高考數(shù)學(xué)人教B版一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練11-7-1離散型隨機(jī)變量的均值與方差

核心考點·精準(zhǔn)研析考點一離散型隨機(jī)變量的均值與方差的計算問題

1.已知隨機(jī)變量ξ的分布列為:ξ142Pxy若E(ξ)=,則D(ξ)= ()A. B. C. D.2.(2020·太原模擬)已知排球發(fā)球考試規(guī)則:每位考生最多可發(fā)球三次,若發(fā)球成功,則停止發(fā)球,否則一直發(fā)到3次結(jié)束為止.某考生一次發(fā)球成功的概率為p(0<p<1),發(fā)球次數(shù)為X,若X的數(shù)學(xué)期望E(X)>1.75,則p的取值范圍為()A. B.C. D.3.已知隨機(jī)變量ξ的分布列為:ξ102Pxyz若E(ξ)=,D(ξ)=1,則x,y,z的值分別為________.

【解析】1.選C.因為x+QUOTE+y=1,所以x+y=QUOTE,因為E(ξ)=x+(4)×QUOTE+2y=QUOTE,所以x+2y=QUOTE,所以x=QUOTE,y=QUOTE,所以D(ξ)=×QUOTE+4QUOTE2×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.2.選A.由題可知P(X=1)=p,P(X=2)=(1p)p,P(X=3)=(1p)2p+(1p)3=(1p)2,則E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1p)p+3(1p)2>1.75,解得p>QUOTE或p<QUOTE,由p∈(0,1)可得p∈QUOTE.3.由分布列的性質(zhì)得x+y+z=1,由期望的定義得EQUOTE=x+2z=QUOTE,由方差的定義得DQUOTE=QUOTEx+QUOTEy+QUOTEz=1,整理得16x+y+25z=9,解得x=QUOTE,y=QUOTE,z=QUOTE.答案:QUOTE,QUOTE,(1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值,寫出隨機(jī)變量的分布列,正確運用均值、方差公式進(jìn)行計算.(2)注意E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)的應(yīng)用.考點二二項分布、正態(tài)分布的均值與方差

【典例】1.(2017·全國卷Ⅱ)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件數(shù),則D(X)=________.

【解析】因為X～B(100,0.02),所以D(X)=np(1p)=100×0.02×0.98=1.96.答案:1.962.某城市市民用水?dāng)M實行階梯水價,每人月用水量不超過w立方米的部分按4元/立方米收費,超出w立方米的部分按10元/立方米收費,從該市隨機(jī)調(diào)查了100位市民,獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù),整理得到如下頻率分布直方圖,并且前四組頻數(shù)成等差數(shù)列.(1)求a,b,c的值及居民月用水量在2～2.5內(nèi)的頻數(shù).(2)根據(jù)此次調(diào)查,為使80%以上居民月用水價格為4元/立方米,應(yīng)將w定為多少?(精確到小數(shù)點后2位)(3)若將頻率視為概率,現(xiàn)從該市隨機(jī)調(diào)查3名居民的月用水量,將月用水量不超過2.5立方米的人數(shù)記為X,求其分布列及均值. 導(dǎo)學(xué)號【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題(1)由直方圖聯(lián)想到所有的矩形面積之和為1(2)“使80%以上”聯(lián)想到面積等于0.8的邊界(3)“人數(shù)記為X”聯(lián)想到二項分布【解析】(1)因為前四組頻數(shù)成等差數(shù)列,所以所對應(yīng)的QUOTE也成等差數(shù)列,設(shè)a=0.2+d,b=0.2+2d,c=0.2+3d,所以0.5×(0.2+0.2+d+0.2+2d+0.2+3d+0.2+d+0.1+0.1+0.1)=1,解得d=0.1,所以a=0.3,b=0.4,c=0.5.居民月用水量在2～2.5內(nèi)的頻率為0.5×0.5=0.25,居民月用水量在2～2.5內(nèi)的頻數(shù)為0.25×100=25.(2)由題圖及(1)可知,居民月用水量小于2.5的頻率為0.7<0.8,所以為使80%以上居民月用水價格為4元/立方米.應(yīng)規(guī)定w=2.5+QUOTE×0.5≈2.83.(3)將頻率視為概率,設(shè)A(單位:立方米)代表居民月用水量,可知P(A≤2.5)=0.7,由題意,X～B(3,0.7),P(X=0)=×0.33=0.027,P(X=1)=×0.32×0.7=0.189,P(X=2)=×0.3×0.72=0.441,P(X=3)=×0.73=0.343.所以X的分布列為X0123P0.0270.1890.4410.343所以E(X)=np=2.1.與二項分布有關(guān)的期望、方差的求法(1)求隨機(jī)變量ξ的期望與方差時,可首先分析ξ是否服從二項分布,如果ξ～B(n,p),則用公式求解,可大大減少計算量.(2)有些隨機(jī)變量雖不服從二項分布,但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項分布,這時,可以綜合應(yīng)用公式求出E(aξ+b).若同時拋擲兩枚骰子,當(dāng)至少有5點或6點出現(xiàn)時,就說這次試驗成功,則在3次試驗中至少有1次成功的概率是 ()A. B. C. D.【解析】選C.一次試驗中,至少有5點或6點出現(xiàn)的概率為11QUOTE×1QUOTE=1QUOTE=QUOTE,設(shè)X為3次試驗中成功的次數(shù),所以X～B3,,故所求概率P(X≥1)=1P(X=0)=1QUOTE×QUOTE0×QUOTE3=QUOTE.考點三離散型隨機(jī)變量的均值、方差的實際問題

命題精解讀考什么:考查實際背景下求離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差怎么考:(1)直接求分布列、均值、方差(2)通過均值、方差,作出決策新趨勢:與統(tǒng)計、函數(shù)、不等式等知識交匯考查考生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力學(xué)霸好方法1.實際背景下離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差的問題的步驟(1)閱讀題目,讀取信息,翻譯成數(shù)學(xué)語言描述的數(shù)學(xué)問題(2)設(shè)出隨機(jī)變量,求出各個變量取值對應(yīng)的概率,寫出分布列,根據(jù)均值、方差定義求出均值、方差(3)根據(jù)均值、方差的統(tǒng)計意義作出決策2.交匯問題根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差的性質(zhì)及意義,結(jié)合統(tǒng)計、函數(shù)、不等式等知識,解決實際問題實際問題中求均值、方差【典例】小明早上從家里出發(fā)到學(xué)校上課,如圖所示,有兩條路線可走,且走哪條路線的可能性是相同的,圖中A、B、C、D處都有紅綠燈,小明在每個紅綠燈處遇到紅燈的概率都是QUOTE,且各個紅綠燈處遇到紅燈的事件是相互獨立的,每次遇到紅燈都需等候10秒.(1)求小明沒有遇到紅燈的概率.(2)記小明等候的總時間為ξ,求ξ的分布列并求數(shù)學(xué)期望E(ξ).【解析】(1)記“小明沒有遇到紅燈”為事件A,則P(A)=×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)由題可知:ξ=0,10,20,30,P(ξ=0)=,P(ξ=10)=+QUOTE=,P(ξ=20)=+=,P(ξ=30)==,所以ξ的分布列:ξ0102030P所以EQUOTE=0×QUOTE+10×QUOTE+20×QUOTE+30×QUOTE=QUOTE.實際問題中應(yīng)用均值、方差作決策【典例】現(xiàn)有兩種投資方案,一年后投資盈虧的情況如下:一、投資股市:投資結(jié)果獲利40%不賠不賺虧損20%概率二、購買基金:投資結(jié)果獲利20%不賠不賺虧損10%概率pq(1)當(dāng)p=QUOTE時,求q的值.(2)已知甲、乙兩人分別選擇了“投資股市”和“購買基金”進(jìn)行投資,如果一年后他們中至少有一人獲利的概率大于QUOTE,求p的取值范圍.(3)丙要將家中閑置的10萬元錢進(jìn)行投資,決定在“投資股市”和“購買基金”這兩種方案中選擇一種,已知p=QUOTE,q=QUOTE,那么丙選擇哪種投資方案,才能使得一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望較大?給出結(jié)果并說明理由. 導(dǎo)學(xué)號【解析】(1)因為“購買基金”后,投資結(jié)果只有“獲利20%”“不賠不賺”“虧損10%”三種,且三種投資結(jié)果相互獨立,所以p+QUOTE+q=1.又因為p=QUOTE,所以q=QUOTE.(2)記事件A為“甲投資股市且盈利”,事件B為“乙購買基金且盈利”,事件C為“一年后甲、乙兩人中至少有一人投資獲利”,則C=AQUOTE∪QUOTEB∪AB,且A,B相互獨立.由題干中表格可知,P(A)=,P(B)=p.所以P(C)=P(AQUOTE)+P(QUOTEB)+P(AB)=QUOTE×(1p)+×p+×p=+p.因為P(C)=+p>,所以p>.又因為p+QUOTE+q=1,q≥0,所以p≤QUOTE,所以QUOTE<p≤QUOTE.(3)假設(shè)丙選擇“投資股市”方案進(jìn)行投資,且記X為丙投資股市的獲利金額(單位:萬元),所以隨機(jī)變量X的分布列為:X402P則E(X)=4×QUOTE+0×QUOTE+(2)×QUOTE=QUOTE.假設(shè)丙選擇“購買基金”方案進(jìn)行投資,且記Y為丙購買基金的獲利金額(單位:萬元),所以隨機(jī)變量Y的分布列為:Y201P則E(Y)=2×QUOTE+0×QUOTE+(1)×QUOTE=QUOTE,因為E(X)>E(Y),所以丙選擇“投資股市”,才能使得一年后的投資收益的數(shù)學(xué)期望較大.1.據(jù)《人民網(wǎng)》報道,“美國國家航空航天局(NASA)發(fā)文稱,相比20年前世界變得更綠色了.衛(wèi)星資料顯示中國和印度的行動主導(dǎo)了地球變綠.”據(jù)統(tǒng)計,中國新增綠化面積的42%來自于植樹造林,下表是中國十個地區(qū)在某年植樹造林的相關(guān)數(shù)據(jù).(造林總面積為人工造林、飛播造林、新封山育林、退化林修復(fù)、人工更新的面積之和)單位:公頃造林方式地區(qū)造林總面積人工造林飛播造林新封山育林退化林修復(fù)人工更新內(nèi)蒙古61848431105274094136006903826950河北58336134562533333135107656533643河南14900297647134292241715376133重慶2263331006006240063333陜西297642184108336026386516067甘肅325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629寧夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053(1)請根據(jù)上述數(shù)據(jù)分別寫出在這十個地區(qū)中人工造林面積與造林總面積的比值最大和最小的地區(qū).(2)在這十個地區(qū)中,任選一個地區(qū),求該地區(qū)人工造林面積占造林總面積的比值超過50%的概率是多少?(3)在這十個地區(qū)中,從新封山育林面積超過五萬公頃的地區(qū)中,任選兩個地區(qū),記X為這兩個地區(qū)中退化林修復(fù)面積超過六萬公頃的地區(qū)的個數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)人工造林面積與總面積比值最大的地區(qū)為甘肅省,人工造林面積與總面積比值最小的地區(qū)為青海省.(2)設(shè)“在這十個地區(qū)中,任選一個地區(qū),該地區(qū)人工造林面積占總面積的比值超過50%”為事件A,在十個地區(qū)中,有7個地區(qū)(內(nèi)蒙古、河北、河南、陜西、甘肅、寧夏、北京)人工造林面積占總面積比值超過50%,則P(A)=.(3)新封山育林面積超過五萬公頃的有7個地區(qū):內(nèi)蒙古、河北、重慶、陜西、甘肅、新疆、青海,其中退化林修復(fù)面積超過六萬公頃的有3個地區(qū):內(nèi)蒙古、河北、重慶,所以X的取值為0,1,2,所以P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.所以隨機(jī)變量X的分布列為X012P期望為E(X)=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE=QUOTE.2.某次飛鏢比賽中,規(guī)定每人最多發(fā)射3鏢.在M處每射中一鏢得3分,在N處每射中一鏢得2分,如果前兩次得分之和超過3分即停止發(fā)射,否則發(fā)射第三鏢.某選手在M處的命中率q1為0.25,在N處的命中率為q2,該選手選擇先在M處發(fā)射第一鏢,以后都在N處發(fā)射.用X表示該選手比賽結(jié)束后所得的總分,其分布列為:X02345P0.03P1P2P3P4(1)求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X).(2)試比較該選手選擇上述方式發(fā)射飛鏢得分超過3分與選擇都在N處發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率的大小.【解析】(1)設(shè)“該選手在M處射中”為事件A,“在N處射中”為事件B,則事件A,B相互獨立,且P(A)=0.25,P(QUOTE)=0.75,P(B)=q2,P(QUOTE)=1q2.根據(jù)分布列知:當(dāng)X=0時,P(QUOTE)=P(QUOTE)P(QUOTE)P(QUOTE)=0.75QUOTE=0.03,所以1q2=0.2,q2=0.8.當(dāng)X=2時,P1=P(QUOTEBQUOTE+QUOTEB)=P(QUOTEBQUOTE)+P(QUOTEB)=P(QUOTE)P(B)P(QUOTE)+P(QUOTE)P(QUOTE)P(B)=0.75q2QUOTE×2=0.24,當(dāng)X=3時,P2=P(AQUOTE)=P(A)P(QUOTE)P(QUOTE)=0.25QUOTE=0.01,當(dāng)X=4時,P3=P(QUOTEBB)=P(QUOTE)P(B)P(B)=0.75q22=0.48,當(dāng)X=5時,P4=P(AQUOTEB+AB)=P(AQUOTEB)+P(AB)=P(A)P(QUOTE)P(B)+P(A)P(B)=0.25(1q2)q2+0.25q2=0.24,所以隨機(jī)變量X的分布列為:X02345P0.030.240.010.480.24所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63.(2)該選手選擇上述方式發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率為0.48+0.24=0.72.該選手選擇都在N處發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率為P(QUOTEBB+BQUOTEB+BB)=P(QUOTEBB)+P(BQUOTEB)+P(BB)=2(1q2)QUOTE+QUOTE=0.896.所以該選手選擇都在N處發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率大.某項目的射擊比賽,開始時在距目標(biāo)100米處射擊,如果命中記3分,且停止射擊;若第一次射擊未命中,可以進(jìn)行第二次射擊,但目標(biāo)在150米