中考數(shù)學(xué)解題技巧 44二次函數(shù)公共點及取值范圍問題

二次函數(shù)公共點及取值范圍問題1．（2021?宜昌）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點和點，，頂點坐標(biāo)記為，．拋物線的頂點坐標(biāo)記為，．（1）寫出點坐標(biāo)；（2）求，的值（用含的代數(shù)式表示）（3）當(dāng)時，探究與的大小關(guān)系；（4）經(jīng)過點和點的直線與拋物線，的公共點恰好為3個不同點時，求的值．【分析】（1）令，得到值即為、的橫坐標(biāo)，（2）由頂點坐標(biāo)公式可得頂點的縱坐標(biāo)．（3）討論與0比較大小得的取值范圍，即在不同的取值范圍內(nèi)得、大?。?）兩點確定一條直線的解析式，直線的解析式為：．①當(dāng)直線經(jīng)過拋物線，的交點時，聯(lián)立拋物線與得解析式①，聯(lián)立直線與拋物線得解析式，解得，此時直線與拋物線，的公共點恰好為三個不同點，即，該方程判別式△，②當(dāng)直線與拋物線或者與拋物線只有一個公共點時，當(dāng)直線與拋物線只有一個公共點時，聯(lián)立直線與拋物線可得，，解得，由①而知直線與拋物線公共點的橫坐標(biāo)為，，，所以此時直線與拋物線，的公共點恰好為三個不同點，聯(lián)立直線與拋物線得：，△，當(dāng)時，△，此時直線與拋物線，的公共點只有一個，．【解答】解：（1），令，，，，；（2），，，，（3），①當(dāng)時，可得或，即當(dāng)或時，；②當(dāng)時，可得，即當(dāng)時，；③當(dāng)，可得或，即當(dāng)或時，；（4）設(shè)直線的解析式為：，則，由①②得，，，直線的解析式為：．①如圖：當(dāng)直線經(jīng)過拋物線，的交點時，聯(lián)立拋物線與的解析式可得：①，聯(lián)立直線與拋物線的解析式可得：，則，②，當(dāng)時，把代入得：，把，代入直線的解析式得：，，，此時直線與拋物線，的公共點恰好為三個不同點，當(dāng)時，把代入①得：，該方程判別式△，所以該方程沒有實數(shù)根；②如圖：當(dāng)直線與拋物線或者與拋物線只有一個公共點時，當(dāng)直線與拋物線只有一個公共點時，聯(lián)立直線與拋物線可得，，此時△，即，，，由①而知直線與拋物線公共點的橫坐標(biāo)為，，當(dāng)時，，，所以此時直線與拋物線，的公共點恰好為三個不同點，③如圖：當(dāng)直線與拋物線只有一個公共點，，，，聯(lián)立直線與拋物線，，△，當(dāng)時，△，此時直線與拋物線，的公共點只有一個，，綜上所述：，，，．2．（2021?樂山）已知二次函數(shù)的圖象開口向上，且經(jīng)過點，．（1）求的值（用含的代數(shù)式表示）；（2）若二次函數(shù)在時，的最大值為1，求的值；（3）將線段向右平移2個單位得到線段．若線段與拋物線僅有一個交點，求的取值范圍．【分析】（1）把，代入拋物線的解析式，構(gòu)建方程組，可得結(jié)論．（2）由題意，或時，取得最大值1，由此構(gòu)建方程求解即可．（3）把問題轉(zhuǎn)化為不等式組，可得結(jié)論．【解答】解：（1）二次函數(shù)的圖象開口向上，經(jīng)過點，，，．（2）二次函數(shù)，，在時，的最大值為1，時，或時，，或，解得（舍棄）或．．（3）線段向右平移2個單位得到線段，，．線段與拋物線僅有一個交點，，解得，，．3．（2021?嘉興）已知二次函數(shù)．（1）求二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)；（2）當(dāng)時，函數(shù)的最大值和最小值分別為多少？（3）當(dāng)時，函數(shù)的最大值為，最小值為，若，求的值．【分析】（1）解析式化成頂點式即可求得；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求得最大值和最小值；（3）分三種情況討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到最大值和最小值，進而根據(jù)得到關(guān)于的方程，解方程即可．【解答】解：（1），頂點坐標(biāo)為；（2），拋物線開口向下，頂點坐標(biāo)為，當(dāng)時，，當(dāng)時，隨著的增大而增大，當(dāng)時，，當(dāng)時，隨著的增大而減小，當(dāng)時，．當(dāng)時，函數(shù)的最大值為4，最小值為0；（3）當(dāng)時，對進行分類討論，①當(dāng)時，即，隨著的增大而增大，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，，解得（不合題意，舍去），②當(dāng)時，頂點的橫坐標(biāo)在取值范圍內(nèi)，，當(dāng)時，在時，，，，解得，（不合題意，舍去）；當(dāng)時，在時，，，，解得，（不合題意，舍去），③當(dāng)時，隨著的增大而減小，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，，解得（不合題意，舍去），綜上所述，或．4．如圖，拋物線為常數(shù)且與軸交于點．（1）求該拋物線的解析式；（2）若直線與拋物線有兩個交點，交點的橫坐標(biāo)分別為，，當(dāng)時，求的值；（3）當(dāng)時，有最大值，求的值．【分析】（1）將點代入拋物線求出即可求解析式；（2）由已知聯(lián)立方程，由韋達定理可得，，則有，求出即可；（3）分兩種情況：當(dāng)時，當(dāng)時，有最大值，，得，當(dāng)時，當(dāng)時，有最大值，，得．【解答】解：（1）拋物線與軸交