2023-2024學(xué)年廣東省大灣區(qū)高二年級上冊期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

2023-2024學(xué)年廣東省大灣區(qū)高二上冊期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.直線x+√iy-2=0的斜率為()

A.-B.—C.YD.一且

363

【正確答案】D

【分析】將直線方程化成斜截式即可得直線的斜率.

【詳解】解：因?yàn)橹本€方程為x+舟-2=0,化為斜截式為：尸生+竿,

所以直線的斜率為.-3

3

故選：D.

2.已知”=(l,—2,1),a-b=(—1?2,—1),則b=()

A.(2?—4,2)B.(—2,4,-2)

C.(-2,0,-2)D.(2,1,-3)

【正確答案】A

【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算結(jié)果.

【詳解】解析：?=Λ-(a-?)=(l,-2,1)-(-1,2,-1)=(2,-4,2).

故選：A

3.某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線(如圖①所示)，發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線,

在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)處

(如圖②所示).已知接收天線的口徑(直徑)為3.6m,深度為0.6m,則該拋物線的焦點(diǎn)到

D.5.4m

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意先建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，可設(shè)出拋物線方程，利用已知條件得出點(diǎn)A(0?6,L8)

在拋物線上，代入方程求得P值，進(jìn)而求得焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離.

【詳解】如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標(biāo)系Xoy,使接收天線

的頂點(diǎn)(即拋物線的頂點(diǎn))與原點(diǎn)O重合，焦點(diǎn)尸在X軸上.

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為√=2px(p>0),

由已知條件可得，點(diǎn)A(0?6,L8)在拋物線上,

所以1.2p=1.82,解得p=2.7,

因此，該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為1.35m,

故選：A.

4.圖1是一個水平擺放的小正方體木塊，圖2,圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成的,

按照這樣的規(guī)律放下去，第8個疊放的圖形中小正方體木塊的總數(shù)是()

D.120

【正確答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)列的規(guī)律得到第〃個疊放圖形中共有〃層，構(gòu)成等差數(shù)列求解.

【詳解】因?yàn)閳D1有1個小正方體，圖2有1+5=6個小正方體，圖3有1+5+9=15個小正方

體，

歸納可得：第〃個疊放圖形中共有〃層，構(gòu)成以1為首項(xiàng)，以4為公比的等差數(shù)列,

所以第〃個疊放的圖形中小正方體木塊的總數(shù)是S“=〃+嗎業(yè)=2"2-",

第8個疊放的圖形中小正方體木塊的總數(shù)是2=2x82-8=120,

故選：D

5.已知直線4：3x-4y+7=0與直線4：6x-(m+l)y+l-〃?=0平行，則人與乙之間的距離為

()

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】B

【分析】兩直線斜率存在時，平行則斜率相等，求出〃?的值，再根據(jù)兩平行線間的距離公

式即可計(jì)算.

【詳解】???直線4與《平行，.??=3=J4?f7;,解得〃2=7.

6?2+1?-m

∣7+3∣

?.?∕?的方程為3x-4y-3=0,它們之間的距離d==2.

故選：B.

6.已知等差數(shù)列｛?｝中，4+%=%+7,α∣0=19,則數(shù)列｛α,,?cosS｝的前2022項(xiàng)和為()

A.1010B.1011C.2021D.2022

【正確答案】D

【分析】首先利用等差數(shù)列的性質(zhì)和公式，求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用分組轉(zhuǎn)化法求和.

【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，%+%=2α4=4+7,所以4=7,

設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為4,公差為d,

則fa：：=]，解得：C=\'所以",,=l+("-l)x2=2"-l,

[q+94=19[a=2

設(shè)數(shù)列｛?！?COS"t｝的前n項(xiàng)和為Sllf

則‰22=-4+〃2~~?+。4+…一。2021+“2022，

=(%-。1)+(。4-q)+???+(%)22-%)21)

=IOlld=2022.

故選：D

7.如圖，ABC。一EFG〃是棱長為1的正方體，若尸在正方體內(nèi)部且滿足

3ι2

AP=ZAB+QAD+gAE,則P至IJAB的距離為()

【正確答案】C

【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AE所在直線分別為X,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

計(jì)算出AB和AP的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量法求點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.

【詳解】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AE所在直線分別為X,y,z軸建立空間直角坐

標(biāo)系，

UUUl

則AB=(1,0,0),AD=(0,1,0),AE=(0,0,1),

312

因?yàn)锳P=-AB+-AD+^AE,所以AP=

4

3?2

a-AP=

2嘀="

3123

rz?w=-×1÷-×0÷-×0=-,

4234

18195

所以點(diǎn)P到AB的距離d=

l44-16^6

故選：C.

8.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：鼻、鳥是雙曲

線的左、右焦點(diǎn)，從心發(fā)出的光線〃，射在雙曲線右支上一點(diǎn)P，經(jīng)點(diǎn)。反射后，反射光線

的反向延長線過目；當(dāng)戶異于雙曲線頂點(diǎn)時.，雙曲線在點(diǎn)尸處的切線平分/4尸乙.若雙曲

線C的方程為上卷4=］，則下列結(jié)論不闞的是()

B.當(dāng)時，I尸耳∣?∣%∣=32

C.當(dāng)”過點(diǎn)Q(7,5)時，光由心到尸再到。所經(jīng)過的路程為13

D.若T(1,O),直線Hr與C相切,則IPEl=I2

【正確答案】C

【分析】求出雙曲線漸近線方程，可判斷A選項(xiàng)；利用勾股定理以及雙曲線的定義可判斷B

選項(xiàng)；利用雙曲線的定義可判斷C選項(xiàng)；利用角平分線定理結(jié)合雙曲線的定義可判斷D選

項(xiàng).

【詳解】在雙曲線、；=1中，a=3,t>=4,貝!∣c=5,易知點(diǎn)片(—5,0)、F1(5,0),

設(shè)|尸胤=“，∣PR∣=u,

對于A選項(xiàng)，因?yàn)殡p曲線《=1的漸近線方程為y=±^x,

9163

當(dāng)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)運(yùn)動時，隨著吃的增大，射線"慢慢接近于直線y=34X,此時O<k<g4,

4

同理可知當(dāng)點(diǎn)尸在第四象限內(nèi)運(yùn)動時，-§<無<0,

當(dāng)點(diǎn)尸為雙曲線的右頂點(diǎn)時，％=(),

綜上所述，k的取值范圍是［-g,g),A對；

對于B選項(xiàng)，當(dāng)機(jī)JL〃時，u-v=2a=6f

a2+v2=(w-v)2+2wv=36÷2wv=102,所以，IPMHP瑪∣="u=32,B對;

對于C選項(xiàng)，IKQl=J(7+5p+52=13,

故"過點(diǎn)Q(7,5)時，光由人到戶再到Q所經(jīng)過的路程為

IP閭+∣PQ=∣P周一2+|Pa=出0-6=7,C錯；

對于D選項(xiàng)，若T(1,O),由角平分線定理可得=族=箸=9=:,

,^ΔPF2T?^^^2%，4，

6+∣P^∣3.

即1?i=＞解得IP閭l=12,D對?

|尸4|2

故選：C.

二、多選題

9.若橢圓的焦點(diǎn)為“-0),E(GO)(C>0),長軸長為20,則橢圓上的點(diǎn)(x,y)滿足()

a?J(x+c)2+y2+J(x-c)，V=24B.p?^^=÷-1

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)橢圓的兩個定義可判斷AC；根據(jù)分母不能為0可判斷B；直接化簡可判斷D.

【詳解】由橢圓定義可知，A正確；由橢圓第二定義可知C正確；B中顯然XX±4,即橢圓

上的長軸端點(diǎn)不滿足B中方程，故B錯誤；由J(X-C+y2=α一家兩邊平方可得

2022

(X-C)2+y2=(α-Cχ)2,整理得^^￡1/+2=/_02,即二+與之，故D正確.

aazCrh'

故選：ACD

10.從高一某班抽三名學(xué)生(抽到男女同學(xué)的可能性相同)參加數(shù)學(xué)競賽，記事件A為“三名

學(xué)生都是女生“，事件B為“三名學(xué)生都是男生”，事件C為“三名學(xué)生至少有一名是男生“，

事件。為“三名學(xué)生不都是女生”，則以下正確的是()

A.P(A)=IB.事件A與事件B互斥

O

C.P(C)≠P(D)D.事件A與事件C對立

【正確答案】ABD

【分析】由獨(dú)立乘法公式求P（A）,根據(jù)事件的描述，結(jié)合互斥、對立事件的概念判斷B、C、

D即可.

【詳解】由所抽學(xué)生為女生的概率均為則P（A）=g）3=",A正確；

AB兩事件不可能同時發(fā)生，為互斥事件，B正確；

C事件包含：三名學(xué)生有一名男生、三名學(xué)生有兩名男生、三名學(xué)生都是男生，其對立事件

為A,D正確；

。事件包含：三名學(xué)生都是男生、三名學(xué)生有一名男生、三名學(xué)生有兩名男生，與C事件

含義相同,故P（C）=P（。），C錯誤;

故選：ABD

11.為了養(yǎng)成良好的運(yùn)動習(xí)慣，某人記錄了自己一周內(nèi)每天的運(yùn)動時長（單位：分鐘），分

別為53,57,45,61,79,49,孫若這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)的差為3,

則X的值可能為（）

A.58B.59C.62D.64

【正確答案】AD

【分析】先對數(shù)據(jù)從小到大排序，分x≤57,χ≥79,57<x<79三種情況，舍去不合要求

的情況，列出方程，求出答案，

【詳解】將已知的6個數(shù)從小到大排序?yàn)?5,49,53,57,61,79.

若x≤57,則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為61和57,

他們的差為4,不符合條件；

若x279,則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為79和61,

它們的差為18,不符合條件；

若57<x<79,則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為X和61（或61和x）,

W∣J∣x-61∣=3,解得x=58或x=64

故選：AD.

12.圓錐曲線為什么被冠以圓錐之名？因?yàn)樗梢詮膱A錐中截取獲得.我們知道，用一個垂

直于圓錐的軸的平面去截圓錐，截口曲線（截而與圓錐側(cè)面的交線）是一個圓，用一個不垂

直于軸的平面截圓錐，當(dāng)截面與圓錐的軸的夾角。不同時，可以得到不同的截口曲線，它們

分別是橢圓、拋物線、雙曲線.因此，我們將圓、橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線.截

口曲線形狀與。和圓錐軸截面半頂角α有如下關(guān)系6,αeO,5；當(dāng)6>α?xí)r，截口曲線為

橢圓；當(dāng)6=α?xí)r，截口曲線為拋物線：當(dāng)O<ɑ時，截口曲線為雙曲線.（如左圖）

現(xiàn)有一定線段AB與平面尸夾角W（如上右圖），B為斜足,用上一動點(diǎn)P滿足NBAP=7,

設(shè)尸點(diǎn)在尸的運(yùn)動軌跡是「，則（）

A.當(dāng)s=f,/=5時，「是橢圓B.當(dāng)9=gTT,/=TJT時，「是雙曲線

4636

c.當(dāng)*=￡，7=￡時，「是拋物線D.當(dāng)e=JTT,7=TFf時，「是橢圓

4434

【正確答案】ACD

【分析】認(rèn)為P在以AB為軸的圓錐上運(yùn)動，結(jié)合題干信息，逐一分析即可.

【詳解】??SB為定線段，NB"=7為定值，,P在以AB為軸的圓錐上運(yùn)動,

其中圓錐的軸截面半頂角為7,戶與圓錐軸AB的夾角為9

對于A,e>∕,.?.平面4截圓錐得橢圓，A正確；對于B,<P>Y,『是橢圓，B錯.

對于c,φ=γ,「是拋物線，C正確.對于D,<P>Y,「是橢圓，D正確.

故選：ACD.

三、填空題

13.設(shè)數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S“，且滿足兩個條件：①｛4｝是單調(diào)遞減數(shù)列；②｛S,,｝是單

調(diào)遞增數(shù)列，請寫出｛4｝的一個通項(xiàng)公式4,=.

【正確答案】-（答案不唯一）

n

【分析】根據(jù)題意，只需寫出滿足｛《,｝是正項(xiàng)單調(diào)遞減數(shù)列的通項(xiàng)公式即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，數(shù)列包｝滿足：①｛%｝是單調(diào)遞減數(shù)列；②｛S,｝是單調(diào)遞增數(shù)列,

故只需｛4｝是正項(xiàng)單調(diào)遞減數(shù)列即可.

故｛《,｝的通項(xiàng)公式可以為4=」.

n

故1(答案不唯一)

n

14.如圖，甲站在水庫底面上的點(diǎn)。處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)C處，已知庫底與水壩斜

面所成的二面角為120',測得從O,C到庫底與水壩斜面的交線的距離分別為DA=80m,

BC=60m,若Aβ=40m,則甲，乙兩人相距.

【正確答案】20√41

【分析】首先構(gòu)造二面角的平面角，如圖，再分別在和..CDE中求解.

【詳解】作3E〃A。，且BE=AD,連結(jié)￡>E,EC,

BELAB,BCLAB,.:ABI平面E8C且NCBE=I20,

四邊形AZ)EB時平行四邊形，：.DE//AB,,Z)E∕平面EBC,ECU平面CE8,

，DEXEC

_CEB中，EC=M+8()2一2χ60X80X(一/=20√37,

一CDE■中，DC?^DE1+EC2?√402+14800?20√41■

故20〃T

15.已知點(diǎn)A(2,3),8(5,-1),/為平面上的動直線，點(diǎn)A,8到直線/的距離分別為1,3,

則這樣的直線/有條.

【正確答案】4

【分析】將題意轉(zhuǎn)化為求兩圓的公切線條數(shù)即可得結(jié)果.

【詳解】到點(diǎn)A的距離為1的直線即該直線與以A為圓心，1為半徑的圓相切;

到點(diǎn)B的距離為3的直線即該直線與以B為圓心，3為半徑的圓相切；

由于|蝴=5>3+1,即兩圓相離，如圖所示，故公切線的條數(shù)為4條，

即點(diǎn)A,8到直線/的距離分別為1,3的直線有4條，

16.舒騰尺是荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰設(shè)計(jì)的一種作圖工具，如圖，O是滑槽A3的中點(diǎn)，短桿ON

可繞0轉(zhuǎn)動，長桿MN通過N處的較鏈與ON連接，MN上的栓子。可沿滑槽A8滑動.當(dāng)

點(diǎn)。在滑槽AB內(nèi)做往復(fù)移動時，帶動點(diǎn)N繞。轉(zhuǎn)動，點(diǎn)M也隨之而運(yùn)動.記點(diǎn)N的運(yùn)動

軌跡為C-點(diǎn)例的運(yùn)動軌跡為C”若ON=DN=1,MN=3,過G上的點(diǎn)P向Cl作切線,

則切線長的最大值為

［正確答案］√15

【分析】先建立平面直角坐標(biāo)系，分別求得G、G的方程，再利用切線長定理求得切線長

的表達(dá)式，進(jìn)而求得該切線長的最大值.

【詳解】以滑槽AB所在的直線為X軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.

因?yàn)镮oM=1,所以點(diǎn)N的運(yùn)動軌跡G是以。為圓心，半徑為1的圓,

其方程為-+y2=l?

設(shè)點(diǎn)⑼(M≤2),N(如%),M(X,y),

依題意，MD=IDN,且M=IoM=1,

2

所以(LXLy)=2(%T,%),fi∫(?-0Oo=lj

IXo+%=1

即2',且?(/—2x0)=0.

由于r不恒等于0,于是r=2x°,故毛=；,y0=--,

代入片+3=1，可得?+X?=l,

164

22

故曲線C,的方程為二+21=1.設(shè)C,上的點(diǎn)P(4cosa,2sinα),

164

則IOH2=16COS2a+4sin2a=4+12cos2a≤16,

則切線長為J∣0∕f-F≤歷T=岳,故切線長的最大值為行.

故√i?

四、解答題

17.如圖，在長方體ABCD-ABlGA中，AB=AD=?,AAt=2,E是棱。2的中點(diǎn).

（1）求證：BCVABi.

（2）求平面ABIE與平面ABC。夾角的余弦值.

【正確答案】（1）證明見詳解

⑵李

6

【分析】（1）先證明線面垂直，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量數(shù)量積計(jì)算兩平面夾角的余弦值.

【詳解】（1）證明：在長方體ABCo-ABCA中，BCYBA,BClBBt

又BACBBl=B,54U平面8A4g,BBlU平面瓦必用，

所以BC工平面841內(nèi)，

又A耳U平面B44石，所以8C1AB∣;

（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，ASM。,但所在直線分別為x,%z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則由ΛB=4D=1,AA=2,得A(0,0,0),3(1,0,0),D(0,l,0),q(0,1,2),A(0,0,2),耳(1,0,2),

又E是棱。。的中點(diǎn)，所以E(OJl),所以AE=(0,1,1),AB1=(1,0,2),

設(shè)平面ABiE的一個法向量為"=(x,y,z),

n?AE=Ofy÷z=0

則有，得C八，

γj?AB1=0[x+2z=0

取z=l,得"=(-2,-1,1),

易知平面ABCQ的一個法向量為，*=(0,0,1),

設(shè)平面A8∣E與平面438的夾角為。，

ljll∣cosθ=PM=_∣(-2)χ0+(fxθ+lχ)=√6

22222

''?n??m?√(-2)+(-I)+1×√0++1e-

所以平面ABlE與平面ABa)夾角的余弦值為好.

6

18.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S,,=2%-2叫

⑴求證：數(shù)列｛畀是等差數(shù)列.

⑵若不等式2∕-"-3<(5T)q,對任意"∈N*恒成立，求2的取值范圍.

【正確答案】(1)證明見解析

⑵尤<衛(wèi)

8

【分析】(1)由S,,=2q,-2"∣,利用數(shù)列的通項(xiàng)和前〃項(xiàng)和的關(guān)系求解；

(2)由⑴得α,,=2n(n+l),將不等式2/-”3<(5-X)””對任意〃6N*恒成立，轉(zhuǎn)化為

對任意"WN恒成立求解?

2

【詳解】(1)解：當(dāng)〃=1時，Sl=2al-2,解得q=4,

當(dāng)〃≥2時，??=S?-Sz=2q,-2??_,-2",

所以%=2的+2"，畛=翁+1,

即幺-3?=ι,

ι2〃2"一]

又$=2,

故數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.

(2)由(1)知，μ=〃+1,即α,,=2"("+l),

所以2〃2_〃_3=(〃+1)(2〃-3)＜(5-#(〃+1)2",對任意"∈N*恒成立,

即5-4＞昔二，對任意"wN*恒成立，

記2=竽，故4=-；＜0，

?,.2〃一143

所以〃≥2時?，,=1而又，所以￡=5,即4f＞用，

"≥3時，?it＜l,即隨著〃的增大，5遞減，

b,,

所以打的最大值為4=32，

O

337

所以5—彳＞—,即義＜.

88

19.某校為加強(qiáng)黨史教育，進(jìn)行了一次黨史知識競賽，隨機(jī)抽取的IOO名學(xué)生的筆試成績均

在75分以上(滿分100分)，分成[75,80),[80,85)[85.90),[90,95),[95,100]共

五組后，得到的頻率分布表如下所示：

組號分組頻數(shù)頻率

第1組[75,80)①

第2組[80,85)0.300

第3組[85,90)30②

第4組[90,95)200.200

第5組[95,100]100.100

合計(jì)1001.00

頻率

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0

75808590951∞成績

（1）請先求出頻率分布表中①、②位置的相應(yīng)數(shù)據(jù)，再完成頻率分布直方圖（用陰影表示）；

（2）為能更好了解學(xué)生的知識掌握情況，學(xué)校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層

抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面答，最終從6位學(xué)生中隨機(jī)抽取2位參加市安全知識答題決

賽，求抽到的2位學(xué)生不同組的概率.

【正確答案】（1）①處應(yīng)填的數(shù)為10人，②處應(yīng)填的數(shù)為0.300,直方圖見解析；（2）??.

【分析】（1）利用頻率等于頻數(shù)與總數(shù)的比值求解：（2）先用分層抽樣確定各組應(yīng)抽取的人數(shù),

而后利用古典概型中的列舉法求概率.

【詳解】（1）第2組的頻數(shù)為100×0.300=30人，所以①處應(yīng)填的數(shù)為10人，②處應(yīng)填的數(shù)

為0.300,

頻率分布直方圖如圖所示，

頻率

所以利用分層抽樣在60名選手中抽取6名選手進(jìn)入第二輪面試，每組抽取的人數(shù)分別為:

第3組：Μ6=3人，第4組：Μ6=2人，第5組：M6=1人,

所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人進(jìn)入第二輪面答.

設(shè)第3組的3位學(xué)生為A，第4組的2位學(xué)生為用,B2,第5組的1位學(xué)生為C/,

則從這6位學(xué)生中抽取2位學(xué)生有：

(A，4),(A，4),(A，81),(A,B2),(A，C|),(A2,A3),(?,,B1),(Λ,,B,),(A,,C1),

(^,B1),(A3,β2),(A3,C,),(B,,B2),(Bl,Cl),(B2,C1),共15種情況.

抽到的2位學(xué)生不同組的有：

(A，4),(4，&),(A,G),(&,即,(&,/),(4,c∣),

(怎耳),(4,員),(4,G),(旦,cj,(&<),共H種情況.

所以抽到的2位學(xué)生不同組的概率為￡.

20.已知圓C過點(diǎn)A(4,2),B(l,3),它與χ軸的交點(diǎn)為(Λ1,0),(w，0),與y軸的交點(diǎn)為(0,y),

(。,必)，且x∣+X2+)'∣+y2=6.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若4-3,-9),直線/:x+y+2=0,從點(diǎn)A發(fā)出的一條光線經(jīng)直線/反射后與圓C有交

點(diǎn)，求反射光線所在的直線的斜率的取值范圍.

22

【正確答案】⑴(x-2)+(γ-l)=5i(2)-??.

22

【分析】(1)設(shè)圓C的一般式方程為：x+y+Dx+Ey+F=O,然后根據(jù)題意列出方程，解

出O,E,尸的值即可得到圓的方程；

(2)先求出點(diǎn)A(-3,-9)關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)AO/)，設(shè)反射光線所在直線方程為

kx-y-7k+↑=0,利用直線和圓的位置關(guān)系列出不等式解出A的取值范圍即可.

22

【詳解】(1)設(shè)圓C的一般式方程為：χ+y+Dx+Ey+F=0,

令y=o,得Y+Or+F=。，所以為+々=-。，

令X=0,ny2+Ey+F=0,所以乂+%=-E,

所以有％+巧+%+%=-(D+E)=6,

所以D+E=-6,①

又圓C過點(diǎn)A(4,2),8(1,3),所以有42+22+4Z)+2E+/=0,(2)l2+32+D+3E+F=0,③

由①②③得。=τ,￡=-2,F=O,

所以圓C的一般式方程為√+∕-4x-2^=0,標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(γ-l)2=5;

(2)設(shè)A(-3,-9)關(guān)于/:x+y+2=0的對稱點(diǎn)A(3,y),

所以有E‘解之得匕二故點(diǎn)2)，

.-3IX一

.22

???反射光線所在直線過點(diǎn)A(7,1),設(shè)反射光線所在直線方程為：質(zhì)-y-7Z+l=0,

_∣2?-l-7?+l∣

所以有1_l≤√r5,

√?2÷1

所以反射光線所在的直線斜率取值范圍為,

本題考查圓的方程的求法,直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,

屬于常考題.

21.空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條

坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”.現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)

軸的夾角均為60°,我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜60。坐標(biāo)系”.我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義

“空間斜60。坐標(biāo)系”下向量的斜60。坐標(biāo)：i,j,%分別為“斜60。坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸(X軸、y

軸、Z軸)正方向的單位向量，若向量"=Xi+力+zL,則〃與有序?qū)崝?shù)組(X,y,Z)相對應(yīng),

稱向量〃的斜60。坐標(biāo)為[x,y,z],記作〃=IX,y,z].

⑴若α=[l,2,3],?=[-1,1,2],求〃的斜60。坐標(biāo)；

⑵在平行六面體A8CABG。中，AB=AD=2fAA∕=3,^BAD=ABAAy=ZDAAi=60,如

圖，以｛四,AD,的｝為基底建立“空間斜60。坐標(biāo)系”.

①若BE=EBι，求向量En的斜60坐標(biāo)；

②若AM=[2/0],且AW_LAG，求IAM.

【正確答案】(l)[0,3,5]

"3'

⑵①-2,2,-I；②2

【分析】(1)根據(jù)所給定義可得α=i+2∕+3k,b=-i+j+2k,再根據(jù)空間向量線性運(yùn)算

法則計(jì)算可得；

(2)設(shè)i,j,/分別為與AS,AD,M同方向的單位向量，則AB=2i,AD=2∕,A4l=3A,

①根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則得到EA=-AB+AD+^AAl,即可得解；

②依題意AG=2i+2/+3A、AM=2/+)且4W?AC∣=O根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律得到

方程，即可求出f,再根據(jù)卜Ml=J(2i-2/)2及向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得;

【詳解】(D解：由α=[l,2,3],/2=[-1,1,2],知α=i+2∕+3k,h=-i+j+2k,

所以α+∕>=(i+2∕+3Q+(-i+∕+2A)=3j+5k,

所以〃+6=[0,3,5]；

(2)解：設(shè)分別為與ΛB,4),A4同方向的單位向量，

則AB=2i,Ar)=2J,A41=3k,

(I)EDl=ADt-AE

=(Ao+AA)-(AB+gAA)

=-AB+AD+^AAi

3.

=-2i+2j+-k

=k'2'(l

②由題AG=AB+AD+AA,=2i+2j+3k,

因?yàn)锳M=[2j,0],所以AM=2i+",

由WAG知4M?AG=(2i+2∕+3A)?(2i+(∕)=0

^>4i2+2tj2+(4+2t)i-j+6k-i+3tk-j=O

=>t=-2

則IAM=I2'2∕∣=J(2i-2∕y

22

=λ∕4z+4√-8Z?√

=J4+4-4=2?

22

22.已知橢圓C：三+上=1,點(diǎn)E(—4,0),過點(diǎn)E作斜率大于O的直線與橢圓C相切，

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切點(diǎn)為T.

(1)求點(diǎn)7的坐標(biāo)；

(2)過線段ET的中點(diǎn)G作直線/交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，直線EA與橢圓C的另一個交點(diǎn)為

M,直線EB與橢圓C的另一個交點(diǎn)為N,求證：MN//ET；

(3)請結(jié)合(2)的問題解決，運(yùn)用類比推理，猜想寫出拋物線中與之對應(yīng)的一個相關(guān)結(jié)論(無

需證明).

【正確答案】(1)7(-2,1);

(2)證明見解析；

(3)過X軸負(fù)半軸上一點(diǎn)E作拋物線C:∕=2pχ(p>0)的切線ET,再過E,T的中點(diǎn)G作直線

與拋物線交于A,