安徽省天長市2023-2024學(xué)年高二年級上冊數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題含解析

安徽省天長市2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.下圖稱為弦圖，是我國古代三國時期趙爽為《周髀算經(jīng)》作注時為證明勾股定理所繪制，我們新教材中利用該圖作

為“（）”的幾何解釋

A.如果。>6,b>c,那么。>c

B.如果a>b>0,那么/〉/

C.對任意實數(shù)。和萬，有7222az?，當(dāng)且僅當(dāng)a=6時等號成立

D.如果。>6,c>0那么ac>Z?c

2.已知函數(shù)/（無）=e*+a,xw（O,y）,當(dāng)占時，不等式/詈恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為（）

B.(-oo,-l)

D.(-l,+co)

3.如圖，已知直線A。垂直于平面a，垂足為O,3c在平面a內(nèi)，A5與平面a所成角的大小為60。，ZOBC=30°,

則異面直線A5與OC所成角的余弦值為（）

rV3nV13

44

4.若直線位2(?！?)x+2y—3=0與直線4：(2〃+ll)x+(〃—2)y+1—〃=。平行，則Q的值是()

A.1B.-2

C.—2或6D.-1或7

5.如圖，在四棱錐尸—A5CD中，底面A5CD是平行四邊形，已知PA=〃，PB=b，PC=c^=則BE=

11,1

B.一〃——b+—c

222

113

D.一〃——7b+—c

222

6.若拋物線產(chǎn)=4x上一點尸到x軸的距離為2百，則點尸到拋物線的焦點方的距離為。

A.4B.5

C.6D.7

7.拋物線y=2—的焦點到準(zhǔn)線的距離為（）

1

C.—D.1

2

8.變量x,y之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù):

X34567

y13111087

已知變量y與X呈線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為y=-1.5x+a，則〃的值是。

A.2.3B.2.5

C.17.1D.17.3

9.在空間直角坐標(biāo)系中，點A(L2,3)關(guān)于丁軸的對稱點為點3,則點C(3,0,l)到直線A3的距離為()

'2也B呼

10.函數(shù)/(X)=xsinx+cosx,無的值域為()

A.[0,7i]B.0,|-

C.[-1,兀]D.-1,]

11.設(shè)4(x)=sin2x+cos2x,1(力=方(力,力(X)=1/；"),…，fn+1(x)=/；(%),n&N,則力022(%)=()

A.22021(cos2x-sin2x)B.22022(-coslx-sin2x)

C.22021(cos2x+sin2x)D.22022(-cos2x+sin2x)

12.設(shè)e2分別為具有公共焦點-與工橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個公共點，且滿足尸耳/月=0,

則”s的值為

(心)2

A.1B.l

C.2D.不確定

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知點M(-1,1,-2),平面萬過原點。，且垂直于向量”=(1,-2,2),則點“到平面萬的距離是.

14.在空間直角坐標(biāo)系。-孫z中，已知向量。=(1,0,3),則。在x軸上的投影向量為.

15.某班有40位同學(xué)，將他們從01至40編號，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法從中選取5人參加文藝演出，抽出的編號從小到

大依次排列，若排在第一位的編號是05,那么第四位的編號是

16.若關(guān)于8的不等式2依2+--■|<0的解集為凡則左的取值范圍是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在直三棱柱A5C-A131G中，底面ABC是等邊三角形，。是AC的中點.

(1)證明：ABi//ffiBCiD,

(2)若AAi=A5,求二面角31-AC-G的余弦值.

18.(12分)某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對該部門的

評分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100]

(1)求頻率分布直方圖中。的值；

(2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率；

(3)從評分在[40,60)的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人評分都在[40,50)的概率.

22

19.(12分)已知橢圓C：鼻+方=1(?！?〉0)的長軸長是短軸長的近倍，且經(jīng)過點(虛』)

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)C的右頂點為A,過。右焦點的直線/與。交于不同的兩點N,求AAMN面積的最大值.

20.(12分)已知圓G：(x+4)2+/=16,點A是圓G上一動點，點3(4,0),點C是線段AB的中點.

(1)求點C的軌跡方程;

(2)直線/過點(1,1)且與點。的軌跡交于A,B兩點,若耳=26，求直線/的方程.

21.（12分）已知三棱柱ABC—451G中，AC^AAl=4,BC=2,ZACB=9Q°,AlBLACl.

(1)求證：平面AACC1，平面ABC.

(2)若NAAC=60°,在線段AC上是否存在一點P使平面3Ap和平面AACG所成角的余弦值為走？若存在，

4

確定點P的位置；若不存在，說明理由.

22.(10分)等比數(shù)列｛4｝中，4=1,。9=9。7

(1)求｛4｝的通項公式；

⑵記S”為｛4｝的前〃項和.若5.=61,求機的值

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】設(shè)圖中直角三角形邊長分別為“，b,則斜邊為行工7，則可表示出陰影面積和正方形面積，根據(jù)圖象關(guān)

系，可得24644+32即可得答案.

【詳解】設(shè)圖中全等的直角三角形的邊長分別為a,b,則斜邊為朽石，如圖所示：

1,------

則四個直角三角形的面積為^-xaxb=2ab,正方形的面積為(正苗丫=a2+b2>

由圖象可得，四個直角三角形面積之和小于等于正方形的面積，

所以2仍<6+)2,當(dāng)且僅當(dāng)。時等號成立，

所以對任意實數(shù)。和b,有當(dāng)且僅當(dāng)a=6時等號成立.

故選:C

2、C

【解析】由題意得出％/&)<%/(%)，構(gòu)造函數(shù)g(x)=朧、+◎,可知函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(0,+“)上單調(diào)遞增,

可得出g'(x)=e、+xe、+a20對任意的光>0恒成立，利用參變量分離法可得出a>-e'(x+l),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)

h(x)=-e'(x+1)在區(qū)間(0,+。)上的最大值，由此可求得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】函數(shù)/(司=/+。的定義域為(0,+8),當(dāng)％<X2時，半1<坐1恒成立，

即%/(王卜9〃9)，構(gòu)造函數(shù)g(%)=#(%)=小”+?,則g(Xl)<g(%2)，

所以，函數(shù)g(%)=xex+ax在區(qū)間(0,+”)上為增函數(shù)，

則g'(力=e*+xeA+a>。對任意的x>0恒成立，二a>-ex(x+l),

令/2(X)=—e*(X+l),其中X>0,則(尤)max。

”(x)=-e'(x+2)<0,所以函數(shù)y=/，(x)在(0,+。)上單調(diào)遞減；

又/z(0)=-e°(0+l)=-L所以1.

因此，實數(shù)。的取值范圍是［-1，+8).

故選：C.

3、B

【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，求出向量OC,A3的坐標(biāo)，再利用向量的夾角公式計算即可.

【詳解】如圖，以。為坐標(biāo)原點，過點。作QB的垂線為x軸，QB為y軸，。4為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)05=2,

則04=23，0c=1，

則A（0,0,26）,5（0,2,0）,C專,;,0,

\7

OC=（孚go；,AB=（0,2,-273）,

c1

COSt）=1--------------------------------------------

設(shè)。C”的夾角為。，則符）Y）*oJo+2”2后

所以異面直線AB與OC所成角的余弦值為y,

4

故選：B.

4、D

【解析】根據(jù)直線平行的充要條件即可求出

2a+11ci—21—tz

【詳解】依題意可知，顯然。。2,所以由"4可得，而百=二力二3，解得。=T或7

故選:D

5、A

【解析】利用空間向量加法法則直接求解

【詳解】連接3。，如圖，

則BE」（3P+町=-工P3+工網(wǎng)+3C）=」P3+，PA-P3+PC-P3）

11]&[[&[

=——PB+-(PA-2PB+PC\=-PA——PB+-PC=-a一一b+-c

22、>222222

故選：A

6、A

【解析】根據(jù)拋物線V=4x上一點P到x軸的距離為2班，得到點P(3,±2^3),然后利用拋物線的定義求解.

【詳解】由題意，知拋物線V=4x的準(zhǔn)線方程為x=-l,

:?拋物線J2=4x上一點P到x軸的距離為26,

則P（3,±2百）,

?:點尸到拋物線的準(zhǔn)線的距離為3+1=4,

?:點尸到拋物線的焦點F的距離為4.

故選：A.

7、B

【解析】由丁=2必可得拋物線標(biāo)推方程為：2=-y,由焦點和準(zhǔn)線方程即可得解.

-X2'

【詳解】由丁=2/可得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2=-y,

-2

所以拋物線的焦點為(0,b，準(zhǔn)線方程為y=1

8

所以焦點到準(zhǔn)線的距離為9

故選:B

【點睛】本題考了拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了焦點和準(zhǔn)線相關(guān)基本量，屬于基礎(chǔ)題.

8、D

【解析】將樣本中心點代入回歸方程后求解

【詳解】7=5,5=9.8,將樣本中心點(5,9.8)代入回歸方程》=-1&+6,

得。=y+1.5x=9.8+1.5x5=17.3

故選：D

9、C

【解析】按照空間中點到直線的距離公式d=商一(a直接求解.

（-2

【詳解】由題意，3(—1,2,—3),AB=(-2,0-6),A3的方向向量"=,0,-而--0^—oj

AC=(2,-2,-2),則點C到直線AB的距離為

d=JAC2-(AC-UY=j4+4+4-f—-^x2+-1=x2^

7\NITioJioJ5

故選：c.

10、D

【解析】求出函數(shù)/(無)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值上的應(yīng)用，即可求出結(jié)果.

【詳解】因為/(x)=xsinx+cosx,所以/'(X)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,

令又x?0,兀］,所以%=1或兄=。；

所以當(dāng)x￡(0,5時，f(%)=%cos%>0；當(dāng)x￡色，?］時，/'(%)=xcos%<0；

所以/(無)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

V2J12J

所以小心=/圖=不

又"0)=1,/H=-1,所以/(耳皿=/5)=—1；

所以函數(shù)/(X)的值域為-1弓.

故選：D.

11、B

【解析】根據(jù)已知條件求得力(%)的規(guī)律，從而確定正確選項.

【詳解】fi(x)=2cos2x-2sin2x,(x)=_22sin2x-22cos2x,

3344

力(x)=-2cos2x+2sin2x,f4(x)=2sin2x+2cos2x,

75(x)=25cos2x-25sin2x,...,以此類推，

2022=505x4+2,所以力022⑴=22022(-sin2x-cos2x).

故選：B

12、C

【解析】根據(jù)題意，設(shè)它們共同的焦距為2c、橢圓的長軸長2”、雙曲線的實軸長為2機，由橢圓和雙曲線的定義及勾

弦定理建立關(guān)于。、c、機的方程，聯(lián)解可得層+,/二?。?，再根據(jù)離心率的定義求解

【詳解】由題意設(shè)焦距為2c,橢圓的長軸長2%雙曲線的實軸長為2雨,

設(shè)P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義得IPFiL|Pr2|=2加①

由橢圓的定義|PFi|+|P尸2|=2"②

又月=0,

可得NF1P尸2=90°,

:.PFXVPF2,

故|PFiF+|pF2|2=4c2③,

①平方+②平方，得IPSF+甲尸2|2=242+2派2④

11

將④代入③，化簡得。2+帆2=2。2,即/,了_0,

--------=Z

a2m2

11c

可得F+F=2,

e\e2

故選：c

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

7

13、一

3

UULL1

UUU1MOn

【解析】確定MO，MOn,利用點M到平面〃的距離為d,即可求得結(jié)論.

n

ULU-1UUU1

【詳解】由題意，MO=(1,—1,2)，n=(l,-2,2),.-.MO-n=l+2+4=7

uuirruuirr

設(shè)MO與"的夾角為a,則.ncosa

uuu1

MOn7

所以點M到平面萬的距離為d=

n3

.7

故答案為：—

3

14、(1,0,0)

【解析】根據(jù)向量坐標(biāo)意義及投影的定義得解.

【詳解】因為向量之=。,0,3),所以。在x軸上的投影向量為(1,0,0).

故答案為：(1,0,0)

15、29

【解析】根據(jù)給定信息利用系統(tǒng)抽樣的特征直接計算作答.

【詳解】因系統(tǒng)抽樣是等距離抽樣，依題意，相鄰兩個編號相距4垓0=8,

所以第四位的編號是5+3x8=29.

故答案為：29

16、（-3,0]

【解析】分為％=0和左W0考慮，當(dāng)左W0時，根據(jù)題意列出不等式組，求出左的取值范圍.

33

【詳解】當(dāng)左=0得：-6<0,滿足題意；當(dāng)上W0時，要想保證關(guān)于X的不等式2區(qū)2+6—<0的解集為R,則

88

k<0

要滿足：2n>解得：綜上：%的取值范圍為（—3,0]

ZA—K十3K<U

故答案為：（-3,0]

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）證明見解析

⑵空

7

【解析】（1）B,CBC[=E,連接OE,證明。E//A5],再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；

（2）說明3。，平面ACG4，取4G的中點尸，連接。歹，以。為原點，分別以歹的方向為x,y,z

軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,利用向量法即可得出答案.

【小問1詳解】

證明：記用。BC1=E,連接。石，

由直棱柱的性質(zhì)可知四邊形3CG耳是矩形，則E為四。的中點.

因為。是AC的中點，所以。E//A4，

又A用（x平面BQD,DEu平面BCXD,所以〃平面BQD；

【小問2詳解】

因為底面ABC是等邊三角形，。是AC的中點，

所以BDLAC,

由直棱柱的性質(zhì)可知平面ABC，平面ACGA,

平面ABC平面ACGA=AC，BDu面ABC,

所以3D，平面ACGA,

取AG的中點凡連接OR，

則。民DC,QE兩兩垂直，

故以。為原點，分別以DB,DC,。尸的方向為x,y,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

設(shè)AB=2，貝!IA(0,-1,0),C(0,1,0),4(囪,0,2),

從而AC=(0,2,0),AB1=(V3,1,2),

設(shè)平面ABjC的法向量為n=(x,y,z),

n-AC=2y=0

則｛L,令X=2,

n-AB]=v3x+y+2z-0

得”=(2,0,-6),

同理平面AC￡的一個法向量為帆=(1,0,0),

則…，

,一WMC23/^

CO5<E,,

Hrl

由圖可知二面角BX-AC-G的平面角為銳角，

所以二面角&-AGG的余弦值為之互.

18、(1)0.006；(2)0.4；(3)—.

10

【解析】（1）在頻率分布直方圖中，由頻率總和即所有矩形面積之和為1,可求

（2）在頻率分布直方圖中先求出50名受訪職工評分不低于80的頻率為0.4,由頻率與概率關(guān)系可得該部門評分不低

于80的概率的估計值為0.4；

（3）受訪職工評分在［50,60）的有3人，記為4,4,受訪職工評分在［40,50）的有2人，記為用,々，列出從這

5人中選出兩人所有基本事件，即可求相應(yīng)的概率.

【詳解】（1）因為（0.004+a+0.018+0.022x2+0.028）xl0=l,

所以a=0.006

（2）由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為（0.022+0.018）x10=0.4,

所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為0.4

（3）受訪職工評分在［50,60）的有：50x0.006x10=3（人），

即為4；

受訪職工評分在［40,50）的有：50x0.004x10=2（人），即為用,々.

從這5名受訪職工中隨機抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是

{4,4},{A，A},{4,4},{4,82}

{4,4},{4,4}

又因為所抽取2人的評分都在［40,50）的結(jié)果有1種，即{4，5},

故所求的概率為

【點睛】本題考查頻率分布直方圖、概率與頻率關(guān)系、古典概型，屬中檔題；利用頻率分布直方圖解題的時，注意其

表達的意義，同時要理解頻率是概率的估計值這一基礎(chǔ)知識；在利用古典概型解題時，要注意列出所有的基本事件，

千萬不可出現(xiàn)重、漏的情況.

22

19、(1)—+^=1；(2)2-72

42

【解析】（1）利用已知條件，結(jié)合橢圓方程求出。力，即可得到橢圓方程

（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓與直線方程，利用韋達定理，弦長公式，列出三角形的面積，再利用基本不等式轉(zhuǎn)化求

解即可

a=y/2b,

【詳解】（1）解：由題意21解得a=2,b=y/2，

[——a2+——b2=1,

22

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+上=1

42

(2)點4(2,0),右焦點/(后,0),由題意知直線/的斜率不為0,

故設(shè)/的方程為X=7沖+應(yīng)，/(%,%),N(%2，%)，

[22

Ui,

聯(lián)立方程得《42'消去X,整理得(m2+2)y2+20Wy—2=0,

x=my+v2,

2

,*,A=16(m+l)>0,%+%=-僚'％%=一高，

816(1+m2)

=(%+%)2-4%%=L

m2+2^m2+2『

4冊2+1

m2+2

??.S-g(2-碼x1y「%|=2(2一0)與=2(2-伺"^^,,(2-到

71n+1

當(dāng)且僅當(dāng)加=0時等號成立，此時/：尤=夜，

所以_AAW面積的最大值為2-J5

【點睛】本題考查橢圓的性質(zhì)和方程的求法，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程消去未知數(shù)，運用韋達定理化簡整理和運

算能力，屬于中檔題

20、(1)x2+y2=4；

(2)%=1或y=L

【解析】⑴設(shè)線段A3中點為c(羽y),點4(%，%),用X,y表示不，%，代入G方程即可；

⑵分/斜率存在和不存在進行討論，根據(jù)弦長求出/方程.

【小問1詳解】

設(shè)線段A3中點為C(x,y),點4(%,%)，5(4,0)

二.2%=尤0+4,2y=y0+0,

.\x0=2x-4,y0=2y,

，(2x—4+4)2+4/=16

x2+y2=4,

即點C的軌跡方程為V+y2=4.

【小問2詳解】

直線/的斜率不存在時，/為x=L

代入/+/=4得＞=±6,則弦長|AB|=2百滿足題意;

直線/斜率存在時，設(shè)直線/斜率為A,其方程為1=左(％—1),即6—y—上+1=0,

圓X?+=4的圓心到I的距離d==丁4—3=1，

則"=人。川：,=1;

綜上，/為x=l或y=l.

21、(1)證明見解析；

(2)在線段AC上存在一點P,且尸是靠近C的四等分點.

【解析】(1)連接&C，根據(jù)給定條件證明AG，平面45c得3CLAG即可推理作答.

⑵在平面AACG內(nèi)過＜