2023年重慶某中學高二數學第二學期期末檢測模擬試題含解析

2022-2023高二下數學模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.當時，總有sin機一sin“<"一"成立，則下列判斷正確的是。

A.m>nB.\m|<|n|C.m<nD.\m|>|n|

2.如圖所示，這是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（)

A.2"+8B.8"+8C.4%+8D.6萬+8

3.將5個不同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少1個球,至多2個球，則不同的放法種數有（

A.30種B.90種C.180種D.270種

4.先后拋擲一枚質地均勻的骰子5次,那么不能作為隨機變量的是（）

A.出現7點的次數B.出現偶數點的次數

C.出現2點的次數D.出現的點數大于2小于6的次數

5.已知焦點在〉,軸上的雙曲線的漸近線方程是y=±3x,則該雙曲線的離心率是（）

A.V10B.2X/2C.叵D.-

33

6.已知函數f(x)=ln(|x|+l)-(1+1尸，則使得了(幻>/3-1)成立的x的解集為()

A.(g,l)B.(-00,—)u(l,+oo)C.D.(―,+0°)

7.已知復數z=」-,N為z的共物復數，則的值為()

i-i

A.-2B.0C.72D.2

8.若cosa=—1,c是第三象限的角，貝！jsin(a+?J=()

7V2R7V2交

A.15.------------C.-D,也

10101010

9.已知復數（是虛數單位），則.的虛部為

__三

A.T*B.一]C.]D.

10.若函數/（x）=ox-lnx在區(qū)間（0,e］上的最小值為3,則實數"的值為（）

ce1

A.e2B.2eC.-D.-

2e

11.我國古代數學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭

幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈

A.1盞B?3盞

C.5盞D.9盞

12.在極坐標中，點12,（）到圓/=4cos8的圓心的的距離為（）

A.gB.6C.2D.,4+—

3V9

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.復數z=--（i是虛數單位）的虛部是.

1

14.已知關于x的不等式|公—l|4|x+3］的解集為卜卜2-2},則實數。=.

15.已知拋物線y=2px（p>0）的準線與圓（x—3）2+y2=i6相切，則P的值為.

16.為強化安全意識，某校擬在周一至周五的五天中隨機選擇2天進行緊急疏散演練，則選擇的2天恰好為連續(xù)2天

的概率是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，四棱錐S-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB//CD,AB-LBC,AB=2BC=2CD,SAD

是正三角形。

AM11

(1)試在棱A3上找一點M，使得BC〃平面SDW：

(2)若平面皿)_LABCO,在(1)的條件下試求二面角S—MD—A的正弦值。

18.(12分)已知曲線C的極坐標方程是夕=4cos6.以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平

面直角坐標系，直線/的參數方程是1a為參數).

y=tsina

(I)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；

(II)若直線/與曲線C相交于A，B兩點，且|4卻=/，求直線/的傾斜角a的值.

19.(12分)⑴設匕〃eN*，且〃22,求證：kC：=nC3；

12n

⑵求滿足一C+—+…+—c;;<loo的正整數”的最大值；

nnn

20.(12分)數列｛4｝的前八項和為S,,且滿足?！?5,,+!-2

(1)求與,s”s3,S4的值;

(11)猜想數列｛5“｝的通項公式，并用數學歸納法證明你的結論.

21.(12分)在直角坐標系x0y中，直線/的參數方程為:a為參數).以坐標原點為極點，x軸的正半

y=—2+3/

軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為。2+22《?。-8=0.

(1)求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

(2)若點夕是直線/的一點，過點P作曲線。的切線，切點為。，求|PQ|的最小值.

22.(10分)某學校為了豐富學生的課余生活，以班級為單位組織學生開展古詩詞背誦比賽，隨機抽取一首，背誦正

2

確加10分，背誦錯誤減10分，且背誦結果只有“正確”和“錯誤”兩種.其中某班級學生背誦正確的概率p=§,

記該班級完成〃首背誦后的總得分為s?.

(1)求$6=20且Sj?0(i=l,2,3)的概率；

⑵記4=囚5],求J的分布列及數學期望.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】

構造函數〃x)=sinx+x3(—i<x<l),然后判斷了(x)的單調性，然后即可判斷伙〃的大小.

【詳解】

令/(x)=sinx+x3(-l<x<l),則/[X)=cosx+3x?>0

所以/(x)在上單調遞增

因為當1,1)時，總有sinm-sinn</一n?成立

所以當時，/(加)</(“)

所以機<”

故選：C

【點睛】

解答本題的關鍵是要善于觀察條件中式子的特點，然后構造出函數.

2、A

【解析】

由三視圖可知：該幾何體分為上下兩部分，下半部分是長、寬、高分別為4,2,1的長方體，上半部分為底面半徑為1,

高為2的兩個半圓柱，故其體積為V=4x2xl+〃xFx2=8+2?，故選A.

3、B

【解析】

對三個盒子進行編號1,2,3,則每個盒子裝球的情況可分為三類：1,2,2；2,1,2；2,2,1；且每一類的放法種

數相同.

【詳解】

先考慮第一類，即3個盒子放球的個數為：1,2,2,則

第1個盒子有：C；=5,

第2個盒子有：C：=6,

第3個盒子有：C；=1,

，第一類放法種數為5x6x1=30,

；.不同的放法種數有N=3x3O=9O.

【點睛】

考查分類與分步計算原理，明確分類的標準是解決問題的突破口.

4、A

【解析】

根據隨機變量的定義可得到結果.

【詳解】

拋擲一枚骰子不可能出現7點，出現7點為不可能事件

，出現7點的次數不能作為隨機變量

本題正確選項：A

【點睛】

本題考查隨機變量的定義，屬于基礎題.

5、C

【解析】

分析：由題意，雙曲線的焦點在）'軸上的雙曲線的漸近線方程是y=±3x,求得f=3,利用離心率的公式，即可求

b

解雙曲線的離心率.

詳解：由題意，雙曲線的焦點在）’軸上的雙曲線的漸近線方程是y=±3x,

即￡=3,所以雙曲線的離心率為e=￡

ba

點睛：本題主要考查了雙曲線的離心率的求解問題，其中熟記雙曲線的標準方程和幾何性質是解答的關鍵，著重考查

了推理與運算能力.

6、A

【解析】

由已知可得：/（X）是偶函數，當X20時，/（X）在［0,+8）為增函數，利用/（X）的單調性及奇偶性將

〃x）>/（2x—1）轉化成：|x|>|2x-1|,解得：問題得解.

【詳解】

因為『（一力=如（卜W+1）_（-x）2+1=ln（|x|+l）-G2+1）'=/（%）

所以/(X)是偶函數.

當xNO時，"X)=ln(x+1)-(/+1)1

又y=ln(x+l)在(0,+oo)為增函數，y=(/+1］在(0,+8)為減函數

所以“X)=In(x+1)-(爐+1)-'在［0,a)為增函數

所以/(x)>/(2x—1)等價于W>|2x—1|,

解得：

故選：A

【點睛】

本題主要考查了函數單調性及奇偶性的應用，還考查了轉化思想及函數單調性的判斷，屬于中檔題。

7、D

【解析】

2z2i(l+/)

試題分析：2===已適=-1+i,z?彳=(―1+0(-1-0=2，故選D.

考點：1.復數的運算；2.復數相關概念.

8、B

【解析】

先利用同角三角函數的基本關系計算出sine的值，然后利用兩角和的正弦公式可計算出sina+￡)的值.

【詳解】

Qa是第三象限角，.?.sin。<0,且sinan-Jl-cos%=_/1一1_,)=_、，

??.(江、.萬.兀(3、Q(4、桓7夜

因此，sma-\■一=sinacos—■i-cosasin—=——x---1-——x——=-----,

I4j44I5j2(5j210

故選B.

【點睛】

本題考查兩角和的正弦公式計算三角函數值，解題時充分利用同角三角函數的基本關系進行計算，考查運算求解能力,

屬于基礎題.

9、D

【解析】

先利用復數的除法將復數.表示為一般形式，于是可得出復數.的虛部。

【詳解】

,因此，復數.的虛部為.，故選：D。

..-一=J一?一皿2-一_—=一--

【點睛】

本題考查復數的概念，解決復數問題，一般利用復數的四則運算律將復數表示為一把形式，考查計算能力，屬于基礎

題。

10、A

【解析】

求出了'（x）,/（x）<0（或/'（x）20）是否恒成立對。分類討論，若恒成立求出最小值（或不存在最小值），若不恒

成立，求出極值最小值，建立a的關系式，求解即可.

【詳解】

/（同=4」.

X

⑴當.40時，/^）<0,所以/（x）在（0,e］上單調遞減，f（x）n,n=f（e）=ae-\=3,a（舍去）.

①當時，此時用x）<0在（0,e］上恒成立,

所以“X）在（0,司上單調遞減，

/（"訕="e）=^T=3,解得a=：（舍去）；

②當a〉1時，0cL<e.當0<x<1時，f^x\<0,

eaav7

所以/（x）在（0，）上單調遞減，

當!<x<e時，/^x）>0,所以〃x）在上單調遞增,

于是/（x）min=/（：）=l+lna=3,解得a=e2.

綜上，a=e2?

故選：A

【點睛】

本題考查函數的最值，利用導數是解題的關鍵，考查分類討論思想，如何合理確定分類標準是難點，屬于中檔題.

11、B

【解析】

設塔頂的由盞燈，

由題意｛an｝是公比為2的等比數列，

12

AS7=-^--1=181>

1-2

解得ai=l.

故選B.

12、C

【解析】

分析：先把點的坐標和圓的方程都化成直角坐標方程，再求點到圓心的距離得解.

詳解：由題得％=2乂35。=1/=2*5m?=6,；.點的坐標為(1,右)，

因為。=4cos。，所以夕2=4pcos^,.\x2+y2-4x=0,.\(x-2)24-y2=4,

所以圓心的坐標為(2,0),

所以點到圓心的距離為42一1)2+62=2,故答案為：C.

點睛：(1)本題主要考查極坐標和直角坐標的互化，考查兩點間的距離的求法，意在考查學生對這些知識的掌握水平.

(2)極坐標化直角坐標的公式為x=pcos(9,y=psine.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、-1

【解析】

由題意，根據復數的運算，化簡得z=2-i,即可得到復數z的虛部.

【詳解】

由題意，復數z=^=.：\=2一,所以復數二的虛部為一1.

11-(-0

【點睛】

本題主要考查了復數的四則運算及復數的分類，其中解答中熟記復數的四則運算，正確化簡、運算復數，再利用復數

的概念求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.

14>-1

【解析】

因為同一1區(qū)k+3|,可得6%2一2以+l<f+6x+9,根據根據關于X的不等式版一l|w|x+3|的解集為

{x|x>-2},可得/=i,分別討論”=1和。=-1不等式解情況，即可求得答案.

【詳解】

|at-l|<|x+3|

,?。~尤2—+1<+6x+9

根據關于X的不等式|辦一1區(qū)k+3|的解集為{小N-2}

可得"=1

解得：a=±l

①a=l

—2x+1<+6x+9

-8x<8

x>—l,故。=1不合符題意，舍去.

@a=-l

2x+l<6%+9

-4x<8

x2—2

ci——1

綜上所述，a=-1.

故答案為：一1.

【點睛】

本題主要考查了根本絕對值不等式解情況求參數值，解題關鍵是掌握將絕對值不等式解法，考查了分析能力和計算能

力，屬于基礎題.

15、2

【解析】

拋物線的準線為x=—4,與圓相切，貝）3+'=4,p=2.

22

2

16、

5

【解析】

試題分析：考查古典概型的計算公式及分析問題解決問題的能力.從5個元素胸岳,f；4M，中選2個的所有可能有1()種,

其中連續(xù)有共4種，故由古典概型的計算公式可知恰好為連續(xù)2天的概率是尸=二=二

105

考點：古典概型的計算公式及運用.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)”為A8邊的中點；(2)典.

7

【解析】

(1)由BC平面得到8C〃DM，在底面ABC。中,根據關系確定M為AB中點.

(2)取AO的中點N,MZ)的中點E，接NE,SE可證明NSEN為二面角的平面角，在三角形中利用邊關系得到答案.

【詳解】

解：(1)因為8c〃平面SDW,BCq平面ABC。，

平面SDMc平面ABCD=DM,所以BC//DM由題設可知點M為AB邊的中點

(2)平面SAD，平面ABCD,平面S4OC平面ABCD^AD，取AO的中點N,連接SN,MN,在正三角形SAD中

N為AO則SN_LAQ,由兩平面垂直的性質可得SN_L平面ABCD.取的中點E連接NE,SE可證明NSEN為

二面角的平面角.設A8=4a,則MO=2a,AO=20a,SN=^a,EN=a,在直角三角形SEN中SE="a，所以

.cmSN4ba右的十

sinSEN=——=-f=-=----為所求

SE幣a7

【點睛】

本題考查了線面平行，二面角的計算，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.

18、(1)(%-2)2+/=4；(2)9或整

【解析】

(1)利用三種方程的轉化方法，將曲線C的極坐標方程和直線1的參數方程轉化為普通方程；

X=]+tcoscc

(2)先將直1的參數方程是(t是參數)化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦長，也可

y-tsina

以直接利用直線的參數方程和圓的普通方程聯(lián)解，求出對應的參數t“t2的關系式，利用|AB|=|ti-tz|,得到a的三

角方程，解方程得到a的值，要注意角a范圍.

【詳解】

(1)由P=4cos9,得P2=4Pcos。.因為d+黃=P2,x=Pcos0,所以x?+y2=4x,

即曲線C的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4.

(2)將代入圓的方程(x—2M+y2=4,得(tcosa—l)2+(tsina)2=4,

lv=lsina

111■1-t：=2cosa?

化簡得/-2tcosa-3=0.設A,B兩點對應的參數分別為t”t2＞由根與系數的關系，得所以|AB|

-3?

=

Iti-12|?：iiii-\j\i11_iTi=J7^'

故4cos2a=1,解得cosa=±1.因為直線的傾斜角ae[0,n),所以a=1■或二:.

【點睛】

利用直線參數方程中參數的幾何意義求解問題

x-xn+tcosO

經過點尸(xo,yo),傾斜角為a的直線/的參數方程為｛,＜(f為參數).若A,3為直線/上兩點，其對應的

y=+tsmU

參數分別為4也，線段A3的中點為M,點M所對應的參數為2，則以下結論在解題中經常用到：

(1)1號1；⑵=⑶|明=12-?、萛PA\]PB\=\tft2\.

19、(1)略；(2)7

【解析】

(1)根據組合數公式可證得左右兩側形式相同，從而可得結論；(2)將問題變?yōu)镃：+2C；+…+”禺＜100"，將不

等式左側根據組合數運算性質可求得等于n-2"T,從而可將不等式變?yōu)?"-'＜100.根據“為正整數求得結果.

【詳解】

，rk_,〃！_______〃！

⑴"-'(n-ky.k!~(n-ky.(k-iy.

qt=〃______(〃_)!______=_____________

1(〃-1-A+1)!伏-1)!

，當“22時，kC：=〃&二；

]2Ji

(2)—C：+—c；+…+—C；＜100，即：C,；+2C,；+---+?C；；＜100n

nnn

又C：+2C：+…+〃&=〃C3+仁1+＜.,+-+心+nC；：：；=n-2'-1

.\n-2"-'<100n.BP2"-'<100

又“為正整數：.n<l,即正整數”的最大值為：7

【點睛】

本題考查利用組合數公式及其性質進行運算或證明，考查對于公式的掌握程度，考查學生的轉化能力，屬于中檔題.

1234

20、(I)5=—,5,=—,S3=巳，S4=-；(II)見證明

2-345

【解析】

(I)分別取"=1,2,3,4代入計算岳,邑，S3,S4的值.

(U)猜想S.=—乙用數學歸納法證明.

【詳解】

解：(1)當”=1時，=E=，+《-2,E=!，

H2

12

又。2=$2-S[=$2+不一2,,

S?3

34

同理$3=1,S4=-;

(II)猜想

n+1,7

下面用數學歸納法證明這個結論.

①當〃=1時，結論成立.

②假設〃=,4之1)時結論成立，即

當〃=2+1時，%+i=S&+1-S4=S&+]+--2,

>+i

,._1_1_k+\

二丁=2-S.,.\"+1=三瓦=丁丁=洋

%2-而

即當〃=k+1時結論成立.

由①②知S=--對任意的正整數n都成立.

nn+i

【點睛】

本題考查了數列｛%｝和前“項和S”的關系，猜測S,,數學歸納法，意在考查學生歸納推理能力.

21、(1)3x—4y—17=0,(X+1)2+/=9；(2)見解析

【解析】

(1)消去t,得直線/的普通方程，利用極坐標與普通方程互化公式得曲線C的直角坐標方程；(2)判斷/與圓A相離,

連接AQ,AP,在放A4PQ中，怛Q|2=|PA『JAQ『242-3z=7,即可求解

【詳解】

x=3+4/

(1)將/的參數方程—cca為參數)消去參數，得3x—4y—17=0.

y=-2+3t

[x=pcosO,

因為｛.,/r+2夕cosg—8=0,

y=psinO

所以曲線C的直角坐標方程為(x+iy+y2=9.

(2)由(1)知曲線C是以(一1,0)為圓心，3為半徑的圓，設圓心為A，

則圓心A