福建省建甌市芝華中學(xué)高三上學(xué)期第一次階段數(shù)學(xué)試題

20202021高三第一次階段考數(shù)學(xué)試卷一、單選擇題（共8題，每題5分，共40分）1、已知集合，，若，則實(shí)數(shù)值集合為A． B． C． D．2、已知，則（）A． B．2 C． D．33、設(shè)，則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4、已知向量，則（） B． C． D．5、函數(shù)的圖象大致是（）A．B．C． D．6、中國古代數(shù)學(xué)成就甚大，在世界科技史上占有重要的地位.“算經(jīng)十書”是漢、唐千余年間陸續(xù)出現(xiàn)的10部數(shù)學(xué)著作，包括《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、……、《綴術(shù)》等，它們曾經(jīng)是隋唐時期國子監(jiān)算學(xué)科的教科書.某中學(xué)圖書館全部收藏了這10部著作，其中4部是古漢語本，6部是現(xiàn)代譯本，若某學(xué)生要從中選擇2部作為課外讀物，至少有一部是現(xiàn)代譯本的概率是（）A． B． C． D．7、函數(shù)f（x）=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的圖象與直線y=k有且僅有兩個不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A.（0，1） B．（0，3） C．（1，3） D．（0，2）8、已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足，，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題（共4題，每題5分，共20分，全部選對得5分，有選錯得0分，部分選對得3分）9、已知，則下列結(jié)論正確的是()A． B． C． D．10下列各式中，值為的是（）A． B．C． D．11、設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且X落在區(qū)間內(nèi)的概率和落在區(qū)間內(nèi)的概率相等.若，則下列結(jié)論正確的有（）A． B．C． D．12．下列說法中正確的是（）A．B．若且//，則C．若a、b非零向量且，則D．若//，則有且只有一個實(shí)數(shù)，使得三、填空題（共4題，每題5分，共20分）13、曲線在點(diǎn)處的切線方程為______.14．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______。已知，則的值為__________．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，記的前項(xiàng)和為，的最小值為，若，則的最小值為__________四、解答題（共6題，共70分）17、（10分）已知函數(shù)．求函數(shù)在，上的單調(diào)遞減區(qū)間；18、（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2n－1(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝log4an＋1，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.（12分）的內(nèi)角所對的邊分別為，已知．（1）求的大小；（2）若，，且的面積為，求．20、（12分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個數(shù)；（2）若函數(shù)f（x）在x＝1處取得極值，?x∈（0，＋∞），f（x）≥bx–2恒成立，求實(shí)數(shù)b的最大值．21、（12分）已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時間的調(diào)查．(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率．22、（12分）已知函數(shù)，.（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，求，并討論的單調(diào)性；（2）若，證明有且僅有兩個不同的零點(diǎn).（參考數(shù)據(jù)：）20202021高三第一次階段考數(shù)學(xué)試卷(答案）一、單選擇題（共8題，每題5分，共40分）1、已知集合，，若，則實(shí)數(shù)值集合為A． B． C． D．【解析】,的子集有，當(dāng)時，顯然有；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)，不存在，符合題意，實(shí)數(shù)值集合為，故選D.2、已知，則（）A． B．2 C． D．3【答案】C3、設(shè)，則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B4、已知向量，則（） B． C． D．【答案】C5、函數(shù)的圖象大致是（）A．B．C． D．【答案】C6、中國古代數(shù)學(xué)成就甚大，在世界科技史上占有重要的地位.“算經(jīng)十書”是漢、唐千余年間陸續(xù)出現(xiàn)的10部數(shù)學(xué)著作，包括《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、……、《綴術(shù)》等，它們曾經(jīng)是隋唐時期國子監(jiān)算學(xué)科的教科書.某中學(xué)圖書館全部收藏了這10部著作，其中4部是古漢語本，6部是現(xiàn)代譯本，若某學(xué)生要從中選擇2部作為課外讀物，至少有一部是現(xiàn)代譯本的概率是（）A． B． C． D．【答案】A7、函數(shù)f（x）=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的圖象與直線y=k有且僅有兩個不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是（）（0，1） B．（0，3） C．（1，3） D．（0，2）【答案】C8、已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足，，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A． B． C． D．【詳解】因?yàn)?，所以有，所以，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，即，又因?yàn)?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以①，②，①②得：，所以，所以，故選：C.多項(xiàng)選擇題（共4題，每題5分，共20分，全部選對得5分，有選錯得0分，部分選對得3分）9、已知，則下列結(jié)論正確的是()A． B． C． D．【解析】BD10下列各式中，值為的是（）A． B．C． D．【解析】BC11、設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且X落在區(qū)間內(nèi)的概率和落在區(qū)間內(nèi)的概率相等.若，則下列結(jié)論正確的有（）A． B．C． D．12．下列說法中正確的是（）A．B．若且//，則C．若a、b非零向量且，則D．若//，則有且只有一個實(shí)數(shù)，使得11、【詳解】因?yàn)檎龖B(tài)分布關(guān)于對稱，又X落在區(qū)間內(nèi)的概率和落在區(qū)間內(nèi)的概率相等，所以，A正確；因?yàn)檎龖B(tài)分布關(guān)于對稱，所以，C正確；，不確定，所以B,D錯誤；故選：AC12、【詳解】由互為相反向量，則，故A正確由且//，或，故B錯由，則兩邊平方化簡可得，所以，故C正確根據(jù)向量共線基本定理可知D錯，因?yàn)橐懦阆蛄抗蔬x：AC填空題（共4題，每題5分，共20分）13、曲線在點(diǎn)處的切線方程為______.【答案】14．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______?！敬鸢浮?40已知，，，則的值為__________．【答案】【解析】，又因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，，而，故答案為：．解答題（共6題，共70分）17、（10分）已知函數(shù)．求函數(shù)在，上的單調(diào)遞減區(qū)間；【詳解】由已知得：，由，，可得．，又，，函數(shù)在，的單調(diào)遞減區(qū)間為，和，．18、（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2n－1(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝log4an＋1，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，當(dāng)n＝1時，a1＝2－1＝1，滿足an＝2n－1，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)得，bn＝log4an＋1＝eq\f(n＋1,2)，則bn＋1－bn＝eq\f(n＋2,2)－eq\f(n＋1,2)＝eq\f(1,2)，∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公差d＝eq\f(1,2)的等差數(shù)列，∴Tn＝nb1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(n2＋3n,4).19．（12分）的內(nèi)角所對的邊分別為，已知．（1）求的大??；（2）若，，且的面積為，求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，得，所以，即，所以有，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，又，所以，所以，即．?）因?yàn)?，所以，又，所以，把代入到中，?0、（12分）已知函數(shù)f（x）＝ax–1–lnx（a∈R）．（1）討論函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個數(shù)；（2）若函數(shù)f（x）在x＝1處取得極值，?x∈（0，＋∞），f（x）≥bx–2恒成立，求實(shí)數(shù)b的最大值．（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，＋∞），21、（12分）已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時間的調(diào)查．(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率．【解析】(1)由已知，甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．(2)（i）隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3．(=0，1，2，3)．所以，隨機(jī)變量的分布列為0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．（ii）設(shè)事件為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事件為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則，且與互斥，由（i）知，，，故．所以，事件發(fā)生的概率為．22、（12分）已知函數(shù)，.（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，求，并討論的單調(diào)性；（2）若，證明有且僅有兩個不同的零點(diǎn).（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1），在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）詳見解析.【解析】（1）求出，代入可得