2023-2024學年重慶市高二年級下冊第二次月考數(shù)學模擬試題（含解析）

2023-2024學年重慶市校高二下學期第二次月考數(shù)學模擬試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共計40分，在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的

α

r/(?)-∕(?+)_

1,若/'(*。)=1,則黑a().

A.2B.1C.-2D.-I

【正確答案】D

【分析】根據(jù)極限的定義求解即可.

【詳解】因為/'(%)=1,

所以lim∕(?)-∕(?÷^)=Tim/U+")-"/)=-1

α→0aa→0Q

故選：D

2.(x—2)展開式中的常數(shù)項為()

2I

A.B.-C^C.-2"D.-2,C2^

【正確答案】C

【分析】直接由二項展開式求常數(shù)項即可.

【詳解】展開式中的常數(shù)項為.c??√'?

故選：C.

2cosY

3.函數(shù)/(x)=---------,X￡[-肛乃]的圖象大致為()

【分析】根據(jù)函數(shù)的特殊值及單調性進行解題.

2cosx

【詳解】解：V=-——,當X=O.01時，y<0,所以排除C,D,

ex

又，2(SinX+cosX)2Λ∕Σsin(x+/,

y=---------------=----------------

ejr/

TT

所以X=—J為極值點，排除B,

4

故選A.

4.天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、

辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀年法是按順

序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲'’起，地支由“子'’起，比如第

一年為“甲子，，,第二年為“乙丑”,第三年為“丙寅,以此類推，排列到“癸酉”后，天干回至產甲”重新

開始，即“甲戌”，"乙亥”，之后地支回到“子’’重新開始，即“丙子”，…，以此類推，在1980年庚申年，我

國正式設立經濟特區(qū)，請問：在100年后的2080年為()

A.戊戌年B.辛丑年C.己亥年D.庚子年

【正確答案】D

【分析】將天干和地支分別看作等差數(shù)列，結合100÷10=10,100÷12=8…4,分別求出100年后天

干為庚，地支為子，得到答案.

【詳解】由題意得，天干可看作公差為10的等差數(shù)列，地支可看作公差為12的等差數(shù)列，

由于100÷10=10,余數(shù)為0,故IOO年后天干為庚，

由于100÷12=8…4,余數(shù)為4,故100年后地支為子，

綜上：100年后的2080年為庚子年.

故選：D.

5.用紅、黃、藍、綠四種顏色給下圖著色，要求有公共邊的兩塊不著同色.在所有著色方案中，①③⑤著

相同色的方案有（）種

A.96B.24C.48D.108

【正確答案】D

【分析】利用分步計數(shù)原理計算即可.

【詳解】因為①③⑤著相同的顏色，可以有C；=4種，

②④⑥按要求可隨意著與①③⑤不同色的另外三種顏色，故有C；XC；XeI=27種，

所以共有4x27=108種.

故選：D.

6.隨機變量自滿足分布列如下：

4012

P2a-baa+b

則隨著6的增大（）

A.EC）增大，Qe）越來越大

B.Eq）增大，OC）先增大后減小

C.EC）減小，?；┫葴p小后增大

D.Ee）增大,先減小后增大

【正確答案】B

【分析】結合分布列的性質求出”的值以及b的范圍，然后根據(jù)期望與方差的概念表示出期望與方差，結

合函數(shù)的性質即可得出結論.

【詳解】因為2a—b+α+α+b=l,所以。=工，

4

O<?-/,<1

又因為‘；，解得

O<-+b<l—

I4

所以￡(§)=。+2。+26=；+26,隨著b的增大，Ee)增大；

22

D(ξ)=(→2h)^-b)+(26-?×→(f-2b)2(J+b)=-4b+b+二，

42444416

因為-；</><；,所以Qe)先增大后減小.

故選：B.

7.定義在R匕的函數(shù)/(x)的導函數(shù)為了'(X),若對任意實數(shù)X,有/(χ)>∕'(χ),且/(x)+2023為

奇函數(shù)，則不等式/(x)+2023e'<0的解集是()

A.(-oo,θ)B.1-8」)C.(0,+oo)D.(L+∞)

【正確答案】C

【分析】構造函數(shù)R(X)=10+2023,根據(jù)導函數(shù)得單調性，利用單調性求解不等式的解集.

【詳解】因為/(x)+2023為奇函數(shù)，

所以/(O)+2023=0,即/(O)=—2023,

設尸(X)=幺2+2023，

則k(X)J(X)了白)<0，

e

所以E(X)=/?j+2023在R上單調遞減,

又尸(O)=4^+2023=O，/(x)+2023e'<0的解集等價于史l+2023<0的解集，即

eex

F(x)<F(0),

所以X>0,即不等式/(x)+2023e'<0的解集為(0,+力).

故選：C.

8.設橢圓C：=+與=1(a>Δ>0)的右焦點為凡橢圓C上的兩點/、8關于原點對稱，且滿足

Ω2b-

成.麗=0，IESl≤∣E4∣≤3∣F用，則橢圓C的離心率的取值范圍是()

D.[√3-l,l)

A剽B與粵Eg

【正確答案】B

【分析】設橢圓的左焦點尸’，由橢圓的對稱性結合⑸.麗=0,得到四邊形/必E'為矩形，設“尸|=〃,

2c2

?AF?=m,在直角AZBE中，利用橢圓的定義和勾股定理化簡得到生+△,再根據(jù)

nm

IEgl≤∣E4∣≤3∣E8∣,得到生的范圍，從而利用對勾函數(shù)的值域得到鳥的范圍，進而由

na

即可得解.

【詳解】如圖所示:

設橢圓的左焦點E',由橢圓的對稱性可知，四邊形/必產為平行四邊形,

又成?麗=0,則E4_LF8,所以平行四邊形NEg?為矩形，故M4=∣"'∣=2C,

設M尸[=〃，∣4FI=加,則忸尸|=〃,

222

在直角AABF中，m+n=2afm+n=4c，

所以=(w+Z?)2-+“J=4a2-4C2=4b2,則mn=Ih2，

222

所以二m+/?Ic

r

nmmnT

m

n

又由∣F5∣≤∣E4∣<3∣ES∣,得％=f∈[l,3],

n

因為對勾函數(shù)y=t+；在[1,3]上單調遞增，所以今=f+；e2,y

21

Cπ,ae2，|，故展3?

所以e1'則正

F5a8,2

所以

所以橢圓_離心率的取值范圍是一√2,三√i一o

24

故選：B.

關鍵點睛：本題解決的關鍵是利用橢圓的對稱性證得四邊形AFBF'為矩形，再利用橢圓的定義與勾股定

理，結合條件得到關于α,b,c的齊次不等式，從而得解.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共計20分，每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.若隨機變量X服從兩點分布，其中P(X=O)=；,E(X),O(X)分別為隨機變量X的均值與方差，

則下列結論正確的是()

A.尸(X=I)=E(X)B,E(3X+2)=4

C.Q(3X+2)=4D.O(X)=I

【正確答案】AB

【分析】根據(jù)隨機變量X服從兩點分布推出P(X=I)=：,根據(jù)公式先計算出E(X)、D(X),由此分別

計算四個選項得出結果.

12

【詳解】隨機變量X服從兩點分布，其中尸(X=O)=??.p(x=i)=],

122

E(X)=OX—+lx-=—,

333

7I7??

P(X)=(0--)2×-+(l--)2×-=-,

33339

在A中，P(X=I)=E(X),故A正確；

2

在B中，E(3X+2)=3E(X)+2=3x§+2=4,故B正確；

在C中，D(3X+2)=90(X)=9x?∣=2,故C錯誤；

在D中，Z)(X)=I,故D錯誤.

故選：AB.

10.某工廠有甲、乙兩個車間生產同一種產品，其產量比為2：3.從兩個車間中各隨機抽取了10個樣品

進行測量，其數(shù)據(jù)(單位：mm)如下：

甲車間：9.49.69.89.810.010.110.110.210.210.3

乙車間：9.29.49.69.810.010.210.310.310.310.4

規(guī)定數(shù)據(jù)在(9.5,10.5)之內的產品為合格品.若將頻率作為概率，則以下結論正確的是()

A.甲車間樣本數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為9.9

B.從樣本數(shù)據(jù)看，甲車間的極差小于乙車間的極差

C.從兩個車間生產的產品任取一件，取到合格品的概率為0.72

D.從兩個車間生產的產品任取一件，若取到不合格品，則該產品出自甲車間的概率為0.25

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)百分位數(shù)計算規(guī)則判斷A,計算出極差即可判斷B,根據(jù)全概率公式計算C,根據(jù)條件概率

公式計算D.

【詳解】對于A：甲車間樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為：9.4、9.6、9.8、9.8、10.0、10.1、10.1、10.2、

10.2、10.3,

又10x40%=4,所以第40百分位數(shù)為第四、五兩數(shù)的平均數(shù)，

即為"8+10=99,故A正確；

2

對于B：甲車間的極差為10.3—9.4=0.9,乙車間的極差為10.4—9.2=1.2,

所以甲車間的極差小于乙車間的極差，故B正確；

984

對于C：從樣本數(shù)據(jù)可知甲車間合格品的概率《=歷，乙車間合格品的概率巴=歷=,，

且甲、乙兩車間產量比為2:3,

293421

若從兩個車間生產的產品任取一件，取到合格品的概率P=-x—+—X一=一=0.84,故C錯誤;

5105525

對于D：由C可知取到不合格品的概率A=I—尸=l-0?84=0.16,

zxr1.n

所以若取到不合格品，則該產品出自甲車間的概率5(?，故D正確.

IA=-

40.16

故選：ABD.

11.設(2x+1)6=%+%(χ+1)+。2(工+1)2+…+%(x+1)6,下列結論正確的是()

A,a2+a3=100B.a?！?Z∣+生—。3+—。5+。6=3‘

C.+2%+3%+…+6以=12D.當x=9時，(2x+l)6除以20的余數(shù)是-1

【正確答案】BC

【分析】利用換元法將題設條件轉化為(一1+2/)6=4+《/+生/+…對于A,利用展開通項公

式求解判斷即可；對于B,利用賦值法即可判斷；對于C,對，求導后，再利用賦值法即可判斷；對于D,

將X=9代入后利用二項式定理展開式子，從而得以判斷.

【詳解】對于A,因為(2x+l),=4+/(%+1)+。2(工+1)2+…+%(x+l)6，

6626

令f=x+1,則(2X+1)6=[-l+2(x+l)]=(-1+2/)=a0+ait+a2tH----Fa6Z,

因為(―1+2fY的展開通項公式為I+】=C(T)6"(2/『=2*C*—IpMJ,

33

所以的=22xC；(—1)4=60,α3=2×C^(-l)=-160,故生+。3=-10°，故A錯誤;

對于B,令f=—1,得α0—α∣+%-/+%—%+4=(―1-2)6=3“，故B正確；

對于C,因為(27—1)=(—1+2/)=α0+α/+四廠+,,,+°6’6，

兩邊對f求導得，12⑵—I)，=q+2^+3%/+…+64兒

令f=l得，＜21+2a2H----1"64=12,故C正確；

對于D,當x=9時，(2x+1)6=196=(20-1)6=206-C；205+??--e?×20+1,

展開式右邊共7項，前6項都是20的整數(shù)倍，因此它除以20的余數(shù)是1,故D錯誤.

故選：BC.

Y

12.對于函數(shù)/(x)=-,下列說法正確的是()

Inx

A./(x)在(0,e)上單調遞減，在(e,+8)上單調遞增

B.當0<芭<工2<1時,2?In%2>%?InM

C.若函數(shù)y=∕(k∣)-左有兩個零點，則左<o

D.設g(x)=χ2+α,若對VXl∈R,3χ2∈(l,+∞),使得g(xj=∕(x2)成立，則α≥e

【正確答案】BD

【分析】利用函數(shù)的定義域判斷A選項的正確性；利用/(元)的單調性來判斷B選項的正確性；結合

V=/(W)的圖象來判斷C選項的正確性；通過求/(X)和g(x)在給定區(qū)間上的取值范圍來判斷D選項

的正確性.

【詳解】對于A選項，/(x)=上的定義域為(0,1)U(I,+8),所以A選項錯誤.

Inx

、Inx-I-、/、

對于B選項，/(X)=記彳,當0<x<l時，/(x)<0,/(x)遞減.

?≠0<xl<x2<1,所以

Inx1Inx2

由于Inx1<0,Inx2<0,(lnx1)?(Inx2)>0,

所以由丁“一兩邊乘以(InXj?(lnw)得Xι-lnx2>x2-Inx1,所以B選項正確.

IU√VI??X)

對于C選項，令y=∕(∣x∣)-A=0,/(國)=左，

由于/(X)=號F，所以在區(qū)間(°，1)，(13)，/(力<°，/(力遞減；

在區(qū)間(e,+∞),/(x)>0,∕(x)遞增.

當0<x<l時，/(x)=^-<0；當x>l時，/(x)=^->0;/(e)=e.

l??Xlr?X

函數(shù)歹=/(即是定義域為(-8,-1)5—1，°)5°，1)51，+8)的偶函數(shù).

由此畫出y=∕(∣χ∣)的圖象如下圖所示，

由圖可知，直線N=e與y=∕(W)的圖象有兩個交點，即當k=e時，

函數(shù)y=∕(W)-左有兩個零點，所以C選項錯誤.

對于D選項，由上述分析可知，x2∈(l,+∞),則g(X2)e[e,+8),

x∣∈R,g(x∣)>0,要使"對VXl∈R,3X2∈(l,+∞),使得g(xj=∕(x2)成立"，

則需αNe,所以D選項正確.

利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，首先要求函數(shù)的定義域，單調性必須在定義域這個大前提下進行求解.求解恒

成立、存在性問題，可轉化為求最值或取值范圍來進行求解.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且在定義域內有且只有三個零點，則/(x)可能是.(本

題答案不唯一)

x÷2,x≤-1,

【正確答案】/(x)=√-3x(或/(x)=<-x,-l<x<l,等，本題答案不唯一，符號題意即可)

x-2,x≥1

【分析】本題答案不唯一，符合題意即可，

x+2,x≤-l,

/(X)=X3-3X,滿足/(x)為奇函數(shù)，且/(x)在R上有且只有三個零點；或者/(X)=<-x,-l<x<l,滿

x-2,x≥l

足/(X)為奇函數(shù)，且/(X)在R上有且只有三個零點.

【詳解】本題答案不唯一，符合題意即可，如/(x)=χ3-3x,/(x)為奇函數(shù)，且/(x)在R上有且只有

三個零點0，±√3.滿足題意.

一題多解

由題知，本題答案不唯一，符合題意即可，易知/(0)=0,故可畫出符合題意的草圖

x+2,x≤-l,

如圖所示，此時/(x)=,τ,-l<x<l,

x-2,x≥1

開放性試題，可以從常用函數(shù)或者基本初等函數(shù)思考找到解題方向.

14.袋中裝有5個同樣大小的球，編號為1,2,3,4,5.現(xiàn)從該袋內隨機取出2個球，記被取出的球的

最大號碼數(shù)為J，則￡《）等于,

【正確答案】4

【分析】由題意J的可能取值為2,3,4,5,分別求出相應的概率，由此能求出E（J）.

【詳解】；袋中裝有5個同樣大小的球，編號為1,2,3,4,5.

現(xiàn)從該袋內隨機取出2個球，記被取出的球的最大號碼數(shù)為九

??3的可能取值為2,3,4,5,

c21c'1

P(ξ=2)=一■=—，P(ξ=3)=7■=—

C10Cj5

C13C'2

PC=4)=Ff=帝P(^=5)=-f=-

1132

,1.￡（?）=2x—+3×-+4×-+5×-=4.

v7105105

故4.

15.學校高三大理班周三上午四節(jié)、下午三節(jié)有六門科目可供安排，其中語文和數(shù)學各自都必須上兩節(jié)而

且兩節(jié)連上，而英語、物理、化學、生物最多上一節(jié)，則不同的功課安排有種情況.

【正確答案】336

【分析】可分類，一類是語文數(shù)學都排上午，另一類是語文數(shù)學上下午各排一門.

【詳解】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：

①，語文和數(shù)學都安排在上午，

此時語文和數(shù)學的安排方法有2種，在剩下的4門課中任選3門，安排在下午，有田種情況，則此時有

2x/；=48種安排方法；

②，語文和數(shù)學分別安排上午和下午，

若語文在上午，有3種安排方法，數(shù)學在下午，有2種安排方法，在剩下的4門課中任選3門，安排在其

他時間，有另種情況,

則語文在上午、數(shù)學在下午的安排方法有3x2x團=144種，

同理：數(shù)學在上午，語文在下午的安排方法也有144種，

則不同的安排方法有48+144+144=336種；

故336種；

本題考查排列與組合的綜合應用.對特殊元素的位置優(yōu)先安排，利用分類加法計數(shù)原理求解.

16.定義函數(shù)/(x)=[x[x]],其中H表示不超過X的最大整數(shù)，例如，[1.3]=1,[-1.5]=-2,[2]=2,

當xe[O,〃),〃eN*時，/(x)的值域為4,記集合4中元素的個數(shù)為4,則(1)生=；⑵

k=2QA_?

【正確答案】①.2②.2∣l-?I

【分析】當〃=2時，先求得了(X)的解析式，由此求得。2的值?求得[x[x]]在各區(qū)間中的元素個數(shù)，由此

求得為,利用裂項求和法求得￡一1

k=2ak-Γ

【詳解】(1)當〃=2時,

0,x∈[0,1)進而得用叫o,?∈[0,1)

根據(jù)題意得：LTl,2)'

[x]=?,

x9x∈[1,2)

O,x∈[θ,l)

所以/(x)=[x[x]]=LJ在各區(qū)間中的元素個數(shù)分別為：1,1；所以。2=2

r[x1],x∈[l,2)

0,x∈[0,1)0,x∈[0,1)

l,x∈[l,2)x,x∈[1,2)

2,X∈[2,3)2x,x∈[2,3)

(2)解:根據(jù)題意得：兇=v3,x∈[3,4)，進而得HH=<3x,x∈[3,4)

4,x∈[4,5)4x,x∈[4,5)

M-1,X∈[∕z-l,w)(w-l)x,x∈[∕7-l,λ7)

所以[x[x]]在各區(qū)間中的元素個數(shù)為：1,1,2,3,4,…,〃一1,

所以當xe[0,""∈N*時，/(x)的值域為4,集合4中元素的個數(shù)為為滿足:

2

z、(W-1)Γ1+(M-1)1n-n+2

an=1+1+2+3+4H----F(H-1)=IH------------------=---------，

n(n-??12Jln

所以&-1=〃U),所以--=7~—=2-,所以

n2a,,-lyn-?)n?H—1nJ

通項公式的分母是兩個等差數(shù)列乘積的形式的數(shù)列求和，可采用裂項求和法.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,,且滿足2S"+2”=3a,,(〃eN)

(1)｛%｝的通項公式;

(2)若"=〃/+〃，求數(shù)列出｝的前〃項和7；,.

π

【正確答案】⑴an=3-l

Sitt—1/、

【分析】(1)根據(jù)。“=1°C作差得到%=3/τ+2,從而得到Q"+1=3(4T+1),即可得

電一S5〃≥2

到｛4+1｝是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，即可求出通項公式;

(2)由(1)可知"="x3",利用錯位相減法求和即可.

【小問1詳解】

因為2S“+2〃=3α,,("wN")①，

當〃=1時2S∣+2=3α∣,則q=2,

當"22時2S,ι+2(〃-l)=3α,ι②，

①一②得2S“+2〃-2S,ι-2(〃-1)=3%-3q,τ,即Ian+2=3alt-3an_t,

則al,=3α,τ+2,所以α,,+1=3+1),

所以｛%+l｝是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以4+1=3",則%=3"-1.

【小問2詳解】

因為4="4+",所以"=/?(3"-1)+〃="x3",

所以7；=lχ3∣+2χ32+3χ3'+…+〃x3”③，

37；,=1×32+2×33+3×34+???+∕J×3Π+1Φ,

l23,,+1

?~?n~2Tn=l×3+l×3+l×3+??→l×3'-n×3'

≡^(f-?3n+'+l?

18.福州紙傘是歷史悠久的中國傳統(tǒng)手工藝品，屬于福州三寶之一，紙傘的制作工序大致分為三步：第一

步削傘架，第二步裱傘面；第三步繪花刷油.一個優(yōu)秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技

術要求，已知某工藝師在每個環(huán)節(jié)制作合格的概率分別為一，一，；，只有當每個環(huán)節(jié)制作都合格才認為

453

一次成功制作.

(1)求該工藝師進行3次制作，恰有一件優(yōu)秀作品的概率；

(2)若該工藝師制作4次，其中優(yōu)秀作品數(shù)為X,求X概率分布列及期望；

54

【正確答案】(1)----

125

O

(2)分布列見解析，E(X)=—

【分析】(1)先求出制作一件優(yōu)秀作品的概率，再結合二項分布概率公式，即可求解;

(2)若該工藝師制作4次，其中優(yōu)秀作品數(shù)為X,X的可能取值為0,1,2,3,4,求出對應的概率,

即可得X的分布列，代入期望公式求解期望即可.

【小問1詳解】

3422

由題意可知，制作一件優(yōu)秀作品的概率為士x—X-=一,

4535

所以該工藝師進行3次制作，恰有一件優(yōu)秀作品的概率P==—.

35⑸125

【小問2詳解】

該工藝師制作4次，其中優(yōu)秀作品數(shù)為X,X的所有可能取值為0,1,2,3,4,

由題意知X~8∣4,∣

則P(X=O)=c：(∣∫(1-∣)4=??P(X=D=C(tj(ι-∣)3=≡

P(X=2)F∣)2(管嗡,尸(I)=C羽IT嚷,

故X的分布列為:

X01234

P812162169616

625625625625625

2c

所以數(shù)學期望為E(X)=4χχ=w?

19.如圖，在四棱錐S-ZBCA中，側面SCD為鈍角三角形且垂直于底面4SCD,底面為直角梯形且

NABC=90°,AB=AD=-BC,CO=SD,點〃是S4的中點.

2

S

(1)求證：6。人平面SCz)；

（2）若直線SO與底面Z6C。所成的角為60。，求SO與平面用8。所成角的正弦值.

【正確答案】（1）證明見解析；（2）叵

14

【分析】（1）根據(jù)已知條件證明BDLCD,根據(jù)線面垂直的判定定理即可得到80人平面SeD；

（2）根據(jù)已知條件建立合適的空間直角坐標系，利用直線的方向向量與平面法向量夾角的余弦值的絕對

值求解出SZ）與平面兒必。所成角的正弦值.

【詳解】解：（1）證明：取BC的中點E,連接。E,

設∕8=ZQ=α,BC=2a,依題意，四邊形ZBEO為正方形，

且有BE=DE=CE=a,BD=CD=√2α，

，BD2+CD2=BC2）則BDLCD.

又平面SCD1底面ABCD,平面SCDD底面ABCD=CO,，8。1平面SCD

A

（2）過點S作CO的垂線，交CD延長線于點H,連接力〃，

?.?平面SCZ），底面/68,平面SCon底面Z6C。=C。，SH±CD,S"u平面SC。，SH_1底

面ABCD,

故DH為斜線SD在底面48C。內的射影，NSDH為斜線SD與底面ABCD所成的角，即ZSDH=60°.

由（1）得，SD=√∑α，，在RtASUO中，SD=&a，SH=-a-

2

B

在“。H中，AADH=45o,4D=a,DH=-a＞由余弦定理得

2

I2f√∑Y√f也

AH=Aa^+—a-2?α-----Q?COS45°=—a?

?I2J22

.?.AH2+DH2=AD2，從而ZAHD=90°,過點。作DFHSH,：.DF1底面ABCD,：.DB、DC、

。/7兩兩垂直，

如圖，以點。為坐標原點，而為X軸正方向，反為歹軸正方向，而為Z軸正方向建立空間直角坐標

系,

Z

、

a,--a,θ?,M√2√6)

a,AQ,--------a,—u

/2J24J

n?DB=y∣2ax-O

,取z=l,得I=[。,*],

設平面MBD的法向量n=(x,?z)，由＜

-7r77亞加I2J

n?DM=----ax------ay----az=On

222

又/"0,包a,-星a,.,.sinθ=Icos<H,SD>∣=

2214

.?.SD與平面MBD所成角的正弦值為叵.

14

方法點睛：求解線面角的正弦值的兩種方法：

(1)幾何法：通過線面垂直的證明，找到線面角，通過長度的比值即可計算線面角的正弦值；

(2)向量法：求解出直線的方向向量和平面的法向量，根據(jù)直線的方向向量與平面法向量夾角的余弦值

的絕對值等于線面角的正弦值求解出結果.

20.某機器生產商，對一次性購買兩臺機器的客戶推出兩種超過質保期后兩年內的延保維修方案：

方案一：交納延保金6000元，在延保的兩年內可免費維修2次，超過2次每次收取維修費1500元；

方案二：交納延保金7740元，在延保的兩年內可免費維修4次，超過4次每次收取維修費。元.

某工廠準備一次性購買兩臺這種機器，現(xiàn)需決策在購買機器時應購買哪種延保方案，為此搜集并整理了臺

這種機器超過質保期后延保兩年內維修的次數(shù)，統(tǒng)計得下表：

維修次數(shù)0123

機器臺數(shù)20104030

以上100臺機器維修次數(shù)的頻率代替一臺機器維修次數(shù)發(fā)生的概率，記X表示這兩臺機器超過質保期后延

保兩年內共需維修的次數(shù).

（1）求X的分布列；

（2）以所需延保金與維修費用之和的期望值為決策依據(jù)，該工廠選擇哪種延保方案更合算？

【正確答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）確定X所有可能的取值為0,1,2,3,4,5,6,依次計算X每個取值所對應的的概率，從而可列

出分布列；（2）分別求解兩種方案的數(shù)學期望，根據(jù)數(shù)學期望的大小比較，確定選擇哪一種更劃算.

【詳解】（1）X所有可能的取值為0,1,2,3,4,5,6

P(X=O)=IX1=L,P(X=I)=—x—x2=—,

'755251,10525

P(X=2)=LLJX2χ2=衛(wèi)，P(X=3)=L2χ2+,χ2χ2=,

'7101055100,71055105

P(X=4)=—X—+—X—×2=--,P(X=5)=-X—X2=—,

'755101050,751025

,1.339

',1010100

X的分布列為

X0123456

1117?1169

P

252510055025100

（2）選擇延保方案一，所需費用乂元的分布列為:

X6000750090001050012000

??1169

P

455025100

E(X)=IX6000+Jχ7500+Uχ9000+9χ10500+2x12000=8580(元)

'"455025100

選擇延保方案二，所需費用Y2元的分布列為:

η77407740+47740+2。

6769

P

10025Too

於*7UQ?1

E（YΛ=—×7740+—X（7740+a）+（7740+2?>7740+—（元）

'2710025v,100v,50

.??石⑻―E㈤=840型

當雙外-化）=-工

E840>0,BP0<α<2000時，選擇方案二

當黑）—（）等

EU=840—=0,即a=2000時，選擇方案一，方案二均可

當名⑺—化）=需

E840—<0,即0>2000時,選擇方案一

本題考查離散型隨機變量的分布列、利用數(shù)學期望解決實際問題，關鍵是明確選擇方案的原因在于平均花

費更少，即數(shù)學期望更小，屬于中檔題.

21.已知A/(x0,0),N(O,%)兩點分別在X軸和y軸上運動,且IKVI=1,若動點G滿足04=237+，

動點G的軌跡為E.

(1)求E的方程；

(2)已知不垂直于X軸的直線/與軌跡E交于不同的/、8兩點，。f?4√,3θ1總滿足NZ。。=/^。。，

'>

證明：直線/過定點.

【正確答案】⑴—+y2=l;(2)證明見解析.

4-

【分析】(1)根據(jù)平面向量的坐標運算可得XO=］、％=y，結合∣Λ∕N∣=1和兩點坐標求距離公式可得

22

x0+?ɑ=1,將χt)=?∣?、%=_y代入計算即可；

(2)設直線/的方程為：y=kχ+m.Z(Xr凹)、B(X2,8)，聯(lián)立橢圓方程并消去乃根據(jù)韋達定理表示

出玉+%2、XZ，利用兩點求斜率公式求出心°、KBQ,結合題意可得4我=一須0,列出關于/和川的方

程，化簡計算即可.

【小問1詳解】

因為而=2兩+麗,即(/刃=2(%,0)+(0,NO)=(2?，No)，

X

所以X=2/，y=y0,則/=］，%=y，

又IMNl=1,得χ02+y02=l,即(；)2+/=i,

r2

所以動點G的軌跡方程E為：—+/=1；

4?

【小問2詳解】

由題意知，

設直線/的方程為：y=kx+m,Z(χ∣,y),B[X2,%),

,

則>1-kxλ+m,y2-kx2+m,

，2I

----Fy~1-)^)?

<4，消去y，得(4左2+l)f+8ytmχ+4加2-4=o,

y=kx-?-m

222

由△二64?∕W-16(4左2+l)(w-l)>0,得加2<4/+1,

-Sktn4m2-4

…=Eg=赤r

k=%