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第14課投影與視圖目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1.以分析實(shí)際例子為背景,認(rèn)識(shí)投影和視圖的基本概念和基本性質(zhì);
2.通過(guò)討論簡(jiǎn)單立體圖形(包括相應(yīng)的表面展開圖)與它的三視圖的相互轉(zhuǎn)化,經(jīng)歷畫圖、識(shí)圖等過(guò)程,分析立體圖形和平面圖形之間的聯(lián)系,提高空間想象能力;
3.通過(guò)制作立體模型的學(xué)習(xí),在實(shí)際動(dòng)手中進(jìn)一步加深對(duì)投影和視圖知識(shí)的認(rèn)識(shí),在實(shí)踐活動(dòng)中培養(yǎng)實(shí)際操作能力.知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01平行投影1.一般地,用光線照射物體,在某個(gè)平面(地面或墻壁等)上得到的,叫做物體的投影.只要有光線,有被光線照到的物體,就存在影子.太陽(yáng)光線可看做平行的,象這樣的光線照射在物體上,所形成的投影叫做平行投影.由此我們可得出這樣兩個(gè)結(jié)論:
(1)等高的物體垂直地面放置時(shí),如圖1所示,在太陽(yáng)光下,它們的影子一樣長(zhǎng).
(2)等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí),如圖2所示,它們?cè)谔?yáng)光下的影子一樣長(zhǎng),且影長(zhǎng)等于物體本身的長(zhǎng)度.
2.物高與影長(zhǎng)的關(guān)系(1)在不同時(shí)刻,同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時(shí)刻,物體在太陽(yáng)光下的影子的大小在變,方向也在改變,就北半球而言,從早晨到傍晚,物體影子的指向是:西→西北→北→東北→東,影長(zhǎng)也是由長(zhǎng)變短再變長(zhǎng).
(2)在同一時(shí)刻,.
即:.
利用上面的關(guān)系式可以計(jì)算高大物體的高度,比如旗桿的高度等.
注意:利用影長(zhǎng)計(jì)算物高時(shí),要注意的是測(cè)量?jī)晌矬w在同一時(shí)刻的影長(zhǎng).
要點(diǎn)詮釋:
1.平行投影是物體投影的一種,是在平行光線的照射下產(chǎn)生的.利用平行投影知識(shí)解題要分清不同時(shí)刻和同一時(shí)刻.
2.物體與影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是平行的就說(shuō)明是平行光線.知識(shí)點(diǎn)02中心投影若一束光線是從一點(diǎn)發(fā)出的,像這樣的光線照射在物體上所形成的投影,叫做中心投影.這個(gè)“點(diǎn)”就是中心,相當(dāng)于物理上學(xué)習(xí)的“點(diǎn)光源”.生活中能形成中心投影的點(diǎn)光源主要有手電筒、路燈、臺(tái)燈、投影儀的燈光、放映機(jī)的燈光等.相應(yīng)地,我們會(huì)得到兩個(gè)結(jié)論:(1)等高的物體垂直地面放置時(shí),如圖1所示,在燈光下,離點(diǎn)光源近的物體它的影子短,離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長(zhǎng).
(2)等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí),如圖2所示.一般情況下,離點(diǎn)光源越近,影子越長(zhǎng);離點(diǎn)光源越遠(yuǎn),影子越短,但不會(huì)比物體本身的長(zhǎng)度還短.
在中心投影的情況下,還有這樣一個(gè)重要結(jié)論:點(diǎn)光源、物體邊緣上的點(diǎn)以及它在影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在同一條直線上,根據(jù)其中兩個(gè)點(diǎn),就可以求出第三個(gè)點(diǎn)的位置.
要點(diǎn)詮釋:
光源和物體所處的位置及方向影響物體的中心投影,光源或物體的方向改變,則該物體的影子的方向也發(fā)生變化,但光源、物體的影子始終分離在物體的兩側(cè).
知識(shí)點(diǎn)03中心投影與平行投影的區(qū)別與聯(lián)系1.聯(lián)系:
(1)中心投影、平行投影都是研究物體投影的一種,只不過(guò)平行投影是在平行光線下所形成的投影,通常的平行光線有太陽(yáng)光線、月光等,而中心投影是從一點(diǎn)發(fā)出的光線所形成的投影,通常狀況下,燈泡的光線、手電筒的光線等都可看成是從某一點(diǎn)發(fā)射出來(lái)的光線.
(2)在平行投影中,同一時(shí)刻改變物體的方向和位置,其投影也跟著發(fā)生變化;在中心投影中,同一燈光下,改變物體的位置和方向,其投影也跟著發(fā)生變化.在中心投影中,固定物體的位置和方向,改變燈光的位置,物體投影的方向和位置也要發(fā)生變化.
2.區(qū)別:
(1)太陽(yáng)光線是平行的,故太陽(yáng)光下的影子長(zhǎng)度都與物體高度成比例;燈光是發(fā)散的,燈光下的影子與物體高度不一定成比例.
(2)同一時(shí)刻,太陽(yáng)光下影子的方向總是在同一方向,而燈光下的影子可能在同一方向,也可能在不同方向.
要點(diǎn)詮釋:
在解決有關(guān)投影的問(wèn)題時(shí)必須先判斷準(zhǔn)確是平行投影還是中心投影,然后再根據(jù)它們的具體特點(diǎn)進(jìn)一步解決問(wèn)題.
知識(shí)點(diǎn)04正投影正投影的定義:
如圖所示,圖(1)中的投影線集中于一點(diǎn),形成中心投影;圖(2)(3)中,投影線互相平行,形成平行投影;圖(2)中,投影線斜著照射投影面;圖(3)中投影線垂直照射投影面(即投影線正對(duì)著投影面),我們也稱這種情形為投影線垂直于投影面.像圖(3)這樣,投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影.
(1)線段的正投影分為三種情況.如圖所示.
①線段AB平行于投影面P時(shí),它的正投影是線段A1B1,與線段AB的長(zhǎng)相等;
②線段AB傾斜于投影面P時(shí),它的正投影是線段A2B2,長(zhǎng)小于線段AB的長(zhǎng);
③線段AB垂直于投影面P時(shí),它的正投影是一個(gè)點(diǎn).
(2)平面圖形正投影也分三種情況,如圖所示.
①當(dāng)平面圖形平行于投影面Q時(shí),它的正投影與這個(gè)平面圖形的形狀、大小完全相同,即正投影與這個(gè)平面圖形全等;
②當(dāng)平面圖形傾斜于投影面Q時(shí),平面圖形的正投影與這個(gè)平面圖形的形狀、大小發(fā)生變化,即會(huì)縮小,是類似圖形但不一定相似.
③當(dāng)平面圖形垂直于投影面Q時(shí),它的正投影是直線或直線的一部分.
(3)立體圖形的正投影.
物體的正投影的形狀、大小與物體相對(duì)于投影面的位置有關(guān),立體圖形的正投影與平行于投影面且過(guò)立體圖形的最大截面全等.
要點(diǎn)詮釋:
(1)正投影是特殊的平行投影,它不可能是中心投影.
(2)由線段、平面圖形和立體圖形的正投影規(guī)律,可以識(shí)別或畫出物體的正投影.
(3)由于正投影的投影線垂直于投影面,一個(gè)物體的正投影與我們沿投影線方向觀察這個(gè)物體看到的圖象之間是有聯(lián)系的.
知識(shí)點(diǎn)05三視圖1.三視圖的概念
(1)視圖
從某一角度觀察一個(gè)物體時(shí),所看到的圖象叫做物體的一個(gè)視圖.
(2)正面、水平面和側(cè)面
用三個(gè)互相垂直的平面作為投影面,其中正對(duì)我們的面叫做正面,正面下面的面叫做水平面,右邊的面叫做側(cè)面.
(3)三視圖
一個(gè)物體在三個(gè)投影面內(nèi)同時(shí)進(jìn)行正投影,在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖,叫做主視圖;在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖,叫做俯視圖;在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖,叫做左視圖.主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖.
2.三視圖之間的關(guān)系(1)位置關(guān)系
三視圖的位置是有規(guī)定的,主視圖要在左邊,它的下方應(yīng)是俯視圖,左視圖在其右邊,如圖(1)所示.
(2)大小關(guān)系
三視圖之間的大小是相互聯(lián)系的,遵循主視圖與俯視圖的長(zhǎng)對(duì)正,主視圖與左視圖的高平齊,左視圖與俯視圖的寬相等的原則.如圖(2)所示.
要點(diǎn)詮釋:
物體的三視圖的位置是有嚴(yán)格規(guī)定的,不能隨意亂放.三視圖把物體的長(zhǎng)、寬、高三個(gè)方面反映到各個(gè)視圖上,具體地說(shuō),主視圖反映物體的長(zhǎng)和高;俯視圖反映物體的長(zhǎng)和寬,左視圖反映物體的高和寬,抓住這些特征能為畫物體的三視圖打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).知識(shí)點(diǎn)06畫幾何體的三視圖畫圖方法:
畫一個(gè)幾何體的三視圖時(shí),要從三個(gè)方面觀察幾何體,具體畫法如下:
(1)確定主視圖的位置,畫出主視圖;
(2)在主視圖的正下方畫出俯視圖,注意與主視圖“長(zhǎng)對(duì)正”;
(3)在主視圖的正右方畫出左視圖,注意與主視圖“高平齊”,與俯視圖“寬相等”.
幾何體上被其他部分遮擋而看不見(jiàn)的部分的輪廓線應(yīng)畫成虛線.
要點(diǎn)詮釋:
畫一個(gè)幾何體的三視圖,關(guān)鍵是把從正面、上方、左邊三個(gè)方向觀察時(shí)所得的視圖畫出來(lái),所以,首先要注意觀察時(shí)視線與觀察面垂直,即觀察到的平面圖是該圖的正投影;其二,要注意正確地用虛線表示看不到的輪廓線;其三,要充分發(fā)揮想象,多實(shí)踐,多與同學(xué)交流探討,多總結(jié);最后,按三視圖的位置和大小要求從整體上畫出幾何體的三視圖.
知識(shí)點(diǎn)07由三視圖想象幾何體的形狀由三視圖想象幾何體的形狀,首先應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象主體圖的前面、上面和左側(cè)面,然后綜合起來(lái)考慮整體圖形.
要點(diǎn)詮釋:
由物體的三視圖想象幾何體的形狀有一定的難度,可以從如下途徑進(jìn)行分析:(1)根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀以及幾何體的長(zhǎng)、寬、高;(2)根據(jù)實(shí)線和虛線想象幾何體看得見(jiàn)和看不見(jiàn)的輪廓線;(3)熟記一些簡(jiǎn)單的幾何體的三視圖會(huì)對(duì)復(fù)雜幾何體的想象有幫助;(4)利用由三視圖畫幾何體與由幾何體畫三視圖為互逆過(guò)程,反復(fù)練習(xí),不斷總結(jié)方法.
能力拓展能力拓展考法01投影的作圖問(wèn)題【典例1】如何才能使如圖所示的兩棵樹在同一時(shí)刻的影長(zhǎng)分別與它們的原長(zhǎng)相等,試畫圖說(shuō)明.【即學(xué)即練1】與一盞路燈相對(duì),有一玻璃幕墻,幕墻前面的地面上有一盆花CD和一棵樹AB.晚上,幕墻反射路燈,燈光形成那盆花的影子DF,樹影BE是路燈燈光直接形成的,如圖所示,你能確定此時(shí)路燈光源的位置嗎?考法02投影的應(yīng)用【典例2】某數(shù)學(xué)興趣小組,利用樹影測(cè)量樹高,如圖(1),已測(cè)出樹AB的影長(zhǎng)AC為12米,并測(cè)出此時(shí)太陽(yáng)光線與地面成30°夾角.(1)求出樹高AB;(2)因水土流失,此時(shí)樹AB沿太陽(yáng)光線方向倒下,在傾倒過(guò)程中,樹影長(zhǎng)度發(fā)生了變化,假設(shè)太陽(yáng)光線與地面夾角保持不變.求樹的最大影長(zhǎng).(用圖(2)解答)考法03由三視圖描述物體的形狀【典例3】如圖所示,這是個(gè)由小立方體搭成的幾何體從上面看的視角,小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小立方體的個(gè)數(shù),請(qǐng)畫出從正面看和左面看的視圖.考法04三視圖的有關(guān)計(jì)算【典例4】某工廠要對(duì)一機(jī)器零件表面進(jìn)行噴漆,設(shè)計(jì)者給出了該零件的三視圖(如圖所示),請(qǐng)你根據(jù)三視圖確定其噴漆的面積.【即學(xué)即練2】某工廠要加工一批密封罐,設(shè)計(jì)者給出了密封罐的三視圖(如圖所示),請(qǐng)你按照三視圖確定制作每個(gè)密封罐所需鋼板的面積(單位:mm).分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.如圖所示,身高為1.6米的某學(xué)生想測(cè)量學(xué)校旗桿的高度,當(dāng)他站在C處時(shí),他頭頂端的影子正好與旗桿頂端的影子重合,并測(cè)得AC=2.0米,BC=8.0米,則旗桿的高度是()A.6.4米B.7.0米C.8.0米D.9.0米2.如圖,晚上小亮在路燈下經(jīng)過(guò),在小亮由A處徑直走到B處這一過(guò)程中,他在地上的影子()A.逐漸變短 B.先變短后變長(zhǎng) C.逐漸變長(zhǎng) D.先變長(zhǎng)后變短3.有一正方體,六個(gè)面上分別寫有數(shù)字1、2、3、4、5、6,有三個(gè)人從不同的角度觀察的結(jié)果如圖所示.如果記6的對(duì)面的數(shù)字為a,2的對(duì)面的數(shù)字為b,那么a+b的值為()A.3B.7C.8D.114.如圖所示是一個(gè)幾何體的實(shí)物圖,則其主視圖是()5.如圖所示,王華晚上由路燈A下的B處走到C處時(shí),測(cè)得影子CD的長(zhǎng)為1米,繼續(xù)往前走3米到達(dá)E處時(shí),測(cè)得影子EF的長(zhǎng)為2米,已知王華的身高是1.5米,那么路燈A的高度AB等于()A.4.5米B.6米C.7.2米D.8米第5題第6題6.由n個(gè)相同的小正方體堆成的幾何體,其視圖如圖所示,則n的最大值是()A.1813.19C.20D.21題組B能力提升練7.如圖所示上體育課,甲、乙兩名同學(xué)分別站在C、D的位置時(shí),乙的影子恰好在甲的影子里邊,已知甲、乙同學(xué)相距1米,甲身高1.8米,乙身高1.5米,則甲的影長(zhǎng)是________米.第7題第8題8.如圖所示,小明在A時(shí)測(cè)得某樹的影長(zhǎng)為2m,B時(shí)又測(cè)得該樹的影長(zhǎng)為8m,若兩次日照的光線互相垂直,則樹的高度為________m.9.一個(gè)圓柱體的軸截面平行于投影面,圓柱體的正投影是邊長(zhǎng)為4的正方形,則圓柱的表面積為;體積為.10.由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和俯視圖,如圖所示,則搭成該幾何體的小正方體最多是個(gè).11.下圖是由兩個(gè)長(zhǎng)方體組合而成的一個(gè)立體圖形的三視圖,根據(jù)圖中所標(biāo)尺寸(單位:mm),計(jì)算出這個(gè)立體圖形的表面積是________mm2.12.如圖所法,圓錐的母線長(zhǎng)為3,底面半徑為1,A為底面圓周上一點(diǎn),從點(diǎn)A出發(fā)繞側(cè)面一周,再回到點(diǎn)A的最短路線長(zhǎng)為.題組C培優(yōu)拔尖練13.如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)M,N,P分別為AD,BC,CD的中點(diǎn).現(xiàn)從點(diǎn)P觀察線段AB,當(dāng)長(zhǎng)度為1的線段l(圖中的黑粗線)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿線段MN從左向右運(yùn)動(dòng)時(shí),l將阻擋部分觀察視線,在△PAB區(qū)域內(nèi)形成盲區(qū).設(shè)l的左端點(diǎn)從M點(diǎn)開始,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0≤t≤3).設(shè)△PAB區(qū)域內(nèi)的盲區(qū)面積為y(平方單位).(1)求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)請(qǐng)簡(jiǎn)單概括y隨t的變化而變化的情況.14.已知一紙板的形狀為正方形ABCD(如圖所示),其邊長(zhǎng)為10厘米,AD、BC與投影面β平行,AB、CD與投影面不平行,正方形在投影面β上的正投影為A1B1C1D1,若∠ABB1=45°,求投影面A1B1C1D1的面積.15.如圖所示是—個(gè)幾何體的三視圖.(1)寫出這個(gè)幾何體的名稱;(2)根據(jù)所示數(shù)據(jù)計(jì)算這個(gè)幾何體的表面積;(3)如果一只螞蟻要從這個(gè)幾何體中的點(diǎn)B出發(fā),沿表面爬到AC的中點(diǎn)D,請(qǐng)你求出這個(gè)線路的最短的路程.第14課投影與視圖目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1.以分析實(shí)際例子為背景,認(rèn)識(shí)投影和視圖的基本概念和基本性質(zhì);
2.通過(guò)討論簡(jiǎn)單立體圖形(包括相應(yīng)的表面展開圖)與它的三視圖的相互轉(zhuǎn)化,經(jīng)歷畫圖、識(shí)圖等過(guò)程,分析立體圖形和平面圖形之間的聯(lián)系,提高空間想象能力;
3.通過(guò)制作立體模型的學(xué)習(xí),在實(shí)際動(dòng)手中進(jìn)一步加深對(duì)投影和視圖知識(shí)的認(rèn)識(shí),在實(shí)踐活動(dòng)中培養(yǎng)實(shí)際操作能力.知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01平行投影1.一般地,用光線照射物體,在某個(gè)平面(地面或墻壁等)上得到的影子,叫做物體的投影.只要有光線,有被光線照到的物體,就存在影子.太陽(yáng)光線可看做平行的,象這樣的光線照射在物體上,所形成的投影叫做平行投影.由此我們可得出這樣兩個(gè)結(jié)論:
(1)等高的物體垂直地面放置時(shí),如圖1所示,在太陽(yáng)光下,它們的影子一樣長(zhǎng).
(2)等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí),如圖2所示,它們?cè)谔?yáng)光下的影子一樣長(zhǎng),且影長(zhǎng)等于物體本身的長(zhǎng)度.
2.物高與影長(zhǎng)的關(guān)系(1)在不同時(shí)刻,同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時(shí)刻,物體在太陽(yáng)光下的影子的大小在變,方向也在改變,就北半球而言,從早晨到傍晚,物體影子的指向是:西→西北→北→東北→東,影長(zhǎng)也是由長(zhǎng)變短再變長(zhǎng).
(2)在同一時(shí)刻,不同物體的物高與影長(zhǎng)成正比例.
即:.
利用上面的關(guān)系式可以計(jì)算高大物體的高度,比如旗桿的高度等.
注意:利用影長(zhǎng)計(jì)算物高時(shí),要注意的是測(cè)量?jī)晌矬w在同一時(shí)刻的影長(zhǎng).
要點(diǎn)詮釋:
1.平行投影是物體投影的一種,是在平行光線的照射下產(chǎn)生的.利用平行投影知識(shí)解題要分清不同時(shí)刻和同一時(shí)刻.
2.物體與影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是平行的就說(shuō)明是平行光線.知識(shí)點(diǎn)02中心投影若一束光線是從一點(diǎn)發(fā)出的,像這樣的光線照射在物體上所形成的投影,叫做中心投影.這個(gè)“點(diǎn)”就是中心,相當(dāng)于物理上學(xué)習(xí)的“點(diǎn)光源”.生活中能形成中心投影的點(diǎn)光源主要有手電筒、路燈、臺(tái)燈、投影儀的燈光、放映機(jī)的燈光等.相應(yīng)地,我們會(huì)得到兩個(gè)結(jié)論:(1)等高的物體垂直地面放置時(shí),如圖1所示,在燈光下,離點(diǎn)光源近的物體它的影子短,離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長(zhǎng).
(2)等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí),如圖2所示.一般情況下,離點(diǎn)光源越近,影子越長(zhǎng);離點(diǎn)光源越遠(yuǎn),影子越短,但不會(huì)比物體本身的長(zhǎng)度還短.
在中心投影的情況下,還有這樣一個(gè)重要結(jié)論:點(diǎn)光源、物體邊緣上的點(diǎn)以及它在影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在同一條直線上,根據(jù)其中兩個(gè)點(diǎn),就可以求出第三個(gè)點(diǎn)的位置.
要點(diǎn)詮釋:
光源和物體所處的位置及方向影響物體的中心投影,光源或物體的方向改變,則該物體的影子的方向也發(fā)生變化,但光源、物體的影子始終分離在物體的兩側(cè).
知識(shí)點(diǎn)03中心投影與平行投影的區(qū)別與聯(lián)系1.聯(lián)系:
(1)中心投影、平行投影都是研究物體投影的一種,只不過(guò)平行投影是在平行光線下所形成的投影,通常的平行光線有太陽(yáng)光線、月光等,而中心投影是從一點(diǎn)發(fā)出的光線所形成的投影,通常狀況下,燈泡的光線、手電筒的光線等都可看成是從某一點(diǎn)發(fā)射出來(lái)的光線.
(2)在平行投影中,同一時(shí)刻改變物體的方向和位置,其投影也跟著發(fā)生變化;在中心投影中,同一燈光下,改變物體的位置和方向,其投影也跟著發(fā)生變化.在中心投影中,固定物體的位置和方向,改變燈光的位置,物體投影的方向和位置也要發(fā)生變化.
2.區(qū)別:
(1)太陽(yáng)光線是平行的,故太陽(yáng)光下的影子長(zhǎng)度都與物體高度成比例;燈光是發(fā)散的,燈光下的影子與物體高度不一定成比例.
(2)同一時(shí)刻,太陽(yáng)光下影子的方向總是在同一方向,而燈光下的影子可能在同一方向,也可能在不同方向.
要點(diǎn)詮釋:
在解決有關(guān)投影的問(wèn)題時(shí)必須先判斷準(zhǔn)確是平行投影還是中心投影,然后再根據(jù)它們的具體特點(diǎn)進(jìn)一步解決問(wèn)題.
知識(shí)點(diǎn)04正投影正投影的定義:
如圖所示,圖(1)中的投影線集中于一點(diǎn),形成中心投影;圖(2)(3)中,投影線互相平行,形成平行投影;圖(2)中,投影線斜著照射投影面;圖(3)中投影線垂直照射投影面(即投影線正對(duì)著投影面),我們也稱這種情形為投影線垂直于投影面.像圖(3)這樣,投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影.
(1)線段的正投影分為三種情況.如圖所示.
①線段AB平行于投影面P時(shí),它的正投影是線段A1B1,與線段AB的長(zhǎng)相等;
②線段AB傾斜于投影面P時(shí),它的正投影是線段A2B2,長(zhǎng)小于線段AB的長(zhǎng);
③線段AB垂直于投影面P時(shí),它的正投影是一個(gè)點(diǎn).
(2)平面圖形正投影也分三種情況,如圖所示.
①當(dāng)平面圖形平行于投影面Q時(shí),它的正投影與這個(gè)平面圖形的形狀、大小完全相同,即正投影與這個(gè)平面圖形全等;
②當(dāng)平面圖形傾斜于投影面Q時(shí),平面圖形的正投影與這個(gè)平面圖形的形狀、大小發(fā)生變化,即會(huì)縮小,是類似圖形但不一定相似.
③當(dāng)平面圖形垂直于投影面Q時(shí),它的正投影是直線或直線的一部分.
(3)立體圖形的正投影.
物體的正投影的形狀、大小與物體相對(duì)于投影面的位置有關(guān),立體圖形的正投影與平行于投影面且過(guò)立體圖形的最大截面全等.
要點(diǎn)詮釋:
(1)正投影是特殊的平行投影,它不可能是中心投影.
(2)由線段、平面圖形和立體圖形的正投影規(guī)律,可以識(shí)別或畫出物體的正投影.
(3)由于正投影的投影線垂直于投影面,一個(gè)物體的正投影與我們沿投影線方向觀察這個(gè)物體看到的圖象之間是有聯(lián)系的.
知識(shí)點(diǎn)05三視圖1.三視圖的概念
(1)視圖
從某一角度觀察一個(gè)物體時(shí),所看到的圖象叫做物體的一個(gè)視圖.
(2)正面、水平面和側(cè)面
用三個(gè)互相垂直的平面作為投影面,其中正對(duì)我們的面叫做正面,正面下面的面叫做水平面,右邊的面叫做側(cè)面.
(3)三視圖
一個(gè)物體在三個(gè)投影面內(nèi)同時(shí)進(jìn)行正投影,在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖,叫做主視圖;在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖,叫做俯視圖;在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖,叫做左視圖.主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖.
2.三視圖之間的關(guān)系(1)位置關(guān)系
三視圖的位置是有規(guī)定的,主視圖要在左邊,它的下方應(yīng)是俯視圖,左視圖在其右邊,如圖(1)所示.
(2)大小關(guān)系
三視圖之間的大小是相互聯(lián)系的,遵循主視圖與俯視圖的長(zhǎng)對(duì)正,主視圖與左視圖的高平齊,左視圖與俯視圖的寬相等的原則.如圖(2)所示.
要點(diǎn)詮釋:
物體的三視圖的位置是有嚴(yán)格規(guī)定的,不能隨意亂放.三視圖把物體的長(zhǎng)、寬、高三個(gè)方面反映到各個(gè)視圖上,具體地說(shuō),主視圖反映物體的長(zhǎng)和高;俯視圖反映物體的長(zhǎng)和寬,左視圖反映物體的高和寬,抓住這些特征能為畫物體的三視圖打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).知識(shí)點(diǎn)06畫幾何體的三視圖畫圖方法:
畫一個(gè)幾何體的三視圖時(shí),要從三個(gè)方面觀察幾何體,具體畫法如下:
(1)確定主視圖的位置,畫出主視圖;
(2)在主視圖的正下方畫出俯視圖,注意與主視圖“長(zhǎng)對(duì)正”;
(3)在主視圖的正右方畫出左視圖,注意與主視圖“高平齊”,與俯視圖“寬相等”.
幾何體上被其他部分遮擋而看不見(jiàn)的部分的輪廓線應(yīng)畫成虛線.
要點(diǎn)詮釋:
畫一個(gè)幾何體的三視圖,關(guān)鍵是把從正面、上方、左邊三個(gè)方向觀察時(shí)所得的視圖畫出來(lái),所以,首先要注意觀察時(shí)視線與觀察面垂直,即觀察到的平面圖是該圖的正投影;其二,要注意正確地用虛線表示看不到的輪廓線;其三,要充分發(fā)揮想象,多實(shí)踐,多與同學(xué)交流探討,多總結(jié);最后,按三視圖的位置和大小要求從整體上畫出幾何體的三視圖.
知識(shí)點(diǎn)07由三視圖想象幾何體的形狀由三視圖想象幾何體的形狀,首先應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象主體圖的前面、上面和左側(cè)面,然后綜合起來(lái)考慮整體圖形.
要點(diǎn)詮釋:
由物體的三視圖想象幾何體的形狀有一定的難度,可以從如下途徑進(jìn)行分析:(1)根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀以及幾何體的長(zhǎng)、寬、高;(2)根據(jù)實(shí)線和虛線想象幾何體看得見(jiàn)和看不見(jiàn)的輪廓線;(3)熟記一些簡(jiǎn)單的幾何體的三視圖會(huì)對(duì)復(fù)雜幾何體的想象有幫助;(4)利用由三視圖畫幾何體與由幾何體畫三視圖為互逆過(guò)程,反復(fù)練習(xí),不斷總結(jié)方法.
能力拓展能力拓展考法01投影的作圖問(wèn)題【典例1】如何才能使如圖所示的兩棵樹在同一時(shí)刻的影長(zhǎng)分別與它們的原長(zhǎng)相等,試畫圖說(shuō)明.【答案與解析】(1)如圖所示.可在同一方向上畫出與原長(zhǎng)相等的影長(zhǎng),此時(shí)為平行投影.(2)如圖所示,可在兩樹外側(cè)不同方向上畫出與原長(zhǎng)相等的影子,連結(jié)影子的頂點(diǎn)與樹的頂點(diǎn).相交于點(diǎn)P.此時(shí)為中心投影,P點(diǎn)即為光源位置.【總結(jié)升華】連結(jié)物體頂點(diǎn)與其影長(zhǎng)的頂點(diǎn),如果得到的是平行線,即為平行投影;如果得到相交直線,則為中心投影,這是判斷平行投影與中心投影的方法,也是確定中心投影光源位置的基本做法.但若中心投影光源在兩樹同側(cè)時(shí),圖中的兩棵樹的影長(zhǎng)不可能同時(shí)與原長(zhǎng)相等,所以點(diǎn)光源可以選在兩樹之間.特別提醒:易錯(cuò)認(rèn)為只有平行投影才能使兩棵樹在同一時(shí)刻的影長(zhǎng)分別與它們的原長(zhǎng)相等,從而漏掉上圖這一情形.【即學(xué)即練1】與一盞路燈相對(duì),有一玻璃幕墻,幕墻前面的地面上有一盆花CD和一棵樹AB.晚上,幕墻反射路燈,燈光形成那盆花的影子DF,樹影BE是路燈燈光直接形成的,如圖所示,你能確定此時(shí)路燈光源的位置嗎?【答案】作法如下:①連結(jié)FC并延長(zhǎng)交玻璃幕墻于O點(diǎn);②過(guò)點(diǎn)O作直線OG垂直于玻璃幕墻面;③在OC另一側(cè)作∠POG=∠FOG且交EA延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.P點(diǎn)即此時(shí)路燈光源位置,如圖所示.考法02投影的應(yīng)用【典例2】某數(shù)學(xué)興趣小組,利用樹影測(cè)量樹高,如圖(1),已測(cè)出樹AB的影長(zhǎng)AC為12米,并測(cè)出此時(shí)太陽(yáng)光線與地面成30°夾角.(1)求出樹高AB;(2)因水土流失,此時(shí)樹AB沿太陽(yáng)光線方向倒下,在傾倒過(guò)程中,樹影長(zhǎng)度發(fā)生了變化,假設(shè)太陽(yáng)光線與地面夾角保持不變.求樹的最大影長(zhǎng).(用圖(2)解答)【答案與解析】解:(1)AB=ACtan30°=12×=4(米).答:樹高約為4米.(2)如圖(2),B1N=AN=AB1sin45°=4×=2(米).NC1=NB1tan60°=2×=6(米).AC1=AN+NC1=2+6.當(dāng)樹與地面成60°角時(shí)影長(zhǎng)最大AC2(或樹與光線垂直時(shí)影長(zhǎng)最大或光線與半徑為AB的⊙A相切時(shí)影長(zhǎng)最大)AC2=2AB2=;【總結(jié)升華】此題考查了平行投影;通過(guò)作高線轉(zhuǎn)化為直角三角形的問(wèn)題,當(dāng)太陽(yáng)光線與圓弧相切時(shí)樹影最長(zhǎng),是解題的關(guān)鍵.考法03由三視圖描述物體的形狀【典例3】如圖所示,這是個(gè)由小立方體搭成的幾何體從上面看的視角,小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小立方體的個(gè)數(shù),請(qǐng)畫出從正面看和左面看的視圖.【思路點(diǎn)撥】由已知條件可知,從正面看有4列,每列小正方數(shù)形數(shù)目分別為2,2,3,2;從左面看有2列,每列小正方形數(shù)目分別為3,2.據(jù)此可畫出圖形.【解析】解:如圖所示:.【總結(jié)升華】此題主要考查了幾何體的三視圖畫法.由幾何體的俯視圖及小正方形內(nèi)的數(shù)字,可知主視圖的列數(shù)與俯視數(shù)的列數(shù)相同,且每列小正方形數(shù)目為俯視圖中該列小正方形數(shù)字中的最大數(shù)字.左視圖的列數(shù)與俯視圖的行數(shù)相同,且每列小正方形數(shù)目為俯視圖中相應(yīng)行中正方形數(shù)字中的最大數(shù)字.考法04三視圖的有關(guān)計(jì)算【典例4】某工廠要對(duì)一機(jī)器零件表面進(jìn)行噴漆,設(shè)計(jì)者給出了該零件的三視圖(如圖所示),請(qǐng)你根據(jù)三視圖確定其噴漆的面積.【答案與解析】長(zhǎng)方體的表面積為(30×40+40×25+25×30)×2=5900(cm2),圓柱體的側(cè)面積為3.14×20×32=2010(cm2),其噴漆的面積為5900+2010=7910(cm2).【總結(jié)升華】由該機(jī)械零件的三視圖,可想象它是一個(gè)組合體,是由一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)圓柱體組成.其表面積是一個(gè)長(zhǎng)方體的六個(gè)面與圓柱體的側(cè)面構(gòu)成.(圓柱體的上表面補(bǔ)在長(zhǎng)方體的上表面被圓柱體遮擋的部分).該組合體是由一長(zhǎng)方體與一圓柱體組合而成,但不能認(rèn)為組合體的表面積就是兩幾何體的表面積之和.【即學(xué)即練2】某工廠要加工一批密封罐,設(shè)計(jì)者給出了密封罐的三視圖(如圖所示),請(qǐng)你按照三視圖確定制作每個(gè)密封罐所需鋼板的面積(單位:mm).分層提分分層提分【答案】由三視圖可知,密封罐的形狀是正六棱柱(如圖(1)所示).密封罐的高為50mm,底面正六邊形的對(duì)角線為100mm,邊長(zhǎng)為50mm,如圖(2)所示.由展開圖可知,制作一個(gè)密封罐所需鋼板的面積為S=6×50×50+2×6××50×50×sin60°=6×50°×≈27990(mm2).題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.如圖所示,身高為1.6米的某學(xué)生想測(cè)量學(xué)校旗桿的高度,當(dāng)他站在C處時(shí),他頭頂端的影子正好與旗桿頂端的影子重合,并測(cè)得AC=2.0米,BC=8.0米,則旗桿的高度是()A.6.4米B.7.0米C.8.0米D.9.0米【答案】C;【解析】由題意得,,即,∴旗桿的高度為8.0米.2.如圖,晚上小亮在路燈下經(jīng)過(guò),在小亮由A處徑直走到B處這一過(guò)程中,他在地上的影子()A.逐漸變短 B.先變短后變長(zhǎng) C.逐漸變長(zhǎng) D.先變長(zhǎng)后變短【答案】B;【解析】在小亮由A處徑直走到路燈下時(shí),他在地上的影子逐漸變短,當(dāng)他從路燈下走到B處時(shí),他在地上的影子逐漸變長(zhǎng).故選B.3.有一正方體,六個(gè)面上分別寫有數(shù)字1、2、3、4、5、6,有三個(gè)人從不同的角度觀察的結(jié)果如圖所示.如果記6的對(duì)面的數(shù)字為a,2的對(duì)面的數(shù)字為b,那么a+b的值為()A.3B.7C.8D.11【答案】B;【解析】可在一小正方體各個(gè)面上按圖示要求標(biāo)上數(shù)字,也可發(fā)揮空間分析與想象力作出判斷,a=3,b=4,∴a+b=7.4.如圖所示是一個(gè)幾何體的實(shí)物圖,則其主視圖是()【答案】C;【解析】觀察一個(gè)物體,主視圖是從正面看到的圖形,本題中物體由上下兩個(gè)部分組成,上面的物體從正面看到的是一個(gè)等腰梯形,下面是一個(gè)長(zhǎng)方體,從正面看到的是一個(gè)長(zhǎng)方形,再由上面的物體放置的位置特征可知選C.5.如圖所示,王華晚上由路燈A下的B處走到C處時(shí),測(cè)得影子CD的長(zhǎng)為1米,繼續(xù)往前走3米到達(dá)E處時(shí),測(cè)得影子EF的長(zhǎng)為2米,已知王華的身高是1.5米,那么路燈A的高度AB等于()A.4.5米B.6米C.7.2米D.8米【答案】B;【解析】如圖所示,GC⊥BC,AB⊥BC,∴GC∥AB.∴△GCD∽△ABD,∴.設(shè)BC=x,則.同理,得.∴x=3.∴.∴AB=6.第5題第6題6.由n個(gè)相同的小正方體堆成的幾何體,其視圖如圖所示,則n的最大值是()A.1813.19C.20D.21【答案】A;【解析】這道題在俯視圖上操作,參照主視圖從左到右,最左邊一列有3層,每個(gè)方格上最大標(biāo)上3,中間一列有2層,每個(gè)方格上最大標(biāo)上2,最右邊一列有3層,每個(gè)方格上最大標(biāo)上3,共計(jì)18,即n的最大值是18(如圖所示).題組B能力提升練7.如圖所示上體育課,甲、乙兩名同學(xué)分別站在C、D的位置時(shí),乙的影子恰好在甲的影子里邊,已知甲、乙同學(xué)相距1米,甲身高1.8米,乙身高1.5米,則甲的影長(zhǎng)是________米.【答案】6;【解析】△AED∽△ABC,∴,即.∴AD=5.∴AC=CD+AD=6.第7題第8題8.如圖所示,小明在A時(shí)測(cè)得某樹的影長(zhǎng)為2m,B時(shí)又測(cè)得該樹的影長(zhǎng)為8m,若兩次日照的光線互相垂直,則樹的高度為________m.【答案】4;【解析】首先將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何模型,如圖所示,已知∠EDF=90°,DG⊥EF于G,EG=2,GF=8,求DG.易證△DEG∽△FDG,∴.即DG2=2×8=16∴DG=4(m).9.一個(gè)圓柱體的軸截面平行于投影面,圓柱體的正投影是邊長(zhǎng)為4的正方形,則圓柱的表面積為;體積為.【答案】;【解析】由題意得底面半徑,母線,∴,∴,.10.由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和俯視圖,如圖所示,則搭成該幾何體的小正方體最多是個(gè).【
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