2022-2023學(xué)年上海市高一年級下冊冊5月月考數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2022-2023學(xué)年上海市高一下冊5月月考數(shù)學(xué)模擬試題

（含解析）

一.填空題（本大題共有12題，滿分36分，每題3分）

1.已知"（74）,8（5,-2）,則向量方=

【正確答案】（8,-6）

【分析】根據(jù)向量減法的坐標運算及其幾何意義，即可得出答案.

【詳解】由已知可得，AS=（5,-2）-（-3,4）=（8,-6）.

故答案為.（8,-6）

2.若Sinl=a,則COS2=.（用。表示）

【正確答案】1-2/

【分析】根據(jù)二倍角的余弦公式，即可得出答案.

【詳解】根據(jù)二倍角的余弦公式可得，cos2=l_2sin21=l_2/.

故答案為.1-2a^

【正確答案】7##0.5

【分析】根據(jù)特殊角的正弦值以及反正弦函數(shù)的定義，即可得出答案.

TTI1TT

【詳解】因為sin±=—,所以arcsin—=2.

6226

故答案為.?

4.已知向量B在Z的方向上的數(shù)量投影為1,Bl=百，W=2,則75=.

【正確答案】√3

【分析】根據(jù)數(shù)量積得幾何意義及數(shù)量積的定義即可得解.

【詳解】因為向量B在W的方向上的數(shù)量投影為1,

所以WCoSG,B)=1,

所以α?B=MWcos,I)=JJ.

故答案為.v?

(π、

5.函數(shù)y=2cos三一3%的最小正周期為________.

15/

2TT2

【正確答案】兀

33

【分析】直接根據(jù)余弦函數(shù)的周期求解即可.

【詳解】函數(shù)y=2cosg-3x的最小正周期T=型.

、5J3

2兀

故答案為.—

3

6.已知W=4,%=8,則B+可的取值范圍為.

【正確答案】[4,12]

【分析】設(shè)Z與B的夾角為。(^∈[0,π]),則由題意可得

Iα+Z)|=y∣a2+2a-h+b~=√80+64cos6>.再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)[與B的夾角為。(6∈[0,兀]),

因為同=4,W=8,

所以卜+g∣=J(α+Sj=?/t?2+2a-b+b2=J8O+64CoSe>

因為e∈[0,7t],所以—l≤cos6≤l,

所以—64≤64cos"64,

所以16≤80+64cos6≤144,

所以4≤j80+64cos6≤12,

所以4≤α+b≤12,

即卜+q的取值范圍為[4,12],

故[4,12]

7.已知Z(2,3),5(4,-3),點P在線段48的延長線上，且國=I網(wǎng)則點P的坐

標為.

【正確答案】(8,-15)

___1-

【分析】由題可得AB=^BP,可得而=赤+2荏，即求.

—■3—

【詳解】點P在線段/8的延長線上，且∣∕P∣=5∣P8∣,

—?1—?

AB=—BP,

2

麗=礪+2而=(4,-3)+2(2,-6)=(8,-15).

所以點尸的坐標為(8,-15).

故答案為.(8,-15)

8.已知點力的坐標為(√i,-1),將N繞坐標原點。逆時針旋轉(zhuǎn)——至02,則點8的縱坐

6

標為.

【正確答案】√3

5兀

【分析】設(shè)α的終邊經(jīng)過點A,〃的終邊經(jīng)過點8,8(xo,%),，=。+——.根據(jù)三角函

6

數(shù)的定義求出sintz,coscz的值,根據(jù)兩角和的正弦公式，求出sin"的值，然后根據(jù)三角

函數(shù)的定義，即可得出答案.

5ττ

【詳解】設(shè)。的終邊經(jīng)過點A,〃的終邊經(jīng)過點B,則尸=α+-,設(shè)8(xo∕o),

6

T

I百

根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，Sma=2，COSa=——，

+(T)2

5兀、5π.5π1√3^√31√3

所以，sinβ=sina+—=sinacos-----Fcosasin—=—×----------H-----------X—=

6√662(2)222

又|0邳=|。4|=2,

所以，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，SinP=向P則NO=2x*=J］?

故答案為.y∣3

9.若函數(shù)/(x)=SinX+αcosX的圖像關(guān)于直線X=；■對稱，則”的值為

【正確答案】1

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對稱性，得到/(O)=/15］即可求出結(jié)果.

【詳解】因為函數(shù)/(x)=SinX+αcosX的圖像關(guān)于直線X=(對稱，

所以/(O)=/11［,即α=l?

故答案為.1

本題主要考查由三角函數(shù)的對稱性求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.

,.-、,八r…，+2。sin4+tanCcos/…

10.在MBC中，角A,B,。的對邊分別為〃，b,c若——二---------------，則

fbsi∏5+tanCcosB

a_

~b~--------,

【正確答案】也

2

?A~Λ?*D?Λ

［分析］首先利用tanC=把一化簡為—=溝一，再利用正弦定理邊角互化為心=—,

cosC6sin/ba

化簡求值.

【詳解】?.?tanC=?^G,

cosC

..SinC.

sin4+--------cosA.?A?6

?,?原式=當(dāng)Q_SIΠHacosC+cosAsinC

co?sz?=~；f

b,SinCSinBCoSC+cos8sin。

sinBd+-------cosB

cosC

sin(∕l+C)_sin5

*(5+C)-sin^,

Slen

b

Amsin5sin8h

e-----,由正弦定理可知一二=—

sinAsin/1a

b

p-I

.?~,即b2=2a2,

所以q=正

b2

故也

2

本題考查三角函數(shù)的恒等變形和正弦定理邊角互化，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想和計算能力,

屬于基礎(chǔ)題型.

11.已知向量力,。2，。3，…，。2023均為單位向量，且滿足（l≤"≤2023,〃為正

整數(shù)），若任取正整數(shù)i,/,i≤2023,7≤2023,請你寫出或，初的夾角。所有可能的

取值組成的集合為.

.f兀2兀1

【正確答案】

【分析】作圖，根據(jù)已知條件，即可得出答案.

π

如圖，單位圓。內(nèi)，ZAoB=ZBOC=NCOD=ADOE=NEOF=NFoA=

3

設(shè)I=），在圓。所在的平面內(nèi)，可知，i≤2023,［一定是圖中

OA,OB,OC,OD,OE,OF中的一個,

π2Ti

所以，任意兩個向量的夾角只能是0,一,一,π.

33

ττ2Jr

故答案為.，0,—,π

12.已知/、B、C是半徑為1的圓。上的三點，/8為圓。的直徑，P為圓。上一點，則

PAPB+PBPC+PCPA的取值范圍為.

【正確答案】[0,4]

【分析】根據(jù)已知結(jié)合圖象可知，蘇.麗+而?斤+Aδ?9=21.麗.分C,P不重合

以及。,尸重合兩種情況，結(jié)合圖象分別計算，即可得出答案.

根據(jù)題意方=一礪，IOd=Io司=IOq=1,PAPB=O,PA+PB=2PO,

所以蘇.麗+而?正+正方=定?（而+方）=2定?所.

當(dāng)C,P不重合時，由已知可得無,而的夾角o≤e<2,

2

當(dāng)無,而方向相同時，可知Cp為圓的直徑，

此時有1比卜2,|尸。|=1,定.可取得最大值2,所以0<AQ?A3≤2;

當(dāng)c,p重合時，IPq=0,此時正.而=0.

綜上所述，o≤Aδ?Aδ≤2?

所以，0≤百?而+而?定+無?秒≤4?

故答案為.[0,4]

關(guān)鍵點睛：對。,尸是否重合進行分類，結(jié)合圖象，得出范圍.

二.選擇題（本題共有4題，滿分16分，每題4分）

13.以下命題中正確的命題的為（）

A.若α=B,B=c,則α=CB.若aHb,b∕∕c>則a〃C

C.若單位向量a，B共線，則a=BD.若°?c=6?c，則a=B

【正確答案】A

【分析】根據(jù)相等向量的定義即可判斷A；根據(jù)共線向量的定義即可判斷B；根據(jù)相等向量

的定義及共線向量的定義即可判斷C；根據(jù)數(shù)量積的定義即可判斷D.

【詳解】對于A,若a=^i>'b=c，

則Z1的方向相同模相等，坂,"的方向相同模相等，

所以ZI的方向相同模相等，所以￡=",故A正確；

對于B,當(dāng)B=O時，則右的方向不能確定，

所以不能確定的方向，所以不能判斷是否平行，故B錯誤；

對于C,若單位向量W,B共線，

則Z,B的方向相同或相反，所以Z,B為相等向量或相反向量，故C錯誤；

對于D,當(dāng)C=O時，a-c-h-c-0>

此時無法判斷Z,B是否相等，故D錯誤.

故選：A.

14.已知平面上有三個點4B,C,則命題Z,B,C可以構(gòu)成一個/為鈍角的鈍角三角形”

是“刀?k<O”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念及數(shù)量積即可求解.

【詳解】當(dāng)4B,C可以構(gòu)成一個Z為鈍角的鈍角三角形時，AB-AC<0>

從而命題Z,B,C可以構(gòu)成一個/為鈍角的鈍角三角形”是“方.衣<0”的充分條件,

當(dāng)三個點Z,8,C共線且NA4C=180°時，滿是方?就<0,但是4B,C不能構(gòu)成三

角形，

從而命題“48,C可以構(gòu)成一個Z為鈍角的鈍角三角形”不是“ABAC<O"的不必要條件.

故選：A

15.函數(shù)/（X）=IogJx-1|在（0,1）上遞減，那么〃*）在（1,+8）上.

A.遞增且無最大值B.遞減且無最小值

C.遞增且有最大值D.遞減且有最小值

【正確答案】A

【分析】設(shè)"=∣X-1∣,考查函數(shù)〃的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)/"）=/。乩,一1|在（0，1）上遞減，

得出α>1,從而求得/.（X）在（1,+8）上的單調(diào)性和最值情況.

【詳解】設(shè)M=IX-I

???（0,1）是“的遞減區(qū)間，且函數(shù)/（χ）=∕ogjx-l∣在（0,1）上遞減，

則。>1,

?.?（l,+8）是"的遞增區(qū)間，

???/（X）在（1，+8）上遞增且無最大值

故選A

本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，由同增異減進行判定單調(diào)性，繼而得到最值問題，

較為基礎(chǔ).

16.在中,動點P滿足之2=而2_2而.而，則尸點軌跡一定通過』BC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【正確答案】A

【分析】由第2=赤2_2而存變形得布.（而+不）=0,設(shè)/8的中點為E，推出

~AB^EP，點尸在線段力8的中垂線上，再根據(jù)外心的性質(zhì)可得答案.

【詳解】因為臣2=而2_2刀.而，

所以2萬?麗二赤=02=（互-E）?（而+5）=海?（而+5），

所以刀?（2而—而—而）=方?（而+萬）=0,

設(shè)N6的中點為E,則麗+?=2而，則存?2加=0，

所以而C而，所以點P在線段NB的中垂線上，故點P的軌跡過-8C的外心.

故選：A

三.解答題（本大題共有5題，滿分48分）

17.已知向量Z=（3,11）,?=（1,-3）,c=（2,-6）.

（1）計算:（α?6）?c;

（2）求［在B上的投影向量的坐標.

【正確答案】（1）（-60,180）

⑵（-3,9）

【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積得坐標運算及平面向量線性運算得坐標表示即可得解；

（2）根據(jù)投影向量得計算公式計算即可.

【小問1詳解】

由1=（3,11），?=（l,-3）,c=（2,-6）,

得Q?B）￡?=（3—33）?Z?=-30c=（-60,180）；

【小問2詳解】

a-bb-30（1,-3）,,小

α在B上的投影向量的坐標為下「，忖=%],二=（一3,9）.

18.如圖，在4043中，G為中線OM上一點，且南=2兩，過點G的直線與邊0Z,

。8分別交于點P,Q.

(1)用向量礪表示。不;

'一4一..一

(2)設(shè)向量。4=§。夕，OB=nOQ,求〃的值.

1―■1—

【正確答案】(1)-OA+-OB

33i

（2）1

___2___■____

【分析】（1）根據(jù)。G=-OM,結(jié)合向量的線性運算，再用0/，06表達0Λ∕即可;

3

（2）用赤，而表達而，結(jié)合P,G,0三點共線即可求得〃

【小問1詳解】

：G為中線OM上一點，且赤=2兩，

AM}=-OA+-AB

)33

2',~,1/,■—>\1■—1■—?

=-OA+-×?OB-OA?=-OA+-OB-,

33`>33

【小問2詳解】

,—4一..''1-1-

?：OA=-OP,OB=nOQ,OG=—OA+-OB,

3￡33

.?OG=-OA+-OB^-×-OP+-OQ=-OP+-OQ,又G,P,0三點共線,

3333393

n55

Λ4-+-=l,解得〃=；,故〃的值為己.

9333

19.已知函數(shù)y=∕(x)的表達式為/(x)=J-.

(1)求函數(shù)的定義域。，并寫出函數(shù)的值域；

(2)證明函數(shù)y="χ)為偶函數(shù)，并寫出函數(shù)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間.

【正確答案】(1)jx∣2Λπ--^≤x≤2Λπ+^?,?∈zj?;[0,1]

Tl

(2)證明見解析；2無；2kπ--,2kπ,kwZ

【分析】(1)解不等式CoSXNO可得定義域，根據(jù)0≤Cosx<1可得值域；

(2)利用誘導(dǎo)公式和偶函數(shù)的定義可證函數(shù)V=∕(x)為偶函數(shù)，根據(jù)反證法可得2兀是/(χ)

的最小周期，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性以及定義域可得結(jié)果.

【小問1詳解】

兀TT

由COSXNo得，Xe2kπ--,2kπ+-,kwLr.

πTT

(x?2kπ--≤x≤2kπ+-,keZ?,

函數(shù)的值域為[0,1]

【小問2詳解】

任給XED,有一XG。，/(-X)=JCoS(-x)=Jcosx=f(x),

所以函數(shù)y=/(X)為偶函數(shù).

因為f(X+2π)=JCOS(X+2π)=JCOSX=f(x),即2π是/(χ)的一個周期，

假設(shè)T為/G)的一個周期，且0<7<2兀，

則f(x+T)=/(x)對定義域。內(nèi)的任意一個X恒成立，

取X=O∈D,則/(7)=/(0),即JCOST=VcosO=1>即COST=1,

因為0<7<2π,所以CoSTW則CoST=I不成立，

所以假設(shè)不成立，故2兀是/(χ)的最小周期,

因為y=cosx的單調(diào)遞增區(qū)間為［2桁一兀,2E］,左eZ,卜=/在［0,+∞)上為增函數(shù)，

π

結(jié)合定義域?？傻?(X)的單調(diào)增區(qū)間為2kπ--,2kπ,左∈Z.

3Y3V-XX-I-I

20,已知向量方=(COS—,sin一)，b=(cos-,-sin—),函數(shù)/(x)=M?b—加歸+4+1,

(1)當(dāng)加=0時，求的值;

24ππ

(2)是否存在實數(shù)加,使函數(shù)g(x)=∕(x)+前加2,Xe有四個不同的零點？

34

若存在，求出〃，的取值范圍；若不存在，說明理由.

3

【正確答案】(1)-

2

(2)存在，"7的取值范圍為

【分析】(1)首先根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算求得函數(shù)/(X)的解析式，然后求解加=0

Tt

時/(工)的值即可

6

(2)令g(%)=0求解COSX的值，據(jù)此求得關(guān)于加的不等式，求解不等式可得實數(shù)加的

取值范圍

【小問1詳解】

r(3x.3xWX.x?3xX.3x.X3xx、C

a?h=\cos—,sm—?cos—,-sin—=cos—cos——sin—sin—=cosz(----F-)=cos2x

(22月22)222222

當(dāng)加=O時,/(x)=5??+1=cos2x+1,

兀、兀11兀IIl3

貝∣J/—=COS2×-+1=COS—+1=—+1=一

I6/\6)322

【小問2詳解】

-73xX.3X.X、

a+b=(zcos—+cos?,sin?—sin—)

Er1"兀兀r

因為X∈[—,—],

34

(cos?+cos^)2+(sin?-sin?)2=√2+2cosIx=2cosx,

/(x)=α??-zn5+S+l=cos2x+1—2mcosX=2cos2x-2mcosx

?/\/?/、242C)C242

令g(x)=∕(x)+石〃'=2cos~X-2mcosO,

口r8m、,3相、八,3〃734加

即(2cosX-------)(cosX-------)=O,得racosx——或—，

7777

?>177πΓTπT

.??方程CoSX=——或一在XW上有四個不同的實根,

7734

[√27√2

3m17

——<1----”加<一

2”763

√27√2

7,i,ll7√27

則《——<1，得《——?m<-,則----,.m<一，

2”78464

3加4m"?≠O

——≠——

77

即實數(shù)加的取值范圍是號