江西省景德鎮(zhèn)市樂平中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題

樂平中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于，則的值為（）A．B．C．D．2．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A．144B．120C．100D．803．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則等于（）A．0.14B．0.62C．0.72D．0.864．雙曲線的焦距為4，則的漸近線方程為（）A．B．C．D．5．將甲、乙等8名同學(xué)分配到3個(gè)體育場(chǎng)館進(jìn)行冬奧會(huì)的志展服務(wù)，每個(gè)場(chǎng)館不能少于2人，則不同的安排方法有（）A．2720B．2940C．3000D．31606．函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．7．已知定義在上的的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且為偶函數(shù)，，則不等式的解集為（）A．B．C．D．8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若，則錯(cuò)誤的是（）A．B．雙曲線的離心率C．雙曲線的浙近線方程為D．原點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．如圖，若長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為是的中點(diǎn)，則正確的是（）A．B．平面平面C．三棱錐的體積為D．三棱錐的外接球的表面積為10．某中藥材盁中共有包裝相同的10袋藥材，其中甲級(jí)藥材有4袋，乙級(jí)藥材有6袋，從中不放回地依次抽取2袋，用表示事件“第一次取到甲級(jí)藥材”，用表示專件“第二次取到乙級(jí)藥材”，則正確的是（）A．B．C．D．事件相互獨(dú)立11．?dāng)?shù)列滿足，設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A．B．C．D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．在的展開式中的系數(shù)為_______。13．若雙曲線的漸近線與圓．相切，則_______。14．已知函數(shù)，若，不等式在上存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍_______。四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）某校舉行羽毛球友誼賽，甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行冠亞軍決賽，每局比賽甲獲勝的概率是，乙獲勝的概率是，規(guī)定：每一局比賽中勝方記1分，負(fù)方記0分，先得3分者獲勝，比賽結(jié)束。（1）求進(jìn)行3局比賽決出冠亞軍的概率；（2）若甲以領(lǐng)先乙時(shí)，記表示比賽結(jié)束時(shí)還需要進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。16．（15分）數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和。17．（15分）如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，是的中點(diǎn)。（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的大小。18．（17分）函數(shù)。（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則。19．（17分）如圖，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，點(diǎn)的軌跡記為曲線。（1）求曲線的方程；（2）若過點(diǎn)的兩條直線分別交曲線于兩點(diǎn)，且，求證：直線過定點(diǎn)；（3）若曲線交軸正半軸于點(diǎn)，直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，直線分別交軸于兩點(diǎn)。請(qǐng)?zhí)骄浚狠S上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。1-4DBDB5-8BCBD9、CD10、ABC11、ACD6、解：因?yàn)椋ǎ?，?dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減；函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，所以有，解得.故選C7、解：由題意構(gòu)造函數(shù)，則，定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足在上恒成立，函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)；又為偶函數(shù)，則函數(shù)，即關(guān)于對(duì)稱，，則，由于不等式的解集等價(jià)于的解集，根據(jù)函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，則，故選B8、D．提示：如圖，設(shè)|AF2|＝x，則|BF2|＝|AF1|＝2x，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝x，|BF1|＝|BF2|＋2a＝2x＋2a＝6a，|AB|＝3x＝6a，所以|BF1|＝|AB|，故∠AF1B＝∠F1AB，A選項(xiàng)正確．因?yàn)閨AF1|＝2x＝4a，|BF1|＝|AB|＝6a，所以在△AF1B中，cos∠F1AB＝．又在△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|cos∠F1AF2，即4c2＝16a2＋4a2－2×4a×2a×＝，，所以，B正確．由，得，，漸近線方程為，C正確．若原點(diǎn)O在以F2為圓心，AF2為半徑的圓上，則|OF2|＝|AF2|，c＝2a，即與B矛盾，不成立，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．9．解：以{，，}為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，A1(0，0，4)，B1(2，0，4)，E(0，2，2)，所以＝(－2，2，－2)，＝(2，0，－4)．因?yàn)椋剑?＋0＋8＝4≠0，所以與不垂直．故A錯(cuò)誤．＝(0，－2，4)，＝(－2，0，2)，設(shè)平面B1CE的一個(gè)法向量為＝(x1，y1，z1)，則由得所以不妨取z1＝1，則x1＝1，y1＝2，所以＝(1，2，1)．同理可得平面A1BD的一個(gè)法向量為＝(2，2，1)．故不存在實(shí)數(shù)λ使得．故平面B1CE與平面A1BD不平行，故B錯(cuò)誤．在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，B1C1⊥平面CDD1C1，故B1C1是三棱錐B1－CEC1的高，所．故C正確．三棱錐C1－B1CD1的外接球即為長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的外接球，故外接球的半徑．所以三棱錐C1－B1CD1的外接球的表面積S＝4πR2＝24π，故D正確．故選CD．10、解：對(duì)A，，故A正確；對(duì)B，，故B正確；對(duì)C，，故C正確；對(duì)D，因?yàn)?，，所以事件A，B不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．11、解：依題意，，A選項(xiàng)正確.，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，而，所以，所以，所以C正確.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以，而，所以，所以，所以，所以D正確.故選：ACD12、1513、解：雙曲線的漸近線為,即,不妨取,圓,即,所以圓心為,半徑,依題意圓心到漸近線的距離,解得或．14、解：原條件等價(jià)于：在上存在實(shí)數(shù)解．化為在上存在實(shí)數(shù)解，令，則，∴在上，，得，故在上單調(diào)遞增，∴的最小值為，∴時(shí)，不等式在上存在實(shí)數(shù)解．15、解：（1）甲3局全勝的概率為，乙3局全勝的概率為，∴進(jìn)行3局比賽決出冠亞軍的概率為（2）的可能取值為1，2，則，，12故的分布列為：故．16、解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則解得所以，.（2），則.17、解：(1)如圖，連接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等邊三角形．（1分）∵E是CD的中點(diǎn)，∴BE⊥CD．∵CD∥AB，∴BE⊥AB．（3分）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BE．（4分）∵PAAB＝A，∴BE⊥平面PAB．（5分）又BE?平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAB．（7分）∵BE⊥平面PAB，∴BE⊥PB，（9分）∴∠ABP即為二面角A-BE-P的平面角．（12分）在Rt△PAB中，AB＝1，PA＝，tan∠ABP＝，（13分）∴∠ABP＝60°．（14分）∴二面角A-BE-P的平面角為60°．（15分）建立空間直角坐標(biāo)系做題連接AC交BD于點(diǎn)O,以O(shè)A為x軸，OB為y軸，18、解：（1）因?yàn)?令,得當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增，所以,若，則，即，所以的取值范圍為.由（1）知當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則一個(gè)零點(diǎn)大于0小于1，一個(gè)零點(diǎn)大于1，故19、解（1）設(shè)，，則，由題意知，所以，得(，所以，因?yàn)椋?，故曲線C的方程為．由題意可知，直線不平行坐標(biāo)軸，則可設(shè)的方程為：，此時(shí)直線的方程為．由，消去得：，解得：或(舍去)，所以，所以，同理可得：．當(dāng)時(shí)，直線的