2023高考數(shù)學復習練22　直線與圓錐曲線

微專題22直線與圓錐曲線

高考定位直線與圓錐曲線的位置關系是高考的必考內(nèi)容，涉及直線與圓錐曲線

的相交、相切、弦長、面積以及弦中點等問題，難度中等.

真題演練感悟高考練真題明方向

1.(2021.新高考∏卷)拋物線y2=2px(p>0)的焦點到直線y=x+l的距離為√L則P

=()

A.lB.2

C.2√2D.4

答案B

解析拋物線的焦點坐標為《，0),其到直線χ-γ+l=O的距離d=

^-0+1

JF+(_”=隹解得：P=2(p=-6舍去).

2?(2022?全國甲卷)記雙曲線C：，一狼=1(40,。>0)的離心率為e,寫出滿足條

件“直線y=2x與C無公共點”的e的一個值_______.

答案2((1,?。輧?nèi)的任意值均可)

解析雙曲線C的漸近線方程為y=±%,若直線y=2x與雙曲線C無公共點，

則2*,.?.*W4,；./=呆=1+*W5,

又e>l,Λe∈(l,√5］,

.?.填寫(1,4］內(nèi)的任意值均可.

Λ-22

3.(2021?浙江卷)已知橢圓N+方=l(α>∕Aθ),焦點為“一c,0),F2(c,O)(C>0).若

過Q的直線和圓4j+y2=c2相切，與橢圓在第一象限交于點P,且PBLx

軸，則該直線的斜率是；橢圓的離心率是.

答案耳1?

解析設過Fl的直線與圓的切點為M,圓心AGC,0),則IAM=C,IAFII=∣C,

所以岬=察，

IAM__c__2√5

所以該直線的斜率左=IMFlI-茂-5-

因為PF12?1無軸，所以∣P∕72∣=^^,

又I尸國∣=2c,

b1

所以左—5-2c-2ac—2e，

解得e=9(e=一小舍去).

92

4?(2022?新高考∏卷)已知直線/與橢圓％+苧=l在第一象限交于A,B兩點，/與

X軸、y軸分別交于M,N兩點，且IMAl=IN8|,IMM=2√5,則I的方程為.

答案x+y∣2y-2y∣2=0

解析法一設直線/的方程為方+：=1(加>0,∕7>0),分別令y=0,x=0,得點

MQn,O),M。，〃).

設A(X1,y↑)9B(x29y2).

由題意知線段AB與線段MN有相同的中點，

xi+「2_m+0

2=2x1÷x2=/??,

即《

y1+y2O+〃y?+y2=n.

.2^?~2^,

因為kAB=kMN,

所以g=空=U

xι-χ2m-1)m

城

x?61

3-1

道+-(Xl+x2)(XI-Xl)

將Aa1,yι),B(X2,")代入橢圓方程,區(qū)相減得?

-+-16

63-1

」_(y+.V2)(y_y2)

十3-υ,

由題意知Xl+X2≠θ,Xl≠X2,

所以空

Xl-VX2Xl—X22

整理得加=2/.①

又IMM=2小，

所以由勾股定理，得∕√+"2=12,②

由①②并結合機>0,">0,

得怛2隹

所以直線/的方程為擊+尹1,

即χ-?-y∣2y-2^?∕2=0.

法二設直線/的方程為\+：=1(〃2>0,〃>0),分別令y=0,x=0,得點M(m,

0),N(0,〃).

(nι

由題意知線段AB與線段MN有相同的中點，設為。，則QlJ,2>

n

,0—〃n,2n

則rtl展==5=—病3Q=1=/

2

由橢圓中點弦的性質知，kAB?kθQ=-^=~^,

即(一塞=T,以下同法-.

熱點聚焦分類突破研熱點析考向

熱點一中點弦問題

I核心歸納

已知A(X1,??),8(x2,”)為圓錐曲線E上兩點，AB的中點C(X0,yo),直線AB的

斜率為k.

r2V2A2rn

⑴若橢圓E的方程為了+3=l(α>">0),則k=—∑2?~;

ClUCl)0

(2)若雙曲線E的方程為力一方=1伍>0,/?>0),則％=2詈；

ClUCl)0

(3)若拋物線E的方程為yz=2px(p>Q),則k=餐

例1(1)(2022.寶雞二模)橢圓5+5=1中以點M2,1)為中點的弦所在直線方程為

()

A.4%+9j-17=0B.4Λ-9γ-17=0

C.巾x+3y—2巾一3=0D.√7χ-3γ-2√7+3=0

⑵(2022?廣州調研)已知橢圓C：會+營=13泌>0)的左焦點為人過點F的直線X

->+&=0與橢圓C相交于不同的兩點A,B,若P為線段AB的中點，。為坐

標原點，直線OP的斜率為一盤則橢圓C的方程為()

A.y+y2=lB.ζ^÷2^=1

D+1

c?f+?=1?6?=

答案(I)A(2)B

解析(1)設以點M(2,1)為中點弦的兩端點為A(x∣,yi)，B(X2,yi),

因為M(2,1)為中點，

所以審=2,審=1,

所以斜率

224

1yι一"念號-=V(或直接利用結論仁一.比=-×---9

91

X1~X2

4

所以所求直線方程為y—l=—Q(x—2)9

即4x+9y-17=0.

(2)因為直線χ-y+啦=O過點尸(一地，0),

所以C=6，

設A(XI,yι),B(X2,"),

由今+gf4+畜=1兩式相減并化簡得一%=BR?；二;,

即_1=(一切1，所以岸今

所以α2=2?2=?2÷c2,

所以?=c=√2,a=2,

92

所以橢圓C的方程為5+5=1.

規(guī)律方法1.處理中點弦問題的常用方法：(1)根與系數(shù)的關系；(2)點差法.

2.利用點差法需注意保證直線與曲線相交.

?2

訓練1已知雙曲線C：，一方=l(α>0,?>0)的右焦點為E虛軸的上端點為3,

點P,。在雙曲線上，且點M(—2,1)為線段P。的中點，PQ//BF,雙曲線的離

心率為e,則c?等于()

啦+1√5+l

?-22

D,^

r?2

J2

答案A

解析法一由題意知F(C,0),8(0,b),

b

則kpQ=kBF=~-.

設P(X1,yι),0(x2,yi),

值=1,

則

JA

=1,

WIJ、上”b2(x1÷x2)

兩式i相減,打三ΓQ5+)"?

因為線段PQ的中點為M(—2,1),

所以xι+x2=-4,y?+y2=2,

yι-*b

又kpQ==一二

Xl—X2C

b—4〃

所以一F二市廠，整理得層=2兒,

所以α4=4b2c2=4c2(c2—02),

即4e4-4e2-l=0,

得e2,或e2=l*(舍去).

法二由題意知尸(c,0),8(0,b),

b

則kBF=--.

設直線PQ的方程為y~l=k(x+2),

即y=kx+2k+1,

代入雙曲線方程，得(左一/環(huán)/—2∕A(2A+?)χ-a1(2k+?)2-a2b2=Q.

設P(X1,??),Q(X2,y2),

則Xi+x2=-4,

..2crk(2k+1)

所以lAa密一4,

_,h

又k=kβF=--,

2

所以2∕?(-g2(-1+1=—4∕+4α彳一胃.

整理得a2=2bc,

所以c1-lr-2bc=0,

Mc?22cC

?J--t1=°*

得S=6+1,或方=I一啦(舍去),

則M=號=隔

(*+1)2啦+1

?(啦+1)2-12

熱點二弦長問題

I核心歸納

已知A(xι,yι),Ba2,”)，直線AB的斜率為Ml≠O),

則?AB?=ΛJ(X1—X2)2÷(yi-y2)2=y∣1÷?2M—x2∣=?/1÷?2

7(XI+工2)2—4X1X2

或∣AB∣=?1+-^?y?-y2?=(yi-hy2)2-4yιy2.

5+城=1(。?>0)的左、右焦點分別為B(一1，

例2(2022.青島模擬)已知橢圓E-.

乂1,用在橢圓E上.

0),F2(l,0),點

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)設直線/：x=∕ny+l("z∈R)與橢圓E相交于A,B兩點，與圓/+y2=/相交

于C,。兩點，當HBHCoF的值為8也時，求直線/的方程.

解(1)因為點p(l,坐

J在橢圓上，根據(jù)橢圓定義可得IPBI+∣PB∣=2α,

又IPBl=乎.，IPBI=乎，

所以2α=歲+乎=2啦,

即α=啦，Vc=I,.*.b2=a2-c2=l

故橢圓E的標準方程為務V=1.

(2)設Aa1,yι),Ba2,y2)9

x=my+l9

聯(lián)立.x2+2y2=2,消去

整理得(加2+2)y2+2"zy-1=0,

2m1

所以/=8∕∏2+8>0,y1+y2=

m2+2,∕7Z2+2,

2

則網(wǎng)=?∕ι+?√(y∣+y2)-4y∣y2=√TW^(2??

2啦(加2+1)

/Tl2+2?

設圓X2+∕=2的圓心O到直線I的距離為cl,

貝IJd=7??

所以∣CO∣=2√Ξ二不=22^^^,

[?2?∣2(rrr+1)2nr+18Λ∕2(2/7/2+1)

則皿問='〃尸+2X4X標釘=-書—=8隹r

解得加=±1,經(jīng)驗證加=±1符合題意.

故所求直線的方程為%—?-1=0或x÷γ-1=0.

規(guī)律方法1.設直線方程要注意斜率不存在的情況.若已知直線過（f,0）,可設直線

方程為X=my+t（m≠0）;

2.聯(lián)立直線、曲線的方程組消元后，一需要二次項系數(shù)不等零，二需要/>0；

3.點差法，要檢驗中點是否在圓錐曲線內(nèi)部，若中點在曲線內(nèi)部，可不必檢驗/

>0.

訓練2（2022?長沙調研）橢圓C、+救=13泌〉0）經(jīng)過點Hh乎），且兩焦點與

短軸的兩個端點的連線構成一個正方形.

（1）求橢圓C的方程；

⑵過橢圓C的右焦點F作直線/交C于A,B兩點,且淳=2彷，求IAB

解（I）：兩焦點與短軸的兩個端點的連線構成一個正方形，.?2=c,

?.?橢圓過點Hj，乎），

.1?

??。2十+2塊一1，

又a2=b2+c2,

解得/=2,b2=1,

.?.橢圓C的方程為f+V=L

(2)VF(1,0),設/AB:x=my+l,

A(X1,>'l),B(X2,"),

x=my+1,

聯(lián)立方程得X2,,

萬+戶1,

得(加2+2)γ2+Imy-1=0,

I2m

p+”=-而，

1

>k一許,

?,AF=2FB,

??y?=-2yι,

L2m

一”=一許，

.?.V

(2mY1

Λ‰2+2J

.?.∣陰=產(chǎn)?f=√ττ薪迎當M墳二祟

熱點三圓錐曲線的切線問題

I核心歸納

1.直線與圓錐曲線相切時，它們的方程組成的方程組消元后所得方程(二次項系數(shù)

不為零)的判別式為零.

9999

2.橢圓5+g=l(a>b>0)在(X0,yo)處的切線方程為等+浮=1;雙曲線,一方=

l(α>0,/?〉0)在(九0,yo)處的切線方程為%^-*=1；拋物線>2=20%(0>0)在(光()，

yo)處的切線方程為yoy=p(x+xo).

例3(1)已知橢圓E：言+1=1,點P是直線/：x=4上的任意一點，過點P作橢

圓E的兩條切線，切點分別是A,B,則IABI的最小值是.

(2)(2022?北京石景山區(qū)模擬)設A,B為拋物線C：y=x2上兩個不同的點，且直線

AB過拋物線C的焦點F,分別以A,B為切點作拋物線C的切線，兩條切線交于

點P.則下列結論：

①點P一定在拋物線C的準線上；

(g)PF±AB;

③△/?8的面積有最大值無最小值.

其中，正確的個數(shù)是()

A.0B.1

C.2D.3

答案(1)2√2(2)C

解析(1)設P(4,。，A(X1,yι),B(X2,券)，

則切線玄的方程為強+平=1,

O4

切線PB的方程為

x2x.y2y

^8^+4=

因為它們都經(jīng)過點P,

P?生=1

所以V

必上必=1

、2十4

故直線AB的方程為升空=1,

消去X得,

(r2+8)∕-8ry-16=0,

所以yi+/=產(chǎn)+8,>ιy2=-於+8,

4+尸

7(yι+M2-4yι,2=

所以IABl=7+8?+8)=

』+8〉

所以當/=0時，IABlmin=2√Σ

(2)由拋物線知焦點K0,1J,

可設直線AB方程為y=kx+^,

設A(XI,yι),JB(X2,刈，

聯(lián)立直線與拋物線方程得f一區(qū)一(=0,

則Xl+l2=鼠XIX2=一不

y?+y2=lc+yyι*=y^'

切線AP的方程為y-y?=2x?(χ-χ?),化簡得y+yι=2ΛIX,

同理切線BP的方程為y+yι=lx2x,

1=2xιx,聯(lián)立解得砥一?,故①正確;

2=2xvc9

2

.".kpF?k=-1,故②正確；

11y÷21f_________

SΔPAB=y?AB?d=^?(ki+1)?-1?=T\/(A2+1)3,

當女=0時，SARW有最小值，無最大值，故③錯誤，故選C?

規(guī)律方法1.圓錐曲線在某點處的切線方程可通過求導的方法來解決.

2.過圓錐曲線外一點作曲線的兩條切線，過兩切點的直線方程與曲線在該點處的

切線方程相同.例如：過橢圓C:力+$=l(α>Z>0)夕I—■點P(X0,yo)作橢圓的兩條

切線∕?,PB{A,B為切點、),則直線AB的方程為簧+%^=1.

訓練3(l)Q022?石家莊模擬)已知拋物線y2=2pχ(p>0)上一點Aao,yo)處的切線I

與圓M：(x+2)2+y2=4相切于另一點B,則拋物線焦點F與切點A距離IA同的最

小值為.

992

(2)如圖，已知點P(Xo,")是雙曲線Ci：W-^1=1上的點，過點P作橢圓C2：，十

￡=1的兩條切線，切點為A,B,直線AB交C的兩漸近線于點E,F,。是坐

答案(1)8(2)B

解析(1)拋物線y2=2px(/?>0)上一點A(X0,yo)處的切線/方程為yoy=p(xo+x),

整理得px—yoy+pxo—O,

因為切線/與圓M相切，

2p+pxo∣

則d=2,

?∣p2+（―yo）2

同時平方化簡得一4p2χo+p2χg=4y8,

又y8=Ipxo,-4p2χo+p2j?=Spxo,

QQ

解得xo=4+-,即X4=4÷-,

此時HFI=4+5+322ΛJ^∣+4=8,

當且僅當弓=專，即p=4時取等號，

P乙

故IAFI的最小值為8.

(2)橢圓C2關于點Pa0,yo)的切點弦AB的方程為等+乎=1,

即3xox÷4γoy=12,

（3x0r÷4yoy=12,

由√3

U=2x，

Wm/4√36?

井"y?∣3xo÷2yo'?∣3xo÷2γo>

-6

同理F{,4，,

V√3xo-2γoy∣3xo-2yo

則能.舁=譚福+菰急=請君=1,故選B.

熱點四直線與圓錐曲線位置關系的應用

I核心歸納

直線與圓錐曲線位置關系的判定方法

(1)聯(lián)立直線的方程與圓錐曲線的方程.

(2)消元得到關于X或y的一元二次方程.

⑶利用判別式判斷直線與圓錐曲線的位置關系.

例4⑴已知直線/與橢圓%+*=l(α>0>0)相切，與直線尤=-a,x=a分別交于

點M,N,尸為橢圓的左焦點，若以MN為直徑的圓為E,則R)

A.在圓E上B.在圓E內(nèi)

C.在圓E外D.以上情況都有可能

(2)(2022.長沙模擬)已知橢圓過其左焦點Fi作直線/交橢圓「于P,

A兩點，取P點關于X軸的對稱點A若G點為△/?3的外心，則弱j=()

A.2B.3

C.4D.以上都不對

答案(I)A(2)C

解析(1)顯然直線/的斜率存在，設直線/的方程為y=自+〃?，

y=kx+m,

可得（屋公+?2）x2+Icrkmx+a2m2—a1b1=0,

因為直線/與橢圓相切，

所以/=Qa2km)2—4(α2?2+?2)(α2w2—a2b2)=0,

故m2=a2l^+b2.

易知產(chǎn)(一c,0),M(~a,-ak~?-ιn)?tNg,ak-?-m),

則戶法=(c—a,m-ak),FN={c+a,m+ak),

則戶拓前=。2—4+,/―/s=—從+屋幺+廿一/必=o,故NMFN=90。,

即點尸在圓E上.

(2)根據(jù)題意可得產(chǎn)i(—1,0),顯然直線用的斜率存在，故可設方程為y=《x+

1)，

?+?=l,

*43聯(lián)立消去》

Iy=k(x÷l),

可得(3+4S)X2+8A?+4d-12=0,

設P(九I,?l),A(X2,"),

—sp4,L2—17

故汨+"2=在而，XS=不而，

6k

yι+y2=左(Xl+12)+2攵=

3+4?2'

12(F+1)

故∣Λ4∣=7T+∕^γ∣(Jn+x2)2—4尢1X2=

-3+4標

(—4F3左、

設布的中點為“，則其坐標為［不而，3+4^J,

顯然無軸垂直平分PB,故可設G(X3,0),又G”直線方程為:

3k

-y^3+4^

令y=0,解得x=3+4A》

故IGBl=i+?43+3廬

=3+4P

,,∣∕?∣12（標+1）“

故IGFII=-3+3月—=4，故選C.

易錯提醒1.直線與雙曲線只有一個交點，包含直線與雙曲線相切或直線與雙曲

線的漸近線平行.

2.直線與拋物線只有一個交點包含直線與拋物線相切、直線與拋物線的對稱軸平

行（或重合）.

訓練4已知B,仍是橢圓Ei：，+3=1（。>比>0）的左、右焦點，曲線及：y2=4X

的焦點恰好也是尸2,。為坐標原點，過橢圓El的左焦點R作與X軸垂直的直線

交橢圓于M,N,且AMNA的面積為3.

⑴求橢圓Ei的方程；

⑵過放作直線/交El于A,B,交及于C,D,且aABFi與AOCD的面積相等，

求直線/的斜率.

解⑴因為曲線反：V=4χ的焦點恰好也是尸2,所以橢圓中c=l,Ic=I,

因為4MN∕72的面積為3,所以IMN]=3,

'c=1,

所以<岑=3,

<Λ2=?2+C2,

解得a=2,c=l,b=y∣3,

92

所以橢圓的方程為￡+1=1.

⑵因為。為放的中點，所以。到直線/的距離為R到/距離的一半，

又因為AABB與AOCO的面積相等，所以∣CD∣=2∣AB∣,

因為尸2（1,0）,設/的方程為y=M尤-1）,

設A（XI，6），B（X2,>2）,C（X3,??）,O（X4,>4）,

y=k(LI),

聯(lián)立方程組「一2S

I3x2+4γ2=12,

可得(3+4M)f-8A?+43-12=0,

πιl,844一一12

川XI+%2-3+4?2,XIX2—3+4S，

由兩點間距離公式可得,

=22

?AB?=y∣1+^2∣ΛI-X2?yjl-?-ky∣(x1+x2)~4x↑xι=4—>

y=k(X-1),

聯(lián)立方程組

y=4%,

可得(2?2÷4)X+?2=0,

則X3+X4=2+去XM4=1,

4

所以ICZ)I=X3+χ4+2=4+73,

K/

4

因為靄=4，=2,解得％=±乎,

?ΛD?4∕ΓL

故直線/的斜率為士乎.

高分訓練對接高考重落實迎高考

一、基本技能練

92

L橢圓器+]=1中，以點M(—1,2)為中點的弦所在直線斜率為()

AgB?

A16D-32

-99

c64D?^32

答案B

解析設以M為中點的弦為弦AB,弦AB的端點為AS,??),B(X2,m)，

則分在1，小肛1，兩式相減得3?3+5+咒5二包

=0,又弦AB中點為M(-l,2),

.*.Xl+x2—-2,yi+y2=4,

-2(XI—X2)4(yi-")

即

16-^9~-=0,

.?.A=09

Xl-X232'

2?(2022?廣州二模)拋物線>2=4χ的焦點為R點A在拋物線上.若∣Af]=3,則直線

AF的斜率為()

A.??∕2B.±2??∕2

C.√2D.2√2

答案B

解析由題意得F(1,0),設點A(Xo,yo),

則IAFI=XO+1=3,

故Xo=2,yo=±2^?/^,

故點A坐標為(2,2啦)或(2,-2√2),

所以直線AF的斜率為±26.故選B.

,E2

3.(2022?泰安一模)若雙曲線了一/=l(α>0,b>0)的一條漸近線被圓xλ+y2~4y+2

=0所截得的弦長為2,則雙曲線C的離心率為()

A.√3B.辛

C.2D.√2

答案C

解析不妨設雙曲線的一條漸近線方程為：bx+ay=O,

圓f+y2—4y+2=0的圓心為(0,2),半徑為也，

可得圓心到直線的距離為

;y?r旭

整理得4層=4+〃2,

即4〃2=。2,.*.β=~=2,故選C.

4.(2022?福州二模)乃，F(xiàn)2分別是橢圓C5+∕=l(α>b>0)的左、右焦點，B是橢

圓的上頂點，過點B作的垂線交橢圓C于P,。兩點，若3/∣=7戶迨，則

橢圓C的離心率是()

B.

TΛ5..Γ2√14

Dg或9

解析由橢圓C的方程可得8(0,/?),Fι{c,O),F?(-c,O),

h

所以kβF2=~~,

設直線PQ的方程為y=f(χ+c),

即x=^y~c,

設P(XI,yι),Q(X2,yi),

b2x1+a1yz=a1b2,

聯(lián)立b

X=Q—c,

整理得(〃+CZ2C2)/—2b3c2y—b4c2=0,

可得'+”=總，①

b%2C

,1"=一8+°2。2,②

因為3PFι=7?,

則3(-c-Xi,-yι)=7(x2÷c,y2),

7

可得A=一某代入①可得

3-G

”=—2(方+晨02).③

7

將V=一與2代入②可得

3ZJ4C2

7(∕j4+a2c2),④

9bβc43?4C2

③代入④可得化簡，得25c4—25α2c2+4a4=0,

4(?4+02c2)2-7(?4÷α2c2)

即25β4-25e2+4=0,

解得∕=g或/=亍

e=g^,故選B.

即e=

22

5.已知橢圓M：^2+^=l（α＞√2）,過焦點/的直線/與M交于A,8兩點，坐標

原點。在以A尸為直徑的圓上，若IAn=2∣BQ,則M的方程為（）

√F

2

X--1B+--1

31421

AC.+-√F

+*

2-1D--H

X-1+-2

5?6

答案A

解析由題意不妨設F（-c,0）,

因為原點。在以A尸為直徑的圓上，

所以Q4J_OE

可得A為橢圓M短軸的端點，則A（0,√2）,

因為IAW=2∣BE,

所以《一∣c,—孝）代入橢圓M方程中可得3+（=1,即∕=3C2,

12

又c=a-29所以/=3（/-2）,

解得屋=3,

92

所以橢圓M的方程為5+5=1,故選A.

22

6.（多選）（2022?煙臺模擬）已知雙曲線C：?γ-γ=l,Fi,尼為C的左、右焦點,

則（）

A.雙曲線擊;一式￡=1（加＞0）和C的離心率相等

B.若P為C上一點，且NBPb2=90。，則ABPB的周長為6+2√Π

C.若直線y=fx—1與C沒有公共點，則/＜一乎或。乎

D.在C的左、右兩支上分別存在點M,N,使得4/6=國V

答案BC

解析選項A：雙曲線C：弓一方=1的離心率e=∣,

雙曲線恚??∕4+m+5+〃2_y∣9+2m

=l(∕%＞0)的離心率e=

5+//7γ∣4+mγ∣4+m

則雙曲線市;一式福=1(心0)和C的離心率不一定相等?判斷錯誤;

7?

選項B：P為C：1一手=1上一點，且NBPf'2=90°,

f∣PF∣2+∣PF∣2=36,

則有＜12整理得IPFl1+?PF2?=2√14,

IIPKI—IPBI=4,

則ABPB的周長為6+2√U.選項B判斷正確；

(22

——1

選項C：由45'

j=∕χ-l,

可得(5—4∕2)x2+8及一24=0,

由題意可知，方程(5—4z2)x2+8∕χ-24=0無解.

當5—4尸=0時，方程(5—4∕2)x2+8及一24=0有解；

當5-4r2≠0時，

f5—4z2≠0,

則有＜

(8r)2+96(5-4r2)＜0,

解之得f＜一乎或介乎，

故若直線y=∕χ-l與C沒有公共點，則一半或/＞乎.判斷正確；

選項D：根據(jù)題意，過雙曲線。的左焦點K的直線MN方程可設為x=(y-3,

令M(X1,?l),N(X2,卜2),

由4F∣M=屈V,可得y2=4y?,

任-￡=i

由451，

[X=?！?,

可得（5尸一4）γ2-30fy+25=0,

C,30f

y'+y2~5P→,

則有j25

吠后，

(30/

5，=后，

則有，?s

正交K

整理得19/2+100=0,顯然不成立.

當過雙曲線C的左焦點Fi的直線MN為水平直線時，

方程為j=0,

則M=(—2,0),NQ,0),

而加=(1,0),FJV=(5,0),即5由W=7?

綜上可知，不存在分別在C的左、右兩支上M,N使得4而力=mV.判斷錯誤.

故選BC.

97

7.(2022?西安模擬)已知直線y=履-1與焦點在X軸上的橢圓，+十=1總有公共點,

則b的取值范圍是.

答案［1，2)

解析由題意直線y=br-l恒過定點N(0,—1),

要使直線y=丘-1與焦點在X軸上的橢圓5+^=1總有公共點，

則只需要點MO,-1)在橢圓上或橢圓內(nèi)，

(―1)2

即一衛(wèi)-≤1,解得621,

又焦點在X軸上，Λb<2.Λl≤?<2.

8.已知B,B為橢圓Cf1+?=l的兩個焦點，P，。為C上關于坐標原點對稱

的兩點，且IPQI=IB乃|,則四邊形「RQF'2的面積為.

答案8

解析因為P,。為C上關于坐標原點對稱的兩點，且IPQl=IF砂*

所以四邊形PBQF2為矩形，

設IPBI=加，?PF2?=n,

由橢圓定義可得IPFll+∣PB∣=m+"=24=8,

所以∕n2+2∕wn+n2=64,

又IPVll2+∣PB∣2=∣2∣2=4c2=432-82)=48,

即m2÷n2=48,所以mn=S,

即四邊形PFIQF2的面積為IPBllPf'2∣=""2=8,故答案為8.

9?(2022?南通、泰州等七市調研)已知雙曲線了一次=l(α>O,。>0)的左、右焦點分

別是Fι,Fi,P(XI,y?),Q(X2,竺)是雙曲線右支上的兩點，Xl+yι=X2+>2=3.記

△PQFi,APQb2的周長分別為G,C2,若G-C2=8,則雙曲線的右頂點到直

線PQ的距離為.

答案半

解析根據(jù)雙曲線的定義，若CLC2=(∣PQ+∣PF∣∣+∣QFII)-(IPQ+∣PF2∣+∣QF2∣)

=4<7=8,所以4=2.

故雙曲線右頂點為(2,0),

因為xt+y?=X2+y>2=3,

所以「，。在x+y=3上，

即直線P。的方程為x+y=3,

所以雙曲線的右頂點到直線PQ的距離為

4也

4—2?

22

10.已知雙曲線，一次=l(α>O,人〉0)的左、右焦點分別為B,F1,過原點的直線/

與雙曲線在第一象限和第三象限的交點分別為A,8,///放=60。，四邊形ABBb2

的周長P與面積S滿足p2=野?s,則該雙曲線的離心率為.

答案手

解析由題知IAFII—恒乃∣=2α,四邊形ABB尸2是平行四邊形，

HBl+1AF2|=多

聯(lián)立解得IABI=。+與?AF2?=1-a,

'：NBAb2=60°,四邊形AnBf'2的面積S=乎IAnllABl=啜昌一/),

2=1Z?

?P-93，

???一X舞Y)，

即p2=64q2,

?∣FIF2∣2=∣AFI∣2+∣AF2∣2-2∣AFI∣?∣AF2∣COS60O=(∣AFι∣-∣AF2∣)2+?AF↑??AF2?,

可得4C2=4Q2+言—〃2=4〃2+3。2=7〃2,

即e=乎，故答案為乎.

11.(2022.臨汾二模)已知拋物線C：y2=2pχS>0)的焦點為凡其準線與X軸交于點

P,過點P作直線/與C交于A,B兩點，點。與點A關于X軸對稱.

⑴證明：直線8。過點長

(2)若麗=3或，求/的斜率.

⑴證明設點A(Xl,yι),8(x2,y2),D(χ],—?i),直線/的斜率為左，由題可知左

一定存在，

直線/的方程為：

得ky2-2py+kp2=0,

222

∕∣=4p~4kp>09則一KkL

y∣+”=卷yιy2=p2,

"+'I2〃

X2~Xl?(―*-yι

故直線BD的方程為y+y?

故直線BO過點塔，0).

-χ∣÷2=3^X2-

(2)解由而=3或可得,

JI=3”,

由(1)可知，yι+>2=4y2=午,

故"=殳

又Xi+3x2=2/7,

?>,τ3y?

故2p+2p_2P，

即V+3y3=4p2=12區(qū)

22

故???

隊"五3'

3

-

4

滿足∕>o,故女=±半.

12.已知橢圓C：，+方=1伍〉力>0）的離心率為坐，且經(jīng)過點（一?小，：）.

（1）求橢圓。的方程；

（2）如圖，點M是X軸上的一點，過點M的直線/與橢圓C交于A,8兩點（點A

4

在X軸的上方），若IAM=2∣M3∣,且直線/與圓O：f+V=］相切于點N,求NJMN

的面積.

rc2=a2-Z?2,

c?∣3

解(1)由題意知<Cl22

(—小)2/{I

9I/9—1

Lab

I=4,

解得{b2=?,

所以橢圓C的方程為Y+y2=l.

(2)設Mow,0),直線/：x=ty+m,A(xι,yι),3(x2,*),

由IAM=2∣MB∣,得V=—2”，

.x=ty+m,

得(P+4)y2+2mty+nt2—4=0.

J=-16(根2—r2-4)>0,

即77Z2<∕2÷4.

由根與系數(shù)的關系得戶+戶2=A∕7W2

m2-4

y'y2=7+^?

由yi”=-2■，y∣÷j2=-2j2÷y2=~y2,得yι*=—2[—(y1+y2)F

=-2(yι+y2)2,

口1加2—4(2?nY

即再721一淤+4)，

化簡得("/-4)?(∕2+4)=-8∕2∕R

∣ffl∣

所以原點。到直線/的距離d=5+e'

4

又直線/與圓。：/+V=,相切,

(/??—4)(∕2÷4)=-Srm2,

由,7

∕2=^m2-1,

得21m4—16m2^-16=0,

即(3/-4)(7/+4)=0,

44

解得加2=§,此時產(chǎn)=1,滿足/>0,

此時點M的坐標為0),

,444√21

在△中，

RtOMNIWI=321，

所以SAOΛW=TX嚕?*斗=挈.

二、創(chuàng)新拓展練

13.(2022?南通、泰州等七市調研)在平面直角坐標系Xo)，中，點A(l，0)，B(9,6),

動點C在線段OB上，JBrLLy軸，CEJLy軸，CFLBD,垂足分別是0,E,F,

OF與CE相交于點P.已知點Q在點P的軌跡上,且NO4。=120。,則∣A0∣=()

A.4B.2

42

e??,?

答案A

解析設P(X,y),則yc=y,

E(0,y),y,6),

；尸C〃y軸，：AOPEs/?FPC,

?EP=QE

''~PC=~FC'

?X____L

**36-y,

?y-x

即γ2=4x,

,P的軌跡方程為：γ2=4x(0≤x≤9),

故A(l,0)為該拋物線的焦點，

設。(XO，＞,()),則W=4x(),AQ=(xo-l,yo),AO=(-1,0),

?/CAOAQ_________1-ro______Lxo」

λ，

,,c0sQ~\AO\\AQ\^√（xo-1）2+yΓ?^o+1^2

解得AO=3,

∣AQ=xo+g=3+l=4.故選A.

14.（多選）（2022.重慶診斷）已知F為拋物線CV=6χ的焦點，過直線x=一∣上一

動點P作C的兩條切線，切點分別為A,B,則下列恒為定值的是（）

??PΛ???PB?IWIFBI

a??AB?b.?AB?

CPAPBCFAFB

C.-------D.--------

PF2FP1

答案BCD

解析根據(jù)題意，得x=—］為拋物線的準線，焦點為帽，0),

設7^-1,y。)，

設過點P與曲線C相切的直線方程為：

廠yo={+|)(AWO),

x+∣),

y—yo=

由

y2=6x,

得Ay2—6j÷6yo÷9?=O,

由直線與曲線相切得』=36—4叔6泗+9幻=0,

整理得33+20o—3=O,

設切線外的斜率為如切線PB的斜率為上,

2YO

則k?-?-kι=~?,k1k2=-1,

即切線必與PB垂直.

3—3?2

由33+2須)-3=0得yo=一五一并代入

乙KAy2—6y+6yo+9Z=O,

3

整理得/2-6外+9=0,解得了號，

κ

w,_33—3后,代入y-yo=