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第一單元至第八單元滾動(dòng)測(cè)試卷(基礎(chǔ)卷)
一、單選題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是
符合題目要求的)
2
1.(2023?福建福州?福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知集合4={1,2,3,4},B={xeN|x-x-6<o},
則4B=()
A.{152}B.{1,2,3}C.{2,3}D.{1,2,3,4)
【答案】B
【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合8,再根據(jù)交集的運(yùn)算即可求出.
【詳解】因?yàn)锽={xGN|x2-x-640}={xeN|-24x43}={0,l,2,3},而A={1,2,3,4},
所以48={1,2,3}.
故選:B.
2.(2023?福建寧德???级#┮阎橇銖?fù)數(shù)z滿(mǎn)足z<2+2i)=|zf,則z的共輾復(fù)數(shù)是()
A.2+2iB.2-2iC.-2+2iD.-2-2i
【答案】A
【分析】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(“,beR),代入z-(2+2i)=|zf中化簡(jiǎn),再利用復(fù)數(shù)相等的條件列方程組可求出。涉,
從而可求出復(fù)數(shù)z,進(jìn)而可求出z的共軌復(fù)數(shù)
【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+砥eR),由z-(2+2i)=|zf,得
(a+biX2+2i)=/+〃,化簡(jiǎn)得(2〃一2份+(2〃+2。>=/+。2,
”,\2a-2b=a2+b2缶=。人,?[a=2
所以】。ozn'解得,n(舍去),或1?
[2a+2b=0匕=0[b=-2
所以z=2-2i,則$=2+2i,
故選:A
3.(2023?上海浦東新?華師大二附中??寄M預(yù)測(cè))設(shè)點(diǎn)P(x,y)滿(mǎn)足or+外+c=0,則"6=2a"是
"k+2y+2|+|x+2y-l|為定值"的().
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)兒何意義,將所求式轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離,進(jìn)而研究圖像求解.
[x+2y+21|x+2y-1|
【詳解】若|x+2y+2Mx+2y-1卜拓為定值,
即點(diǎn)P(x,y)到直線(xiàn)x+2y+2=0,x+2y-l=o兩條直線(xiàn)距離之和為定值,
顯然,這兩條直線(xiàn)平行,如圖,
所以當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在與這兩條直線(xiàn)平行的直線(xiàn)上時(shí),此時(shí)直線(xiàn)ar+勿+c=0滿(mǎn)足必w0且〃=2a,
即Z?=2a,且awO,b*O,k+2y+2|+|x+2y-l|為定值,
所以"b=2a"是"|x+2y+2|+|x+2y-l|為定值"的必要不充分條件.
故選:B
4.(2023?海南省直轄縣級(jí)單位?文昌中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知向量a=(3,4),b=(f,l),且cos(a,6)=(,則1=
()
A.---B.—C.0或竺D.0或一2
242477
【答案】C
【分析】根據(jù)題意,利用向量的夾角公式,列出方程,即可求解.
【詳解】由向量。=(3,4)力=&1),可得同=5,忖=歷1,
a,b3/+44
H=麗=許r于解得『=。或2半4
故選:C.
5.(2023春?江西九江?高二江西省湖口中學(xué)??计谀┰诘炔顢?shù)列{%}中,生=1,4=5,則〃8=()
A.9B.11C.13D.15
【答案】C
【分析】利用等差數(shù)列的基本量計(jì)算可得答案.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列{q}的公差為d,貝U24=4-%=4,
則必=%+6。=1+3x4=13
故選:C
6.(2023?四川遂寧?射洪中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線(xiàn)C:工-2=1的右焦點(diǎn)為尸,點(diǎn)A(0,M,若直線(xiàn)AF
412
與C只有一個(gè)交點(diǎn),則加=()
A.±2B.±4有C.±2^3D.±4
【答案】B
【分析】根據(jù)題意分析可得直線(xiàn)所與漸近線(xiàn)平行,結(jié)合平行關(guān)系運(yùn)算求解.
【詳解】雙曲線(xiàn)C,q=l可得a=2,b=2?,c=77壽=4,
所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為>=±&,右焦點(diǎn)為尸(4,0),
因?yàn)橹本€(xiàn)AF與C只有一個(gè)交點(diǎn),所以直線(xiàn)AF與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行,
所以&「=篝=±&,解得/=±46-
()—4
故選:B.
的圖象大致為()
【分析】先得到函數(shù)的奇偶性,排除AC,再比較出/(2)</(3),排除B,得到正確答案.
【詳解】由題知,“X)的定義域?yàn)閧xeR|x=O},因?yàn)閤)=匚土《=
-X
回“X)是奇函數(shù),排除A,C,
2.-23-3
因?yàn)?(2)=1e^e-</(3)=失e+e_,排除D.
故選:B.
8.(2023?四川成都?石室中學(xué)校考三模)已知拋物線(xiàn)后:丁=8》的焦點(diǎn)為尸,點(diǎn)尸與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),過(guò)
點(diǎn)C的直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)E交于A,8兩點(diǎn)(點(diǎn)C和點(diǎn)4在點(diǎn)B的兩側(cè)),則下列命題中正確的有
①若所為ACF的中線(xiàn),則IA尸|=2|8尸|;②若B尸為N4FC的平分線(xiàn),則|A尸|=8;
③存在直線(xiàn)/,使得|AC|=&|AF|;④對(duì)于任意直線(xiàn)/,都有|AF|+|B/q>2|CF|.
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
【答案】C
【分析】設(shè)直線(xiàn)/:》=外-2,8(電,方)都在第一象限,如圖,聯(lián)立拋物線(xiàn)方程,利用韋達(dá)定理
表示%+必、%%、%+超、2.根據(jù)中線(xiàn)的性質(zhì)可得必=年,求出A、8的坐標(biāo)即可判斷①;根據(jù)角平
分線(xiàn)的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì),結(jié)合拋物線(xiàn)的定義計(jì)算求出IAFI,即可判斷②;根據(jù)題意可得
A()「2,x),列出方程求出將%即可判斷③;根據(jù)拋物線(xiàn)的定義和A>0,即可判斷④.
【詳解】由題意,設(shè)直線(xiàn),:x=U-2,令3,%),5(電,%)都在第一象限,
由尸(2,0),得C(-2,0),如圖所示.
得丁-8初+16=0,且△=64(%2-1)>0,即二>],
所以y+%=8k,%必=16,則%+%=8/-4,=4.
①若8尸為AAC尸的中線(xiàn),則必咤,所以X=4夜,所以斗=4,故44,4&),
所以8(1,2夜),則IA尸|=2|8尸|=6,故①正確;
②若BF為NAFC的平分線(xiàn),則明=察,
分別作AD,8£垂直準(zhǔn)線(xiàn)x=—2于點(diǎn)。,E,則仙尸|=|明且需=黑,
1111|ABIIDE|
所以四=叵!即。尸|一ICEIJBEI上_=強(qiáng)土2
1J
\AD\\DE\'|AD|+|CF|\CD\\AD\''xl+6%+2'
4
將*2=—>0代入整理,得才一4%一12=0,即(苔-6乂玉+2)=0,
x\
則占=6,所以|4尸|=與+2=8,故②正確;
③若|AC|=Q|AF|,即14cb應(yīng)|AO|,即,ACD為等腰直角三角形,
止匕時(shí)|C0=|AO|,則A(y/2,y),所以y:=8y「16,所以犬-8%+16=0,
所以)1=4,所以%=4,此時(shí)A,8為同一點(diǎn),不合題設(shè),故③錯(cuò)誤;
2
@\AF\+\BF\^AD\+\BE\=xt+x2+4=Sk,
而2|CF|=8,結(jié)合A?>i,得跳?>8,
即|AF|+|BF]>2|C可恒成立,故④正確.
故選:C.
【點(diǎn)睛】直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系和直線(xiàn)與橢圓、雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系類(lèi)似,一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系;
涉及有關(guān)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題,要注意直線(xiàn)是否過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),若過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),可直接使用公
式|A8|=x/+x2+p,若不過(guò)焦點(diǎn),則必須用一般弦長(zhǎng)公式.
二、多選題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題
目要求,全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分)
9.(2023?河北?校聯(lián)考一模)關(guān)于函數(shù)/(x)=2sin(2x-?7r)的圖象,下列說(shuō)法正確的是()
A.長(zhǎng)是曲線(xiàn)y=/(x)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心
B.x=¥是曲線(xiàn)y=/(x)的一條對(duì)稱(chēng)軸
O
C.曲線(xiàn)y=2sin2x向左平移。兀個(gè)單位,可得曲線(xiàn)y=/(x)
D.曲線(xiàn)y=2sin2x向右平移(兀個(gè)單位,可得曲線(xiàn)y=〃x)
O
【答案】AD
【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)f(x),再逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.
IF7T
【詳解】依題意,函數(shù)Ax)=2sin(2x-:-37i)=—2sin(2x—:),
對(duì)于A,/(1)=-2sin(2x1-^)=0,($0)是曲線(xiàn)y=/(x)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心,A正確;
對(duì)于B,7(¥)=—2sin(2x?一今=0,x=等不是曲線(xiàn)y="X)的對(duì)稱(chēng)軸,B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,曲線(xiàn)y=2sin2x向左平移,兀個(gè)單位,得y=2sin[2Cr+gb]=2sin(2x+¥)=-2sin(2x+。,C錯(cuò)誤;
8844
對(duì)于D,曲線(xiàn)y=2sin2x向右平移;兀個(gè)單位,得y=2sin[2(x--—)]=2sin(2x——)=-2sin(2x——),D止確.
故選:AD
10.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知的,居分別是橢圓《+$=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)M是「上的動(dòng)點(diǎn),則()
1612
ITT
A.「的離心率為5B.^MF2<-
C.AM4用的周長(zhǎng)為12D.△/片外的面積的最大值為
【答案】ABC
【分析】對(duì)A,直接求出離心率即可,對(duì)B利用6,c的大小關(guān)系及直徑所對(duì)圓周角為直角的結(jié)論即可判斷,
對(duì)C,根據(jù)橢圓的定義即可判斷,對(duì)D,根據(jù)面積最大時(shí),M為橢圓的短軸端點(diǎn),代入計(jì)算即可.
21
【詳解】A選項(xiàng):依題意,a=4,h=2y/3,c=2,所以「的離心率0=—c=二=彳,A正確.
。42
7F
B選項(xiàng):因?yàn)閏<6,所以以月用為直徑的圓在r的內(nèi)部,故N£g<5,B正確.
C選項(xiàng):根據(jù)橢圓的定義得△MH行的周長(zhǎng)為為+2c=12,C正確.
D選項(xiàng):設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn),連接?!?,易知當(dāng)OM_L百心時(shí),△/耳鳥(niǎo)的面積最大,
最大值為1、2必=仍=46,D錯(cuò)誤.
2
故選:ABC.
11.(2023?山東淄博?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)“力=4$吊3+“心0,0>0,-卜圖的部分圖象如圖所示,
則()
冗IT
B.當(dāng)X€時(shí),.f(x)的最大值為G
C.函數(shù)“X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(?,o)對(duì)稱(chēng)
D.函數(shù)/(x)在點(diǎn)(0,1)處的切線(xiàn)方程為>=2任+1
【答案】AD
【分析】根據(jù)y=Asin(s+e)中A,。,夕的幾何意義,求得Ax)的解析式,再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)
及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,逐項(xiàng)分析即可.
【詳解】由圖可知,A=2,/(O)=2sin0=l,即sing=!,又-1<夕<],所以夕=£,
2226
由五點(diǎn)作圖法可得粵+?=兀,所以0=2,/(x)=2sinf2x+f\
126k07
/、771
對(duì)于A,“X)的最小正周期為7=空=兀,故A正確;
對(duì)于B,當(dāng)xe-U時(shí),2x+1w孑>所以sin卜x+-堂?』,所以/(x)的最大值為2,故B
_44Jo[_3JJ<o(jì))2
錯(cuò)誤;
對(duì)于C,當(dāng)x==時(shí),2X+B=*/停]=2,所以函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)件,0〕對(duì)稱(chēng),故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,由〃x)=2sin(2x+。],可得r(x)=4cos(2x+)/(0)=2/,所以函數(shù)/(x)在點(diǎn)(0,1)處的
切線(xiàn)方程為y=2岳+1,故D正確.
故選:AD.
12.(2023?湖北武漢?華中師大一附中??寄M預(yù)測(cè))正四棱柱ABCD-A5GA,底面邊長(zhǎng)為2血,側(cè)棱長(zhǎng)
為2,則下列結(jié)論正確的()
A.點(diǎn)A到平面Bg的距離是V2.
B.四棱錐R-ABC。內(nèi)切球的表面積為8(3-2&)兀.
C.平面8CQ與平面4cA垂直.
D.點(diǎn)M,N為線(xiàn)段AC上的兩點(diǎn),且AM=CN=(AC,點(diǎn)P為面ABC,內(nèi)的點(diǎn),若PM=C.PN,則
點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)為兀.
【答案】AC
【分析】利用等體積法判斷A,利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑,即可判斷B,找到二面角的平面角,利用
勾股定理逆定理即可判斷C,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)尸(x,y,2),即可求出動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程,即可判斷
D.
【詳解】對(duì)于A:設(shè)點(diǎn)4到平面8CR的距離為人,
BR=J(2直『+(20『=4,RC=BC=小22+(20=273,
%3=gx4xJ(2£)、22=4夜,SMW=1X2>/2X2>/2=4,
又匕,得四=%一4觸,所以;x4V%=gx4x2,解得力=0,故A正確;
對(duì)于B:
SABCO=20x2忘=8,SADDi=SCDDt=-x2x2>/2=2y[2,
s.=SBCD,+(2夜『X2&=2遙,
%,HrD=-x8x2=—,
4
設(shè)內(nèi)切球的半徑為則與=;(8+4a+4旬r,解得r=故B錯(cuò)誤;
V6+72+2
對(duì)于C:設(shè)底面A3CD中心為O,BCJBC=E,OG*=F,連接。G交E尸于G,則G為線(xiàn)段£尸中點(diǎn),
則CG_LEF,C,G1EF,所以NCGO為面BCQ與面片。2所成角的平面角,
在,CGO中,GO=GC=s/2,OC=2,OG2+GC2=OC2>回/CGO=90°,
所以平面8CQ與平面5cA垂直,故C正確;
對(duì)于D,設(shè)底面ABC。中心為O,底面ABC。中心為?!阜謩e以直線(xiàn)02,0C,0a分別為x,y,z軸建立空間
直角坐標(biāo)系,
設(shè)點(diǎn)P(x,y,2),又M(0,T,0),N(0,l,0),
由PM=gPN得,yjx2+(y+l)2+4=y/2y]x2+(^-1)2+4r整理得/+(y-3『=4,
所以P點(diǎn)軌跡為圓Y+(),_3)2=4在面A4GR內(nèi)的部分(如下圖HK),
7E7T
因?yàn)?口,JK=2'RGK二,顯然CQQ所以
7T
即ZKJH<-,
2
?,??
所以“K的弧長(zhǎng)不為兀,即點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)不為兀,故D錯(cuò)誤.
故選:AC
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:涉及點(diǎn)到面的距離一般利用等體積法或空間向量法,D選項(xiàng)關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系,
定量計(jì)算出動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡.
三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填在題中的橫線(xiàn)上)
13.(2023?江西南昌?南昌縣蓮塘第一中學(xué)校聯(lián)考二模)已知關(guān)于x的不等式的2+加+6〃?>0的解集為
{x\2<x<3},則如<〃的解集為.
【答案】{x|x>-5}
【分析】由題意可得“<0旦方程用2+m+6加>0的解為2,3,再根據(jù)韋達(dá)定理求得小八的關(guān)系即可得解.
【詳解】因?yàn)殛P(guān)于*的不等式〃小+nr+6〃?>0的解集為{x[2<x<3},
所以7%<0且方程〃>+總+6加>0的解為2,3,
n
則2+3=5=,
m
n
所以機(jī)g|Jx>—,
m
所以不等式g<n的解集為{x\x>-5}.
故答案為:{x|x>-5}.
14.(2023?廣東佛山?華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中??寄M預(yù)測(cè))設(shè)隨機(jī)變量4的分布列如下:
其中6,%,.?.,%構(gòu)成等差數(shù)列,則4+4
【答案】I
【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)和離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?,出,…,4構(gòu)成等差數(shù)列,
所以4+4=4+。5=4+%,
因?yàn)?+%+。3+。4+。5+。6=1,所以4+。6=g,
故答案為:g
15.(2023?河南,襄城高中校聯(lián)考三模)若(sin£+cos^)+6cosa=g,則cos(2a+與■)=.
【答案】-J/-O.125
O
【分析】先利用三角恒等變換化簡(jiǎn)得sin(a+W)=j,從而利用余弦的倍角公式即可得解.
【詳解】因?yàn)閉sin@+cos4]+5/3cosa=sin2—4-cos2—+2sin—cos—+V3cosa
[22)2222
=sina+Gcosa+l=2sin(6Z+—|+1=—,
I3j2
所以sin(a+])=(,故cos(2a+1)=l-2sin2(a+1)=l-2x[1)=-1.
故答案為:一:.
o
16.(2023?海南???海南華僑中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))已知圓C:(x-a)2+(y-與2=4的圖象在第四象限,直線(xiàn)
/,:ax+by+3=0,12:法-ay+4=0.若(上存在點(diǎn)尸,過(guò)點(diǎn)尸作圓C的切線(xiàn)如,PB,切點(diǎn)分別為A,B,
使得AVB為等邊三角形,則4被圓C截得的弦長(zhǎng)的最大值為.
【答案】拽
3
【分析】根據(jù)題意可推得“,b的范圍,以及4與圓的位置關(guān)系.根據(jù)等邊三角形以及圓的對(duì)稱(chēng)性可得出
■>,2.o
ZAPC=30。,然后推得44,求解結(jié)合a,b的范圍可得出20<77萬(wàn)43?然后表示出圓心到直
。yja2+b2
線(xiàn)4的距離,根據(jù)不等式的性質(zhì),即可得出答案.
【詳解】
a>2
由已知可得,圓C的圓心c(a,“,半徑r=2,且有
b<-2'
2?2Q
則圓心到直線(xiàn)八ax+hy+3=O的距:離&=三:一十一..
yla2+b2
a3a門(mén)3c
又直線(xiàn)《方程可化為yx——,可知——〉0,——>0,
bbbb
所以直線(xiàn)4過(guò)一、二、三象限,不過(guò)笫四象限,直線(xiàn)4與圓相離.
由題意易知NAPC=30。,則PC=2工=4,441Pq=4,
sin300
所以有歲孝(4,即(后+可-4\/a2+b2+3<0,所以IV三.
乂a>2,b<-2,所以02+/>8,yja2+b2>242>所以2/
所以圓心C到直線(xiàn)/,的距離d2=/4,<5/2<2,
7CT+b-
所以,直線(xiàn)4與圓C總相交,
4Ng,所以4被圓C截得的弦長(zhǎng)為2斤田
又4=
\ja2+b2
故答案為:拽.
3
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:根據(jù)己知得出的范圍,然后根據(jù)直線(xiàn)的斜截式方程得出4與圓的位置關(guān)系.
四、解答題(本大題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)
17.(2023?安徽哈肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))記A8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“,b,c,已知cos8=;.
⑴求cos21+tan2gC的值;
(2)若6=4,S.C=2拒,求,的值.
【答案】⑴g
(2)c=V2或c=3>/2
【分析】(1)利用二倍角公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得;
(2)由面積公式求出“c,再由余弦定理得到關(guān)于C的方程,解得即可.
【詳解】⑴因?yàn)閏osB=;,
A+C
sin2
B2A+C1+cosB
所以cos?—Ftan"---------------+2
222A+C
cos2
2
1+cosB1-COS(A+C)
214-cos(A+C)
1+二1+-
1+cosB1+cosB338
=-----------1-----------=--------1------=—.
21-cosB213
1i—
3
(2)因?yàn)閏os3=Q,所,以sinB=Jl—cos?B=,
因?yàn)?.阮'=20,即,,心吊8=1“03但=2&',所以0€=6,
A?C223
再由余弦定理知〃="+C2—2〃C8S8,即42=(()+c2-2x6xl,
即cJ20c2+36=0,解得=2或c?=18,
所以c=&或c=3血(負(fù)值舍去).
18.(2023?吉林?吉林省實(shí)驗(yàn)??寄M預(yù)測(cè))在公差不為0的等差數(shù)列{4}中,4=5,且電,的,紜成等
比數(shù)列.
⑴求{/}的通項(xiàng)公式和前”項(xiàng)和S.;
(2)設(shè)"=」一,求數(shù)列{〃}的前〃項(xiàng)和公式Z,.
2
【答案】⑴見(jiàn)二2〃-3,Sn=n-2n
n
(2)7;,=
\-2n
【分析】(1)利用已知條件和等比中項(xiàng),求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差,即可求出通項(xiàng)公式;
(2)利用裂項(xiàng)相消法即可求出結(jié)果.
【詳解】(1)公差d不為零的等差數(shù)列{叫中,為=5,又為,。3,。6成等比數(shù)歹U,
%=4+3d=5q+3d=5
所以
裙=%&(4+2J)2=(q+d)(q+5d)
解得q=-l,d=2,
則a”=4+(〃-l)d=-l+2(n-1)=2n-3,
_〃(4+a“)
J_一
“2
1
(2)由(1)可知,bn=-----
—(2n-3)(2n-l)
可得數(shù)列{〃,}的前〃項(xiàng)和
n
1-2/7
19.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知拋物線(xiàn)Uy?=2px(p>0)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)。,焦點(diǎn)坐標(biāo)為
(1)求拋物線(xiàn)C的方程;
⑵若直線(xiàn)/:*=)+1與拋物線(xiàn)C交于P,。兩點(diǎn),求△OPQ面積的最小值.
【答案】⑴〉2=2%;
【分析】(1)根據(jù)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo),求得。,即可求得拋物線(xiàn)方程;
(2)聯(lián)立直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程,根據(jù)韋達(dá)定理,結(jié)合直線(xiàn)恒過(guò)的定點(diǎn),表達(dá)出面積關(guān)于參數(shù)的函數(shù)關(guān)系,
求其最小值即可.
【詳解】(1)由題意與=;,得。=1,,拋物線(xiàn)C的方程為丁=21
(2)設(shè)產(chǎn)(內(nèi),%),。(々/2),
聯(lián)立消去X得y2_2。'一2=0,
A=4產(chǎn)+8>0,y+%=2f,乂必=~2>
二lx-%|=+丫2)2-4yM="產(chǎn)+8'
易知,直線(xiàn)/:x=)+l恒過(guò)定點(diǎn)M(l,0),
故eiOPQ的面積
故回OPQ面積的最小值為啦.
20.(2024?江西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))如圖,在四棱錐P-4SC3中,PAL平面A8CO,ADA.CD,AB//CD,
PA-AD--CD=1.AB=2,點(diǎn)A/是尸8的中點(diǎn).
⑵求直線(xiàn)。M與平面ACM所成的角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
喈
【分析】(1)取A8中點(diǎn)F,證明得到四邊形AF8是正方形,進(jìn)而得到BC/平面PAC,所以BCLPC,
根據(jù)直角三角形相關(guān)性質(zhì)可得到PB=2CM;
(2)先建立空間直角坐標(biāo)系,結(jié)合線(xiàn)段長(zhǎng)度寫(xiě)出坐標(biāo),求平面ACM的一個(gè)法向量,再結(jié)合線(xiàn)面角計(jì)算公
式求出答案.
【詳解】(1)取A3中點(diǎn)F,連接CF,則/F=CZ)=1,
又因?yàn)锳F//C。,所以四邊形AFCD是平行四邊形,
因?yàn)锳DLCD,AD=CD,所以四邊形AFCD是正方形,
所以即345c是等腰三角形,則AC=BC=&,
所以AC2+BC?=4=44,即AC13C,
因?yàn)镻AL平面A8CO,8(7匚平面488,所以PAL8C,
又因?yàn)镻44Cu平面PAC,PAAC=A,
所以8c工平面PAC,
因?yàn)镻Cu平面PAC,所以BCLPC,
乂因?yàn)辄c(diǎn)”是總的中點(diǎn),所以由直角三角形性質(zhì)易得依=2CM
(2)因?yàn)镻A_L平面ABC。,AZ),A8u平面ABC。,所以A4_L49,PAYAB,
又因?yàn)樗倪呅蜛FCO是正方形,所以4)243,
如圖,以{ARA8,4P}為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-^z,
則A(O,O,O),C(l,l,O),r>(l,O,O),M(O,l,g),
所以Z)M=(-l,l,g),AC=(l,l,O),AM=(0,1,;
設(shè)平面ACM的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),
n-AC=x+y=0
則,1,令x=l,則〃=(1,T,2),
/?-AM=y+—z=0
2
7T
設(shè)直線(xiàn)ZW與平面ACM所成的角為804
所以.。=卜。5(〃,。")|=腦=[
所以直線(xiàn)DM與平面ACM所成的角的正弦值為旦.
21.(2022?四川綿陽(yáng)?鹽亭中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x>ar2-to+lnx,(?/eR).
⑴若。=訪(fǎng)=3,求函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間;
⑵若6=0時(shí),不等式/(xX。在[L+8)上恒成立,求實(shí)數(shù)〃的取值范圍;
【答案】(l)[o,1j,(l,+oo)
⑵Y
【分析】(1)求導(dǎo)得到:(X)=("-1)Q'T),得到單調(diào)區(qū)間.
X
(2)變換得到-等,設(shè)g(x)=-竽,求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間,計(jì)算最值得到答案.
【詳解】(1)由題意得:x>0〃=坊=3時(shí),f(x)=x2-3x+\nx,
W+,一生3,
XX
令_f(x)>0,解得:0<x<g或X>1,故“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為e1)(l,+8).
(2)/(x)=ax2+1。工40在[1,+8)上恒成立,,
即a4-手在區(qū)間[1,+8)恒成立,
、口/、Inx....,/x21nx—1
設(shè)g(x)=-p,X>\,則g(x)=——,
令g〈x)>0,解得X>正,此時(shí)g(x)單調(diào)遞增,
令g'(x)<0,解得14尤<五,此時(shí)g(x)單調(diào)遞減,
故g(xL,=g(&)=一5.
故。w———.
2
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