2023-2024學年吉林省長春市德惠市九年級（上）期末數(shù)學試卷（含解析）

2023-2024學年吉林省長春市德惠市九年級（上）期末數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列式子中是最簡二次根式的是（）

A.CB.J1C.^29D.^=

2.若2y=5x（xy70）,則下列比例式正確的是（）

AX5%2%2V2

A.y-=2-B.57=y-C.-y=75D.x-5

3.下列說法正確的是（）

A.“買中獎率為1%的獎券100張，一定中獎”是必然事件

B.“汽車累積行駛10000/OTi,從未出現(xiàn)故障”是不可能事件

C.天氣預報說“明天的降水概率為70%”，意味著明天一定下雨

D.“清明時節(jié)雨紛紛”為隨機事件

4.下列各式計算正確的是（）

A.2<3+<3=2<6B.J（一3尸=3

C.y/~3xV-3=y/~6D.V12=4-\/~3

5.如圖是一架人字梯，已知4B=4C,兩梯腳之間的距離BC=6米，4C與地面BC的夾角為a,則人字梯

"長為（）

mcosa

A.-7b*

B.7ns譏a米

m

米

2cosa

D-米

cosa

6.如圖，ANBC的三個頂點都在方格紙的格點上，其中2點的坐標是（-3,0）,現(xiàn)將△力8C繞點B按逆時針方

向旋轉(zhuǎn)90。，則旋轉(zhuǎn)后點4的坐標是（）

A.(1,3)B.(—1,—4)C.(—2,—4)D.(—3,3)

7.若關于x的一元二次方程/+6%+c=0的兩個實數(shù)根分別為X1=-1,久2=2,那么拋物線y-x2+

"+c的對稱軸為直線()

A.x—1B.久=；C.x=|D.x——

8.在2023年中考體育考試前，小康對自己某次實心球的訓練錄像進行了分析，發(fā)現(xiàn)實心球飛行路線是一條

拋物線，若不考慮空氣阻力，實心球的飛行高度y(單位：米)與飛行的水平距離久(單位：米)之間具有函數(shù)

關系丫=一^/+|久+工則小康這次實心球訓練的成績?yōu)?)

looZ

A.14米B.12米C.11米D.10米

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。

9.函數(shù)y=心式的自變量％的取值范圍是.

10.一個盒子中有m個紅球、3個白球，每個球除顏色外都相同,從中任取一個球，若取得白球的概率是:，

貝Um=.

11.若關于x的一元二次方程K2+5x+k=0有兩個相等的實數(shù)根，貝果=.

12.△ABC和△￡)￡1/的三邊長分別為7、2、6和18、6、21,且兩三角形相似，則△4BC與△DEF的面積比

為.

13.如圖，矩形2BCD中，AB=3,BC=4,E是BC上一點，BE=1,4E與BD交于點凡則OF的長為

14.如圖，用長為20cm的籬笆，一邊利用墻（墻足夠長）圍成一個長方形花園，設花園的寬4B為久cm,圍成

的花圃面積為ysn2「則丫關于％的函數(shù)表達式為.

三、解答題：本題共10小題，共78分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（本小題6分）

計算：（2^-3）（275+3）-2（75-I）2.

16.（本小題6分）

解方程：x2-2x-5=0.

17.（本小題6分）

不透明的袋子中裝有2個紅球和1個白球，這些球除顏色外完全相同.若從袋子中隨機摸出2個球，請用列表

或畫樹狀圖的方法，求摸出的2個球顏色不同的概率.

18.（本小題7分）

建設美麗城市，改造老舊小區(qū).某市2020年投入資金1000萬元，2022年投入資金1440萬元，現(xiàn)假定每年

投入資金的增長率相同.求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率.

19.（本小題7分）

如圖，alibi1c,直線n交于點0,且分別與直線a,b,c交于點力、B、C和點。、E、F,已知。4=

1,OB=2,BC=4,EF=5,求DE的長度是？

20.（本小題7分）

圖①、圖②、圖③均是3x3的正方形網(wǎng)格，每個小正方B、P、Q均在格點上.請按要求完成作圖，保留作

圖痕跡.

（1）在線段42上找一點C,使其平分線段48；

(2)在線段48上找一點。，使其分線段4B為1：3兩部分;

(3)在線段4B上找一點E,使tanNPEB=l.

21.(本小題8分)

2022年11月29日，搭載神舟十五號載人飛船的運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射.運載火箭從發(fā)射點。

處發(fā)射，當火箭到達2處時，在地面雷達站C處測得點4的仰角為30。，在地面雷達站B處測得點力的仰角為

45。,已知AC=。、B、C三點在同一條直線上，求B、C兩個雷達站之間的距離(結(jié)果精確到

0.01km,參考數(shù)據(jù)，^?1.732).

22.(本小題9分)

［教材呈現(xiàn)】如圖是華師版九年級上冊數(shù)學教材第77頁的部分內(nèi)容.

(1)【定理證明】請根據(jù)教材內(nèi)容，結(jié)合圖①，寫出證明過程.

(2)【定理應用】如圖②，已知矩形4BCD中，AD=6,CD=4,點P在BC上從B向C移動，R、E、F分別

是。C、AP.RP的中點，則￡尸=

(3)【拓展提升】如圖③，AABC中，AB=12,BC=16,點D,E分別是AB,4C的中點，點F在DE上,

且乙4FB=90°,則EF=.

①③

23.(本小題10分)

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=/-4x+c與y軸相交于點4(0,2).

(1)求c的值；

(2)點B為y軸上一點，其縱坐標為巾(巾42),連接2B,以4B為邊向右作正方形2BCD.

①設拋物線的頂點為P,當點P在BC上時，求小的值；

②當點C在拋物線上時，求小的值；

③當拋物線與正方形力BCD有兩個交點時，直接寫出山的取值范圍.

24.(本小題12分)

如圖，RtAABC^,ZC=90°,AC=3,BC=4.點P從點C出發(fā)沿折線C4一4B以每秒1個單位長的速度向

點B勻速運動，點Q從點B出發(fā)沿BC-CA-AB以每秒2個單位長的速度向點B勻速運動，點P、Q同時出

發(fā)，當其中一點到達點B時停止運動，另一點也隨之停止.設點P、Q運動的時間是t秒(t>0).

(1)當t=l時，PQ=；當t=5時，PQ=.

(2)當點P、Q重合時，求出BP的長.

(3)點P、Q分別在AC、BC上時，APQC的面積能否是△28C面積的一半？若能，求出t的值；若不能，請

說明理由.

(4)當PQ與A/IBC的一邊平行時，直接寫出t的值.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：X.74=2,故不是最簡二次根式，不合題意；

B□=%故不是最簡二次根式，不合題意；

C，的，是最簡二次根式，符合題意；

D.-L=故不是最簡二次根式，不合題意；

故選：C.

直接利用最簡二次根式的定義以及分母有理化，分別化簡得出答案.

此題主要考查了分母有理化以及最簡二次根式，正確掌握最簡二次根式的定義是解題關鍵.

2.【答案】C

【解析】解：；2y=5x（xy豐0）,

.%_2

'''y=5'

故選：C.

根據(jù)比例的基本性質(zhì)，把已知的等積式變形為比例式，即可判斷.

本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關鍵.

3.【答案】D

【解析】解：力、“買中獎率為1%的獎券100張，一定中獎”是隨機事件，原說法錯誤，不符合題意;

B、“汽車累積行駛10000km,從未出現(xiàn)故障”是隨機事件，原說法錯誤，不符合題意；

C、天氣預報說“明天的降水概率為70%”，意味著明天可能下雨，原說法錯誤，不符合題意；

“清明時節(jié)雨紛紛”是隨機事件，正確，符合題意.

故選：D.

根據(jù)隨機事件的概念、概率的意義和概率公式分別對每一項進行分析，即可得出答案.

此題考查了隨機事件、概率的意義和概率公式，正確理解概率的意義是解題的關鍵.

4.【答案】B

【解析】解：A.273+73=3^,原計算錯誤，不符合題意；

注斤取=3,正確，符合題意；

C.AA3X73=3,原計算錯誤，不符合題意；

D.712=2^3,原計算錯誤，不符合題意.

故選：B.

先根據(jù)二次根式的加減，二次根式的乘法和二次根式的性質(zhì)進行計算，再得出選項即可.

本題考查了二次根式的混合運算，能正確根據(jù)二次根式的運算法則進行計算是解此題的關鍵.

5.【答案】C

【解析】解：如圖，過點4作2D1BC,

???AB=AC,

BD=CD=區(qū)=/米，

在中，cosa=―,

???AC==6一米,

cosa2cosa

故選：C.

過點4作4D1BC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，BC=2CD,再根據(jù)余弦的定義即可求解.

本題主要考查解直角三角形的應用、等腰三角形的性質(zhì)，正確運用銳角三角函數(shù)是解題關鍵.

6.【答案】B

【解析】A4BC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。后，得到△4BC',如圖，

由圖可知，點4的坐標為（一1,一4）,

故旋轉(zhuǎn)后點力的坐標是（-1,一4）.

故選：B.

根據(jù)網(wǎng)格的特點結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出AABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。的圖形，以此即可求解.

本題主要考查坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，解題關鍵是圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)

來求出旋轉(zhuǎn)后的點的坐標.

7.【答案】B

【解析】解：???一元二次方程的兩個根為久1=-1,%2=2,

則由韋達定理可得，—6=1,

???b=-1,

二次函數(shù)的對稱軸為久=-1=1.

故選：B.

由一元二次方程的兩個根為巧=-1,%2=2,可求b=-1,再由二次函數(shù)的對稱軸為x==即

可求解.

本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，一元二次方程的根的特點；熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系、二

次函數(shù)對稱軸的求法是解題的關鍵.

8.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了二次函數(shù)的應用.根據(jù)實心球落地時，高度y=0,把實際問題可理解為當y=0時，求x的值

即

可

153

W:一8-2-

16

解得久=一2（舍去）或x=12,

則小康這次實心球訓練的成績?yōu)?2米.

9.【答案】%>1

【解析】解：根據(jù)題意得，%-1>0,

解得其21.

故答案為：%>1.

根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式計算即可得解.

本題考查函數(shù)自變量的取值范圍，關鍵是二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù).

10.【答案】9

【解析】解：W=

m+34

???TH=9,

經(jīng)檢驗m=9是原方程的解，

m=9,

故答案為：9.

由于取得白球的概率是"故可利用概率公式求出摸到白球的概率列出等式，求出小的值.

4

本題主要考查概率，熟練掌握概率的求解是解題的關鍵.

11.【答案】M

4

【解析】解：???關于》的一元二次方程%2+5%+fc=。有兩個相等的實數(shù)根，

A=b2-4ac=52—4x1xfc=25—4fc=0,

解得：k=學,

故答案為：?

4

由關于X的一元二次方程/+5x+fc=。有兩個相等的實數(shù)根，即可得判別式4=0,解方程可求得k的

值.

此題考查了一元二次方程判別式的知識.此題比較簡單，解題的關鍵是掌握一元二次方程有兩個相等的實

數(shù)根，即可得4=0.

12.【答案】

【解析】解：???△ABC和ADEF的三邊長分另！］為7、2、6和18、6、21,且兩三角形相似，

赤與公DEF的相似比為叁=/=白=，

OZiioD

ABC與ADEF的相似比為朗=1

故答案為：

△的三邊長分別為7、2、6,ADEF的兩邊長分別為18、6、21,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求相似比即

可.

本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積之比等于相似比的平方是解答本題的關鍵.

13.【答案】4

【解析】解:???四邊形4BCD是矩形，

ZC=90°,AB=CD=3,AD=BC=4,AD//CB,

：.BD=VCD2+CB2=V32+42=5，

???BE11AD,

BFE~4DFA,

.處—些-工

,?而一布一下

4

.?.DF=1BD=4.

故答案為：4.

利用勾股定理求出8D,再證明DF：BF=4：1,可得結(jié)論.

本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，屬

于中考?？碱}型.

14.【答案】y=—2x2+20x

【解析】解：由題意可得：y=%(20—2%)=—2/+20%.

故答案為：y=-2%2+20%.

根據(jù)題意表示出花圃的長為(20-2%)m,進而利用矩形面積公式得出答案.

此題主要考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)解析式，正確表示出花圃的長是解題關鍵.

15.【答案】解：原式=(2<5)2-32-2(5-2/5+1)

=20-9-10+4/5-2

=-1+4V-5-

【解析】先利用平方差公式和完全平方公式分別化簡，再合并即可得出答案.

此題主要考查了二次根式的混合運算，正確利用平方差公式和完全平方公式是解題關鍵.

16.【答案】解：,?,/一2%=5,

?,?%2—2x+1=6,

則(％—1)2=6,

解得%—1=+V~6?

%1=1+V-6,x2=1-V-6?

【解析】本題考查了解一元二次方程-配方法.

先利用配方法得到。-I)2=6,然后利用直接開平方法解方程.

17.【答案】解：列表法：設用4、B表示兩個紅球，C表示白球,

ABc

A(B,a)(CM)

B(4B)(C,8)

C(AC)

一共有6種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中摸出的2個球顏色不同的結(jié)果數(shù)有4種，

.p=l=l

'''63"

【解析】列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出先后摸出的兩球顏色不同的情況數(shù)，即可求出所求的概率.

此題考查了列表法與樹狀圖法求概率，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

18.【答案】解：設該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為x,

依題意得：1000(1+%)2=1440,

解得：%1=0.2=20%,&=一2.2(不合題意，舍去).

答：該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為20%.

【解析】設該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為％,利用2022年投入資金金額=2020年投入資金

金額x(l+年平均增長率即可得出關于久的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論.

本題考查了一元二次方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出一元

二次方程.

19.【答案】解：???b//c,

.OF_OB_2_1

"EF-BC-4-2)

15

???OE=^EF=1，

???a//c,

,DO__AO__J__1

，，~OF~'OC~2+4-6f

1155

???DO=-OF=-x(-+5)=-,

ooZ4

??.DE=DO+OE=|+|=*

【解析】由平行線分線段成比例定理得出比例式，即可得出結(jié)果.

本題考查平行線分線段成比例.

20.【答案】解：(1)如圖，點C即為所求；

(2)如圖點。即為所求；

【解析】(1)取格點M,N連接MN交力B于點C,點C即為所求；

(2)取格點M,N連接MN交4B一點。，點。即為所求；

(3)取格點M,連接PM交4B一點E,點E即為所求.

本題考查作圖-應用與設計作圖，解題的關鍵是學會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題.

21.【答案】解：在RtAAOC中，???ZC=30°,AC=20km,

11

AO=^AC=^x20=10(fcm),

??.OC=ylAC2-AO2=V202-102=10質(zhì)(km),

在Rt△408中，??,乙ABO=45°,

??.AO=OB=10km,

BC=OC-OB=10肩—10x7.32(/cm).

答：B、C兩個雷達站之間的距離為7.32/OTI.

【解析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到4。=14C=|x20=10(km),根據(jù)勾股定理得到OC=

AC2-AO2=V202-102-10/3(/cm),根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到2。=OB=10km,于是得到

結(jié)論.

本題考查了解直角三角形的應用-仰角與俯角，正確地識別圖形是解題的關鍵.

22.【答案】V102

【解析】(1)證明：「點。、E分別是4B與4C的中點,

.AD__1

"AB~AC~2,

???△ADE^LABC,

??D?F若1/-ADE=Z.ABC,

BC2

1

DE//BC,DE=泗；

(2)解:連接ZR,

???￡1是4P的中點，F(xiàn)是PR的中點，

1

??.EF=^AR,

???R是CD的中點，

1

??.DR=如。，

???CD=4,

DR=2,

AD=6,

???AR=2710.

???EF=/10>

故答案為：Vio；

(3)解：rE是AC的中點，

.-.DE=\BC,

???BC=16,

DE=8,

v/-AFB=90°,點。是ZB的中點，

1

??.DF=^AB,

???AB=12,

DP=6,

??.EF=2,

故答案為：2.

(1)利用兩邊成比例，夾角相等證明△ADESAABC,即可證明；

(2)連接4R,在△力DR中求出4R,再由中位線的性質(zhì)求EF即可；

(3)在直角AZFB中，利用斜邊的中線等于斜邊的一半，求出DF,再由中位線定義求DE,即可求EF.

本題是四邊形的綜合應用題，熟練掌握中位線的定義及性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)，直角三角形的性

質(zhì)是解題的關鍵.

23.【答案】解：(1),拋物線y=%2-4x+c與y軸相交于點4(0,2),

二把點4(0,2)代入y=x2—4x+c得c=2,

c的值為2；

(2)①如圖,

,點P在BC上，且點B的坐標為（0,爪）,

???m=-2；

由4(0,2),B(0,zn)得=租—2,

???四邊形/BCD為正方形，

BC=AB=m—2,

???點C的坐標為O-2,m).

???點C在拋物線y=/_4%+2上，

???把點C(zn—2,m)代入y=%2—4%+2得:

m=(m—2)2—4(m—2)+2,

解得mi=2(舍去)，m2=7；

當m<2時，如圖，

由A(0,2),8(0,租)得ZB=2一租，

???四邊形ABCD為正方形，

BC=AB=2—m,

點C的坐標為(2

???點C在拋物線y=x2-4%+2上，

???把點C(2-7n,7n)代入y=x2-4x+2得：

m=(2—m)2—4(2—m)+2,

解得Tn1=2(舍去)，m2=-1,

綜上可知：當點。在拋物線上時，血=7或血=一1；

若。在拋物線上，則拋物線與正方形4BCD有兩個交點,

vAD=AB=m—2,

???D(m—2,2),

代入y=%2—4%+2得：

2=(m—2)2—4(m—2)+2,

解得血=6或TH=2(舍去)，

??.此時ZH的值為6；

當租＜2時，如圖：

若C在拋物線內(nèi)部，拋物線與正方形ABCD有兩個交點，

由②知，爪=-1時C在拋物線上，

此時-1<m<2；

若BC在頂點下方時，拋物線與正方形4BCD有兩個交點，如圖:

由①知，當他=-2時，頂點在拋物線上，

.?.此時m<-2；

綜上所述，拋物線與正方形4BCD有兩個交點，m的范圍是：m<-2或-1<m<2或m=6.

【解析】(1)把點4(0,2)代入y=x2-4x+c即得c=2；

(2)①由y=/_4%+2頂點P的坐標為(2,-2),可得機=-2；

②分兩種情況：當m>2時，點C的坐標為(zn-2,m),代入y=/-4久+2得m=(m-2)2-4(機-2)+

2,當?n<2時，點C的坐標為(2-7n,7n),代入y=/一4%+2得m=(2-m)?-4(2-zn)+2,解方程

可得答案；

③分三種情況：當爪>2時，若D在拋物線上，則拋物線與正方形4BCD有兩個交點，而-2,2),代入

y=——4%+2得2=(TH—2/一4(爪一2)+2,可知此