shù)有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是．解析（巧妙轉化，靈活處理）令，∴，一、若，此時，，∵，無零點，舍去，（如下圖）二、當時，，，由于，此時和各有兩個零點，共4個零點，滿足題意．（如下圖）三、當（時不符合題意，舍去），即，∴，無零點，要使共4個零點，則，要有兩個不同的零點，且兩個零點均比大，結合圖象知．綜上，的取值范圍是．例3.已知函數(shù)，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．若函數(shù)有4個零點，則的取值范圍為 A. B. C. D.解析令，，令，在，上分別單調遞減，在上單調遞增．．分別畫出與的圖象．①當時，有兩個零點，且，，此時有一個零點，有兩個零點，共三個零點，不符合題意舍去．當以及的情況同理舍去．②當時，有四個零點，，，（），且，，，各有一個零點，共兩個零點．，有兩個零點，其實要使有4個零點，則無零點．∴，∵，∴，選C．例4.設函數(shù)，若對任意給定的，都存在一唯一的，滿足，則正實數(shù)的取值范圍為 A. B. C. D.解析，先作出的大致圖象．（如下圖）令，要存在唯一的，使成立，則對任意給定的，有唯一的根，只需．例5.若函數(shù)有極值點，，且，則關于的方程的不同實數(shù)根個數(shù)是.解析，由題意，不妨設，，為方程的兩個根．且當時，，單調遞增；且當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．∴，．∵，設，原方程變?yōu)椋傻?，．再解，即，，畫出的草圖：∵，則由圖象可知有兩個零點，∵，∴有一個零點，共3個零點．故關于的方程的不同實數(shù)根個數(shù)是3．二、不動點與穩(wěn)定點對于函數(shù)，我們把使得成立的稱為函數(shù)的“不動點”，把使得成立的稱為函數(shù)的“穩(wěn)定點”，函數(shù)的“不動點”和“穩(wěn)定點”構成的集合分別為和．即，，①若無解，則也無解．證明若無解，當恒成立時，則，∴，即也無解；當恒成立時，則，∴，即也無解．故無解，則也無解．②若有唯一的不動點，則也有唯一的不動點．證明設的唯一的不動點為，那么有．就有不動點．如果的不動點不是唯一的，則假設還存在第二個不動點（）．即，則，必存在不動點．這與有唯一的不動點矛盾，故假設不成立，即也有唯一的不動點．③有解時，的所有實數(shù)解也是的解．證明有解時，設為其任一解，則，∴，∴也為的解．即有解時，的所有實數(shù)解也是的解．例1.已知是定義在上的函數(shù)，若方程有且只有一個實數(shù)解，則可能是 A. B. C. D.解析我們知道無解時，也無解．有解時，的所有實數(shù)解也是的解．解的個數(shù)解的個數(shù)．對于A選項，，考察得，，故至少有兩個實數(shù)解，故舍去；對于B選項，無實根，故也無實根，故舍去；對于C選項，無實根，故也無實根，故舍去；對于D選項，只有一個實數(shù)解，故至少有一個實數(shù)解，下說明其解唯一，，∴，，解得．故選D．例2.已知函數(shù)（，），集合，，若且存在，，則實數(shù)的取值范圍是 A. B.或 C. D.或解析∵，設且，∴，，∴，，故，，由，，∵存在，，故有實根，且0，不同時為它的實根，即，∴或，故或，選B．三、迭代型函數(shù)零點問題通常的類型是：已知函數(shù)，定義：，，…，，讓探究零點個數(shù)問題．這種題目一般有兩種處理方法：①畫圖處理；②規(guī)律探尋：同學們考場上遇到這種題，實在沒辦法的話，可以令，2，3，算幾個的零點個數(shù)，找下規(guī)律．例1.已知函數(shù)．定義：，，…，，，3，4，…滿足的點稱為的階不動點．則的階不動點的個數(shù)是 A.個 B.個 C.個 D.個解析，，則的1階不動點的個數(shù)是2，2階不動點的個數(shù)是4，3階不動點的個數(shù)是8，階不動點的個數(shù)是．例2.設，，，…，一般地，其中，則使方程有2018個根的值為．解析時，，時，令，∴有三段，有五段，…，有段，有2018個正根，令，∴，結合的圖象可知，有個實數(shù)根，，，…，（），有三個實數(shù)根，（）對每個都有一個實根，共個實根．則，．例3.定義函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間（）內的所有零點之和為 A. B. C. D.解析的零點轉化為方程的根，再轉化為與的交點橫坐標．當時，，當時，，，在平面直角坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖象，如圖所示．每一個尖頂?shù)淖鴺藶椋趨^(qū)間（）上經(jīng)過共個尖頂，所有零點之和為，選D．四、分段函數(shù)之奇偶性與周期性結合例1.已知是定義在上且周期為3的函數(shù)，當時，，若函數(shù)在區(qū)間上有10個零點（互不相同），則實數(shù)的取值范圍是.解析是定義在上且周期為3的函數(shù)，當時，，若函數(shù)在區(qū)間上有10個零點（互不相同），在同一坐標系中畫出函數(shù)與的圖象如圖：由圖象可知，故答案為：．點評：本題考察函數(shù)的圖象及函數(shù)的零點的求法，數(shù)形結合的應用．例2.已知周期為4的函數(shù)，若方程恰好有5個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是．解析當時，由得（），實質上為一個半橢圓，其圖象如圖所示，同時在坐標系中作出當時的圖象，再根據(jù)周期性作出函數(shù)其他部分的圖象，由圖象易知若方程恰好有5個實數(shù)根，則等價為與恰好有5個交點，即與第二個半橢圓相交，而與第三個半橢圓無公共點時，方程恰有5個實數(shù)解．將代入得，即，則判別式得，即，即，則，將代入得，即，則判別式得，即，即，則．當時，，綜上實數(shù)的取值范圍是，故答案為：．點評：本題主要考查函數(shù)與方程的應用，根據(jù)函數(shù)的周期性作出函數(shù)的田象，轉化為直線和橢圓的位置關系是解決本題的關鍵.綜合性較強，運算量較大.例3.已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，，若函數(shù)在區(qū)間上有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是.解析聯(lián)立，，結合圖象知，要使在區(qū)間上有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是．五、當分段函數(shù)遇見了惱人的邏輯關聯(lián)詞例1.已知，若存在實數(shù)，使函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍是.解析由題意，問題等價于方程與方程的根的個數(shù)和為2，若兩個方程各有一個根：則可知關于的不等式組有解，∴，從而；若方程無解，方程有2個根：則可知關干的不等式組，從而，綜上，實數(shù)的取值范圍是．例2.已知，若對任意的，與總有交點，則實數(shù)的取值范圍是.解析令，∴，令，當時，，單調遞減，，無零點．而當時，，單調遞增，∵，∴當時，，當時，，當，此時由圖知與始終有交點滿足題意．當，設直線與切于．∴，，∴，∴，，，此時只需，∴，綜上：．例3.已知函數(shù)，若存在實數(shù)，使的值域為，則實數(shù)的取值范圍是．解析當時，，當時，，當時，此時，而值域不可能為，當時，這與值域為享盾，舍去，當時，取，滿足值域為，故．例4.（2018江蘇南京高三數(shù)學上學期期初學情調研）已知函數(shù)，若存在唯一的整數(shù)，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為.解析作出的函數(shù)圖象如圖所示：（1）當時，，∵存在唯一的整數(shù)，使得成立，∴只有1個整數(shù)解，又，∴．（2）若，則，∵存在唯一的整數(shù)，使得成立，∴只有1個整數(shù)解，又，，∴．∴當或時，只有1個整數(shù)解．故答案為：．點評：本題考查了分段函數(shù)的圖象，屬于中檔題．解后思：對于方程解的個數(shù)（或函數(shù)零點個數(shù)）問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結合函數(shù)的單調性、草圖確定其中參數(shù)范圈，從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調性、周期性等．六、分段函數(shù)中的圖象變換例1.已知函數(shù)，．若方程恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為.解析在同一坐標系中畫和的圖象（如圖），問題轉化為與圖象恰有四個交點．當與（或與）相切時，與的圖象恰有三個交點．把代入，得，即，由，得，解得或．又當時，與僅兩個交點，∴或．例2.知函數(shù)，，則方程實根的個數(shù)為.解析解法1當時，由得，解得或（舍去）．當時，由得或．分別在同一個坐標系中作出函數(shù)與的圖象（如圖1）和函數(shù)與的圖象（如圖2）．當時，它們分別有1個、2個交點，故時，方程目3個實根．綜上，方程共有4個不同的實根．解法2，∵，∴，當時，在上單調遞減；當時，，，∴在上單調遞減；當時，在上單調遞增．從而畫出函數(shù)的圖像，并對圖像執(zhí)行留上翻下的操作．結合圖像知方程共有4個不同的實根．七、分段函數(shù)函數(shù)對稱性問題例1.已知為正常數(shù)，，若存在，滿足，則實數(shù)的取值范圍是.解折關于直線對稱，且在上為增函數(shù).所以.因為，．所以．例2.若圖象上恰存在兩個點關于軸對稱，則實數(shù)的取值范圍是.解析設，，其中，，，．由與在上只有一個交點，知或．八、分段函數(shù)中的其他綜合問題例1.已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是________.解析易得.當時，函數(shù)在上單調遞增，至多兩個零點，不滿足題意，當時，令，解得，易得函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，在同一坐標系中，分別作出函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像可知：當，時，有且僅有一個零點;當時，有且僅有一個零點;當時，要使得有三個不同的零點，則或者解得.點評：本題考查函數(shù)的零點問題，應用數(shù)形結合，函數(shù)與方程的思想方法，，分段函數(shù)的圖象性質來解決兩個函數(shù)取大后的零點問題。例2.（2018秋季揚州期末）已知函數(shù)有且僅有三個零點，并且這三個零點構成等差數(shù)列，則實數(shù)的值為__________.解析解法一：常規(guī)分類函數(shù)，得設.則函數(shù)，不妨設的3個根為且當時，由，得，即得，得，解得或若①，即，此時，由等差數(shù)列的性質可得，得，滿足在上有一解.若②，即，則在上有兩個不同的解，不妨設為其中.所以是的兩個解，即是的兩個解.得到又由的3個根成等差數(shù)列，且，得到解得：（舍去）或③，即時，最多只有兩個解，不滿足題意;綜上所述：或.解法二：借助“V”型函數(shù)頂點的移動，設其三個解分別為令，它的原點為在上運動令，令或當即時，由圖像可知，，聯(lián)立當時，即時，由圖像知，聯(lián)立③由①③知代入=2\*GB3②得綜上：或例3.已知函數(shù).設，且函數(shù)的圖像經(jīng)過四個象限，則實數(shù)的取值范圍為_____________.解析解析一：常規(guī)處理①當時，經(jīng)過第二、三象限，則，則②當時，，要經(jīng)過第一、四象限，則有解，解為在上單調遞減，在上單調遞增的極小值為：經(jīng)過第一、四象限，極小值小于0，解得，綜上：解法二：巧妙轉化注意到要使的圖像經(jīng)過四個象限，只需分別在和上有解即可.當時，，而時，而綜上：.例4.，恰有3個不同零點，則實數(shù)的取值范圍_______.解析當時，令，則或當時，令，則，得令，令當時，，單調遞增：當，，單調遞減∴要使有三個零點，根據(jù)圖像知：只需例5.已知函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，，若對任意實數(shù)，都有，則實數(shù)的取值范圍為（） A. B. C. D.解析當時，當時，的值域為，此時當時，當時，綜上：實數(shù)的取值范圍為【課后練習】【1】設函數(shù).（1）若，則的最小值為____;（2）若恰有2個零點，則實數(shù)的取值范圍是______.【2】已知，函數(shù)，若函數(shù)有6個零點，則實數(shù)的取值范圍是__________.【3】定義在上的奇函數(shù)，當時，，則關于的函數(shù)的所有零點之和為_________.【4】已知函數(shù)，若存在實數(shù)使函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是____________.【5】已知函數(shù)，若關于的方程在定義域上有四個不同的解，則實數(shù)的取值范圍是【課后練習答案】【1】解析函數(shù)的圖像如圖所示，令與的圖像最多有3個零點。當有3個零點，則，從左到右交點的橫坐標依次，由于函數(shù)有6個零點，，則每一個的值對應的2個的值，對稱軸，則最小值由圖可知，，則由于是交點橫坐標中最小的，滿足=1\*GB3①，=2\*GB3②聯(lián)立得【2】解析作函數(shù)與的圖象如下，結合圖象可知，函數(shù)與的圖象共有5個交點，故函數(shù)有5個零點，設5個零點分別，，故，即.故，【3】解析令，故在上單調遞減令，故在上單調遞減，在上單調遞增.注意到當時，的值域恰好為當時，的值域為當，函數(shù)的值域取不到0