第一單元至第八單元滾動(dòng)測(cè)試卷（基礎(chǔ)卷）（解析版）-2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第一單元至第八單元滾動(dòng)測(cè)試卷（基礎(chǔ)卷）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的）

2

1.（2023?福建福州?福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知集合4={1,2,3,4},B={xeN|x-x-6<o},

則4B=（）

A.{152}B.{1,2,3}C.{2,3}D.{1,2,3,4)

【答案】B

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合8,再根據(jù)交集的運(yùn)算即可求出.

【詳解】因?yàn)锽={xGN|x2-x-640}={xeN|-24x43}={0,l,2,3},而A={1,2,3,4},

所以48={1,2,3}.

故選：B.

2.（2023?福建寧德??？级＃┮阎橇銖?fù)數(shù)z滿(mǎn)足z<2+2i）=|zf,則z的共輾復(fù)數(shù)是（）

A.2+2iB.2-2iC.-2+2iD.-2-2i

【答案】A

【分析】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi（“,beR）,代入z-（2+2i）=|zf中化簡(jiǎn)，再利用復(fù)數(shù)相等的條件列方程組可求出。涉,

從而可求出復(fù)數(shù)z,進(jìn)而可求出z的共軌復(fù)數(shù)

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+砥eR）,由z-（2+2i）=|zf,得

（a+biX2+2i）=/+〃，化簡(jiǎn)得（2〃一2份+（2〃+2。>=/+。2,

”,\2a-2b=a2+b2缶=。人,?[a=2

所以】。ozn'解得，n（舍去），或1?

[2a+2b=0匕=0[b=-2

所以z=2-2i,則$=2+2i，

故選：A

3.（2023?上海浦東新?華師大二附中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)P（x,y）滿(mǎn)足or+外+c=0,則"6=2a"是

"k+2y+2|+|x+2y-l|為定值"的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)兒何意義，將所求式轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，進(jìn)而研究圖像求解.

[x+2y+21|x+2y-1|

【詳解】若|x+2y+2Mx+2y-1卜拓為定值,

即點(diǎn)P（x,y）到直線(xiàn)x+2y+2=0,x+2y-l=o兩條直線(xiàn)距離之和為定值,

顯然，這兩條直線(xiàn)平行，如圖,

所以當(dāng)點(diǎn)P（x,y）在與這兩條直線(xiàn)平行的直線(xiàn)上時(shí),此時(shí)直線(xiàn)ar+勿+c=0滿(mǎn)足必w0且〃=2a,

即Z?=2a,且awO,b*O,k+2y+2|+|x+2y-l|為定值,

所以"b=2a"是"|x+2y+2|+|x+2y-l|為定值"的必要不充分條件.

故選：B

4.（2023?海南省直轄縣級(jí)單位?文昌中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知向量a=（3,4）,b=（f,l）,且cos（a,6）=（,則1=

（）

A.---B.—C.0或竺D.0或一2

242477

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，利用向量的夾角公式，列出方程，即可求解.

【詳解】由向量。=（3,4）力=&1）,可得同=5,忖=歷1,

a，b3/+44

H=麗=許r于解得『=。或2半4

故選：C.

5.（2023春?江西九江?高二江西省湖口中學(xué)?？计谀┰诘炔顢?shù)列｛%｝中，生=1，4=5,則〃8=（）

A.9B.11C.13D.15

【答案】C

【分析】利用等差數(shù)列的基本量計(jì)算可得答案.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,貝U24=4-%=4,

則必=%+6。=1+3x4=13

故選：C

6.（2023?四川遂寧?射洪中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)C:工-2=1的右焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)A（0,M,若直線(xiàn)AF

412

與C只有一個(gè)交點(diǎn)，則加=（）

A.±2B.±4有C.±2^3D.±4

【答案】B

【分析】根據(jù)題意分析可得直線(xiàn)所與漸近線(xiàn)平行，結(jié)合平行關(guān)系運(yùn)算求解.

【詳解】雙曲線(xiàn)C,q=l可得a=2,b=2?,c=77壽=4,

所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為＞=±&，右焦點(diǎn)為尸（4,0）,

因?yàn)橹本€(xiàn)AF與C只有一個(gè)交點(diǎn)，所以直線(xiàn)AF與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行,

所以&「=篝=±&，解得/=±46-

()—4

故選：B.

的圖象大致為（）

【分析】先得到函數(shù)的奇偶性，排除AC,再比較出/（2）＜/（3）,排除B,得到正確答案.

【詳解】由題知，“X）的定義域?yàn)閧xeR|x=O},因?yàn)閤）=匚土《=

-X

回“X）是奇函數(shù)，排除A,C,

2.-23-3

因?yàn)?（2）=1e^e-</（3）=失e+e_,排除D.

故選：B.

8.（2023?四川成都?石室中學(xué)校考三模）已知拋物線(xiàn)后：丁=8》的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)尸與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，過(guò)

點(diǎn)C的直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)E交于A,8兩點(diǎn)（點(diǎn)C和點(diǎn)4在點(diǎn)B的兩側(cè)），則下列命題中正確的有

①若所為ACF的中線(xiàn)，則IA尸|=2|8尸|；②若B尸為N4FC的平分線(xiàn)，則|A尸|=8；

③存在直線(xiàn)/，使得|AC|=&|AF|；④對(duì)于任意直線(xiàn)/,都有|AF|+|B/q>2|CF|.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】設(shè)直線(xiàn)/：》=外-2,8（電,方）都在第一象限，如圖，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，利用韋達(dá)定理

表示％+必、%%、%+超、2.根據(jù)中線(xiàn)的性質(zhì)可得必=年，求出A、8的坐標(biāo)即可判斷①；根據(jù)角平

分線(xiàn)的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，結(jié)合拋物線(xiàn)的定義計(jì)算求出IAFI,即可判斷②；根據(jù)題意可得

A（）「2，x）,列出方程求出將%即可判斷③；根據(jù)拋物線(xiàn)的定義和A>0,即可判斷④.

【詳解】由題意，設(shè)直線(xiàn)，：x=U-2,令3,％）,5（電,％）都在第一象限，

由尸（2,0）,得C（-2,0）,如圖所示.

得丁-8初+16=0,且△=64（%2-1）>0,即二>],

所以y+%=8k,%必=16，則%+%=8/-4,=4.

①若8尸為AAC尸的中線(xiàn)，則必咤，所以X=4夜，所以斗=4,故44,4&）,

所以8（1,2夜），則IA尸|=2|8尸|=6,故①正確;

②若BF為NAFC的平分線(xiàn)，則明=察，

分別作AD,8￡垂直準(zhǔn)線(xiàn)x=—2于點(diǎn)。，E,則仙尸|=|明且需=黑，

1111|ABIIDE|

所以四=叵!即。尸|一ICEIJBEI上_=強(qiáng)土2

1J

\AD\\DE\'|AD|+|CF|\CD\\AD\''xl+6%+2'

4

將*2=—>0代入整理，得才一4%一12=0,即（苔-6乂玉+2）=0,

x\

則占=6,所以|4尸|=與+2=8,故②正確；

③若|AC|=Q|AF|,即14cb應(yīng)|AO|,即，ACD為等腰直角三角形，

止匕時(shí)|C0=|AO|,則A（y/2,y）,所以y：=8y「16,所以犬-8%+16=0,

所以）1=4,所以%=4,此時(shí)A,8為同一點(diǎn)，不合題設(shè)，故③錯(cuò)誤；

2

@\AF\+\BF\^AD\+\BE\=xt+x2+4=Sk,

而2|CF|=8,結(jié)合A?>i,得跳？>8,

即|AF|+|BF]>2|C可恒成立，故④正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系和直線(xiàn)與橢圓、雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系類(lèi)似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；

涉及有關(guān)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線(xiàn)是否過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，可直接使用公

式|A8|=x/+x2+p,若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式.

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）

9.（2023?河北?校聯(lián)考一模）關(guān)于函數(shù)/（x）=2sin（2x-?7r）的圖象，下列說(shuō)法正確的是（）

A.長(zhǎng)是曲線(xiàn)y=/（x）的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心

B.x=￥是曲線(xiàn)y=/（x）的一條對(duì)稱(chēng)軸

O

C.曲線(xiàn)y=2sin2x向左平移。兀個(gè)單位，可得曲線(xiàn)y=/（x）

D.曲線(xiàn)y=2sin2x向右平移（兀個(gè)單位，可得曲線(xiàn)y=〃x）

O

【答案】AD

【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)f(x),再逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.

IF7T

【詳解】依題意，函數(shù)Ax)=2sin(2x-：-37i)=—2sin(2x—：),

對(duì)于A,/(1)=-2sin(2x1-^)=0,($0)是曲線(xiàn)y=/(x)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，A正確；

對(duì)于B,7(￥)=—2sin(2x?一今=0,x=等不是曲線(xiàn)y="X)的對(duì)稱(chēng)軸，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,曲線(xiàn)y=2sin2x向左平移，兀個(gè)單位，得y=2sin[2Cr+gb]=2sin(2x+￥)=-2sin(2x+。，C錯(cuò)誤；

8844

對(duì)于D,曲線(xiàn)y=2sin2x向右平移;兀個(gè)單位，得y=2sin[2(x--—)]=2sin(2x——)=-2sin(2x——),D止確.

故選：AD

10.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知的，居分別是橢圓《+$=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是「上的動(dòng)點(diǎn)，則()

1612

ITT

A.「的離心率為5B.^MF2<-

C.AM4用的周長(zhǎng)為12D.△/片外的面積的最大值為

【答案】ABC

【分析】對(duì)A,直接求出離心率即可，對(duì)B利用6,c的大小關(guān)系及直徑所對(duì)圓周角為直角的結(jié)論即可判斷,

對(duì)C,根據(jù)橢圓的定義即可判斷，對(duì)D,根據(jù)面積最大時(shí)，M為橢圓的短軸端點(diǎn)，代入計(jì)算即可.

21

【詳解】A選項(xiàng)：依題意，a=4,h=2y/3,c=2,所以「的離心率0=—c=二=彳，A正確.

。42

7F

B選項(xiàng)：因?yàn)閏<6,所以以月用為直徑的圓在r的內(nèi)部，故N￡g<5，B正確.

C選項(xiàng)：根據(jù)橢圓的定義得△MH行的周長(zhǎng)為為+2c=12,C正確.

D選項(xiàng)：設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接?！?，易知當(dāng)OM_L百心時(shí)，△/耳鳥(niǎo)的面積最大，

最大值為1、2必=仍=46,D錯(cuò)誤.

2

故選：ABC.

11.(2023?山東淄博?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)“力=4$吊3+“心0,0>0,-卜圖的部分圖象如圖所示,

則()

冗IT

B.當(dāng)X€時(shí)，.f(x)的最大值為G

C.函數(shù)“X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(?,o)對(duì)稱(chēng)

D.函數(shù)/(x)在點(diǎn)(0,1)處的切線(xiàn)方程為＞=2任+1

【答案】AD

【分析】根據(jù)y=Asin(s+e)中A,。，夕的幾何意義，求得Ax)的解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)

及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】由圖可知，A=2,/(O)=2sin0=l,即sing=!，又-1＜夕＜］，所以夕=￡,

2226

由五點(diǎn)作圖法可得粵+?=兀，所以0=2,/(x)=2sinf2x+f\

126k07

/、771

對(duì)于A,“X)的最小正周期為7=空=兀，故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)xe-U時(shí)，2x+1w孑＞所以sin卜x+-堂?』，所以/(x)的最大值為2,故B

_44Jo［_3JJ＜o(jì))2

錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)x==時(shí)，2X+B=*/停］=2,所以函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)件,0〕對(duì)稱(chēng)，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,由〃x)=2sin(2x+。］,可得r(x)=4cos(2x+)/(0)=2/，所以函數(shù)/(x)在點(diǎn)(0,1)處的

切線(xiàn)方程為y=2岳+1,故D正確.

故選：AD.

12.(2023?湖北武漢?華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè))正四棱柱ABCD-A5GA,底面邊長(zhǎng)為2血，側(cè)棱長(zhǎng)

為2,則下列結(jié)論正確的()

A.點(diǎn)A到平面Bg的距離是V2.

B.四棱錐R-ABC。內(nèi)切球的表面積為8(3-2&)兀.

C.平面8CQ與平面4cA垂直.

D.點(diǎn)M,N為線(xiàn)段AC上的兩點(diǎn)，且AM=CN=(AC,點(diǎn)P為面ABC，內(nèi)的點(diǎn)，若PM=C.PN,則

點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)為兀.

【答案】AC

【分析】利用等體積法判斷A,利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑，即可判斷B,找到二面角的平面角，利用

勾股定理逆定理即可判斷C,建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)尸(x,y,2),即可求出動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程，即可判斷

D.

【詳解】對(duì)于A：設(shè)點(diǎn)4到平面8CR的距離為人,

BR=J(2直『+(20『=4,RC=BC=小22+(20=273,

%3=gx4xJ(2￡)、22=4夜,SMW=1X2>/2X2>/2=4,

又匕,得四=%一4觸，所以;x4V%=gx4x2,解得力=0,故A正確;

對(duì)于B：

SABCO=20x2忘=8,SADDi=SCDDt=-x2x2>/2=2y[2,

s.=SBCD,+(2夜『X2&=2遙,

%,HrD=-x8x2=—,

4

設(shè)內(nèi)切球的半徑為則與=；(8+4a+4旬r,解得r=故B錯(cuò)誤;

V6+72+2

對(duì)于C：設(shè)底面A3CD中心為O,BCJBC=E,OG*=F,連接。G交E尸于G,則G為線(xiàn)段￡尸中點(diǎn),

則CG_LEF,C,G1EF,所以NCGO為面BCQ與面片。2所成角的平面角,

在,CGO中，GO=GC=s/2,OC=2,OG2+GC2=OC2>回/CGO=90°,

所以平面8CQ與平面5cA垂直，故C正確；

對(duì)于D,設(shè)底面ABC。中心為O,底面ABC。中心為?！阜謩e以直線(xiàn)02,0C,0a分別為x,y,z軸建立空間

直角坐標(biāo)系,

設(shè)點(diǎn)P(x,y,2),又M(0,T,0),N(0,l,0),

由PM=gPN得,yjx2+(y+l)2+4=y/2y]x2+(^-1)2+4r整理得/+(y-3『=4,

所以P點(diǎn)軌跡為圓Y+()，_3)2=4在面A4GR內(nèi)的部分(如下圖HK)，

7E7T

因?yàn)?口,JK=2'RGK二,顯然CQQ所以

7T

即ZKJH<-,

2

?，??

所以“K的弧長(zhǎng)不為兀，即點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)不為兀，故D錯(cuò)誤.

故選：AC

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:涉及點(diǎn)到面的距離一般利用等體積法或空間向量法,D選項(xiàng)關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系,

定量計(jì)算出動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡.

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線(xiàn)上）

13.（2023?江西南昌?南昌縣蓮塘第一中學(xué)校聯(lián)考二模）已知關(guān)于x的不等式的2+加+6〃?>0的解集為

{x\2<x<3},則如<〃的解集為.

【答案】{x|x>-5}

【分析】由題意可得“<0旦方程用2+m+6加>0的解為2,3,再根據(jù)韋達(dá)定理求得小八的關(guān)系即可得解.

【詳解】因?yàn)殛P(guān)于*的不等式〃小+nr+6〃?>0的解集為{x[2<x<3},

所以7%<0且方程〃>+總+6加>0的解為2,3,

n

則2+3=5=,

m

n

所以機(jī)g|Jx>—,

m

所以不等式g<n的解集為{x\x>-5}.

故答案為：{x|x>-5}.

14.（2023?廣東佛山?華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)隨機(jī)變量4的分布列如下：

其中6,%，.?.，%構(gòu)成等差數(shù)列，則4+4

【答案】I

【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)和離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?，出，…，4構(gòu)成等差數(shù)列，

所以4+4=4+。5=4+%，

因?yàn)?+%+。3+。4+。5+。6=1，所以4+。6=g，

故答案為：g

15.(2023?河南,襄城高中校聯(lián)考三模)若(sin￡+cos^)+6cosa=g,則cos(2a+與■)=.

【答案】-J/-O.125

O

【分析】先利用三角恒等變換化簡(jiǎn)得sin(a+W)=j,從而利用余弦的倍角公式即可得解.

【詳解】因?yàn)閉sin@+cos4]+5/3cosa=sin2—4-cos2—+2sin—cos—+V3cosa

[22)2222

=sina+Gcosa+l=2sin(6Z+—|+1=—,

I3j2

所以sin(a+])=(,故cos(2a+1)=l-2sin2(a+1)=l-2x[1)=-1.

故答案為：一:.

o

16.(2023?海南?？?海南華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知圓C：(x-a)2+(y-與2=4的圖象在第四象限，直線(xiàn)

/,：ax+by+3=0,12：法-ay+4=0.若(上存在點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)尸作圓C的切線(xiàn)如，PB,切點(diǎn)分別為A,B,

使得AVB為等邊三角形，則4被圓C截得的弦長(zhǎng)的最大值為.

【答案】拽

3

【分析】根據(jù)題意可推得“，b的范圍，以及4與圓的位置關(guān)系.根據(jù)等邊三角形以及圓的對(duì)稱(chēng)性可得出

■>，2.o

ZAPC=30。，然后推得44,求解結(jié)合a,b的范圍可得出20<77萬(wàn)43?然后表示出圓心到直

。yja2+b2

線(xiàn)4的距離，根據(jù)不等式的性質(zhì)，即可得出答案.

【詳解】

a>2

由已知可得，圓C的圓心c（a,“，半徑r=2,且有

b<-2'

2?2Q

則圓心到直線(xiàn)八ax+hy+3=O的距:離&=三：一十一..

yla2+b2

a3a門(mén)3c

又直線(xiàn)《方程可化為yx——,可知——〉0,——>0,

bbbb

所以直線(xiàn)4過(guò)一、二、三象限，不過(guò)笫四象限，直線(xiàn)4與圓相離.

由題意易知NAPC=30。，則PC=2工=4,441Pq=4，

sin300

所以有歲孝（4，即（后+可-4\/a2+b2+3<0,所以IV三.

乂a>2,b<-2,所以02+/>8，yja2+b2>242>所以2/

所以圓心C到直線(xiàn)/,的距離d2=/4,<5/2<2,

7CT+b-

所以，直線(xiàn)4與圓C總相交,

4Ng，所以4被圓C截得的弦長(zhǎng)為2斤田

又4=

\ja2+b2

故答案為：拽.

3

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)己知得出的范圍，然后根據(jù)直線(xiàn)的斜截式方程得出4與圓的位置關(guān)系.

四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

17.（2023?安徽哈肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記A8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,已知cos8=；.

⑴求cos21+tan2gC的值；

（2）若6=4,S.C=2拒，求，的值.

【答案】⑴g

(2)c=V2或c=3>/2

【分析】（1）利用二倍角公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得;

（2）由面積公式求出“c,再由余弦定理得到關(guān)于C的方程，解得即可.

【詳解】⑴因?yàn)閏osB=；,

A+C

sin2

B2A+C1+cosB

所以cos?—Ftan"---------------+2

222A+C

cos2

2

1+cosB1-COS(A+C)

214-cos(A+C)

1+二1+-

1+cosB1+cosB338

=-----------1-----------=--------1------=—.

21-cosB213

1i—

3

(2)因?yàn)閏os3=Q,所,以sinB=Jl—cos?B=,

因?yàn)?.阮'=20，即,，心吊8=1“03但=2&',所以0€=6,

A?C223

再由余弦定理知〃="+C2—2〃C8S8,即42=(()+c2-2x6xl,

即cJ20c2+36=0,解得=2或c?=18,

所以c=&或c=3血（負(fù)值舍去）.

18.（2023?吉林?吉林省實(shí)驗(yàn)?？寄M預(yù)測(cè)）在公差不為0的等差數(shù)列｛4｝中，4=5,且電,的，紜成等

比數(shù)列.

⑴求｛/｝的通項(xiàng)公式和前”項(xiàng)和S.；

（2）設(shè)"=」一，求數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和公式Z,.

2

【答案】⑴見(jiàn)二2〃-3,Sn=n-2n

n

(2)7；,=

\-2n

【分析】（1）利用已知條件和等比中項(xiàng)，求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可求出通項(xiàng)公式;

（2）利用裂項(xiàng)相消法即可求出結(jié)果.

【詳解】（1）公差d不為零的等差數(shù)列｛叫中，為=5,又為，。3，。6成等比數(shù)歹U，

%=4+3d=5q+3d=5

所以

裙=%&(4+2J)2=(q+d)(q+5d)

解得q=-l,d=2,

則a”=4+(〃-l)d=-l+2(n-1)=2n-3,

_〃(4+a“)

J_一

“2

1

（2）由（1）可知，bn=-----

—(2n-3)(2n-l)

可得數(shù)列｛〃,｝的前〃項(xiàng)和

n

1-2/7

19.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線(xiàn)Uy?=2px（p>0）的頂點(diǎn)在原點(diǎn)。,焦點(diǎn)坐標(biāo)為

（1）求拋物線(xiàn)C的方程;

⑵若直線(xiàn)/：*=）+1與拋物線(xiàn)C交于P,。兩點(diǎn)，求△OPQ面積的最小值.

【答案】⑴〉2=2%；

【分析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)，求得。，即可求得拋物線(xiàn)方程；

（2）聯(lián)立直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程，根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合直線(xiàn)恒過(guò)的定點(diǎn)，表達(dá)出面積關(guān)于參數(shù)的函數(shù)關(guān)系,

求其最小值即可.

【詳解】（1）由題意與=；,得。=1,，拋物線(xiàn)C的方程為丁=21

（2）設(shè)產(chǎn)（內(nèi),%）,。（々/2），

聯(lián)立消去X得y2_2。'一2=0,

A=4產(chǎn)+8>0,y+%=2f,乂必=~2>

二lx-%|=+丫2）2-4yM="產(chǎn)+8'

易知，直線(xiàn)/：x=）+l恒過(guò)定點(diǎn)M（l,0）,

故eiOPQ的面積

故回OPQ面積的最小值為啦.

20.（2024?江西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐P-4SC3中，PAL平面A8CO,ADA.CD,AB//CD,

PA-AD--CD=1.AB=2,點(diǎn)A/是尸8的中點(diǎn).

⑵求直線(xiàn)。M與平面ACM所成的角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

喈

【分析】（1）取A8中點(diǎn)F,證明得到四邊形AF8是正方形，進(jìn)而得到BC/平面PAC,所以BCLPC,

根據(jù)直角三角形相關(guān)性質(zhì)可得到PB=2CM；

（2）先建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線(xiàn)段長(zhǎng)度寫(xiě)出坐標(biāo)，求平面ACM的一個(gè)法向量，再結(jié)合線(xiàn)面角計(jì)算公

式求出答案.

【詳解】（1）取A3中點(diǎn)F,連接CF,則/F=CZ）=1,

又因?yàn)锳F//C。，所以四邊形AFCD是平行四邊形，

因?yàn)锳DLCD,AD=CD,所以四邊形AFCD是正方形，

所以即345c是等腰三角形，則AC=BC=&，

所以AC2+BC?=4=44,即AC13C,

因?yàn)镻AL平面A8CO,8(7匚平面488,所以PAL8C,

又因?yàn)镻44Cu平面PAC,PAAC=A,

所以8c工平面PAC,

因?yàn)镻Cu平面PAC,所以BCLPC,

乂因?yàn)辄c(diǎn)”是總的中點(diǎn)，所以由直角三角形性質(zhì)易得依=2CM

(2)因?yàn)镻A_L平面ABC。，AZ),A8u平面ABC。，所以A4_L49,PAYAB,

又因?yàn)樗倪呅蜛FCO是正方形，所以4)243,

如圖，以｛ARA8,4P｝為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-^z,

則A(O,O,O),C(l,l,O),r>(l,O,O),M(O,l,g),

所以Z)M=(-l,l,g),AC=(l,l,O),AM=(0,1,；

設(shè)平面ACM的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

n-AC=x+y=0

則，1，令x=l,則〃=(1,T,2),

/?-AM=y+—z=0

2

7T

設(shè)直線(xiàn)ZW與平面ACM所成的角為804

所以.。=卜。5(〃，。")|=腦=[

所以直線(xiàn)DM與平面ACM所成的角的正弦值為旦.

21.(2022?四川綿陽(yáng)?鹽亭中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x>ar2-to+lnx,(?/eR).

⑴若。=訪(fǎng)=3,求函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間;

⑵若6=0時(shí)，不等式/(xX。在[L+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍;

【答案】(l)[o,1j,(l,+oo)

⑵Y

【分析】(1)求導(dǎo)得到:(X)=("-1)Q'T),得到單調(diào)區(qū)間.

X

(2)變換得到-等，設(shè)g(x)=-竽，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計(jì)算最值得到答案.

【詳解】(1)由題意得：x>0〃=坊=3時(shí)，f(x)=x2-3x+\nx,

W+，一生3,

XX

令_f(x)>0,解得:0<x<g或X>1,故“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為e1)(l，+8).

(2)/(x)=ax2+1。工40在［1,+8)上恒成立，，

即a4-手在區(qū)間［1,+8)恒成立，

、口/、Inx....，/x21nx—1

設(shè)g(x)=-p,X>\,則g(x)=——，

令g〈x)>0,解得X>正，此時(shí)g(x)單調(diào)遞增,

令g'(x)<0,解得14尤<五,此時(shí)g(x)單調(diào)遞減,

故g(xL,=g(&)=一5.

故。w———.

2