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文檔簡介

§6.4

高階線性微分方程

CONTENT目錄1高階線性微分方程概念2二階常系數(shù)齊次線性微分方程

n階線性微分方程的一般形式為時，當

稱式為n階齊次線性微分方程.時,稱式為n階非齊次線性微分方程.當

一、高階線性微分方程定理1.如果是齊次線性微分方程的兩個解，則也是方程的解，其中為任意常數(shù)。為了解決齊次線性微分方程通解問題，我們需要引入一個新的概念，即所謂函數(shù)的線性相關和線性無關。定義:是定義在區(qū)間

I上的n個函數(shù)，則稱這n個函數(shù)在I上線性相關；否則稱為線性無關。

例如，

在(,)上都有故它們在任何區(qū)間I上都線性相關;使得若存在不全為0的常數(shù)設說明：對于兩個函數(shù)的情形，它們線性相關與否，只要看它們的比是否為常數(shù)，如果比是常數(shù)，那么它們就是線性相關；否則線性無關。定理2.如果是微分方程的n個線性無關的特解，則齊次線性微分方程的通解為其中為任意常數(shù)。例18.例19.二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程形如的方程稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程，其中p,q為常數(shù)和它的導數(shù)只差常數(shù)因子,其根稱為特征根.因為r為常數(shù)時，函數(shù)所以令的解為

稱為微分方程的特征方程,1.當則微分因此方程的通解為：時,有兩個相異實根方程有兩個線性無關的特解:(r為待定常數(shù))代入得2.當時,特征方程有兩個相等實根則微分方程有一個特解設另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根所以可以取u=x,則得因此原方程的通解為2.當3.當時,特征方程有一對共軛復根這時原方程有兩個復數(shù)解:

利用解的疊加原理,得原方程的線性無關特解:因此原方程的通解為小結(jié):特征方程:實根特征根

通解例20.的通解.

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