江蘇省鎮(zhèn)江市第七中學高二數(shù)學理期末試卷含解析

江蘇省鎮(zhèn)江市第七中學高二數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.為了測算如圖陰影部分的面積,作一個邊長為6的正方形將其包含在內,并向正方形內隨機投擲800個點,已知恰有200個點落在陰影部分內,據(jù)此,可估計陰影部分的面積是()A．12

B．9C．8

D．6111]參考答案：B試題分析：根據(jù)題意，設陰影部分的面積為S，則正方形的面積為36，向正方形內隨機投擲800個點，已知恰有200個點落在陰影部分內，則向正方形內隨機投擲一點，其落到陰影部分的概率P=；而，則，解可得，S=9；1考點：模擬方法估計概率2.已知m，n是兩條直線，α，β是兩個平面，有以下命題：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，則α∥β；②若m∥α，m∥β，則α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥β．其中正確命題的個數(shù)是(

)A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：B【考點】空間中直線與平面之間的位置關系．【專題】空間位置關系與距離．【分析】利用空間中線線、線面、面面間的位置關系求解．【解答】解：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，則由平面與平面平行的判定定理得α∥β，故①正確；②若m∥α，m∥β，則α與β相交或平行，故②錯誤；③若m∥α，n∥β，m∥n，則α與β相交或平行，故③錯誤．故選：B．【點評】本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．3.某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法，抽取42人做問卷調查，將840人按1，2，…，840隨機編號，則抽取的42人中，編號落入?yún)^(qū)間的人數(shù)為(

)A．11 B．12 C．13 D．14參考答案：B【考點】系統(tǒng)抽樣方法．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣方法，從840人中抽取42人，那么從20人抽取1人．從而得出從編號481～720共240人中抽取的人數(shù)即可．【解答】解：使用系統(tǒng)抽樣方法，從840人中抽取42人，即從20人抽取1人．所以從編號1～480的人中，恰好抽取=24人，接著從編號481～720共240人中抽取=12人．故：B．【點評】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法，屬于基礎題．4.l1、l2是兩條異面直線，直線m1、m2與l1、l2都相交，則m1、m2的位置關系是()A．異面或平行B．相交

C．異面

D．相交或異面參考答案：D略5.設隨機變量，若，則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C6.設和為雙曲線()的兩個焦點,若點和點是正三角形的三個頂點,則雙曲線的離心率為(

)。

A．

B．

C．

D．3參考答案：C略7.已知點F1、F2分別是橢圓的左、右焦點，過F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、B兩點，若△ABF2為正三角形，則該橢圓的離心率為

（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D8.工人月工資（元）依勞動生產(chǎn)率（千元）變化的回歸直線方程為=60+90x，下列判斷正確的是（）A．勞動生產(chǎn)率為1000元時，工資為50元B．勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工資提高150元C．勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工資提高90元D．勞動生產(chǎn)率為1000元時，工資為90元參考答案：C【考點】線性回歸方程．【專題】常規(guī)題型．【分析】根據(jù)所給的線性回歸方程，當x增加1時，y要增加90元，當勞動效率增加1000元時，工資提高90元，這里的值是平均增加90元．【解答】解：∵回歸直線方程為，∴當x增加1時，y要增加90元，∴當勞動效率增加1000元時，工資提高90元，故選C．【點評】本題考查線性回歸方程的應用，解題的關鍵是看清題目中自變量的值每增加1個單位，y的值就平均增加90，注意平均一詞．9.設，則是的（

） A．充分但不必要條件

B．必要但不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A略10.函數(shù)上的最大值和最小值之和為，則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f′（x）﹣f（x）=（1﹣2x）e﹣x，且f（0）=0則下列命題正確的是．（寫出所有正確命題的序號）①f（x）有極大值，沒有極小值；②設曲線f（x）上存在不同兩點A，B處的切線斜率均為k，則k的取值范圍是；③對任意x1，x2∈（2，+∞），都有恒成立；④當a≠b時，方程f（a）=f（b）有且僅有兩對不同的實數(shù)解（a，b）滿足ea，eb均為整數(shù)．參考答案：①②③④【考點】命題的真假判斷與應用；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】由已知中函數(shù)f（x）滿足f′（x）﹣f（x）=（1﹣2x）e﹣x，可得f（x）=xe﹣x，f′（x）=（1﹣x）e﹣x，逐一分析四個命題的真假，可得答案．【解答】解：①∵f′（x）﹣f（x）=（1﹣2x）e﹣x，∴f（x）=xe﹣x，f′（x）=（1﹣x）e﹣x，令f′（x）＞0，解得：x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，∴函數(shù)f（x）在（﹣∞，1）遞增，在（1，+∞）遞減，∴函數(shù)f（x）的極大值是f（1），沒有極小值；故①正確；②∵k=f′（x）=（1﹣x）e﹣x，∴f″（x）=e﹣x（x﹣2），令f″（x）＞0，解得：x＞2，令f″（x）＜0，解得：x＜2，∴f′（x）在（﹣∞，2）遞減，在（2，+∞）遞增，∴f′（x）最小值=f′（x）極小值=f′（2）=﹣，而x→∞時，f′（x）→0，∴k的取值范圍是；故②正確；③結合①②函數(shù)f（x）在（2，+∞）上是凹函數(shù)，∴恒成立，故③正確；④當a≠b時，方程f（a）=f（b），不妨令a＜b，則a∈（0，1），則ea∈（1，e），又有ea為整數(shù)．故ea=eb=2，同理a＞b時，也存在一對實數(shù)（a，b）使ea=eb=2，故有兩對不同的實數(shù)解（a，b）滿足ea，eb均為整數(shù)．故④正確；故答案為：①②③④12.已知集合，試用列舉法表示集合=

參考答案：13.若曲線與曲線存在唯一條公共切線，則a的取值范圍為．參考答案：a＜0或a=【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】分別求出兩個函數(shù)的導函數(shù)，由兩函數(shù)在切點處的導數(shù)相等，并由斜率公式，得到由此得到m=2n﹣2，則4n﹣4=aen有唯一解．再由導數(shù)即可進一步求得a的取值．【解答】解：y=x2在點（m，m2）的切線斜率為2m，y=aex在點（n，aen）的切線斜率為aen，如果兩個曲線存在唯一一條公共切線，那么：2m=aen．又由斜率公式得到，2m=，由此得到m=2n﹣2，則4n﹣4=aen有唯一解．由y=4x﹣4，y=aex的圖象有唯一交點即可．a(chǎn)＜0，顯然滿足，a＞0，設切點為（s，t），則aes=4，且t=4s﹣4=aes，即有切點（2，4），a=，故答案為a＜0或a=．14.已知0＜x＜1則x（3-3x）取最大值時x的值為__________．參考答案：略15.已知關于x的不等式（x﹣a）（x+1﹣a）≥0的解集為P，若1?P，則實數(shù)a的取值范圍為

．參考答案：（1，2）【考點】一元二次不等式的解法；其他不等式的解法．【分析】根據(jù)題意，1?P時（1﹣a）（1+1﹣a）＜0成立，求出解集即可．【解答】解：不等式（x﹣a）（x+1﹣a）≥0的解集為P，當1?P時，（1﹣a）（1+1﹣a）＜0，即（a﹣1）（a﹣2）＜0，解得1＜a＜2；所以實數(shù)a的取值范圍是（1，2）．故答案為：（1，2）．【點評】本題考查了一元二次不等式的解法與應用問題，是基礎題目．16.如圖所示的莖葉圖表示甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績，其中一個數(shù)字被污損，則甲的平均成績不低于乙的平均成績的概率為

．參考答案：

17.36的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因為36=22×32，所以36的所有正約數(shù)之和為（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，參照上述方法，可求得200的所有正約數(shù)之和為

．參考答案：465【考點】F4：進行簡單的合情推理．【分析】這是一個類比推理的問題，在類比推理中，參照上述方法，200的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因為200=23×52，所以200的所有正約數(shù)之和為（1+2+22+23）（1+5+52），即可得出答案．【解答】解：類比36的所有正約數(shù)之和的方法，有：200的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因為200=23×52，所以200的所有正約數(shù)之和為（1+2+22+23）（1+5+52）=465．可求得200的所有正約數(shù)之和為465．故答案為：465．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本題滿分12分)已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），右頂點為

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若直線與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且（其中O為原點）.求k的取值范圍.參考答案：解：（Ⅰ）設雙曲線方程為

由已知得故雙曲線C的方程為……….4分（Ⅱ）將

由直線l與雙曲線交于不同的兩點得即①……………6分

設，則而………8分于是

②……………10分由①、②得

故k的取值范圍為…………12分19.二次函數(shù)f（x）的圖象頂點為A（1，16），且圖象在x軸上截得線段長為8．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）令g（x）=（2﹣2a）x﹣f（x）；①若函數(shù)g（x）在x∈[0，2]上是單調增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；②求函數(shù)g（x）在x∈[0，2]的最小值．參考答案：（1）由條件設二次函數(shù)f（x）=a（x﹣1）2+16=ax2﹣2ax+a+16，設f（x）=0的兩根為：x1，x2，令x1＜x2，∵圖象在x軸上截得線段長為8，由韋達定理得：（x2﹣x1）2=（x2+x1）2﹣4x2x1=（﹣2）2﹣4×a+16a=64解得a=﹣1，∴函數(shù)的解析式為f（x）=﹣x2+2x+15．

（2）①∵f（x）=﹣x2+2x+15，∴g（x）=（2﹣2a）x﹣f（x）=x2﹣2ax﹣15，而g（x）在x∈[0，2]上是單調增函數(shù)，∴對稱軸x=a在[0，2]的左側，∴a≤0．所以實數(shù)a的取值范圍是{a|a≤0}．②g（x）=x2﹣2ax﹣15，x∈[0，2]，對稱軸x=a，綜上f(x)最小值.當a＞2時，g（x）min=g（2）=4﹣4a﹣15=﹣4a﹣15，當a＜0時，g（x）min=g（0）=﹣15，當0≤a≤2時，g（x）min=g（a）=a2﹣2a2﹣15=﹣a2﹣15．20.過點C（0，1）的橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，橢圓與x軸交于兩點A（a，0）、B（﹣a，0），過點C的直線l與橢圓交于另一點D，并與x軸交于點P，直線AC與直線BD交于點Q．（I）當直線l過橢圓右焦點時，求線段CD的長；（Ⅱ）當點P異于點B時，求證：為定值．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的應用．【專題】計算題；證明題；綜合題；壓軸題；數(shù)形結合．【分析】（I）當直線l過橢圓右焦點時，寫出直線l的方程，并和橢圓聯(lián)立方程，求得點D的坐標，根據(jù)兩點間距離公式即可求得線段CD的長；（Ⅱ）設出直線l的方程，并和橢圓聯(lián)立方程，求得點D的坐標，并求出點P的坐標，寫出直線AC與直線BD的方程，并解此方程組，求得Q點的坐標，代入即可證明結論．【解答】解：（I）由已知得b=1，，解得a=2，所以橢圓的方程為．橢圓的右焦點為（，0），此時直線l的方程為y=﹣x+1，代入橢圓方程化簡得7x2﹣8x=0．解得x1=0，x2=，代入直線l的方程得y1=1，y2=﹣，所以D點坐標為（，﹣）故|CD|=；（Ⅱ）當直線l與x軸垂直時與題意不符，設直線l的方程為y=kx+1（k≠0，k≠）代入橢圓方程化簡得（4k2+1）x2+8kx=0，解得x1=0，x2=，代入直線l的方程得y1=1，y2=，所以D點坐標為（，），又直線AC的方程為，直線BD的方程為y=，聯(lián)立解得，因此Q點坐標為（﹣4k，2k+1），又P點坐標為（﹣，0），∴=（﹣，0）?（﹣4k，2k+1）=4，故為定值．【點評】此題是個難題．本題考查了、直線與橢圓的位置關系及弦長公式，和有關定值定點問題，是一道綜合性的試題，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力．其中問題（II）考查了同學們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力，21.已知是整數(shù)組成的數(shù)列，，且點在函數(shù)的圖像上：（1）求數(shù)列的通項公式；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2）若數(shù)列滿足，求證：參考答案：解析：（1）由已知得：，

所以數(shù)列是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列；即

（2）由（1）知

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

所以：22.設命題p：“?x∈R，x2+2x＞m”；命