湘教版七年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項講練 專題5.14 簡單的軸對稱圖形-折疊問題（專項練習(xí)）

專題5.14簡單的軸對稱圖形--折疊問題（專項練習(xí)）一、單選題1．如圖，將?ABCD沿對角線AC折疊，使點B落在B′處，若∠1=∠2=44°，則∠B為（）A．66° B．104° C．114° D．124°2．如圖，將△ABC沿DE，EF翻折，頂點A，B均落在點O處，且EA與EB重合于線段EO，若∠DOF＝142°，則∠C的度數(shù)為（）A．38° B．39° C．42° D．48°3．如圖，中，，沿折疊，使點恰好落在邊上的點處．折疊后，，若，則等于（）A． B． C． D．4．如圖，有一張長方形紙片，其中，.將紙片沿折疊，，若，折疊后重疊部分的面積為（）A． B． C． D．二、填空題5．如圖折疊一張矩形紙片，已知∠1=70°，則∠2的度數(shù)是__．6．如圖1，在長方形紙片ABCD中，E點在邊AD上，F(xiàn)、G分別在邊AB、CD上，分別以EF、EG為折痕進(jìn)行折疊并壓平，點A、D的對應(yīng)點分別是點A′和點D′，若ED′平分∠FEG，且在內(nèi)部，如圖2，設(shè)∠A′ED'=n°，則∠FED′的度數(shù)為___________(用含n的代數(shù)式表示)．7．如圖（1）所示為長方形紙帶，將紙帶沿EF折疊成圖（2），再沿BF折疊成圖（3），繼續(xù)沿EF折疊成圖（4），按此操作，最后一次折疊后恰好完全蓋住∠EFG；整個過程共折疊了9次，問圖（1）中∠DEF的度數(shù)是_____．8．如圖，將一張長方形紙片沿折疊，折疊后形成，若，則的度數(shù)是_________．9．如圖的實線部分是由經(jīng)過兩次折疊得到的.首先將沿高折疊，使點落在斜邊上的點處，再沿折疊，使點落在的延長線上的點處.若圖中，，，則的長為______.10．如圖，把一張長方形的紙片分別沿、折疊，折疊后的與在同一條直線上，則的值是__________．11．如圖，長方形紙片，將沿對角線折疊得，和相交于點，將沿折疊得，若，則度數(shù)為__________．（用含的式子表示）12．如圖，在矩形ABCD中，AB=9，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，將△ABE沿AB折疊，使點B落在AC上的點B'處，又將△CEF沿EF折疊，使點C落在直線EB'與三、解答題13．已知長方形紙片，點在邊上，點，在邊上，連接，．將對折，點落在直線上的點處，得折痕；將對折，點落在直線上的點處，得折痕．（1）如圖（1），若點與點重合，求的度數(shù)；（2）如圖（2），若點在點的右側(cè)，且，求的度數(shù)；（3）若，請直接用含的式子表示的大小．14．圖a中，四邊形ABCD是細(xì)長的長方形紙條，，，沿將紙條的右半部分做第一次折疊，得到圖b和交點；再沿將紙條的右半部分做第二次折疊，得到圖c和交點；再沿將紙條的右半部分做第三次折疊，得到圖d和交點.（1）如果，那么________（2）_________15．如圖1，在銳角△ABC中，∠ABC=45°，高線AD、BE相交于點F．（1）判斷BF與AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（2）如圖2，將△ACD沿線段AD對折，點C落在BD上的點M，AM與BE相交于點N，當(dāng)DE∥AM時，判斷NE與AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由．16．如圖，等邊三角形紙片ABC中，點D在邊AB（不包含端點A、B）上運動，連接CD，將∠ADC對折，點A落在直線CD上的點A′處，得到折痕DE；將∠BDC對折，點B落在直線CD上的點B′處，得到折痕DF．（1）若∠ADC=80°，求∠BDF的度數(shù)；（2）試問∠EDF的大小是否會隨著點D的運動而變化？若不變，求出∠EDF的大??；若變化，請說明理由．17．如圖，在等腰中，的平分線與的垂直平分線交于點，點沿折疊后與點重合，求的度數(shù)18．如圖，直線AB∥CD，直線l與直線AB，CD相交于點E，F(xiàn)，點P是射線EA上的一個動點（不包括端點E），將△EPF沿PF折疊，使頂點E落在點Q處．⑴若∠PEF＝48°,點Q恰好落在其中的一條平行線上,則∠EFP的度數(shù)為．⑵若∠PEF＝75°，∠CFQ＝∠PFC，求∠EFP的度數(shù)．19．已知：如圖，△ABC中，∠CAB=90°，AC=AB，點D、E是BC上的兩點，且∠DAE=45°，△ADC與△ADF關(guān)于直線AD對稱．（1）求證：△AEF≌△AEB；（2）求∠DFE的度數(shù)．20．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，M為邊BC上的點，連結(jié)AM.如果將△ABM沿直線AM翻折后，點B恰好落在邊AC的中點處，求點M到AC的距離.21．閱讀下列材料，解答問題：定義：線段AD把等腰三角形ABC分成△ABD與△ACD（如圖1），如果△ABD與△ACD均為等腰三角形，那么線段AD叫做△ABC的完美分割線.（1）如圖1，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD為△ABC的完美分割線，且BD<CD，則∠B=________，∠ADC=________.（2）如圖2，已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BE為△ABC的角平分線，求證：BE為△ABC完美分割線.（3）如圖3，已知△ABC是一等腰三角形紙片，AB=AC，AD是它的一條完美分割線，將△ABD沿直線AD折疊后，點B落在點B1處，AB1交CD于點E，求證：DB1=EC．22．如圖所示，中，將沿折疊，點落在內(nèi)的點處，再將沿折疊，點落在點處，和的角平分線分別交于點．求的大?。?3．把長方形沿著直線對折，折痕為，對折后的圖形的邊恰好經(jīng)過點．（1）若，，求的長；（2）若，求的大?。?4．如圖，在Rt△ABC中，沿ED折疊，點C落在點B處，已知△ABE的周長是15cm，BD＝6cm，求△ABC的周長．25．如圖，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D、C分別落在、的位置上，的延長線與BC的交點為G，若∠EFG＝55°，你能分別求出∠1和∠2的度數(shù)嗎？請你試一試．26．如圖，三角形紙片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm．沿過點B的直線折疊這個三角形，使點C落在AB邊上的點E處，折痕為BD，求的周長參考答案1．C【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和折疊性質(zhì)得∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得.解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠ACD=∠BAC，

由折疊的性質(zhì)得：∠BAC=∠B′AC，

∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°；

故選C．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，求出∠BAC的度數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．2．A【解析】分析：根據(jù)翻折的性質(zhì)得出∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，進(jìn)而得出∠DOF=∠A+∠B，利用三角形內(nèi)角和解答即可．詳解：∵將△ABC沿DE，EF翻折，∴∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，∴∠DOF=∠DOE+∠EOF=∠A+∠B=142°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣142°=38°．故選A．點撥：本題考查了三角形內(nèi)角和定理、翻折的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識解決問題，學(xué)會把條件轉(zhuǎn)化的思想，屬于中考?？碱}型．3．A【分析】根據(jù)∠ACB=90°，∠A=24°，可知∠B的度數(shù)，再根據(jù)，即可求出答案.∵∠ACB=90°，∠A=24°，∠BCD=∠ECD∴∠B=66°，∠BCD=∠ECD=45°∴∠BDC=∠EDC=180°-∠B-∠BCD=180°-66°-45°=69°故答案選A.【點撥】本題考查的是三角形的內(nèi)角和與折疊的性質(zhì)，能夠根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.4．B【解析】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知折疊后重疊部分的面積等于長方形ABCD的面積減去長方形AEFD的面積，即可得解.【詳解】根據(jù)題意，得折疊后重疊部分的面積等于長方形ABCD的面積減去長方形AEFD的面積，∵，，∴故答案為B.【點撥】此題主要考查折疊的性質(zhì)和長方形的面積求解，熟練掌握，即可解題.5．55°【解析】,,.6．【分析】先根據(jù)角之間的關(guān)系表示出∠AEA′+∠DED′，再由折疊的性質(zhì)得到∠A′EF+∠D′EG，然后根據(jù)∠FEG=∠A′EF+∠D′EG－∠A′ED′可表示出∠FEG，最后利用角平分線的性質(zhì)求出∠FED′即可.解：∵∠AEA′+∠DED′－∠A′ED′=180°，∠A′ED′=n°，∴∠AEA′+∠DED′=180°+n°，由折疊的性質(zhì)可知，∠AEA′=2∠A′EF，∠DED′=2∠D′EG，∴∠A′EF+∠D′EG=，∴∠FEG=∠A′EF+∠D′EG－∠A′ED′==，∵ED′平分∠FEG，∴∠FED′=∠FEG=.【點撥】本題考查與折疊、角平分線有關(guān)的角度問題，明確折疊的性質(zhì)，正確找出角與角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.7．18°【解析】分析：根據(jù)最后一次折疊后恰好完全蓋住∠EFG；整個過程共折疊了9次，可得CF與GF重合，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠DEF的度數(shù)．詳解：設(shè)∠DEF=α，則∠EFG=α．∵折疊9次后CF與GF重合，∴∠CFE=9∠EFG=9α，如圖2．∵CF∥DE，∴∠DEF+∠CFE=180°，∴α+9α=180°，∴α=18°，即∠EF=180°．故答案為：18°．點撥：本題考查了翻折變換以及矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出∠DEF+∠CFE=180°．解決該題型題目時，根據(jù)翻折變換找出相等的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．8．【分析】如圖，由對折可得：由平行線的性質(zhì)可得：于是可得再利用對頂角的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和定理可得答案．解：如圖，標(biāo)注對折后的矩形頂點及交點，由對折可得：矩形故答案為：【點撥】本題考查的是矩形的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．9．3【分析】根據(jù)題意利用折疊后圖形全等，并利用等量替換和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行綜合分析求解.解：由題意可知,∵，，∴，∵，∴(等量替換)，（三線合一），∴利用勾股定理假設(shè)的長為m，，則有，解得，所以的長為3.【點撥】本題考查幾何的翻折問題，熟練掌握并綜合利用等量替換和等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理分析是解題的關(guān)鍵.10．90°【分析】由△B'ME是△BME沿直線EM翻折變換而成，四邊形CMFD'是四邊形CMFD翻折變換而成，所以∠BME＝∠B'ME＝∠BMB'，∠CMF＝∠C'MF＝∠CMC'，再結(jié)合平角的定義即可得出答案．解：∵△B'ME是△BME沿直線EM翻折變換而成，四邊形CMFD'是四邊形CMFD翻折變換而成，∴∠BME＝∠B'ME＝∠BMB'，∠CMF＝∠C'MF＝∠CMC'，∵∠BMB'＋∠CMC'＝180°，∴∠B'ME＋∠C'MF＝90°，∴∠EMF＝90°．故答案為：90°．【點撥】本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．11．30°+【分析】設(shè)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得解：設(shè)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：，在長方形中，，則∴∴∴x=30°+∴=30°+故答案為：30°+【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)和折疊性質(zhì)，根據(jù)，列出方程是解題的關(guān)鍵12．3【解析】【分析】首先連接CC'，可以得到連接CC'是∠EC'D的平分線，所以CB'=CD，又AB'=AB，所以'解：如下圖所示，連接CC'∵將△ABE沿AB折疊，使點B落在AC上的點B'處，又將△CEF沿EF折疊，使點C落在直線EB'∴EC'=∵∠2=∠3∴∠1=∠3在△CC'B'和∠∴△CC'B∴CB又∵AB∴AB∴B'為對角線AC的中點即AC=2AB=18∴∠ACB=30°則∠BAC=60°，∠ACC'=∠DCC∴∠DC'∴∠DC'F=∠FC'C=30°∴'∵DF+CF=CD=AB=9∴DF=9故答案為3.【點撥】本題考查了折疊問題和矩形的性質(zhì)，注意折疊前面的兩個圖形是兩個全等形.13．（1）；（2）；（3）若點在點的右側(cè)，；若點在點的左側(cè)，【分析】（1）由題意根據(jù)角平分線的定義，平角的定義，角的和差定義計算即可．（2）由題意根據(jù)∠MEN=∠NEF+∠FEG+∠MEG，求出∠NEF+∠MEG即可解決問題．（3）根據(jù)題意分點在點的右側(cè)以及點在點的左側(cè)兩種情形分別求解即可．解：（1）因為平分，平分，所以，，所以．因為，所以．（2）因為平分，平分，所以，，所以．因為，，所以，所以．（3）因為平分，平分，所以，，若點在點的右側(cè)，，；若點在點的左側(cè)，．【點撥】本題考查角的計算，翻折變換，角平分線的定義，角的和差定義等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題．14．（1）10；（2）4α.【解析】【分析】（1）圖a中，由AD//BC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可得；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可以發(fā)現(xiàn)第一次折疊得到的∠DPP1=∠DPP1，第二次折疊后∠DPP2=2∠DPP1，結(jié)合平行線的性質(zhì)即可得.【詳解】（1）圖a中，∵AD//BC，∴∠PP1B=∠DPP1=α，∵α=10°，∴∠PP1B=10°，故答案為：10°；（2）圖b，由折疊的性質(zhì)可知∠DPP2=2∠DPP1=2α，圖c，由折疊的性質(zhì)可知∠DPP3=3∠DPP1=3α，圖d，由折疊的性質(zhì)可知∠DPP4=4∠DPP1=4α，∵AD//BC，∴∠PP4B=∠DPP4=4α，故答案為：4α.【點撥】本題考查了折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，認(rèn)真識圖，靈活應(yīng)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵.15．（1）BF=AC，理由見解析；（2）NE=AC，理由見解析.【分析】（1）如圖1，證明△ADC≌△BDF（AAS），可得BF=AC；

（2）如圖2，由折疊得：MD=DC，先根據(jù)三角形中位線的推論可得：AE=EC，由線段垂直平分線的性質(zhì)得：AB=BC，則∠ABE=∠CBE，結(jié)合（1）得：△BDF≌△ADM，則∠DBF=∠MAD，最后證明∠ANE=∠NAE=45°，得AE=EN，所以EN=AC．解（1）BF=AC，理由是：如圖1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB=∠AEF=90°，∵∠ABC=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，∵∠AFE=∠BFD，∴∠DAC=∠EBC，在△ADC和△BDF中，∵，∴△ADC≌△BDF（AAS），∴BF=AC；（2）NE=AC，理由是：如圖2，由折疊得：MD=DC，∵DE∥AM，∴AE=EC，∵BE⊥AC，∴AB=BC，∴∠ABE=∠CBE，由（1）得：△ADC≌△BDF，∵△ADC≌△ADM，∴△BDF≌△ADM，∴∠DBF=∠MAD，∵∠DBA=∠BAD=45°，∴∠DBA﹣∠DBF=∠BAD﹣∠MAD，即∠ABE=∠BAN，∵∠ANE=∠ABE+∠BAN=2∠ABE，∠NAE=2∠NAD=2∠CBE，∴∠ANE=∠NAE=45°，∴AE=EN，∴EN=AC．16．（1）∠BDF=50°；（2）∠EDF=90°．【分析】（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)解答即可；（2）利用角平分線的定義和翻折的性質(zhì)求得∠EDF=90°，是定值．解：（1）∵將∠ADC對折，折痕DE，∴∠ADE=∠A′DE．∵將∠BDC對折，折痕DF，∴∠BDF=∠B′DF．∵∠ADC=80°，∴∠BDB′=180-∠ADC=180°-80°=100°．∵∠BDF=∠B′DF=12∠BDC∴∠BDF=12×100°=50°（2）∵∠ADC+∠BDC=180°，∠A′DE=12∠ADC，∠B′DF=12∠∴∠A′DE+∠B′DF=12∠ADC+12∠∴∠EDF=12（∠ADC+∠BDC）=12【點撥】本題考查了翻折的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記翻折前后的圖形能夠完全重合得到相等的角是解題的關(guān)鍵．17．50°.【分析】連接OB，先求出∠BAO=25°，進(jìn)而求出∠OBC=40°，求出∠COE=∠OCB=40°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解．【詳解】連接，如圖所示：垂直平分，，，，平分，，,，,.與關(guān)于對稱，，,,.【點撥】考查了等腰三角形的性質(zhì)以及翻折變換及其應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)翻折變換的性質(zhì)，找出圖中隱含的等量關(guān)系．18．⑴∠EFP=42°或66°⑵∠EFP的度數(shù)為35°或63°.【解析】試題分析：當(dāng)點落在上，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；當(dāng)點落在上，由折疊的性質(zhì)得到垂直平分，得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

①如圖，當(dāng)點在平行線，之間時，設(shè)，由折疊可得根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②如圖，當(dāng)點在的下方時，設(shè)由得，.根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．試題解析：或ⅰ如圖1，當(dāng)點在平行線，之間時：設(shè)的度數(shù)為，由折疊可得：,解得：即：ⅱ如圖2，當(dāng)點在的下方時,設(shè)由得：由折疊得解得：綜上：的度數(shù)為或19．（1）詳見解析；（2）90°.【解析】【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到△ADF≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC＝AF，CD＝FD，∠C＝∠DFA，∠CAD＝∠FAD，由于AB＝AC，于是得到AF＝AB，證得∠FAE＝∠BAE，即可得到結(jié)論；（2）由（1）知△AFE≌△ABE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AFE＝∠B，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵把△ADC沿著AD折疊，得到△ADF，∴△ADF≌△ADC；∴AC＝AF，CD＝FD，∠C＝∠DFA，∠CAD＝∠FAD．∵AB＝AC，∴AF＝AB．∵∠DAE＝45°，∴∠CAD+∠BAE=45°．∵∠CAD＝∠FAD，∴∠FAE＝∠BAE．在△AFE與△ABE中，∵，∴△AEF≌△AEB；（2）由（1）知△AEF≌△AEB，∴∠AFE＝∠B．∵∠C＝∠DFA，∴∠DFE＝∠DFA+∠EFA＝∠B+∠C＝90°．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．點M到AC的距離為2【解析】【分析】利用圖形翻折前后圖形不發(fā)生變化，從而得出AB=AB′=3，DM=MN，再利用三角形面積分割前后不發(fā)生變化，求出點M到AC的距離即可．【詳解】∵△ABM沿直線AM翻折后，點B恰好落在邊AC的中點處，假設(shè)這個點是B′，作MN⊥AC，MD⊥AB，垂足分別為N，D，又∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，∴AB=AB′=3，DM=MN，AB′=B′C=3，S△BAC=S△BAM+S△MAC，即×3×6=×MD×3+×6×MN，∴MD=2，所以點M到AC的距離是2．【點撥】本題考查了翻折變換(折疊問題)，發(fā)現(xiàn)DM=MN，以及AB=AB′=B′C=3，結(jié)合面積不變得出等式是解決問題的關(guān)鍵．21．（1）36o；72o;(2)證明見解析;(3)證明見解析.【解析】【分析】（1）由AD為△ABC的完美分割線，推出△ACD是等腰三角形，△ABD∽△CBA，有此即可解決問題；（2）根據(jù)完美分割線的定義只要證明△ABE是等腰三角形，△BCE∽△ACB即可；（3）證明△AB1D≌△ACE即可.解：（1）∵AD為△ABC的完美分割線，∴△ACD是等腰三角形，△ABD∽△CBA，∵AB=AC，∠BAC=108°，∴∠B=∠C=36°，∴∠ADC=∠CAD=72°，故填36°，72°（2）證明：∵AB=AC∴∠ABC=∠C=

（180°-∠A）=72°∵BE為△ABC的角平分線∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=36°∴∠ABE=∠A∴AE=BE∵∠BEC=180o–∠C–∠CBE=72o∴∠BEC=∠C∴BE=BC∴△ABE、△BEC均為等腰三角形∴BE為△ABC的完美分割線．（3）證明：∵AD是△ABC的一條完美分割線∴AD=BD，AC=CD∴∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA∵∠B+∠BAD+∠ADB=180o，∠ADB+∠CDA=180o∴∠CDA=∠B+∠BAD=2∠BAD∴∠CAD=2∠BAD∵∠BAD=∠B1AD∴∠CAD=2∠B1AD∵∠CAD=∠B1AD+∠CAE∴∠B1AD=∠CAE∵AB=AC∴∠B=∠C∵∠B=∠B1∴∠B1=∠C∵AB=AB1∴AB1=AC∴△AB1D≌△ACE∴DB1=CE【點撥】此題主要考察等腰三角形的性質(zhì)，仔細(xì)分析題意，證明相似與全等是解題的關(guān)鍵.22．60°【分析】三角形折